Juan D. Godino, Carmen Batanero y María J. Cañizares - Azar y probabilidad. Fundamentos didácticos y propuestas curriculares-Editorial Síntesis (1987).pdf

AZAR
AZAR Y PROBABILIDAD
FUNDAMENTOS DIDACTICOS
y PROPUESTAS CURRICULARES
EDITORIAl
SINTESIS
lUAN DIAZ GODINO
Catedrático de E, U, del Departamento de Didáctica
de la Matemática de la Universidad de Granada
M.' DEL CARMEN BATANERO BERNABEU
Profesora Titular de Universidad del Departamento
de Estadistica de la Universidad de Granada
M,' lESUS CAÑIZARES CASTELLANOS
Profesora Titular de E,U. del Departamento de Didáctica
de la Matemática de la Universidad de Granada

Primera reimpresión: mayo de 1991
Segunda reimpresión: marlO de 1996
Diseño de cubierta: JV Diseño gnífico
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otro, sin la aulori7.aciÓn previa por escrito ue Editori,,1Sín-
tesis. S. A.
© JUAN DIAZ GODINO
M:' C. BATANERO BERNAI3EU
M." J. CAÑ IZARES CASTELLANO
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Indice
[ntroducción__... __ .__ .__ ..... ____ .____ .. ____....•.____ ..... ____.. ____ .__..____"" __ 9
1. Fundamentos didácticos .............................................................. 11
1.1. Azar y probabilidad en la enseñanza obligatoria. ________________ 11
1.2. Fenómenos aleatorios ______ .________.__.______ .__ __ .________ .__________________. 13
1.3. Conceptos de probabilidad __________.________"""""."""""""""", 19
1.4. Los juegos de azar y el cálculo de probabilidades: una apro-
ximación histórica................................ ................................. 29
1.5. Desarrollo psicológico de la intuición probabilística en el
niño .......................................................................................
1.6. Sesgos y estrategias en la estimación de probabilidades
1.6, l. Representatividad"" __"""""""""""""",,
1.6.2. Disponibilidad__________. __________ ____
1.6.3. Sesgos referidos allenguaje_______________ .....__ .____....
1.6.4. Otros errores y sesgos ________.________________.... ______...__ .
1.6,5. Conclusiones __.__ .__.__________.. ____.. __ ..____....__.__ .__.... __
2. Propuestas curriculares
2,1. Consideraciones metodológicas generales ____________________________ .
2.2, Estructura de las unidades didáctica'--__________ ______________
2.3. Uso de las unidades didácticas en los distintos niveles de en-
señanza..................................................................................
2.4. Contenidos implícitos en las situaciones de aprendizaje ______ o
2.5. Unidades didácticas" .___,,,,, ________o ____ o ._. __ •• __ • ______ . , __________ • • •• ••• __ •
2.5.1. Fenómenos aleatorios __ ." __""___
.."",,.,,. ______ .",,__________ _
2.5.2. Juegos combinatorios__ .__ .__ ,_______.",.",,,,..__ ,,.,,,,...,__ ,,, __ ,
2.5.3. Frecuencias relativas ..................................................
2.5.4. El lenguaje del azaf.____________" ________."__"".,,,,.__.....__
2.5.5. Comparación de probabilidades__ """ "".."""".."""""
2,5,6, Asignación de probabilidades ______________ ...__.__.__ ...__.,,____
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2.5.7. Probabilidades geométricas.........................................
2.5.8. Juegos equitativos. Variable aleatoria y esperanza .....
2.5.9. Multiplicación de probabilidades. Probabilidad condi-
cional y dependencia ...................................................
2.5.10. Ensayos de Bernouilli. Variaciones con repetición ....
2.5. 11 . Variaciones sin repetición. Permutaciones ................
2.5. 12. Combinaciones..........................................................
2.5. l3. Números aleatorios ...................................................
2.5.14. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes ..........
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97
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3. Teoría matemática elemental de la probabilidad.......................... 143
3. l. Sucesos aleatorios. Axiomas de probabilidad .......................
3.2. Recuento sistemático de resultados: combinatoria.........."....
3.3. Probabilidad condicional. Dependencia................................
3.4. Variable aleatoria. Esperanza matemática ............................
3.5. Distribuciones de probabilidad ......................................".....
3.6. Procesos estocásticos discretos ..............................................
Anexo 1: Material probabilístico ......................................................
Anexo 2: Respuestas a los ejercifl:ios ..........................,.....................
Bibliografía .......................................................................................
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Introducción
En nuestra enseñanza básica los temas de azar y probabilidad están prác-
ticamente ausentes: basta tener en cuenta la ordenación educativa vigente y
los libros de texto de EGB para observar este hecho. ¿Existen razones de
tipo psicológico, referentes a la falta de capacidad de adquisición de los con-
ceptos probabilísticos en niños menores de 13-1.4 años, para evitar en la es-
cuela las situaciones problemáticas en las que interviene el azar? Si bien los
estudios de Piaget sobre estas cuestiones muestran el requisito de las ope-
raciones formales para la adquisición de la noción de probabilidad -en su
interpretación clásica laplaciana- , estudios mas recientes, como los de
Fischbeio, han probado la capacidad de los niños, incluso desde preescolar,
de procesar información probabilística de un modo significativo y útil y los
efectos positivos de la instrucción sobre estas cuestiones.
La situación curricular en Bachillerato es bien distinta. En los cuestio-
narios oficiales de primer curso, la administración educativa se ha expresa-
do en términos muy escuetos: «Introducir la teoría combinatoria y noción
de probabilidad para el caso de un universo finito». Pero la formulación de
este objetivo, sin ningún fund amento, ha conducido a los autores de libros
de texto hacia una presentación de la teoría matemática de la probabilidad
prácticamente igual a la que aparece en muchos textos universitarios, a lo
sumo adornada con algunos ejemplos y ejercici.os.
Esto plantea un grave problema didáctico, ya que la gran mayoría de
los alumnos de Bachillerato y de Formación Profesional no pueden com-
prender un desarrollo axiomático formal de la teoría matemática, sobre todo
cuando les falta la preparación intuitiva previa necesaria. Por ello, a la vista
de esta situación, muchos de los especialistas en probabilidad concluirían
que es preferible suprimir cualquier referencia a estas cuestiones en los ni-
veles preuniversitarios, ya que son conscientes de su nivel de abstracción y
dificultad.
Por otra parte, recientes investigaciones llevadas a cabo mediante en-
cuestas a alumnos universitarios muestran que la gran mayoría de dichos
alumnos tienen un conocimiento escaso o nulo de las nociones probabilís-
ticas, así como errores sistemáticos, profundamente arraigados, en su intui-
9

ción probabilística. Asimismo, se ha probado que una mera exposición a la
teoría matemática de la probabilidad es ,nsuficiente para corregir dichos ses-
gos, y que éstos pueden dificultar la asimilación de los conceptos formales.
Pensamos, por tanto, que la solución no es de naturaleza quirúrgica:
«cortar por lo sano», suprimiendo la probabilidad de los currículos o «in-
jertarla)} como un objeto extraño e incomprensible en la mente del alumno.
Por el contrario, el problema es esencialmente didáctico y cabe formularlo
en los siguientes términos: ¿Es posible y conveniente el desarrollo de intui-
ciones probabilísticas acertadas en el período de enseñanza 6-16 años?
¿Cómo organizar el correspondiente proceso de enseñanza/ aprendizaje?
La finalidad de este libro consiste en presentar un «estado de la cues-
tión» sobre las distintas facetas de este problema didáctico, tanto en sus as-
pectos psicológicos, conceptuales, históricos, como también, en sus aspec-
tos curriculares, mostrando al profesor modelos concretos que faciliten el
tratamiento de este tema en los niveles de la enseñanza obligatoria (niños
con edades entre 6 y 16 años).
El libro está estructurado en tres capítulos. El primero de ellos, dedica-
do a los fundamentos didácticos, comienza con una sección en la que se ex-
ponen los principales argumentos que distintos autores han expresado en fa-
vor de que los fenómenos de azar y las nociones probabilísticas elementales
sean tratadas en la enseñanza básica, incluyendo, en las restantes secciones,
los aspectos conceptuales, históricos y psicológicos del tema.
El Capítulo 2 del libro está dedicado al desarrollo del currículo teniendo
en cuenta el análisis anterior. En consecuencia, se sugiere a los profesores
de EGB, Bachillerato y Formación Profesional una colección de elementos
útiles para el diseño de una programación reaJista, basados en experiencias
llevadas a cabo en otros paises.
El Capítulo 3 incluye un breve resumen de los contenidos matemáticos
implícitos en las actividades propuestas para el alumno en el Capítulo 2. De
esta forma, el profesor puede tener una referencia a mano para recordar es-
tos temas sin necesidad de acudir a otras fuentes, al tiempo que se facilita
la conexión entre los conceptos matemáticos y los fenómenos para los que
proporcionan un modelo.
Esperamos que este libro contribuya a que las nociones elementales de
probabilidad sean tratadas en la enseñanza obligatoria, pero con una me-
todología orientada hacia la constitución de intuiciones acertadas, que per-
mita a los alumnos apreciar las posibilidades de aplicación a la vida real de
esta rama de la Matemática.
10
1.
Fundamentos didácticos
1.1. AZAR Y PROBABILIDAD EN LA ENSEÑANZA
OBLIGATORIA
La cuestión básica que hemos formulado en la Introducción consiste en
determinar si es necesario promover el desarrollo de la intuición probabi-
lística en los alumnos durante el período de enseñanza obligatoria, o por el
contrario, es preferible esperar a que sea posible una enseñanza de la teoría
matemática correspondiente. En esta sección vamos a sintetizar los princi-
pales argumentos que autores como Freudenthal, Fischbein, Glayman y Var-
ga, etc., han aportado a favor de la primera alternativa.
Las razones por las que un tema cualquiera debe ser incluido en el cu-
rrículo de la educación obligatoria pueden sintetizarse en las siguientes:
• Que sea una parte de la educación general deseable para los futuros
ciudadanos adultos.
• Que sea útil para la vida posterior, bien para el trabajo o para el tiem-
po libre.
• Ayude al desarrollo personal.
• Ayude a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la edu-
cación obligatoria como posterior.
• Constituya la base para una especialización posterior en el mismo tema
u otros relacionados.
Estas cinco razones están ampliamente cubiertas por la Estadística. Aho-
ra bien, la probabilidad proporciona un modo de medir la incertidumbre;
en consecuencia, los modelos probabilísticos son e/ fundamento de /a ma-
yor parte de la teoría estadística. Esto implica que es necesario el conoci-
miento de la teoría de la probabilidad para una comprensión adecuada de
11

-
los métodos estadísticos, que son hoy útíles indispensables en los campos
científico, profesional y social.
Cabe destacar, en segundo lugar, que la probabilidadpuede ser aplicada
a la realidad tan directamente como la aritmética elementol, no siendo pre-
ciso el conocimiento de teorías físicas ni de técnicas matemáticas complica-
das. Por sus muchas aplicaciones, adecuadamente comprendida, la proba-
bilidad proporciona una excelente oportunidad para mostrar a los estudian-
tes cómo matematizar, cómo aplicar la matemática para resolver problemas
reales. En consecuencia, la enseñanza de las nociones probabilísticas puede
ser lleyada a cabo mediante una metodología heurística y activa, a través
del planteamiento de problemas concretos y la realización de experimentos
reales o simulados.
Otro aspecto señalado por Fischbein es el carácter exclusivamente de-
terminista de los currículos actuales, y la necesidad de mostrar al alumno
una imagen más equilibrada de la realidad: «En el mundo contemporáneo,
la educación científica no puede reducirse a una interpretación unívoca y
determinista de los sucesos. Una cultura científica eficiente reclama una edu-
cación en el pensamiento estadístico y probabilístico. La intuición probabi-
lística no se desarrolla espontáneamente, excepto dentro de unos límites muy
estrechos. La comprensión, interpretación, evaluación y predicción de fenó-
menos probabilísticos no pueden ser confíados a intuiciones primarias que
han sido desprecíadas, olvidadas, y abandonadas en un estado rudimenta-
rio de desarrollo bajo la presión de esquemas operacionales que no pueden
articularse con ellos.).
Esta tendencia determinista de la enseñanza no es motivada por razones
científicas. A pesar del carácter aproximado de las leyes del azar, desde el
momento en que se conoce su grado de aproximación, es posible hacer pre-
dicciones, como ocurre con las restantes leyes experimentales, ya que nin-
guna magnitud se puede medir con una precisión absoluta.
Por otro lado, nuestro sistema de educación tiende a dar a los niños la
impresión de que para cada pregunta existe una sola respuesta sencilla y cla-
ra, que no existe nada intermedio entre lo verdadero y lo falso. Esto no es
demasiado acertado, ya que los problemas que encontrarán a lo largo de
su vida tendrán un carácter mucho menos definido. Así pues, parece im-
portante que durante los años de escuela se enseñe a los niños el carácter
especifico de la lógica probabilística, la forma de distinguir grados de in-
certidumbre y que se le enseñe a comparar sus predicciones y extrapolacio-
nes particulares con 10 que realmente sucede; en una palabra, que se les en-
señe a ser dueños de su propia ineertidumbre.
A los argumentos que acabamos de exponer, basados en opiniones au-
torizadas de distintos autores, podemos añadir algunos matices. En primer
lugar, ¿qué niño de estas edades no practica juegos de azar en casa o con
otros compañeros? Creemos que j uegos como el parchis, la oca, etc., están
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fuertemente enraizados en la vida del niño. En consecuencia, nos parece con-
veniente utilizarlos con fines educativos. Por ejemplo, lanzando una simple
moneda al aire (una ficha, etcétera) incluso alumnos de preescolar pueden
contar el número de veces que resulta cara o cruz, y esta actividad puede
ser útil en el aprendizaje de los primeros conceptos numéricos, al mismo
tiempo que realizan un experimento aleatorio.
Por último, aportamos una nueva razón de tipo social a favor de tratar
de educar la intuición probabilística de todo ciudadano en el período de en-
señanza obligatoria. Se trata de hacerles conscientes de la naturaleza pro-
babilística de los distintos juegos de azar (loterías, máquinas «tragaperraS» ,
bingos, etc.). Con frecuencia estos juegos constituyen magnificos negocios
para sus promotores (en 1987 los españoles gastaron más de dos billones y
medio de pesetas en juegos de azar), pero para el ciudadano puede no ser
una mera actividad lúdica, sino un riesgo desproporcionado de perder su
dinero. ¿Es racional la conducta del hombre qu.e expone sus bienes a una
casualidad tan poco favorable para él?
Creemos que las razones expuestas son suficientes para concluir que es
preciso incorporar en los programas de la enseñ.anza obligatoria un objeti-
vo referente al pensamiento probabilístico y combinatorio. No obstante, se
requiere responder previamente a dos cuestiones claves:
• ¿Es posible, desde el punto de vista psicológico, emprender una ins-
trucción efectiva sobre estas nociones desde la escuela primaria?
• ¿Cómo realizar esta instrucción?
En este libro trataremos de aportar respuestas a estas preguntas.
1.2_ FENOMENOS ALEATORIOS
Como hemos indicado en la sección anterior, la principal razón que nos
induce a incluir el estudio matemático de los fenómenos aleatorios es que
el azar está presente en nuestro entorno. Analizaremos esta presencia en dos
aspectos: lenguaje y realidad.
1.2.1. Azar y lenguaje
En el lenguaje ordinario, tanto en las conversaciones como en la prensa
o literatura, encontramos con frecuencia refere:ncias al azar. ¿Cuál es el sig-
nificado atribuido a esta palabra?
13

. El Diccionario del uso del español de M.a Moliner (1983) define la cua-
hdad de ser aleatorio como aquello que es «Incierto. Se dice de lo que de-
pende de la suerte o el azam, siendo el azar la «(supuest.a causa de los suce-
sos no debidos a una necesidad natural ni a una intervención intencionada
humana ni divinru),
Informa también del origen etimológico de la palabra azar' «Del árabe
"~ahr",. flor" p.or la que se pintaba en una de las caras del dadQ)~. Esta acep-
cIón elIm~loglCa llOS evoca un experimento en gran medida paradigmático
de los fenomenos aleatonos: el lanzamiento de un dado, que permite apre-
ciar ~on mtIdez el carácter imprevisible del resultado o acontecimiento en
cuestión.
. Mu~hos. otros términos son usados frecuentemente en el lengua-
Je ~rdllla.no, c?n un significado similar, aunque pueden presentar
mahces dlferencladores según el contexto. Ent.re ellos citamos los si-
guientes:
• casual
• accidental
• eventual
• fortuito
• impensado
• imprevisible
• inesperado
• inopinado
• ocasional
• por suerte
Ig~almente~ existen numerosas expresiones coloquiales, usadas con fre-
cuencia en los Juegos infantiles, con este mismo significado:
• por chiripa
o por chamba
o de rebote
• de rechazo
• sin querer
• sin intención
• sin plan
Esta ~ariedad de e~presiones para referirse a un mismo concepto da idea
de ~a vanedad d~ mallces del mismo, así como de la clara apreciación del
caracter ImpreVISible de Ciertos fenómenos por parte del individuo, incluso
desde edades tempranas.
14
1.2.2. El alar en la realidad
La presencia de fenómenos imprevisibles en sus resultados o manifesta-
ciones en la realidad que nos rodea es bien patente. El carácter aleatorio de
un fenómeno será apreciado por el niño a través de la observación de múl-
tiples aspectos de su entorno, así como por medio de la realización de ac-
tividades y juegos, que son fáciles de generar en el aula (lanzamiento de da-
dos, fichas, extracción de bolas en urnas, etc.).
A título de ejemplo y sin la pretensión de hacer un recuento exhaustivo,
enumeramos a continuación, fenómenos aleatorios que pueden ser evoca-
dos por el profesor en situaciones didácticas, y para los cuales las técnicas
estadísticas y el cálculo de probabilidades son, sin duda, pertinentes.
En un intento de clasificar la fenomenología del azar vamos a utilizar
los cuatro grandes grupos que se describen en Tanur y cols. (1971) para cla-
sificar los campos de aplicación de la estadística: el hombre y su mundo bio-
lógico, físico, social y político.
• Nuestro mundo biológico
Dentro del campo biológico, puede hacerse notar al alumno que mu-
chas de las características heredadas en el nacimiento no se pueden prever
de antemano, dependen del azar: el sexo, color de pelo, peso al nacer, etc.
Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto, re-
cuento de hematíes, etc., dependen incluso del momento en que son medidas.
X X X X
Hembra
Padre
X Y
x y
Varón
Xy
La transmisión de caracteres genéticos
obedece las leyes del Cálculo de Proba-
bilidades. Puesto que el hijo recibe de
su madre un cromosoma X. y de su pa-
dre puede recibir un cromosoma X O y.
la mitad de recién nacidos, aproxima-
damente seran varones.
Figura 1.1
Otras aplicaciones se refieren al campo de la medicina. La posibilidad
de contagio o no en una epidemia, la edad en que se sufre una enfermedad
infantil, la duración de un cierto síntoma, o la posibilidad de un diagnós-
tico correcto cuando hay varias posibles enfermedades que presentan sínto-
mas parecidos varían de uno a otro chico. El efecto posible de una vacuna,
el riesgo de reacción a la misma, la posibilidad de heredar una cierta enfer-
medad o defecto, o el modo en que se determina el recuento de glóbulos
rojos a partir de una muestra de sangre son ejemplos de situaciones en que
el azar está presente.
15

Cuando se hacen predicciones sobre la población mundial o en una re-
gión dada para el año 2000, por ejemplo, o sobre la posibilidad de extin-
ción de las ballenas, se están usando estudios probabilísticos de modelos de
crecimiento de poblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimacio-
nes de la extensión de una cierta enfermedad o de la esperanza de vida de
un individuo.
En agricultura y zootecnia se utilizan estos modelos para prever el efec-
to del uso de fertilizantes o pesticidas, evaluar el rendimiento de una cose-
cha o las consecuencias de la extensión de una epidemia, nube tóxica, etc.
Por último, y en el ámbito de la psicofisiología, observamos el efecto del
azar sobre el cociente intelectual o en la intensidad de respuesta a un estÍ-
mulo, así como en los tipos diferentes de caracteres o capacidades de los
individuos.
• El mundo físico
Además del contexto biológico del propio individuo, nos hallamos in-
mersos en un medio físico variable. ¿Qué mejor fuente de ejemplos sobre
fenómenos aleatorios que los metereológicos? La duración, intensidad, ex-
tensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas y mÍ-
nimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias. Tam-
bién lo son las posibles consecuencias de estos fenómenos: el volumen de
agua en un pantano, la magnitud de daños de una riada o granizo son ejem-
plos en los que se presenta la ocasión del estudiu dt: la estadística y pro-
babilidad.
Una fuente de ejemplos de fenómenos aleatorios. próxima a la vida del niño, son
los fenómenos meteorológicos.
Figura 1.2
También en nuestro mundo físico dependemos de ciertas materias pri-
mas como el petróleo. carbón y otros minerales; la estimación de estas ne-
cesidades, localización de fuentes de energía, el precio, etc., están sujetas a
variaciones de un claro carácter aleatorio.
16
Otra fuente de variabilidad aleatoria es la medida de magnitudes. Cuan-
do pesamos, medimos tiempo, longitudes. etc., cometemos errores aleato-
rios. Uno de los problemas que se puede plantear es la estimación del error
del instrumento y asignar una estimación lo más precisa posible de la me-
dida.
Por último, citamos los problemas de fiabilidad y control de la calidad
de los aparatos y dispositivos que usarnos: coche, televisor, etc.
• El mundo social
El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela,
el trabajo, el ocio están llenos de situaciones en las que predomina la incer-
tidumbre. El número de hijos de la familia, la edad de los padres al con-
traer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de los miem-
bros varían de una familia a otra.
En la escuela, ¿podemos prever las preguntas del próximo examen?
¿quién ganará el próximo partido?,...
Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, depen-
demos del transporte público que puede sufrir retrasos. ¿Cuántos viajeros
usarán el autobús? ¿Cuántos clientes habrá en la caja del supermercado el
viernes a las 7 de la tarde?
En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinie-
las o loterías. Acudimos a encuentros deportivos cuyos resultados son in-
ciertos y en los que tendremos que hacer cola para conseguir las entradas...
Aunque muchas personas prefieren jugar a un número capicúa estos dos boletos
tienen igual probabilidad de ser premiados.
Figura 1.3
Cuando hacemos una póliza de seguros no sabemos si la cobraremos o
por el contrario perderemos el dinero pagado; cuando compramos acciones
en bolsa estamos expuestos a la variación en las cotizaciones...
17

• El mundo político
El Gobierno, a cualquier nivel, local, nacional o de organismos interna-
cionales, necesita tomar múltiples decisiones que dependen de fenómenos in-
ciertos y sobre los cuales necesita información. Por este motivo la adminis-
tración precisa de la elaboración de censos y encuestas diversas. Desde los
resultados electorales hasta los censos de población hay muchas estadísticas
cuyos resultados afectan las decisiones de gobierno y todas estas estadísti-
cas se refieren a distintas variables aleatorias relativas a un cierto colectivo.
íNDICE DE PRECIOS AL CONSUMO
EFMAMJJ ASOND
El índice de precios al consumo
es una magnitud económica suje-
ta a variaciones aleatorias.
Figura 1.4
Entre las más importantes citaremos: el índice de precios al consumo, las
tasas de población activa, emigración-inmigración, estadísticas demográfi-
cas, producción de los distintos bienes, comercio, etc., de las que diaria-
mente escuchamos sus valores en las noticias.
1.2.3. Conclusión
Los ejemplos que hemos citado son tan sólo una muestra de los muchos
posibles en cada una de las categorías. Todos pueden relacionarse con dis-
tintas áreas: ciencias naturales, sociedad, física, etc. Por ello, pueden ser pro-
puestos a los ninos ya que forman parte de su vida cotidiana y les mostrarán
la aplicabilidad de esta rama de las Matemáticas a situaciones a las que de-
18
berán enfrentarse con frecuencia en su vida adulta, permitiéndoles un cono-
cimiento más profundo de la complejidad del mundo que nos rodea.
1.3. CONCEPTOS DE PROBABILIDAD
La teoría matemática de la probabilidad, que expondremos resumida-
mente en el Capítulo 3 del libro, supone que las probabilidades iniciales de
los sucesos elementales se asignan «fuera de la teoría»; nada hay en la mis-
ma que sea competente para fijar el valor «propio» de tales probabilidades
«básicas). Desde un punto de vista formal-axiomático, la probabilidad es
un objeto que satisface unos determinados axiomas, obteniendo los resul-
tados teóricos mediante deducciones lógicas. Se establece conscientemente
una separación entre el mundo conceptual y el mundo físico del cual surgen
los axiomas y al cual se aplican los resultados de la teoría.
Ahora bien, cuando se quiere aplicar el modelo formal al mundo real,
cuando se toma la probabilidad como útil para la toma de decisiones, nos
vemos obligados a pensar con más precisión sobre la noción misma de pro-
babilidad. Si esto es necesario para los estadísticos aplicados, aún lo es
más para el didacta que trata de educar la intuición probabilística y construir
los cimientos del entramado de conceptos sobre los que se asientan las teo-
rías de la probabilidad.
1.3.1. Usos informales de la probabilidad
Como cualquier otro vocablo importante, la probabilidad tiene muchos
matices de significación y admite variedad de usos. Un estudio de los tér-
minos utilizados en el lenguaje ordinario, a través de los «diccionarios de
usm), revela que el azar y la incertidumbre se aprecian como cualidades gra-
duables. Entre lo cierto o lo seguro (lo que ocurrirá necesariamente o lo
que es verdadero sin ninguna duda) y lo imposible (lo que no puede ocurrir
nunca) está lo probable, término que define M.a Moliner (1983):
«se dice de lo que, en opinión del que habla, es más fácil que ocurra que
que deje de ocurrir».
Para expresar estas tres circunstancias (imposible, probable, seguro) exis-
ten una gran variedad de términos. ASÍ, por ejemplo, un suceso que es pro-
bable «<es probable que llueva») se puede expresar con los adjetivos:
• POSIBLE: «es posible que llueva».
• PREVISIBLE: «es previsible que mañana baga frím).
• PRESUMIBLE: <<es presumible que apruebe el examem).
• FACTIBLE: <<es factible que termine a tiempo».
• VIABLE: «es viable que ocurra».
19

Estos términos funcionan en el lenguaje ordinario como operadores mo-
dales, esto es, podemos afirmar un cierto enunciado rotundamente, com-
prometiéndonos categóricamente con su verdad, o podemos afirmarlo gra-
dualmente. Los enunciados:
«Lloverá mañana».
«Probablemente lloverá mañana».
describen la misma realidad. La diferencia estriba en el modo de afirma-
ción: el primero es categórico, incondicional y el segundo es gradual y cau-
teloso.
El término probabilidad lo define M." Moliner como "Cualidad de pro-
bable o circunstancia de ser probable una cosa:
«La probabilidad de su hallazgo es cada vez menan,.
«Hay probabilidad (probabilidades) de encontrarlQ».
La mayor o menor probabiLida.d de ocurrencia de un suceso puede gra-
duarse mediante adverbios de cant.idad o número:
«Hay algo de probabilidad de que se marche»
«algQ)) puede ser sustituido por: al.guna, muchas, pocas, grandes,...
Otras veces, especialmente en el contexto de apuestas, se estima la pro-
babilidad mediante la comparación de posibilidades a favor y en contra de
un resultado:
«El caballo X tiene tres posibilidades contra una de resultar ganadon>.
«Las apuestas son cinco a uno a favor del equipo X}).
También puede la probabilidad ser interpretada como «propiedad» de la
persona o cosa a que afecta:
«Tiene algunas probabilidades de colocarse)}.
«La bala tiene muchas probabilidades de dar en el blancQ» .
La incertidumbre no sólo afecta a la ocurrencia de sucesos, sino que tam-
bién puede afectar a la veracidad de las proposiciones o leyes. En castellano
la palabra verosímil, «que tiene apariencia de verdaderQ), se utiLiza espe-
cialmente con dicha finalidad, aunque también se usa probable en dicho con-
texto lógico:
"Es probable que lo que dice sea verdad».
«Lo que dice es verosímil».
La variedad y riqueza de términos que puede encontrarse en el diccio-
nario para expresar lo incierto o verosímil es exponente de la amplitud de
contextos, situaciones y matices en que estas características se presentan~ y
al mismo tiempo de la necesidad de proceder a un análisis filosófico y ma-
temático del problema. Los usos formales del término probabilidad en el
campo de la ciencia y la filosofía -~construcción de modelos para los fenó-
menos aleatorios, el diseño de procedimientos de inferencia y toma de de-
cisiones, etc.- han llevado a definir, de un modo cuantitativo y preciso, la
noción de probabilidad.
20
Estos esfuerzos no han cristalizado, sin embargo, en una única teoría,
sino que han conducido a la formulación de distintos puntos de vista sobre
la naturaleza de la probabilidad y sus conceptos asociados. Al estudio de
dichos puntos de vista nos dedicaremos en las próximas secciones.
1.3.2. Teoría clásica: Laplace
El primer intento de definir con rigor matemático la noción de proba-
bilidad es debido a Laplace. En su obra Teoríe analytique des probabilités
(1812), Laplace dio la definición que se conoce como clásica de probabili-
dad de un suceso que puede ocurrir solamente en un número finito de mo-
dalidades como la proporción del número de casos favorables al número de
casos posibles, siempre que lodos los resultados sean igualmente «pro-
bables».
De acuerdo con esta definición, el cálculo de la probabilidad de los su-
cesos se reducía a problemas de análisis combinatorio. Pero incluso en su
misma época, esta definición se encontró inadecuada. Además de ser circu-
lar y restrictiva, no ofreció respuesta a la pregunta de qué es realmente la
probabilidad; sólo proporcionó un método práctico de cálculo de probabi-
lidades de algunos sucesos sencillos. Laplace, siguiendo a Bernouilli, usó el
principio de razón insuficiente, que considera las alternativas como equi-
probables en la ausencia de razón conocida para esperar lo contrario. Más
recientemente, para justificar la asignación de probabilidades por la regla
de Laplace ha sido formulado el prindpio de indiferencia, que considera las
alternativas como equiprobables cuando hay nn balance de evidencia a fa-
vor de cada alternativa.
La definición de Laplace supone, en el lenguaje actual de la teoría de
conjuntos, que siempre es posible seleccionar, como espacio muestral aso-
ciado a un experimento aleatorio, un conjunto de sucesos elementales que
satisfacen las condiciones de simetría que garanticen la equiprobabilidad.
Pero la aplicación del principio de indiferencia no es satisfactoria en gene-
ral, ya que la evidencia nunca es perfectamente simétrica con respecto a un
número de alternativas. Es inútil en los casos numerosos en que las posibi-
lidades a analizar no pueden inventariarse en un conjunto de alternativas
simétricas. En todo caso, no es apropiado cuando realmente se carece de ra-
zones a favor de cada resultado «~paridad de jgnoranci a)~) o cuando la va-
riable cuyo valor tiene que determinarse es continua.
La aproximación escolar tradicional hacia la probabilidad es teórica, y
a priori, está basada en la noción de sucesos equiprobables. Se dice a los ni-
ños que la probabilidad de obtener «un uno» o <mn cinco» en una tirada de
un dado es 1(6. De hecho, esto entra en conflicto con la experiencia que pue-
dan tener jugando, por ejemplo, al parchís, cuando a veces han debido de
21

esperar bastante tiempo para poder comenzar a mover Cichas porque no les
salía el «cinco» requerido. Como su experiencia es limitada, pueden tener
la impresión de que obtener «un cincm) es más difícil que obtener otros nú-
meros. Esta idea puede ser adquirida debido a que los juegos suelen incor-
porar esa norma para comenzar. El razonamiento matemático para superar
este error y otros similares no es simple. La aproximación usada a nivel uni-
versitario sería tratar el problema a partir de la teoría de la medida, usando
una serie de axiomas formulados por la teoría de Kolmogorov. Claramente,
esta aproximación no puede ser utilizada con niños pequeños. Sin embar-
go, la alternativa de decir al niño que cada número es simplemente equi-
probable por definición, difícilmente le proporcionará un fundamento de-
seable para un trabajo posterior.
Estracción de bolas
de una caja Lanzamiento de chinchetas
¿Se puede aplicar la regla de Laplace a estos experimentos?
Figura I.S
Además, para poder asimilar el concepto clásico de probabilidad es ne-
cesario una cierta destreza en el manejo de fracciones y en el concepto de
razón. Así, para decidir entre dos urnas (una conteniendo 5 bolas rojas y 7
azules, otra 4 rojas y 6 azules), se requiere cierto dominio en la compara-
ción de razones o fracciones que la mayoría de los niños no adquieren hasta
que son mayores de 10 años, aunque para comparar las probabilidades res-
pectivas los niños podrían comparar las posibilidades a favor y en contra
de un color determinado en las dos urnas.
1.3.3. Teorías lógicas
La teoría clásica no proporciona una guía adecuada para determinar la
probabilidad cuando un conjunto de alternativas no son equiprobables y,
por tanto, está abierta a una aplicación inconsistente. Estimulados por los
fines de la probabilidad clásica y su fallo en lograrlos, Keynes, Jeffreys,
22
Kooppman, Carnap y otros autores desarrollaron las teorías que suelen ca-
lificarse de lógicas.
Según esta concepción, la probabilidad t.raduce un grado de creencia ra-
cional, esto es, la «tasa de confianza» que conviene conceder a una propo-
sición p a la luz de la información aportada por otra proposición q. La
probabilidad es tratada como un tipo especial de relación entre dos enun-
ciados. Los dos casos extremos de ella son la deducibilidad (<<si p es conse-
cuencia de q, la proposición q da a la p la probabilidad ¡,») y la contradic-
ción (<<en el caso de que p y q sean contradictorias, la probabilidad dada
por q a p es O»). Entre estos dos casos extremos se sitúan las otras relacio-
nes de probabilidad.
El dominio formal de una teoría lógica de probabilidad es, generalmen-
te, un conjunto de inferencias entre enunciados o proposiciones en un cierto
lenguaje, más que el conjunto de enunciados en si mismos, siendo diferente
del dominio de aplicación de una teoría empírica (conjunto de sucesos o re-
sultados experimentales) y del dominio de una.teoría subjetiva (conjunto de
creencias de una persona). La probabilidad lógica intenta explicar la induc-
ción, definiendo una relación lógica entre un enunciado evidente y otro
enunciado hipótesis, que es una generalización de las relaciones de implica-
ción y contradicción disponibles en la lógica deductiva. En general, no pa-
rece factible, sin embargo, encontrar situaciones distintas a aquellas en que
puede aplicarse la concepción clásica o frecuencial para utilizar este enfo-
que en la enseñanza elemental.
1.3.4. Probabilidad frecuencial o empírica
Bajo este punto de vista se considera que la probabilidad se calcula a
partir de las frecuencias relativas observadas de cada uno de los diferentes
resultados en pruebas repetidas. El principal elemento en este enfoque es que
el concepto de probabilidad debe ser (<übjelÍvQ», separado dc cualquier con-
sideración de factores personales y sujeto a demostración práctica a través
de la experimentación.
La teoría frecuencial ha sido defendida en los tiempos modernos espe-
cialmente por Richard van Mises (Probability, Statistics and Trlllh. 1919),
aunque ya en 1888 John Venn en The logic 01 chance defendió explícita-
mente el cálculo de la prObabilidad a partir de las frecuencias relativas de
ocurrencias de sucesos y desarrolló sus consecuencias con mucho detaHe.
También son partidarios de este enfoq ue Hans Reichenbach y Kolmogorov.
El enfoque frecuencial descansa en dos características observables del
comportamiento de los resultados de las realizaciones repetidas. En primer
lugar, es un hecho que los resultados varían de una repetición a otra de una
manera imprevisible. Esto es lo que significa el término «variación aleato-
23

ria»). En segundo lugar, se observa cómo un hecho empírico a corto plazo
puede ser desordenado, pero a la larga surge una cierta regularidad. Esta
pauta se demuestra de la siguiente forma. Supongamos un suceso particular
A que nos interesa; tomamos observaciones repetidas anotando las ocasio-
nes en que ocurre A; entonces la razón entre el número de veces que sucede
A, nA' y el número total de repeticiones n (razón frecuencial o frecuencia
relativa de que A ocurra nA/n) parece tender a un límite cuando n tiende a
infinito. En esta aproximación, la idea de la probabilidad surge como el va-
lor hacia el cual tiende la frecuencia relativa de una secuencia de resultados.
Aunque el planteamiento frecuencial atrae a los estadísticos profesiona-
les y en general es útil siempre que se manejan grandes cantidades de datos
(mecánica estadística, seguros, etc.), tiene inconvenientes desde los puntos
de vista filosófico, conceptual y práctico relacionados con la noción de nú-
mero infinito de experimentos. No se puede evaluar una probabilidad con
precisión, porque el número de ensayos es siempre limitado (aunque la ley
de los grandes números ofrece una cierta base). Además, existen situaciones
donde no es posible conducir ensayos repetidos bajo condiciones ex perimen-
tales fijas. Incluso con el lanzamiento de un dado es difícil estar razonable-
mente seguro de que no está sesgado, examinando y realizando, por ejemplo,
24
SIMULACION DE LANZAMIENTOS DE UNA MONEDA:
N. de lanzamientos = 14000
Frecuencia de oaras=,50266429
xlOO = N, de lanzamientos
O~~~~~~~~~~~~~~~~_
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Comprobación experimental de la estabilidad
de las frecuencias relativas.
Figura 1.6
1.000 ensayos. Sin embargo, para la enseñanza elemental el enfoque fre-
cuencial es muy adecuado en la asignación de probabilidades de fenóme-
nos, como la distribución de sexos, que tienen una fuerte evidencia expe-
rimental. Además, la introducción del ordenador en el aula nos permite
abordar en la escuela la probabilidad desde este punto de vista, ya
que no resulta costoso ni en esfuerzo ni en tiempo simular un gran número
de lanzamientos de un dado, por ejemplo, u otros experimentos similares.
1.3.5. Probabilidad subjetiva
En esta aproximación, la probabilidad es, en mayor o menor extensión,
una expresión de la creencia o percepción personal. Este punto de vista man-
tiene que la probabilidad mide la confianza que un individuo particular tie-
ne sobre la verdad de una proposición particular y, por tanto, no está uní-
vocamente determinada. Este concepto no descansa en la repetibilidad de
ningún proceso, por lo que es posible evaluar la probabilidad de un suceso
que puede ocurrir una sola vez, como por ejemplo, la probabilidad de que
se descubra un medicamento que cure el cáncer en el próximo año.
Este enfoque tiene afinidades con la aproximación lógica, ya que ambas
intentan representar el «grado de creencia» sobre un suceso; pero a diferen-
cia de la idea de probabilidad lógica, en que esta medida se supone única,
los subjetivistas consideran que se trata de un grado de creencia «persona}»
que un individuo sostiene sobre la base de su propia experiencia. Diferentes
personas pueden así asignar probabilidades distintas para un mismo suceso.
Aunque esta interpretación fue presentada por primera vez en 1926 por
F. P. Ramsey y defendida en 1937 por B. De Finetti, ha sido L. J. Savage
quien en los primeros años de la década de los 50 le ha dado un ímpetu con-
siderable.
En esta concepción, a cualquier entidad aleatoria se le puede atribuir una
probabilidad. Esta puede ser asignada de cualquier modo, pero con la con-
dición de que uno esté preparado para aceptar apuestas basadas en dicha
asignación. Por ejemplo, si una persona cree que para un cierto dado la pro-
babilidad de obtener un <mno» es 0,5, debe estar preparada para pagar 100
pesetas si el resultado de una tirada no es un «uno)~ y para ganar 100 pe-
setas si resulta un ((unQ»), es decir para esta persona hay tantas posibilidades
a favor como en contra del número uno. Este es un criterio plausible intui-
tivo que De Finetti resume: «Dada una cantidad aleatoria X. debes elegir
un valor x sabiendo que, después de hacer esta elección, estás comprome-
tido a aceptar cualquier apuesta con ganancia c(X - x), donde e es arbitra-
ria y elegida por tu oponente.»
El segundo criterio que De Finetti postula es la condición de coheren-
cia. En el ejemplo anterior no sería inteligente hacer apuestas con otra per-
25

sona con la regla de «pagar 100 pesetas si sale un número distinto del
dos y.ganar 100 pesetas si sale el dos» . A menos que uno esté seguro de que
los numeras mayores que el dos no pueden salir nunca, se está abocado a
perder sistemáticamente con ese tipo de apuesta. La condición de coherencia
es la siguiente: «Se supone que no deseas hacer apuestas que con seguridad
conducirán a una pérdida. Un conjunto de probabilidades asignadas por
un ,suJ,eto son coherentes si entre las combinaciones de apuestas que uno
esta dispuesto a hacer no hay ninguna en la que la ganancia sea uniforme-
mente negativa) ,
Se o~servará que esta condición no da ninguna norma de cómo se pue-
de selecclO~ar ~na probabilidad. Sólo indica una forma a seguir para evitar
consecuencias mdeseables. Sin embargo, a partir de este criterio se pueden
derivar las leyes básicas de probabilidad. Por tanto, el criterio de coheren-
C.l~ es bastante notable, proporcionando un fundamento intuitivo pero su-
fiCiente para la teoría. La probabilidad subjetiva puede ser un precursor
fundamental para la formal enseñada en la universidad. La concepción c1á-
~I Nombro yopollldOS: ______•____._
j A Domicilio: _ ._________.____.__
~ ~ Loe.lidact: ,.,_
_ .._.._______,.__
I
~--~~~===L____~
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
~ MARQUESUSP~ONOS
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TICOS SOLO CON El SIGNO .X,
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8Y!IJNC~·R lIAGllA .... I 1 I [iJ 1 I I , 11111'1 I I 1 I J 112 I I , n[iJ~
9fSPliJl.A1 1l>ISIJII! .... I 1 I [!J 1 I I 1 il:!J11 I 1 1 I [!J[1 I I , D[)~
la SFIIILIoWPAIJIIS....... I 1 I [!J 1 I 1 111[!J'1 I , I [!Jr, I I , il~~
11 RIIIl1ilS·Wl:E1.OIII Al... I I D[!J 1 I 1 , II:!Ji, I I , D[!J 1 I I , il[iJ'l
12 II.II!I:A·ClSllli~ ....... 1 , illil, I I , D:!]" I I 1 I [!JII > , , D[!]~
13 il JYIW¡.SfSIAl......... I 1 Il[!J 1 I 1 , I [!J'1 I I 1 il[iJl' I I 1
TI[)~
14 ClIIIAGEIIA·H6ICUlES......
'Cl!:i' 'II" I'~~I~I 1 1 illil'l
I APUESTAS l.' l' l' l' ¡¡: L...l:.. ¡. l'
Al rellenar un.a qui~iela utilizamos nuestra creencia personal para decidir
qué eq Uipos tienen mayor probabilidad de resultar ganadores.
Figura 1.7
sica requiere cierta destreza con las fracciones, mientras que la subjetiva pue-
de depender sólamente de comparaciones de verosimilitudes percibidas.
Una forma de estimar las probabilidades de un suceso, especialmente en
el terreno de las apuestas, es dar la relación de posibilidades a favor y en
contra de ese suceso. Así, cuando decimos que las posibilidades de que el
equipo A resulte ganador en un partido son 3 frente a 2, realmente estamos
indicando el cociente:
!1(A)=P(~) = .3..
P(A) 2'
!1(A) recibe el nombre de cociente de posibilidades a favor y en contra,
y está en correspondencia con la probabilidad del suceso, ya que
P(A) = 1 -P(A ), por lo que en el ejemplo se deduce fácilmente que
P(A) = 3/ 5.
1.3.6. Probabilidad formal
Hawkins y Kapadia (1984) hablan de probabilidad formal cuando ésta
se calcula con precisión usando las leyes matemáticas de la teoría axiomá-
tica correspondiente. Se conoce también como probabilidad objetiva o nor-
mativa. La base matemática puede reflejar hipótesis hechas en las concep-
ciones clásica, frecuencial o subjetiva.
La teoría matemática de la probabilidad, tal y como hoy se conoce, es
de un origen comparativamente reciente. Fue Kolmogorov quien la axio-
matizó en su trabajo fundamental publicado en 1933 y traducido posterior-
mente al inglés con el título Foundalions ollhe Iheory 01 probabilily. Se-
gún este autor, los sucesos se representan por conj untos y la probabilidad
es una medida normada definida sobre estos conjuntos. Este desarrollo , ba-
sado en la teoría de la medida, no sólo proporcionó un fundamento lógico
consistente para el Cálculo de Probabilidades, sino que también la conectó
con la corriente principal de la matemática moderna.
La teoría axiomática de Kolmogorov surgió como consecuencia de las
restricciones que el concepto clásico laplaciano imponía sobre la equipro-
babilidad de los sucesos y la finitud del espacio muestral correspondiente.
Una primera extensión de la definición de Laplace fue usada para calcular
las probabilidades de sucesos con resultados infinitos. La noción de igual
verosimilitud de ciertos sucesos desempeñó un papel clave en esta exten-
sión. Según este desarrollo si E es alguna región con una medida conocida
(longitud, área, volumen) la probabilidad de que un punto elegido al azar
pertenezca a un subconjunto A de E es el cociente entre la medida de A y
la med ida de E.
27

L~s dificultades conceptuales y de índole matemática que ésta aproxi-
maClOn a l~ probabl!¡dad ~omporta, desaconseja su tratamiento en el perío-
do de ensenanza obhgatona, de modo que cuando se habla de probabilidad
en EGB, SIn duda no se habla de probabilidad bajo un punto de vista fo r-
mal-axiomático.
1.3.7. Conclusiones
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una
moneda no corte a ninguna de las lineas de
la cuadrícula?
El concepto de probabilidad como medida
permite resolver problemas de probabilida-
des geométricas.
Figura 1.8
Cuando comparamos ios diferentes enfoques expuestos, vemos que cada
uno puede ser aplicado con ventaja en alguna circunstancia. Como afirma
Hadley (1979), las interpretaciones frecuencial y subjetiva se pueden consi-
derar como los casos lín:ites de un continuo. La teoría frecuencial puede apli-
carse cuando los experunentos pueden repetirse indefinidamente mientras
que ~a su~j~tiva se pu~e ap]jcar a un único suceso irrepetible. H;y circuns-
tanCIas (flslc~. oper~clOnes de las compañías de seguros, juegos de azar....)
donde es pOSible registrar un gran número de experimentos. En estos casos
(as frecuen~i.as relativas serán muy estables y pueden utitizarse para estimar
las probablhdades. Pero la mayoría de los casos reales en los que interesa
aplicar las n~clOnes probabilísticas quedan entre los dos casos extremos. En
g~neral. se dIspondrá de alguna información frecuencial pero no será sufi-
ciente. p,or.10 que será preciso una cierta dosis de juicio personal. Además.
en la practIca ~uele da~se, e.l caso de que la información de frecuencias pro-
cedente de registros hlstorICOS no pueden considerarse exactamente como
repeticiones de. un mis~o experimento aleatorio, sino pruebas de experi-
mentos aleatonos pareCIdos, pero no equivalentes. En consecuencia será
pre~iso aplicar juicios personales coherentes basados en la informació~ dis-
pOnIble.
28
Estas imprecisiones inevitables en la asignación de las probabilidades ini-
ciales, no tiene, sin embargo, graves consecuencias para el Cálculo de Pro-
babilidades; se trata de una característica del mundo real que también se da
en otros modelos científicos, que no implica un fallo en la teoría. «(La cues-
tión básica es si la teoría sirve a pesar de sus limitaciones; la respuesta es
que ha probado ser de gran utilidad» (Hadley, 1979).
Se observará que la filosofía de la probabilidad es sumamente contro-
vertida. ¿Es posible, a pesar de ello, un tratamiento escolar de estos temas?
La respuesta, teniendo en cuenta las argumentaciones expuestas en la Sec-
ción l. consideramos que debe ser positiva. pero siempre que no se trate de
transmitir teorías matemáticas ni filosóficas. Los objetivos deben orientarse
hacia el desarrollo de los aspectos intuitivos de las distintas aproximaciones
mediante situaciones de aprendizaje apropiadas. Como afirman Steimbring
y van Hartcn (1982), la formación estocástica (síntesis de la probabilidad y
la estadística), en la escuela debe vincular: lo estocástico como la lógica de
la incertidumbre, la matemática de los fenómenos de masas, la teoría de la
decisión y la Estadística como tecnología de la transformación de los datos
en información significativa.
1.4. LOS JUEGOS DE AZAR Y EL CALCULO DE
PROBABILIDADES: UNA APROXIMACION
HISTORICA
Según David (1978), la matemática es esenciaimente una expresión del
pensamiento que construimos sobre el esfuerzo mental de nuestros antepa-
sados, y la probabilidad no es una excepción a esta regla. La dificultad real
que encontramos al intentar descubrir los orígenes de la probabilidad es que
comienza principalmente como una ciencia empírica y es difícil decir cuán-
do se produce el cambio desde el empirismo al formalismo matemático, ya
que parece haber tenido lugar hace cientos de afíos.
Con rrecuencia, se considera a Pascal y Fermat como los iniciadores del
Cálculo de Probabilidades. Pascal se interesó por este tema a propósito
de cuestiones relativas a los juegos de azar que le proponía el caballero de
Meré. Esto sugiere pensar que el origen del Cálculo de Probabilidades
se encuentra estrechamente ligado a los juegos de azar; una indagación so-
bre los precusores de esta teoría debe profundizar, por tanto, en cuándo el
hombre comenzó a practicar estos juegos.
1.4.1. Origen de los juegos de azar
En algunos países como España, Francia y Grecia se observa aún la cos-
tumbre de los niños de practicar juegos de azar usando el bueso denomina-
29

do astrágalo. Este hecho es muy curioso si se tiene en cuenta que existen
datos fidedignos (pinturas, terracotas, escritos) de que este hueso era usado
por varias civilizaciones antiguas (Egipto, Grecia, Roma) en juegos simila-
res. Incluso se ha hallado en excavaciones arqueológicas de hace 40.000
años una proporción de astrágalos de hasta cinco veces superior a la de
otros huesos, lo que da pie a pensar que desde esa fecha el hombre practi-
caba juegos de azar.
En Grecia y Roma éstos se practicaban con verdadero celo y pasión. Ho-
mero (900 a.C.) cuenta que cuando Patroclo era pequeño, se enfadó tanto
con un oponente jugando con el astrágalo que casi le mató. En Roma al-
canzaron tal popularidad que fue necesario promulgar leyes para prohibir-
los en ciertas estaciones. En la Vida de Claudio de Suetonio se nos cuenta
que este emperador romano eran tan aficionado a los dados que escribió
un libro sobre ellos, y que acostumbraba a jugar mientras viajaba.
El dado cúbico más antiguo que se conoce fue encontrado en el norte
de ¡raq, construido en cerámica, y está fechado al comienzo del tercer mi-
lenio antes de Cristo. En el antiguo Egipto también se han encontrado da-
dos con números colocados en diversas posiciones. Por el contrario, el uso
de las cartas data de una época notablemente más reciente: al comienzo del
siglo xv .
Durante la Edad Media, la fuerte costumbre de practicar juegos con da-
dos y astrágalos se pone de manifiesto por la insistencia, tanto de los obis-
pos como de los propios reyes, en prohibirlos o controlarios. El motivo no
estaba en el juego mismo, sino en evitar los vicios que con frecuencia lo
acompañaban, así como por las connotaciones que tenían con algunas ce-
remonias religiosas paganas (oráculos, pitonisas, etc.), en las que la adivi-
nación de acontecimientos futuros se realizaba según los resultados de un
experimento aleatorio.
Después de observar la generalidad con la que se realizaban juegos con
dados, podemos preguntarnos: ¿a qué se debe el lento resurgir del Cálculo
de Probabilidades? Aunque los instrumentos de los juegos de azar existían
desde varios miles de años, la teoría de la probabilidad, como una abstrac-
ción conceptual de las leyes del azar no surgió hasta el siglo XV I.
F.N. David sugiere entre las posibles causas de estas dificultades, por un
lado, las imperfecciones de los dados utilizados (las cuatro caras de los as-
trágalos sobre las que puede caer no son equiprobables, por tener un peso
diferente), y por otro, el uso que se hacía de ellos en ceremonias religiosas
para que la divinidad mostrara su voluntad. Cualquier intento de prever el
resultado del lanzamiento podía. ser interpretado como una pretensión de
adivinar la acción de la deidad correspondiente, y este acto de impiedad po-
dría tener mala suerte.
Kendall (1978), descarta estas dos causas y pasa a analizar las siguien-
tes: la ausencia de un álgebra combinatoria; la ausencia de una noción de
30
suceso aleatorio y la existencia de barreras morales o religiosas para el de-
sarrollo de la idea de aleatoriedad y azar.
El cálculo combinatorio no parece haber sido cultivado por los antiguos.
El interés por él se despierta en los siglos XV I y XV II. Leibnitz publicó el tra-
tado De orle combinatoria en 1660 y Wallis De combinalioribus Alterna-
tioribus el Partibus AliqUOlis Traclatus en 1685. Sin duda, las ideas esen-
ciales pueden buscarse antes de estas fechas, aunque no se conocen datos
al respecto.
Kendall piensa, no obstante, que la ausencia de tal álgebra no puede ser
una causa de la lenta emergencia de la doctrina del azar. Cardano se ma-
nejó bastante bien sin ella y Galileo enumeró las 216 maneras distintas de
caer tres dados perfectos basándose sólo en método~ aritmét!c?s. Por ~llo,
se inclina a buscar una explicación al retraso en actitudes baslcas haCia el
mundo fenomenológico , así como en barreras de tipo religioso y mor~l.
Este autor atribuye un peso importante a la influencia del pensamiento
de los primeros Padres de la Iglesia de que Dios está presente en todas par-
tes. «Algunas causas se conocen, otras no, pero nada sucede sin causa.».En
este sentido, nada sería aleatorio, no había ningún azar. Este punto de VIsta
prevaleció durante la época medieval. Es bastante probable que antes del
Renacimiento la impresión de que todo suceso, aunque fuera tnvlal, ocurre
bajo la Povidencia Divina puede haber sido un obstáculo severo para el de-
sarrollo de un Cálculo de Probabilidades.
Parece haber costado a la humanidad varios cientos de años acostum-
brarse a un mundo en el que algunos sucesoS no tienen causa, O al menos,
donde grandes clases de sucesos están determinados por una causalidad tan
remota que pueden representarse de un modo más preciso por un modelo
no causal.
Cualquiera que sea la razón, es innegable que. e~ ?csarrollo de la d,octri-
na del azar necesitó una larga gestación. Una vez IniCiada, se desarrollo muy
rápidamente; sólo existen 100 años entre el Ars Conjectandi de Bernouilli
yel Traité de Laplace. Pero los resultados de este siglo de descubnmlentos
requirieron varios miles de años de germinación. Exp~ndremos, a c~nlmua
ción, el resto de este desarrollo según las etapas sugendas por Gama Alva-
rez (1971).
1.4.2. Los precursores del Cálculo de Probabilidades
Con la invención de la imprenta (1450) y su rápido desarrollo durante
la segunda mitad del siglo xv, las referencias a los juegos de azar se ha,cen
más numerosas, aunque no así las correspondientes al cálculo probablhstl-
ca. Tal ocurre, por ejemplo, en Rabelais (Gargantúa y Pantagrue/,
1532-1552); Leonicus (nacido en Venecia, en 1456), y el astrónomo Calcag-
nini (nacido en Ferrara, en 1479).
31

Según los datos disponibles, fue Oerolano Cardano (nacido en Pavía, en
1501), quien dio el primer paso. Cardano era médico, filósofo, ingeniero,
matemático puro y aplicado. A pesar de su conducta excéntrica hizo con-
tribuciones como matemático. Siendo un gran jugador, escribió el libro ti-
tulado Liber de Ludo Alea (Libro de los juegos de azar) en 1526. En la sec-
ción titulada «Sobre la previsión de un dadQ), expone un razonamiento ba-
sado en la equiprobabilidad de las distintas caras (en el caso de estar bien
construido) para calcular probabilidades de sucesos. Podemos afirmar que
Cardano fue el primero que escribió un argumento teórico para calcular pro-
babilidades, por lo que debe ser considerado como el iniciador de esta teoría.
Asimismo, los escritos de Oalileo (1564-1642), entre los que destaca Con-
siderazione cirea il giuco dei dadi, muestan que el cálculo de una probabi-
lidad a patir del concepto matemático de equiprobabilidad de las caras de
un dado era ya bien conocido por los matemáticos italianos del siglo XVI.
A pesar de los precursores que acabamos de mencionar, muchos autores
atribuyen este origen a la correspondencia entre Pascal y Fermat (1654) so-
bre la solución de los problemas sobre juegos de azar planteados por el ca-
ballero de Meré. Ellos sistematizan las principales propiedades de los nú-
meros combinatorios.
El desarrollo de la teoría, una vez explorados los orígenes, recibió un
gran impulso con la publicación en 1657 de la obra del físico , geómetra y
astrónomo holandés Christian Huygens, Tractatus de Ratiocinius in Aleae
Ludo, quien entró en contacto en 1655 con las ideas de Pascal y Fermat por
intermedio de Roberval, profesor de matemáticas en el Collége Royal de
Francia. En su tratado, Huygens plantea de una manera sistemática lo que
había aprendido en París y añade algunos resultados obtenidos por sí mis-
mo. A él se debe el concepto de esperanza matemática, de gran trascenden-
cia en el Cálculo de Probabilidades y en la Estadística. Posiblemente, por la
cristalización que logra de las ideas de los matemáticos franceses, Huygens
se ha ganado el derecho de ser considerado el padre de la Teoría de la Pro-
babilidad.
Apenas echados los cimientos de la teoría, comenzaron sus aplicaciones
a la construcción de tablas de mortalidad, rentas vitalicias, etc. A finales del
siglo XVII es cuando surgen las compañías de seguros, Detrás de los pro-
blemas de juegos se perfilan nuevos objetivos, basados en las posibilidades
que las nuevas ideas ofrecen, de cara a prever el futuro a partir del pasado
y del presente. Se comienza la recopilación sistemática de datos de distinta
índole: nacimientos, defunciones, enfermedades (teniendo en cuenta la edad,
el sexo, etc.) con la fina lidad de esclarecer el futuro y actuar en consecuencia.
32
1.4.3. Formación de una teoría de la probabilidad
Una etapa de notable desarrollo se inicia hacia mediados del siglo XV II.
Entre los autores de ella comenzaremos citando a Leibniz, quien en 1666
publica su De Arte Combinatoria, y establece de manera sistemática la teo-
ría combinatoria sobre una base cienlifica. Jacques Bernouilli (1713) escribe
Ars conjectandi, obra póstuma publicada por Nicolas Bernouilli,que contiene
la primera formulación de la ley de los grandes números (teorema de Ber-
nouilli). J. Bernouilli y Leibniz ven en la probabilidad la posibilidad de una
nueva lógica que iría más allá de los argumentos necesarios y permitiría re-
lativizar la importancia de la contradicción, ponderando las proposiciones.
Poco después, el conde de Buffon (O. L. Leclerc) publica su Essai
d'arithmetique morale (1733) y da el primer ejemplo de probabilidades
geométricas (el famoso problema de la aguja de Buffon), así como un
primer estudio sobre los juegos de lotería públicos.
Problema de la aguja de Buffon
¿Cuál es la probabilidad de que la agu-
ja corte a una de las ranuras del enta-
rimado?
La solución de este problema, 1/ Tr, per-
mite determinar experimentalmente el
valor de Tr.
Figura 1.9
Otro avance en el desarrollo del Cálculo de Probabilidades corresponde
a De Moivre, a quien se debe el teorema de la probabilidad compuesta; tam-
bién ded ujo la aproximación de la distribución binomial por la curva nor-
mal, por la que se le considera autor de la idea de esta importante distribu-
ción. En 171 8 publicó su obra Doctrine 01 chances, de contenido parecido
al Ars conjeclandi, que incluye problemas sobre juegos, seguros y otras apli-
caciones de la probabilidad a las cuestiones sociales.
En esta época destaca, asimismo, el reverendo Thomas Bayes, quien de-
sarrolló de forma completa la IV parte del Ars conectandi que Jacques Ber-
nouilli había dejado sin terminar y obtuvo la fórmula de la probabilidad in-
versa (conocida como Teorema de Bayes y publicada en 1763) sobre cuyas
premisas aún hoy continúan las discusiones de orden lógico y filosófico.
Laplace nació en 1849. En el transcurso de su larga carrera publicó un
gran número de memorias sobre la teoría de las probabilidades. En 18 12 reu-
nió estos trabajos en una obra monumental, tanto por su importancia como
33

por su volumen (más de 800 páginas), titulada Teoría analítica de las pro-
babilidades, en la que, partiendo de los métodos analíticos obtenidos en este
campo desde Pascal y Fermat, trata de los problemas del azar por los mé-
todos más difíciles. En esta obra se encuentra desarrollado el «método de
mínimos cuadrados}) que, aunque en forma empírica, habían iniciado Le-
gendre y Gauss al estudiar los problemas de las puebas repetidas. Laplace
publicó la demostración exacta del principio que luego ha sido la base de
la teoría de errores. Gauss y Legendre ampliaron también los campos de apli-
cación de la probabilidad a las rentas, seguros, tablas de mortalidad, super-
vivencia, etc.
1.4.4. Primeros pasos de sistematización
Los progresos realizados por Laplace y sus colaboradores inmediatos
(Legendre y Gauss) eran tan eonsiderables, que después de ellos lo que que-
daba por realizar era sobre todo una labor de crítica y de perfeccionamien-
to, de precisión y de ordenación. Esta labor se realizó a lo largo del siglo
XtX, en el cual también se introdujo el Cálculo de Probabilidades en la fí-
sica, con el nacimiento de la mecánica estadística, gracias sobre todo al tra-
bajo de Boltzman. En el desarrollo de la teoría durante este siglo destaean
los siguientes autores:
• Simeón-Denis Poisson, matemático francés entre cuyas obras destaca
la titülada Recherches- sür la probabi/ité de jugemenls en matiere aiminel/e
et en maliere civil/e, precedées des regles générales du Calcul des Probabi-
lités, publieada en 1837, donde demuestra la aproximación de la distribu-
eión binomial por la de Poisson y generaliza la ley de los grandes números.
• En las investigaciones tanto teóricas como prácticas se encuentra a
Adolfo Quetelet, astrónomo belga a quien se considera como el fundador
de la Estadística moderna, siendo el primero que basó sus investigaciones
numéricas en el Cálculo de Probabilidades.
• Augusto de Margan, inglés, que publicó en 1838 An essay on proba-
bilities and on their applications to life conlingences and insurance offices.
• Antonio-Augusto Cournot, quien formuló una nueva definición de
probabilidad basada en la estabilidad de las frecuencias relativas en su obra
Exposition de la Iheorie des chances el des probabílités, editada en 1843.
• Otros autores que tratan el aspeeto filosófico y lógico de las· probabi-
lidades y buscan demostraciones más sencillas de muchos teoremas son: Ber-
trand, Boole, Ellis, Venn, Edgewworth, Peirce. Tchebycheff, conocido por
la desigualdad que lleva su nombre, es el inieiador de la escuela rusa: ideó
el «método de los momentos» para demostrar el teorema fundamental del
límite; su trabajo fue continuado por sus discípulos Markov y Liapunov, en-
tre otros.
34
• En el final del siglo destacaremos a Poincaré, que trabajó en casi to-
das las ramas de la matemática, publicando su Calcul des probabililés, don-
de aborda también la solución de problemas de probabilidades geométricas.
1.4,5. El Cálculo de Probabilidades y la Estadística como
ramas de la Matemática
En el primer tercio del siglo xx se configuran varias escuelas que tratan
de superar el estancamiento inicial, desde el punto de vista de los métodos
matemáticos, de la Estadística y de la Probabilidad. La definición axiomá-
tiea de la probabilidad - que permite una independencia relativa al trabajo
del matemático, que puede llevar a cabo sus deducciones prescindiendo de
cuestiones de tipo filosófico- así como el uso de la teoría de conjuntos, ha
permitido incorporar estos estudios dentro de las corrientes de la mate-
mática moderna.
En esta labor de formulación rigurosa y desarrollo destacan los siguien-
tes autores:
Karl Pearson, creador de la revista Biomélrica en 1900. Su contribución
es muy importante tanto desde el punto de vista teórico como de las aplica-
eiones. El número de sus trabajos (libros, artículos, memorias) supera los 125.
George Undy Yule, profesor de Estadística de la Universidad de Cam-
bridge, entre cuyas obras destaca Introducliol1 lo Ihe I/¡eory o( Slalistics,
que fue revisada posteriormente por KendalL
Ronald A. Fisher, profesor de genétiea en Cambridge, que junto con Stu-
dent iniciaron el tratamiento de los problemas de inferencia estadística.
John Maynard Keynes, economista inglés, que escribió Treatise on pro-
babililY, en el que realiza una crítica a la teoría clásica de la probabilidad
en el sentido de Laplace y hace una nueva formulación de tipo lógico.
La interpretación de la probabilidad como «frecuencias relativas a largo
plazO)}, aunque ha habido precedentes, es debida al matemático austriaco
Richard van Mises, que puede considerarse como el padre de la teoría mo-
derna de la probabilidad, siendo su obra más destacada Probabilidad, es-
tadística y Verdad, publicada en 1928.
El paso definitivo, en este proceso de incorporación del Cálculo de Pro-
babilidades a la matemátiea moderna es dado eri 1933 por el matemático
ruso Kolmogorov. Profundizando en las ideas de von Mises, establece una
axiomátiea tomando como base la teoría de la medida desarrollada por Bo-
rel y Radon. Este proceso de formalizaeión ha sido guiado por la necesidad
de evitar ambigüedades en el desarrollo de la teoría que pudieran hacer ins-
consistentes las múltiples aplicaciones de la misma.
A partir de estos trabajos el desarrollo del Cálculo de Probabilidades y, li-
gada a éste, la Estadística ha continuado de una forma que podemos califí-
35

car de «exponenciah}. Cada descub rimiento da origen a nuevas aplicaciones
y de éstas a su vez se generan resultados teóricos. En la actualidad, la Es-
tadística y la Probabilidad están fuertemente asentadas como dos de las ra-
mas más fecundas de la Matemática. No s6lo existen departamentos uni-
versitarios de estas especialidades en las principales universidades de todo
el mundo dedicados a la enseñanza e investigación. así como numerosas so-
ciedades científicas nacionales e internacionales y revistas específlcas de es-
tas materias, sino que el campo de aplicación se ha ampliado notablemente:
física) astronomía, negocios, gobierno, sanidad, etc.
1.5. DESARROLLO PSICOLOGICO DE LA INTUICION
PROBABILISTICA EN EL NIÑO
1.5.1. Introducción
La enseñanza/aprendizaje de cualquier contenido matemático plantea
una serie de problemas, entre los cuales presentan una relevancia especial
los de índole psicológica: ¿cuál es la mejor edad para comenzar la enseñan-
za de una noción particular?, ¿qué situaciones o fe nómenos favorecen el
aprendizaje?, ¿en qué orden deberían enseñarse los distintos conceptos?,
¿cuál debe ser la proporción entre elementos concretos y abstractos, entre
una presentación intuitiva y otra axiomático-deductiva? El conocimiento de
las respuestas que hasta el momento se han dado a estas cuestiones es esen-
cial para las Didácticas Especiales.
Reconociendo que en el caso de las nociones probabilísticas existe con-
troversia entre los distintos resultados aportados, es posible, sin embargo,
ded ucir orientaciones claras para la práctica en la escuela. En este capítulo
trataremos de resumir dicbas orientaciones.
Los textos más significativos sobre el desarrollo de la cognición proba-
bilística son los clásicos de Piaget e [nhelder (1951) y Fischbein (1975). El
primero se centra en las observaciones obtenidas dentro de la perspecti-
va del modelo de desarrollo conceptual de Piagel. El último es más amplio
en su cobertura, revisando no sólo los trabajos de Piaget, sino también los
de otras muchas investigaciones. Contrariamente a la preocupación del pri-
mero por la probabilidad en el sentido clásico-laplaciano, que sería el re-
sultado final de la instrucción sobre el tema, el trabajo de Fischbein permite
una exploración de los fund amentos intuitivos y precursores del conocimien-
to probabilístico, buscando la existencia de conceptos de probabilidad par-
cialmente formados. Mientras que Piaget tiende a definir el nivel de des-
arrollo en que se encuentra el niño, proporcionando razones para el retraso en
la acción del profesor, algunos de los trabajos citados por Fischbein se preo-
cupan de analizar el efecto de la instrucción en el proceso de aprendizaje.
36
Fischbein concede, además, una gran importancia a la intuición como
parte integrante de la conducta inteligente. Consídera que la introducción
en el currículo escolar de una nueva materia debe ir precedida de una de-
tallada investigación acerca del substrato intuitivo que poseen los alumnos
al respecto, de la misma forma que es preciso analizar el terreno sobre el
que se va a construir un nuevo edificio. El estudio de las intuiciones puede
hacerse d~. una manera apropiada en el campo de la probabilidad, ya que
la compleJIdad de las situaciones cotidianas nos induce a adoptar continua-
mente un comportamiento probabilístico. La necesidad de tomar decisiones
nos obliga a hacer estimaciones intuitivas de posibilidades (en la mayoría
de las v~ces de tipo subjetivo). El niño se enfrenta desde muy pequeño con
una realidad regIda, en muchos casos, por las leyes del azar.
Las intuiciones son, según Fischbein, adquisiciones cognitivas que inter-
vienen directamente en las acciones prácticas o mentales, en virtud de sus
carac~e.rísticas de inmediatez, globalidad, capacidad extrapolatoria, estruc-
turab¡(¡dad y autoevidencia. La inmediatez de una intuición, sin embargo
no implica improvisación, sino que es el resultado de la maduración de mu~
cha~ ~xperiencias a~teriores. Esto le lleva a proponer la enseñanza de la pro-
bablhdad desde el nIvel de las operaciones concretas, o como muy tarde du-
rante el período de organización de las operaciones formales (11-12 años).
Establece varias clasificaciones de las intuiciones, distinguiendo, en pri-
mer lugar, entre intuiciones primarias y secundarias.
Las intuiciones primarias son adquisiciones cognitivas que se derivan di-
rectamente de la experiencia, sin necesidad de ninguna instrucción sistemá-
tica. Ejemplo de ellas son las intuiciones espaciales elementales, como el cál-
culo de distancia y localización de objetos, o la apreciación de que al lanzar
un dado todas las caras tienen la misma probabilidad de salir.
Por el contrario, las intuiciones secundarias consisten en adquisiciones
que tienen todas las características de las intuiciones, pero que son forma-
das por la edu.caci~n científica, principalmente en la escuela. Como ejem-
plo puede servir la Idea de que un móvil conserva su estado de movimiento
o de reposo mientras no intervenga una fuerza exterior.
En el campo de la probabilidad, una intuición secundaria, aunque mal
concebida, podría ser la llamada "falacia del jugadOr», por la cual, después
de lanzar una moneda tres veces y haber obtenido tres caras, el sujeto tien-
de a predecir que la próxima vez es más probable que salga cruz. Esto se
debe a una mala interpretación de la ley de los grandes números. Una in-
tuición secundaria no se reduce a una simple fórmula aceptada o utilizada
automáticamente; lo más interesante es que la adquisición se transforma en
convicción, en creencia, en un sentimiento de evidencia. Pero para convertir
un,a .infor.mación en una intuición no es suficiente una simple explicación
t~or~ca, SIllQ que el alumno ha de utilizarla en sus propias acciones y pre-
dICCIOnes a lo largo de gran parte de su desarrollo intelectual.
37

Desde otro punto de vista, Fischbein distingue entre intuiciones afirma-
torias y anticipatorias. Llama intuición afirmatoria a la que da concreción
al conocimiento del mundo externo que aceptamos como evidente; mien-
tras que las intuiciones anticipatorias son construcciones mentales que glo-
balmente anticipan la solución a un problema antes de que se hayan encon-
trado los pasos detallados de la misma.
Siguiendo a Fischbein, resumimos a continuación los principales resul-
tados hallados en la bibliografía acerca de la génesis de la idea de azar y
probabilidad desde la infancia a la adolescencia. Para cada estudio se ana-
lizan las siguientes facetas:
• la intuición del azar;
• la intuición de la frecuencia relativa;
• la estimación de probabilidades;
• operaciones combinatorias, y
• el efecto de la instrucción sobre cada una de estas facetas.
1.5.2. El niño de preescolar
- La intuición del azar
Piaget e Inhelder concluyen de sus experimentos que no hay una intui-
c.iórl del azar irmata en el niño, como no existía tampoco en el hombre pri-
mitivo, que atribuía los sucesos aleatorios a causas ocultas o a la «voluntad
de los dioses». En consecuencia, dirigen sus investigaciones a determinar
cómo se desarrolla esta intuición en la mente del niño. P ara Piaget la com-
prensión del azar presupone la apreciación del carácter irreversible de una
mezcla, y, por tanto, la posesión de un esquema combinatorio. Un experi-
mento piagetiano clásico es el de la bandeja (Fig. 1. 10). En los dos com-
partimentos de ésta se colocan ocho bolas blancas y ocho rojas. Al bascular
la bandeja se produce la mezcla progresiva de las dos clases de bolas. En la
primera etapa del desarrollo del concepto de azar (preoperacional), los ni-
ños afirman que las bolas vuelven nuevamente a su lugar original, O bien
que el conjunto completo de blan-
cas acabarán en el lugar ocupado
originalmente por las rojas, y vice-
versa. P iaget interpreta esta reac-
ción en el sentido de que el niño, an-
tes de los 7 años, no comprende la
naturaleza irreversible de la mezcla
aleatoria y esto le impide una apre-
ciación del azar.
38
Figura 1.10
Sin embargo, la opinión de P iaget es rechazada por Fischbein, para quien
la intuición primaria del azar, esto es, la distinción entre fenómeno aleato-
rio y determinista sin instrucción previa, está presente en la conducta diaria
de cada niño, incluso antes de la edad de 7 años. El azar es equivalente a
impredecibilidad y cuando el número de posibilidades, y consiguientemente
el número de combinaciones posibles, es pequeño, el niño de preescolar ra-
zona correctamente y, a veces, como se ha puesto de manifiesto en algunas
investigaciones, más correctamente que el niño que ha alcanzado la etapa
de las operaciones formales.
-La intuición de la frecuencia relativa
Diferentes investigadores han llevado a cabo experimentos de aprendi-
zaje probabilístico, en los cuales se trata de estudiar las predicciones de los
sujetos ante situaciones en que un suceso se repite con una determinada fre-
cuencia relativa. Un ejemplo de esta clase de experiencias consiste en pre-
sentar al alumno dos luces de color diferente (puede ser rojo y verde) que
se irán encendiendo intermitente y aleatoriamente con una determinada fre-
cuencia, por ejemplo, el 70 y el 30 por ciento, respectivamente (Fig. 1.11).
El alumno debe predecir cuál de las dos luces se encenderá la próxima vez.
El término aprendizaje probabilístico se refiere a la tendencia del sujeto a
ajustar sus predicciones a las frecuencias reales de los sucesos; en otras pa-
labras, la probabilidad de una respuesta dada tiende a igualar a la proba-
bilidad del estímulo correspondiente.
~
V
Cuando se enciende el piloto A, el su-
jeto debe predecir cuál de las dos luces,
R o V, se encenderá la próxima vez, pul-
sando el interruptor correspondiente.
Figura 1.1l
Los resultados obtenidos en este tipo de experimentos apoyan fuerte-
mente la conclusión de que el niño de preescolar adapta sus predicciones a
las probabilidades de los sucesos que se le presentan como estímulo, aun-
39

que sus respuestas no llegan a coincidir totalmente con la frecuencia de los
mismos. El hecho de que esta conducta puede obtenerse sin que se estimule
al niño mediante una recompensa cuando acierta - por tanto, con el único
refuerzo de los resultados anteriores~ muestra que este fenómeno no es un
mero condicionamiento de tipo motor, sino una formación cognitiva men-
tal, esto es, un programa de acción relatlvamente automatizado y poliva-
lente que comparte las características de todos los procesos cognitivos.
• La estimación de posibilidades y la noción
de probabilidad
Distintos autores han afirmado que el niño de preescolar es incapaz de
estimar correctamente las posibilidades a favor y en contra de los sucesos
aleatorios, basándose en que el niño de esta edad no posee los recursos ne-
cesarios:
• la habilidad de distinguir entre el azar y lo deducible sobre la base de
procedimientos operacionales;
• el concepto de proporción o, en términos más generales, la compara-
ción por razón;
• los procedimientos combinatorios por medio de los cuales es posible
realizar un inventario de todos los resultados posibles en una situa-
ción dada.
Ninguno de eslos recursos específicos aparece hasta el nivel de las ope-
raciones formales (aunque pueden estar presentes en forma incipiente, es-
lrechamenle ligados a lo concrelo, durante el periodo de las operaciones con-
crelas).
Sin embargo, para Fischbein, estas carencias no impiden al niño hacer
juicios probabilísticos en el sentido de una estimación intuitiva de posibili-
dades a favor de algún suceso. Un experimenlo que pone de manifiesto esta
capacidad consiste en presentar a los alumnos cinco conjuntos de canales
por los que una bola puede rodar recorriendo distintas trayectorias
(Fig. 1.12). A los niños se les plantean pregunlas como:
• «Si lanzo una bola por cada canal, ¿en cuál de ellos es más probable
que salga la bola por el orificio 1?» ,
o bien,
40
• «Si lanzo la bola muchas veces seguidas, ¿crees que saldrá por uno
con más frecuencia que por otros?»
TI
v
111
~~
1 2 3
n
2 3 4 2 3
Figura 1.12
Otro experimento consiste en la elección, por parte del alumno, entre
dos urnas o cajas con diferente contenido, aqueHa que oírezca más posibi-
lidades de obtener una bola de un color determinado (Fig. 1.13).
CAJA A CAJA B
l.ca«l r l oe«1b-o
Debes sacar una bola de una de las cajas
con los ojos cerrados. Ganas si obtienes
una bola blanca. ¿De qué caja prefieres
hacer la eXlracci6n?
Figura 1.13
Si se realiza un adecuado control experimental (posición de los objetos
en el espacio, preferencia de color, etc.) y las operaciones auxiliares de com-
paración y cálculo requeridas son simples, el niño de preescolar es capaz de
hacer apuestas basadas en. una estimación probabilística.
• Operaciones combinatorias
Piagel e lnhelder han probado que el niño de preescolar sólo puede ha-
cer algunas combinaciones, permutaciones y variaciones de una man~ra em-
41

pírica, y no intentan encontrar un método de realizar un inventario exhaus-
tivo.
• El efecto de la instrucción
Usando un procedimiento de instrucción elemental, Fischbein y sus co-
laboradores han intentado mejorar las respuestas de los niños a cuestiones
que implican la comparación de posibilidades en situaciones donde las ra-
zones no tenían iguales términos (Fischbein et al. 1(70). Este intento no
tuvo éxito. Es posible que, a esta edad, los niños no p'uedan asimilar un es-
quema que implique una comparación doble.
1.5.3. El período de las operaciones concretas
• La intuición del azar
A través de la adquisición de esquemas operaciones espacio-temporales
y lógico-matemáticos, el niño adquiere la capacidad de distinguir entre el
azar y lo deducible, incluso al nivel conceptual. Es consciente de que, por
ejemplo, al lanzar 15 monedas es muy difícil obtener 1:5 cruces. Ciertamente,
este proceso no se completa durante este período, puesto que el pensamien-
to está todavía muy ligado al nivel concreto. N o obstante, la representación
del azar, que no es sino una intuición primaria en el niño de preescolar, se
convierte en una estructura conceptual distinta y organizada después de la
edad de los 7 años. El azar, en el sentido de lo no determinado, se com-
prende explícitamente como oposición a lo deducible.. El niño comienza a
comprender la interacción de cadenas causales que conducen a sucesos im-
predecibles, y la irreversibilid ad de los fenómenos aleatorios.
• La intuición de la frecuencia relativa
La mayoría de los investigadores han encontrado que la intuición de la
frecuencia relativa de sucesos, puesta de manifiesto a través de experimen-
tos de aprendizaje probabilístico, mejora con la edad. Si la intuición se ve
como el resultado cognitivamente fijado de experiencias acumuladas, pare-
ce razonable que la intuición de la frecuencia relativa se desarrolle de un
modo natural como resultado de las experiencias del niño con situaciones
que implican sucesos aleatorios, en los cuales las respuestas deben expresar
una estimación correcta de las frecuencias relativas de los fenómenos.
42
• La estimación de posibilidades y la noción de probabilidad
Si no han recibido una instrucción apropiada, los niños de 9-10 años pue-
den resolver problemas que impliquen comparación de probabilidades de
un mismo suceso A en dos experimentos diferentes sólo en situaciones don-
de bien el número de casos favorables o el número de casos no favorables
a A son iguales en ambos experimentos (sus estimaciones se basan en com-
paraciones binarias). Para este tipo de problema, el porcentaje de respues-
tas correctas es mayor en niños de 9-10 años que en niños de preescolar.
En situaciones que no pueden ser reducidas a comparaciones binarias, el
número de respuestas correctas no es significativamente distinto.
Para situaciones que implican igualdad de probabilidades, se han usado
dos tipos de paradigmas experimentales ya descritos anteriormente: extrac-
ción de bolas y bifurcaciones por canales. En problemas donde las posibi-
lidades son referidas a proporciones de elementos discretos (bolas en un
recipiente), las respuestas de los niños de 9-10 años no son mejores que
las que se obtendría por una respuesta al azar, y no son significativamente
mejores que las respuestas de lo niños de preescolar, excepto en el caso
citado. En problemas donde las posibilidades tienen que ser determinadas a
partir de una configuración geométrica (canales bifurcados por donde
unas bolas pueden circular de un modo aleatorio) el porcentaje de respues-
tas correctas decrece incluso con la edad.
• Las operaciones combinatorias
Durante el período de las operaciones concretas, los niños buscan mo-
dos de realizar inventarios de todas las permutaciones, variaciones y com-
binaciones posibles en un conjunto dado con un número pequeño de
elementos, y llegan a procedimientos rudimentarios de cálculo mediante
ensayo y error.
Los experimentos de Fischbein han demostrado que al final de este pe-
ríodo (JO-ll años) los niños pueden, con la ayuda de instrucción, asimilar
los procedimientos enumerativos usados en la construcción de diagramas
en árbol.
Con la instrucción, las respuestas de los niños de 9-10 años pueden me-
jorar significativamente en problemas que no pueden ser reducidos a com-
paraciones binarias. Este descubrimiento es importante, puesto que debe
arrojar dudas sobre la afirmación de Piaget e Inhelder de que el estableci-
miento de la proporcionalidad es una característica de las operaciones for-
43

males. Fischbein ha demostrado que, por medio del uso de procedimientos
figurativos, p'ueden ser construidos, al nivel de las operaciones concretas, es-
quemas consIderados por Piaget e Inhelder como accesibles sólo al nivel de
las o?era~iones formales. Al menos se ha demostrado que la ausencia de pro-
porclOnalldad no es un obstáculo para aprender el concepto de probabili-
dad. Incluso antes de la edad de 10 años, el niño es capaz de asimilar este
esquema con la ayuda de instrucción elemental.
1.5.4. El período de las operaciones formales
• La intuición del azar
Según Piaget e Inhelder, el adolescente agrupa las relaciones no deter-
minadas de fenómenos aleatorios según esquemas operacionales. Una vez
que se prese~ta u,n~ situacióTI_ ale~toria, por medio del uso de estos esque-
mas se hace llltehglble, y la sínteSIS entre el azar y lo operacional conduce
al adolescente al concepto de probabilidad.
Fischbein sostiene que las cosas son más complicadas que lo que sugiere
e~ta explicación. La síntesis entre el azar y lo deducible no se realiza espon-
tanea y completamente al nivel de las operaciones formales. En experimen-
tos donde se requiere al sujeto reconocer probabilidades iguales en diferen-
tes cond.iciones experimentales, es el adolescente quien evita lo impredecible y
busca dependencias causales que reduzcan lo incierto, incluso en situacio-
nes donde no existen tales dependencias.
La estructura operacional del pensamiento formal por sí sola no puede
hacer inteligible. al azar, incluso aunque pueda proporcionar los esquemas
~ue son. nec~san.os para esto, o sea, capacidad combinatoria, proporciona-
lIdad e ¡mpllcac¡ón. La explicación para esta deficiencia es que las tradi-
cl~nes cultl~rales y. ed~cativas de la sociedad moderna orientan el pensa-
miento hacla exphcaclOnes deterministas unívocas, según las cuales los
sucesos aleatorios caen fuera de los límites de lo racional y científico. La
enseñanza en la escuela lleva implícita que la ambigüedad y la incertidum-
bre I~O son ~cept~?les en el razonamiento científico, y que toda explicación
conSIste en ldentlÍlcar una causa. El resultado es que la intuición del azar
se hace irreconciliable con la estructura del pensamiento lógico, y es relega-
da a una clase inferior, como un método inadecuado de interpretación que
no cumple los requisitos científicos.
• La intuición de la frecuencia relativa
Las investigaciones que se han realizado con diferentes niveles de edad
han demostrado que el adolescente ha hecho progresos en comparación a
44
los niños más pequeños en lo que se refiere a la intuición de la frecuencia
relativa, particularmente en casos donde las predicciones tienen algún resul-
tado práctico. La estrategia óptima ante decisiones en condiciones aleato-
rias muestra los efectos favorables del desarrollo de la inteligencia sobre las
predicciones en ciertas condiciones experimentales.
• La estimación de posibilidades y la noción de probabilidad
El logro de los adolescentes estimando posibilidades a favor y en contra
de un resultado es superior al de los niños pequeños. Cuando el material
experimental consiste en un recipiente con bolas, los niños de 12 años dan
respuestas correctas desde el principio, incluso en casos en que tienen que
comparar razones con términos desiguales. Tal descubrimiento es previsto
por la teoria de Piaget. Lo que Fischbein añade a esto es el hecho de que
incluso niños de 9-10 años pueden responder correctamente a tales situacio-
nes, si tienen la instrucción adecuada.
• Las operaciones combinatorias
Piaget e Inhelder afirman que, durante la etapa de las operaciones for-
males, el niño adquiere la capacidad de usar procedimientos sistemáticos
para realizar inventarios de todas .las permutaciones posibles, variaciones y
combinaciones de un conjunto dado de elementos.
La investigación de Fischbein ha demostrado, sin embargo, que esto es
sólo una potencialidad para la mayoría de los sujetos. Bajo su punto de vista,
sería más preciso afirmar que estos niños son capaces de asimilar procedi-
mientos combinatorios con la ayuda de la instrucción, y que esto es tam-
bién verdad para los niños de 10 años. Aunque hay diferencias en la reali-
zación entre estos dos niveles de edad , estas diferencias son bastante pe-
queñas.
Las lecciones experimentales realizadas por Fischbein y sus colaboradores
se hicieron con niños de J2-14 años. Dichas lecciones trataron los siguientes
conceptos y procedimientos: suceso, espacio muestral, suceso elemental y
compuesto, probabilidad como una medida del azar, frecuencia relativa,
y análisis combinatorio.
Los resultados de la instrucción revelaron un mayor interés y receptivi-
dad de los adolescentes en lo que se refiere a las ideas de probabilidad y
estadística. Estos sujetos son capaces de comprender y aplicar correctamen-
45

te los conceptos enseñados, que deben como mínimo implicar el comienzo
de una reestructuración de la base intuitiva. Para este autor, los modelos
generativos (por ejemplo, diagramas en árbol, en el caso de las operaciones
combinatorias) son los mejores dispositivos de enseñanza para la construc-
ción de intuiciones secundarias.
1.5.5. Implicaciones para la clase
La conclusión general del trabajo de Fischbein es que la educación cien-
tífica no puede reducirse a una interpretación unívoca y determinista de los
sucesos. La intuición probabilística no se desarrolla espontáneamente, ex-
cepto dentro de unos límites muy estrechos. La comprensión, interpretación
evaluación y predicción de fenómenos probabilísticos no pueden ser confia~
das a intuiciones primarias que han sido despreciadas, olvidadas, y aban-
donadas en un estado rudimentario de desarrollo bajo la presión de esque-
mas operaclOnales que no pueden articularse con ellas,
«Pero con el fin de que sean satisfechos los requisitos para una cultura
científica eficiente, es necesario entrenar, desde los primeros niveles, la base
intuitiva relevante aJ pensamiento probabilístico; de este modo se puede lo-
grar un balance genuino y constructivo entre lo posible y lo determinado
en el trabajo de la inteligencia.»
Como afirman Hawkins y Kapadia (1984), los puntos de vista de Fisch-
bein parecen entrar en conOicto con los puntos de vista de los piagetianos
que sostienen que por debajo de la etapa de las operaciones formales (no
lograda hasta después de entrada la adolescencia) los niños no pueden com-
prender la probabilidad y, por tanto, no pueden hacer juicios probabilísti-
cos. Literalmente interpretados, los puntos de vista de Piaget pueden tener
poca credibilidad puesto que, como hemos visto, hay considerable eviden-
cia de que los niños hacen uso de la inferencia probabilística. Esto, natu-
ralmente, no es puesto de manifiesto por las observaciones de Piaget, pero
puede ser debido a su énfasis sobre los conceptos probabilísticos formales
más que sobre la capacidad de procesar información probabilística de u~
modo significado y útil. Además, existe evidencia experimental de que lo
que los niños son capaces de hacer se puede cambiar mediante una adecua-
da instrucción.
1.6. SESGOS Y ESTRATEGIAS EN LA ESTIMACION
DE PROBABILIDADES
Distintos autores ~como Hope y Kelly (1983), Kahneman, Slovic y
Tversky (1982) y Shaughnessy (1981)~ han puesto de manifiesto la existcn-
46
cia de errores sistemáticos y conductas estereotipadas persistentes en la toma
de decisiones por parte de los individuos ante situaciones de tipo probabi-
lístico. Algunos de estos errores son de tipo psicológico, y una mera expo-
sición de las leyes teóricas de la probabilídad puede no ser suficiente para
superarlos. Incluso la existencia en el alumno de estos sesgos puede dIficul-
tar la asimilación de los conceptos formales.
Kahncman, Slovic y Tversky (J 982) han identificado dos tipos de estra-
tegias erróneas que denominan representatividad y disponibilidad. La per-
sistencia de estos errores proporciona una razón crucial para la temprana
introducción del pensamiento probabilístico en la matemática básica. Re-
sultados de encuestas Jlevadas a cabo muestran que la mayoría de los alum-
nos entran en la universidad con un conocimiento escaso o nulo de las
nociones probabilísticas y con sesgos en su intuición profundamente arraiga-
dos, Puesto que en los cursos universitarios la probabilid~d se introd~ce
usualmente según el modelo abstracto de Kolmogorov (conjuntos, espacIOs
muestrales, variables aleatorias), es bastante probable que este tipo de en-
señanza no ayude al alumno a superar estos errores, siendo precisa una me-
todología experimental y heurística para tener éxito en la superación de los
prejuicios probabiüsticos.
Analizamos, a continuación, los dos tipos de errores más característicos
siguiendo la descripción de Shaughnessy (1981).
1.6.1. Representatividad
Se dice que un sujeto sigue esta estrategia de estimación probabilística
cuando asigna la probabilidad a un suceso basándose en la semejanza del
mismo con la población de la cual se extrae o en el parecido de éste con el
proceso por medio del cual se generan los resultados.
• Ejemplo 1
La probabilidad de que nazca un varón es 1/ 2. ¿Cuál de los siguientes
sucesos es más probable que aparezca en una serie de seis nacimientos'?
a) VHHVHV
b) VVVVHV
e) Tienen la misma probabilidad de ocurrir
(Razona la respuesta)
Las personas que responden a) utilizan la estrategia que Kahneman y
Tversky denominan representatividad.
47

• Ejemplo 2
Suponiendo la misma hipótesis anterior, ¿cuál es la probabilidad de que
entre seis nacimientos tres sean hembras? Razona la respuesta.
Un porcentaje elevado de sujetos responden 1/ 2, considerando esta pro-
babilidad como una estimación «representativm>del número de hembras en
ensayos repetidos. Esta probabilidad, al seguir la distribución binomial sería:
(~) 20 I
-=~=-
2' 64 3
• Ejemplo 3
La probabilidad de que nazca un varón es 1/ 2. A lo largo de un año
completo, habrá más días en los cuales al menos el 60 por ciento de los na-
cimientos correspondan a varones:
a) en un hospital grande
b) en un hospital pequeño
e) no hay ninguna diferencia
El mayor porcentaje de respuestas corresponde a e). Los sujetos no son
conscientes de la mayor variabilidad de las muestras pequeñas.
La estrategia errónea de la «representatividad )~ surge de las siguientes ac-
titudes:
• Insensibilidad a las probabilidades a priori y no consideración de las
proporciones de los sucesos compuestos en la población.
• Desconocimiento de los efectos del tamaño de la muestra sobre la pre-
cisión de las estimaciones.
• Confianza, sin fundamento, en una predicción basada en informacio-
nes no válidas (supersticiones, etc.).
• Errores de azar, tales como la «falacia del jugadom, según la cual, en
pruebas repetidas independientes, la aparición de una racha a favor de
un resultado aumenta la probabilidad del contrario.
1.6.2. Disponibilidad
Consiste en la tendencia a hacer predicciones sobre la probabilidad de
un suceso, basándose en la mayor o menor facilidad con la cual es posible
recordar o construir ejemplos de ese suceso.
48
La disponibilidad origina un sesgo sistemático en las estimaciones pro-
babilísticas, porque la gente tiende a pensar que los resultados que pueden
recordarse fácilmente son más probables.
• Ejemplo 4
Considera los siguientes cuadros:
a)
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
b)
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
¿En cuál de los cuadros hay más fo rmas posibles para pasar de la pri-
mera fila a la última?
a) en a) b) en b) e) el mismo número
El mayor número de respuestas corresponde a a) debido a que parece
más fácil encontrar caminos en el cuadro a), cuando en realídad hay el mis-
mo número de caminos (83 = 29) .
• Ejemplo 5
Un individuo debe seleccionar comités a partir de un grupo de 10 per-
sonas (cada persona puede formar parte de más de un comité).
a) Hay más comités distintos form ados por 8 personas
b) Hay más comités distintos formados por 2 personas
e) Hay el mismo número de comités de 8 que de 2
La respuesta correcta es la e) pero los sujetos tienden a responder b) por-
que parece más difícil encontrar comités de 8.
] .6.3. Sesgos referidos al lenguaje
Otra dificultad en la estimación probabilística se debe a la imprecisión
del lenguaje ordinario. A una misma expresión, relativa a fenómenos que
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