Trabajo Final - Enseñanza del Álgebra y las Funciones - Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática.

1. Prof. Dipl. Lencioni, Gustavo Omar.
prof.lencionigustavo@outlook.com.ar
2015.

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Prof. Dipl. Lencioni, Gustavo Omar.
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Índice
¿Cuánto tiempo se emplea para llenar una botella? ................................... 3
La experiencia y el problema. ............................................................... 3
Contextualización de la experiencia. ..................................................... 4
El tiempo. ........................................................................................... 5
Conceptualizaciones previas para el abordaje y metodología. .................. 6
Anticipo de posibles soluciones. ........................................................... 7
Asuntos transversales en la enseñanza de la Matemática. ....................... 7
Bibliografía. ........................................................................................... 9

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¿Cuánto tiempo se emplea para llenar una botella?
Uno de los conceptos a desarrollar en los primeros años la Educación
Secundaria, es Funciones, uno de los conocimientos más importantes del Análisis
Matemático y fundamental para la comprensión de los temas sucesores, como así
también uno de los más complejos y, por lo tanto, de difícil interpretación y hasta en
muchas ocasiones interlocución.
En el proceso de enseñanza y aprendizaje, tradicionalmente se instruyen y
forman conocimientos sin atribuir ningún protagonismo a los procesos de
modelización de los sistemas (intramatemáticos o extramatemáticos) que los han
generado en su tiempo, y se zanja revelando sus usos o aplicaciones al final de los
temas, de forma independiente de las problemáticas que les dieron origen, sin
embargo, resulta ser más interesante ver cómo un gráfico y la función pueden surgir
de una situación real, es decir, “…la matemática no funciona „separando‟
problemas, técnicas, representaciones, demostraciones; todas estas „zonas‟
convergen, de diferentes maneras, en la tarea de modelización”1
.
Es importante saber que la interrelación de los contenidos matemáticos, con
otras áreas del saber, reconoce valorar conspicuo los conceptos y ser consecuente
con su aplicabilidad y, desde el punto de vista didáctico, ello da lugar a un proceso
de enseñanza y aprendizaje más integrador, racional y relacional.
La experiencia y el problema.
En el desarrollo de la experiencia de modelización, se les pedirá a los
alumnos que lleven a la clase de Matemática botellas de distintas formas. El
docente también llevará varias botellas, cuyos modelos le servirían para explicar el
nuevo concepto a abordar.
La actividad se puede desarrollar parte en el laboratorio o en el patio de la
escuela y otra parte en el aula y en grupos.
La tarea consiste en medir el tiempo que se tarda en el llenado de una
botella, usando para esto una canilla, un bidón o una jarra.
Es significativo aludir y tener en cuenta algunas cuestiones a las que los
alumnos arribarían mientras realizan las mediciones:
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Patricia Sadovsky 2005:31

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 ¿Los valores medidos no serán exactos porque serán diferentes las personas
que miden y llenan la botella?;
 ¿Surgieron errores debido a que el cronómetro no se detendría en el
momento exacto?;
 ¿Observarán que al llenar la botella, ya sea utilizando la canilla, el bidón o la
jarra, se obtenían distintos caudales de agua?
Todas estas conclusiones serán rescatadas en el momento de la puesta en
común y debate, con el propósito de analizarlas y someterlas a discusión del
conjunto de la clase.
En este contexto, la comprensión del hecho de que existe una conexión entre
el tiempo empleado y la altura que alcanza el agua en la botella llevará a la
formulación de un primer problema sobre el cual trabajar: “¿Cuánto tiempo se
emplea para llenar una botella?”. Para poder responder esta pregunta el docente
guiará en la proposición de que se identifiquen las variables, para que manen
discutas tales como caudal de agua, forma de la botella, que regularán el uso de
agua durante el llenado.
Esta experiencia está formulada en base a términos familiares, expresiones
numéricas o fórmulas, diagramas, gráficos o representaciones geométricas,
ecuaciones algebraicas, tablas y hasta asistentes TIC. Procederá de acercamientos
plasmados para poder entender mejor un fenómeno y retratará, aunque con una
visión simplificada, aspectos de la situación investigar.
Contextualización de la experiencia.
Habitualmente en las clases de Matemática se hace ahínco en la Resolución
de Problemas Matemáticos usuales en un ambiente independiente de contexto.
Incluso en alguna ocasión, cuando un problema de la vida real se debate en el aula,
suele ser un problema asazmente contrahecho creado con el propósito de introducir
un tema o de valerse algún contenido ya abordado. Estas prácticas hacen que sea
difícil convencer a los alumnos de que las aplicaciones del área a la vida real
realmente existen.
La experiencia de modelización que se programa en el aula está pensada
para el trabajo con alumnos de entre 14 y 15 años, es decir, las distintas etapas del
proceso de modelización se alcanzarán a través del trabajo con alumnos del 2do.

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año del Ciclo Básico de la Educación Secundaria, de un Instituto de Gestión
Privada.
Todos los registros que realice el alumnado en el momento de aplicación de
la experiencia, es decir, la construcción de tablas, gráficos, planteos, intervenciones
del docente, la posibilidad de utilizar recursos tic, quedarán asentados en sus
diferentes formas y medios (por ejemplo, en el llenado de botellas plantearán
gráficos acordes a la situación)
La Institución Escolar cuenta con importantes recursos edilicios, como
laboratorios ciencias y laboratorio de informática. El docente a cargo de los alumnos
y autor del presente trabajo, consumará sus primeras experiencias con
modelización en este curso.
La falta de interés por la matemática, la pasividad del alumnado ante su
aprendizaje, el cursado en formación permanente por parte del docente de la
Especialización en la Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria,
entre otras cuestiones, son algunas de las causas que motivan la búsqueda de otra
forma de abordar y encontrar un nuevo concepto matemático.
“En general, hay un acuerdo en que la Escuela Secundaria se conecte con el
mundo adolescente, pero es necesario tender puentes entre el mundo exterior y
estos jóvenes, en pos de la formación de un ciudadano más reflexivo, más crítico,
más pleno, más en armonía con el universo”2
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El tiempo.
La actividad está planificada para desarrollarse en tres clases semanales,
dos de 80 minutos cada una y una de 40 minutos, destinadas a la asignatura de
Matemática, en un curso de 2do. Año de 34 alumnos, durante la segunda parte del
período del tercer trimestre del ciclo lectivo, encuadrada en la Planificación de la
cátedra en el eje Conjunto Numérico y Funciones. El período de tiempo
seleccionado abarca los registros correspondientes a la experiencia, la puesta en
común y debate de parte de los alumnos, se contempla el tiempo con respecto a la
posibilidad de utilización de recursos TIC y disponibilidad de laboratorio informático,
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Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 5. La modelización matemática en el aula. Módulo:
Perspectivas para la Enseñanza de la Matemática. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de
la Matemática en la Escuela Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

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como así también, se tiene en cuenta el recupero de conceptos adquiridos y la
bastimento de correlación con los nuevos conceptos.
Conceptualizaciones previas para el abordaje y metodología.
Durante el Ciclo Básico de la Educación Secundaria, según los NAP (Núcleos
de Aprendizaje Prioritarios) para ese ciclo, “En relación con el Álgebra y las
Funciones”, la escuela ofrecerá situaciones de enseñanza que promuevan en los
alumnos y alumnas actividades abiertas y creativas, provocando la mayor cantidad
y variedad de respuestas escolares sobre las nociones de función y su
representación, tratando de encauzar los intereses de los alumnos hacia una mayor
riqueza y profundidad de las interpretaciones. A partir del análisis de determinadas
situaciones análogas de la vida cotidiana, se puede construir un modelo matemático
que describa estas situaciones en términos de relaciones matemáticas y que
permita hacer predicciones. El modelo no siempre describirá exactamente la
realidad, sino que lo hará de manera aproximada y deberá elegirse el más
satisfactorio.
Dado el nivel de abstracción necesario para la exploración de las
representaciones funcionales y su vínculo con los conceptos matemáticos, el tema
puede ser abordado inicialmente de manera informal. El trabajo con la relación de
proporcionalidad, su utilización para la construcción del concepto de función, la
interpretación y organización de la información, la lectura, análisis y la traducción
entre los distintos modos de representación, son considerados como saberes
previos indispensables en el desarrollo de esta experiencia.
La propuesta es una invitación al estudio de Funciones, a partir de la
modelización matemática como estrategia pedagógica. La primera parte de la
actividad se desarrollará en el laboratorio del Instituto, con una participación e
intervención activa de los alumnos que trabajarán en grupo de cuatro o cinco
integrantes. La segunda parte de la experiencia se llevará a cabo en el aula.
El docente participará en el rol de acompañar y guiar a todos los alumnos en
este proceso de enseñanza y aprendizaje, convirtiéndose éstos en los auténticos
intérpretes activos de la experiencia.

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Anticipo de posibles soluciones.
A partir de sus intervenciones en la experiencia y de la construcción,
observación y reflexión de las gráficas que pudieran plantear los alumnos, se podría
anticipar las siguientes posibles cuestiones:
 La curva es continua porque no hay un corte en la medición del tiempo de
llenado;
 Las variables tiempo y altura del agua en la botella cambian simultáneamente;
 A medida que transcurre el tiempo la imagen de estos puntos incumbe a
alturas cada vez mayores, ya que la cantidad de agua en la botella aumenta;
 Si se le agrega una cantidad fija de agua, los intervalos de tiempo
permanecen constantes;
 Si se añade a la botella una cantidad fija de agua antes de comenzar con el
llenado, entonces la gráfica ya no corresponde a proporcionalidad directa;
Asuntos transversales en la enseñanza de la Matemática.
A través de las funciones y puntualmente sobre este problema, se pretende
mostrar al alumno, que la Matemática no es solamente una materia importante en
su plan de estudios o para algunos de ellos que está des-contextualizada de su
realidad y que es algo imposible, sino que es una herramienta o asistente que le
posibilitará analizar y concebir mejor, muchas situaciones que se presentan en su
vida cotidiana, en su esparcimiento, en la lectura de un libro o de una publicidad, en
el estudio de otras materias.
Los asuntos transversales en la enseñanza de la Matemática que se estarían
trabajando a partir de la aplicación de la experiencia tienen que ver con la introito y
desarrollo de conceptos matemáticos, en este caso funciones, mediante escenarios
de la vida cotidiana o de otras ciencias; tienen que ver con expresar las funciones a
través de diferentes lenguajes tablas, fórmulas, enunciados comunes, gráficos, y
traducir dichas expresiones entre sí, utilizando diferentes registros de un mismo
concepto, y los cambios entre registros; tiene que ver con obtener información de la
lectura de esas diferentes formas de representación de las funciones y analizar
información, anticipando resultados; tiene que ver con ejercitar y ampliar los
conocimientos adquiridos, relacionando las funciones con las operaciones
numéricas, las ecuaciones, y la Geometría, utilizando el tema funciones como un
eje transversal a los demás contenidos matemáticos.

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Para aprender Matemática hay que hacer Matemática. El problema planteado
permitirá a los alumnos solucionar una situación o escenario en contexto real. En
este sentido, los alumnos se envuelven de manera directa en la búsqueda de la
solución del problema asumiendo un rol activo, el cual les emplazará tomar datos
reales del fenómeno, procesar dichos datos, cimentar un modelo matemático y
socializar los procedimientos y los resultados con sus pares.
En el trascurso de resolución del problema se integrarán disímiles
contenidos: los conceptos de variable independiente, dependiente y de función.
Además los alumnos pondrán en práctica varias competencias centrales del
pensamiento matemático, como la usanza de distintos registros de representación,
el elucidar gráficos, como así también, pronosticar y erigir un modelo matemático a
partir de un fenómeno real.
La actividad condescenderá la posibilidad el uso de las TIC como asistentes
para solucionar un problema en contexto real. El Geogebra, Graph o Winfun podrían
ser manipulados como herramientas de apoyo en la solución del problema,
posibilitando ampliar el dominio de recursos a disposición de los alumnos y
contribuyendo a que estos mismos pudieran hacer ajustes de curvas y realizar
tareas de tratamiento de distintas representaciones, tabulares, gráficas y
algebraicas.
Durante el proceso de modelización, cada uno de los grupos pondrán
especial énfasis en la organización e interpretación de la información, lo que les
permitirá adecuarse a las condiciones del problema e interpretar la información en
términos matemáticos, identificando constantes y variables relevantes, tanto en la
descripción de la situación planteada como en la solución, así como en la
correspondiente representación gráfica.
“Dos son los objetivos que ponemos en la mira a la hora de pensar este tipo
de trabajo. El alumno se ve enfrentado a situaciones que corresponden a diferentes
sectores de la Matemática. A su vez, va desarrollando capacidades más generales
a la hora de formular un modelo: comprensión de la situación, consideración de
variables, elección de la relación particular que se quiere estudiar, etc.”3
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Instituto Nacional de Formación Docente (2015:3). Clase 02. Las funciones como herramientas de
modelización. Enseñanza del Álgebra y las Funciones. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza
de la Matemática en la Escuela Secundaria. Buenos Aires. Ministerio de Educación de la Nación.

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Bibliografía.
 Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 01. Los gráficos
cartesianos nos acercan a las funciones. Enseñanza del Álgebra y las
Funciones. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la
Matemática en la Escuela Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de
la Nación.
 Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 02. Las funciones como
herramientas de modelización. Enseñanza del Álgebra y las Funciones.
Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la
Escuela Secundaria. Buenos Aires. Ministerio de Educación de la Nación.
 Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 03. Las expresiones
algebraicas como herramientas de modelización. Enseñanza del Álgebra y
las Funciones. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la
Matemática en la Escuela Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de
la Nación.
 Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 5. La modelización
matemática en el aula. Módulo: Perspectivas para la Enseñanza de la
Matemática. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la
Matemática en la Escuela Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de
la Nación.
 Consejo Federal de Educación CFE. (2011). Núcleos de Aprendizajes
Prioritarios. Ciclo Básico de Educación Secundaria 1°/2° y 2°/3° años.
Buenos Aires. Ministerio de Educación de la Nación.