Conceptos de electricidad aplicados a la generacion solar fotovoltaica

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MODULO ELECTRICIDAD BASICA EN GENERACION SOLAR FOTOVOLTAICA
AUTOR
ING ANTONIO FAVIO OSPINO MARTINEZ
FOXMANCOL@HOTMAIL.COM
CANAL YOUTUBE: ANTONIO OSPINO
PAG WEB: http://refrigeracionyclimatizaciondelasabana.mex.tl/intro.html

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TABLA DE CONTENIDO DEL MODULO
Contenido
1. HISTORIA ..................................................................................................................................... 4
2. PRINCIPIO DE FUNCIONAMENTO DEL EFECTO FOTOVOLTAICO APLICADO A SISTEMAS DE
GENERACION ELECTRICA CON LUZ SOLAR.......................................................................................... 5
3. PRINCIPIOS DE ELECTRICIDAD APLICADOS A SISTEMAS DE GENERACION SOLAR
FOTOVOLTAICA ................................................................................................................................... 7
3.1. CARGA ELECTRICA ( Q ) ............................................................................................................ 7
3.2. CORRIENTE ELECTRICA ( I )........................................................................................................... 9
3.2.1. CIRCUITO DE CORRIENTE DIRECTA ( DC )............................................................................ 10
3.2.2. CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA ( AC )........................................................................... 11
3.2.3. CORRIENTE CONSTANTE ..................................................................................................... 12
3.2.4. CORRIENTE CONTINUA........................................................................................................ 13
3.3. VOLTAJE...................................................................................................................................... 13
3.3.1. VOLTAJE DE CORRIENTE DIRECTA....................................................................................... 13
3.3.2. VOLTAJE DE CORRIENTE ALTERNA ...................................................................................... 14
3.4. RESISTENCIA ELECTRICA............................................................................................................. 14
3.5. LEY DE OHM ............................................................................................................................... 15
3.6. POTENCIA ................................................................................................................................... 16
3.6.1. POTENCIA ENTREGADA....................................................................................................... 17
3.6.2. POTENCIA CONSUMIDA ...................................................................................................... 17
3.7. ENERGIA ELECTRICA ................................................................................................................... 17
9.8. INSTRUMENTACION................................................................................................................... 18
3.9. ANALISIS DE CIRCUITOS DC........................................................................................................ 23
3.9.1. FUENTES DE VOLTAJES DC EN SERIE. .................................................................................. 23
3.9.2. FUENTES DE VOLTAJES DC EN PARALELO. .......................................................................... 26
3.9.3. RESISTOR ............................................................................................................................. 31
3.9.3.1. POTENCIA CONSUMIDA POR UN RESISTOR................................................................. 31
3.9.3.2. RESISTORES EN SERIE ................................................................................................... 31
3.9.3.3. RESISTORES EN PARALELO ........................................................................................... 33
3.9.4. CAPACITORES Y CAPACITANCIA .......................................................................................... 34
3.9.4.1. CAPACITANCIA.............................................................................................................. 36

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3.9.4.2. CAPACITORES EN SERIE................................................................................................ 36
3.9.4.3. CAPACITORES EN PARALELO ........................................................................................ 37
3.9.4.4. ENERGIA ALMACENADA EN UN CAPACITOR................................................................ 38
3.9.4.5. COMPORTAMIENTO DE UN CONDENSADOR EN UN CIRCUITO DE DC. ....................... 39
3.9.4.6. PROCESO DE CARGA DE UN CAPACITOR...................................................................... 39
3.9.4.7. PROCESO DE DESCARGA DE UN CAPACITOR................................................................ 40
3.9.5. INDUCTORES E INDUCTANCIA............................................................................................. 40
3.9.5.1. FLUJO MAGNÉTICO ...................................................................................................... 41
3.9.5.2. INDUCTORES EN SERIE ................................................................................................. 42
3.9.5.3. INDUCTORES EN PARALELO ......................................................................................... 42
3.9.5.4. COMPORTAMIENTO DE UN INDUCTOR EN UN CIRCUITO C.D..................................... 42
3.9.6. APLICACIONES DE LEYES DE KIRCHHOFF EN CIRCUITOS BASICOS ...................................... 43
3.10. VOLTAJES Y CORRIENTES ALTERNAS........................................................................................ 45
3.10.1. VALORES EFICACES O RMS................................................................................................ 47
3.10.2. SISTEMAS MONOFASICOS Y TRIFASICOS EN BAJA TENSION............................................. 50
3.10.3. RESPUESTAS SENOIDALES DE LOS ELEMENTOS ELECTRICOS............................................ 54
3.10.3.1. RESPUESTA SENOIDAL DE UN RESISTOR.................................................................... 54
3.10.3.2. RESPUESTA SENOIDAL DE UN INDUCTOR.................................................................. 55
310.3.3. RESPUESTA SENOIDAL DE UN CAPACITOR.................................................................. 57
3.10.4. ALGEBRA COMPLEJA Y DE FASORES.................................................................................. 59
3.10.4.1.FORMA POLAR DE UN COMPLEJO............................................................................... 59
3.10.4.2. FASORES ..................................................................................................................... 60
3.10.4.3. ANALISIS DE RESISTENCIAS, INDUCTORES Y CAPACITORES CON FASORES ............... 60
3.10.5. ANALISIS DE CIRCUITOS DE CA CON FASORES .................................................................. 61
3.10.5.1. METODO DE LA IMPEDANCIA ( Z ) ............................................................................. 62
3.10.6. POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA.......................................................... 63
3.10.6.1. POTENCIA REACTIVA ( Q ) .......................................................................................... 64
.10.6.2. POTENCIA COMPLEJA Y APARENTE.............................................................................. 64
3.10.7. CONSECUENCIAS DE UN BAJO FACTOR DE POTENCIA...................................................... 65

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1. HISTORIA
El efecto fototvoltaico o generación de voltaje por la acción de la luz, fue descubierto en el año de
1838 por el Frances Alexandre Becquerel, cuando estaba haciendo experimentos con una pila
electrolítica empleando electrodos de platino y descubrió que la corriente eléctrica subía en uno de
sus electrodos cuando exponía el mismo al sol.
Mas tarde en el año de 1873, el inglés Willoughby Smith descubre el mismo efecto con el material
llamado Selenio. A los pocos años, en 1877, los ingleses William Adams y su estudiante Richard Day
crean la primera celda operativa con Selenio.
La posibilidad de una aplicación práctica del fenómeno no llegó hasta 1953 cuando Gerald Pearson
de Bell Laboratories, mientras experimentaba con las aplicaciones en la electrónica del silicio,
fabricó casi accidentalmente una célula fotovoltaica basada en este material que resultaba mucho
más eficiente que cualquiera hecha de selenio. A partir de este descubrimiento, otros dos científicos
también de Bell, Daryl Chaplin y Calvin Fuller perfeccionaron este invento y produjeron células
solares de silicio capaces de proporcionar suficiente energía eléctrica como para que pudiesen
obtener aplicaciones prácticas de ellas. De esta manera empezaba la carrera de las placas
fotovoltaicas como fuentes proveedoras de energía eléctrica.

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2. PRINCIPIO DE FUNCIONAMENTO DEL EFECTO FOTOVOLTAICO APLICADO A SISTEMAS DE
GENERACION ELECTRICA CON LUZ SOLAR
El sol emite fotones de energía con diferentes longitudes de onda que llegan al planeta. La celda
está compuesta por un sanduche de placas de material semiconductor, la capa que esta expuesta
expuesta al sol esta “dopada” con más electrones y la capa inferior esta “dopada” con menos
electrones, al estilo de un capacitor. Mediante esta diferencia de cantidad de electrones se crea un
diferencial de potencial o voltaje que permite la circulación ordenada de corriente del lado con
mayor cantidad d electrones ( N ) al lado con menor cantidad de electrones ( P ).
A la capa que se expone a la luz, se le adiciona elemento como fosforo cuyo átomo posee más
electrones que los átomos de silicio que componen la celda; en la capa inferior se le adiciona
elemento como el Boro, cuyos átomos poseen menos electrones que el átomo de silicio, con lo que
se obtiene una especia de pila de silicio.

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Cuando los fotones del sol incide ser el panel, la mayoría son absorbidos por el material de la celda
y otros se reflejan, los fotones que son absorbidos por la celda, golpean a los electrones de lo átomos
de silicio haciendo que salten de sus órbitas y, canalizados por el la rejilla de cobre que está en la
celda, se crea un flujo de electrones hacia el lado P de la celda, creando corriente.

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3. PRINCIPIOS DE ELECTRICIDAD APLICADOS A SISTEMAS DE GENERACION SOLAR
FOTOVOLTAICA
3.1. CARGA ELECTRICA ( Q )
Todo el proceso eléctrico comienza desde el entendimiento de la misma estructura del átomo. La
estructura atómica que se conoce en la actualidad es al siguiente:
+
+
+
N
N
N
ATOMO
EQUILIBRADO
+
N
PROTON
NEUTRON
ELECTRON

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Se ha descubierto que existen dos tipos de carga: las positivas y las negativas. La positiva es
transportada por los protones y la negativa por los electrones. La carga de un protón es demasiado
pequeña como para ser tenida en cuenta como unidad básica de carga. La unidad de carga en el SI
es el COULOMB ( C ). El símbolo para representar una cantidad de carga constante es Q, y el de una
carga que varía con el tiempo q. La carga eléctrica de un electrón es de -1,602*10-9
C. Cuando el
átomo se excita, puede perder o ganar electrones. Cuando el átomo pierde electrones, hay mas
cargas positivas que negativas. Se dice que el átomo esta cargado positivamente o tiene un potencial
positivo. Es lo que se denomina ión positivo.
Cuando el átomo gana electrones, hay mas cargas negativas que positivas. Se dice que el átomo esta
cargado negativamente o tiene un potencial negativo. Es lo que se denomina ión negativo.
+
+
+
N
N
N
ION
POSITIVO

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Los electrones que están más cerca del núcleo experimentan mayor fuerza de atracción que los que
están en las órbitas exteriores, la naturaleza de esa atracción es lo que define la dureza de los
materiales que se conocen. Se puede concluir que POTENCIAL es el estado eléctrico del átomo y
puede ser neutro, positivo o negativo. El potecnial de un átomo se determina con el solo hecho de
hallar la diferencia entre el número de protones y electrones del mismo. Cuando los átomos de dos
materiales diferentes tienen potenciales diferentes, esa diferencia de potencial es lo que se
denomina TENSIÓN, VOLTAJE O F.E.M. ( FUERZA ELECTROMOTRIZ ). En otras palabras, se crean las
condiciones para el intercambio de electrones.
Los electrones que se encuentran en las órbitas más alejadas del núcleo se les conoce también como
electrones libres. Dichos electrones son los responsables de la mayoría de los fenómenos eléctricos
ya que al estar débilmente atraídos por los protones del núcleo, pueden moverse fácilmente de un
átomo a otro.
Ver video:
EL ATOMO http://youtu.be/XTiypmsM52Q
3.2. CORRIENTE ELECTRICA ( I )
La corriente eléctrica se obtiene como consecuencia del movimiento de cargas eléctricas y se define
como la cantidad de carga que pasa por unidad de tiempo. En otras palabras, es un movimiento de
electrones a través de un conductor.
I ( amperios ) = Q / tiempo
+
+
N N
ION
NEGATIVO

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Otra definición puede ser como el flujo de cargas eléctricas que transporta la energía desde la fuente
hasta el destinatario.
3.2.1. CIRCUITO DE CORRIENTE DIRECTA ( DC )
En el circuito de corriente directa, que se asocia a una fuente de voltaje de corriente directa ( DCV )
, los electrones salen del lado positivo de la fuente ( ánodo ) y recorren el circuito para llegar al lado
negativo de la fuente ( cátodo ), dicho movimiento se mantiene inalterado en el tiempo, en el mismo
sentido, se dice entonces que el circuito es de corriente directa. Su grafica en el tiempo es:
Si la fuente invierte la polaridad, entonces los electrones cambian el sentido de movimiento:

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VER VIDEO:
CARACTERISTICAS DE LA CORRIENTE
DIRECTA
https://youtu.be/E46GwBXbTfU
3.2.2. CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA ( AC )
En el circuito de corriente alterna, que se asocia a una fuente de voltaje de corriente alterna ( ACV )
, los electrones salen de un lado de la fuente y recorren el circuito para llegar al otro lado de la
fuente, y después se devuelven; su movimiento se mantiene cambiando en el tiempo de un sentido
a otro, en otras palabras, la corriente alterna cambia su sentido de movimiento en el tiempo, se dice
entonces que el circuito es de corriente alterna. Su grafica en el tiempo es:

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La corriente alterna tiene como características:
• En el ciclo tiene tres instantes en donde el valor de la corriente es cero ( 0 ).
• Tiene dos instantes en donde la corriente alcanza su máximo valor.
• Cambia su sentido de movimiento dos veces en el ciclo.
Ver video:
CARACTERISTICAS DE LA CORRIENTE
ALTERNA
https://youtu.be/zIqSQW3FMLY
3.2.3. CORRIENTE CONSTANTE
Es aquella que mantiene un valor igual constante en el tiempo sin importar el sentido de flujo de los
electrones.

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3.2.4. CORRIENTE CONTINUA
Es aquella que no se interrumpe en el tiempo.
3.3. VOLTAJE
El voltaje entre dos puntos ( también llamado diferencia de potencial o fuerza electromotriz ) es el
trabajo requerido en Joul para mover una carga de 1 C de un punto a otro. Se puede entender como
la fuerza que se establece entre dos puntos debido a una diferencia de potenciales de los mismos
que tiende a mover electrones de un lado al otro hasta el equilibrio eléctrico.
V ( Voltios ) = W ( Joul ) / Q = I * R
3.3.1. VOLTAJE DE CORRIENTE DIRECTA
La fuente de voltaje de corriente directa posee dos polos: uno positivo ( ánodo ) por donde salen los
electrones y uno negativo ( cátodo ) por donde llegan los electrones después de hacer el recorrido

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por el circuito. Una fuente de voltaje de corriente directa, como su nombre lo indica, genera
corriente directa, por ejemplo en el caso de las pilas y baterías y dispositivos electrónicos.
3.3.2. VOLTAJE DE CORRIENTE ALTERNA
Una fuente de voltaje de corriente alterna, como su nombre lo indica, genera corriente alterna,
debido a que cambia su polaridad con el tiempo; por ejemplo en el caso de las transmisiones de alta
y baja potencia, circuitos de casa.
3.4. RESISTENCIA ELECTRICA
Es la resistencia u oposición que opone un material al flujo de una corriente eléctrica. La
resistencia de un material depende de varias propiedades:

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R = ρ L / A ρ: Coeficiente resistividad del material ( Ohm – mts )
L: Longitud del conductor ( mts )
A: Área seccion transversal conductor ( mts2
)
Vemos que la resistencia es inversamente proporcional a la corriente; o sea, que si hay mayor
resistencia en un circuito, la corriente que pasa por el mismo disminuye; si la resistencia del circuito
es baja, la corriente del mismo se incrementa.
3.5. LEY DE OHM
La ley de ohm relaciona el voltaje, la corriente y la resistencia en una formula, aplicada a circuitos
resistivos:
VOLTAJE = CORRIENTE * RESISTENCIA
V = I * R I = V / RR = V / I
De la anterior fórmula se deduce que:
• Si la carga requiere mayor corriente, se requiere de mayor voltaje de la fuente y viceversa
manteniendo un valor constante de resistencia.
• Si la carga tiene alta resistencia, se necesita de mayor voltaje para poder hacer circular los
electrones y viceversa.

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3.6. POTENCIA
Es la rapidez con que se genera o se consume energía, generalmente en forma de calor. La potencia
es lo que requieren las unidades o artefactos eléctricos en función de corriente y voltaje para poder
funcionar y no varia en el tiempo. También se puede definir como la capacidad que tiene la
electricidad para producir trabajo en un tiempo dado.
P ( Watt ) = ( Trabajo / tiempo ) = ( V Q / t ) = ( V I ) = ( I2
R ) = ( V2
/ R )

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La unidad de potencia común es el WATT, pero también se expresa en KWatt.
3.6.1. POTENCIA ENTREGADA
Es la potencia en función de voltaje y corriente que suministra o aporta una fuente, como las
baterías e inclusive un transformador. Las fuentes de voltaje aportan un voltaje fijo y la corriente
que requiere el elemento eléctrico o carga en este caso; o sea que la potencia que entrega la fuente
es variable y depende del elemento que se conecta a la misma.
3.6.2. POTENCIA CONSUMIDA
Es la potencia en función de voltaje y corriente que necesitan o consumen los artículos eléctricos en
el tiempo para funcionar u operar. La fuente de voltaje debe poder la potencia necesaria requerida
por el elemento eléctrico para poder funcionar correctamente, por tanto se deduce que para los
sistemas eléctricos:
POTENCIA SUMINISTRADA >= POTENCIA CONSUMIDA
3.7. ENERGIA ELECTRICA

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Recordando los principios de física se definía que:
Potencia = ( Trabajo o energía ) / tiempo, despejando de la ecuación se tiene:
Energia ( Watt – hora ) = Potencia * tiempo
Lo que vende la compañía de electricidad a nuestras casas es la energía que consumen lo elementos
eléctricos en un mes. Esta energía se calcula sumando la potencia de cada uno de los aparatos por
su tiempo de funcionamiento en horas durante el mes:
Energía Consumida = Total Potencia eléctrica * Tiempo operación en horas durante el mes
Si desea saber el costo de esta energia se realiza el siguiente cálculo:
Costo Energia = Energía Consumida * Valor del Kwatt – Hr
Costo energía = Total Potencia eléctrica * Tiempo operación en horas durante el mes * Valor
KwattHr
La energía es la base del cálculo para el consumo y diseño de sistemas de alimentación eléctrica.
9.8. INSTRUMENTACION
Los instrumentos mas usados son el multímetro, la pinza amperimétrica y el secuencímetro;
comenzaremos analizando el multímetro:
Es el instrumento de mayor uso, se usa para medición de voltajes AC y DC, resistencias y algunos
parámetros especiales como frecuencias, temperaturas, capacitancia, etc.

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Entre las partes que constituyen el multímetro están:
Para medir tenga en cuenta:
• El parámetro que va a a medir
• Verificar la correcta posición de las puntas de medición.
• Colocar el selector en la escala adecuada para medir.
• Leer correctamente el valor mostrado en el display.

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En la actualidad hay multímetro autoescalables, por tanto no es necesario el ajuste manual de la
escala, obviamente son un poco más costosos, pero muy versátiles:
OBS: Muchos de ellos vienen para medir corrientes, pero recomiendo no hacerlo con este
instrumento sinó con una pinza amperimétrica.
Ver video:
MANEJO DEL MULTIMETRO DIGITAL https://youtu.be/73m6VrC7Cxw
Seguimos ahora analizando la pinza amperimétrica. Con este instrumento especializado en medir
corrientes de tipo AC y DC, también podemos medir voltajes AC y DC, así como resistencias y otros
parámetros como temperaturas, frecuencias, etc.

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Para medir tenga en cuenta:
• El parámetro que va a a medir.
• Verificar si se requiere conectar las puntas de prueba ( no se emplean cuando se miden
corrientes )
• Verificar la correcta posición de las puntas de medición.
• Colocar el selector en la escala adecuada para medir.
• Leer correctamente el valor mostrado en el display.
En la actualidad hay pinzas autoescalables, por tanto no es necesario el ajuste manual de la escala,
obviamente son un poco más costosos, pero muy versátiles:

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Ver video:
MANEJO DE LA PINZA AMPERIMETRICA https://youtu.be/vlaHaioR4Bs
Con respecto al secuencímetro, se usa para verificar la secuencia de las fases R, S y T:
El uso de este equipo es muy sencillo y consta de tres puntas, que al colocarlas en las tres líneas, si
la secuencia es correcta se enciende el testigo de CW ( clock wise o en el sentido del reloj ) y cuando
la secuencia es incorrecta se enciende el testigo CCW ( contra clock wise ), que significa en el sentido
horario del reloj.

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Ver video:
USO DEL SECUENCÍMETRO EN LA CONEXIÓN
DE COMPRESORES TRIFASICOS
https://youtu.be/tyiRUkUPKas
3.9. ANALISIS DE CIRCUITOS DC
3.9.1. FUENTES DE VOLTAJES DC EN SERIE.
La conexión de fuentes de voltaje en serie es un polo a continuación de otro; o sea, un polo positivo
de una fuente con el negativo de la otra fuente, tal como se muestra en el esquema:
El voltaje que se marca entre los puntos A y b es de 10
V, por lo tanto se puede deducir que si se tienen N
fuentes de voltaje, el voltaje total de dichas fuentes en
serie es de:
VTOTAL = V1 + V2 + … + VN
La corriente que pasa aportan las fuentes de voltaje
en serie es la misma parea cada una de ellas y
dependen de la carga del circuito.
A
6 V
I
4 V
B

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Para entender el proceso, vamos a hacer la analogía con dos electrobombas y veamos sus
parámetros comparados con una fuente de voltaje DC:
Para el caso, el flujo de agua de la bomba equivale a la corriente de la fuente y la presión de la
bomba equivale al voltaje de la fuente. Ahora vamos a hacer una conexión serie:

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En el caso anterior, el flujo de agua que entra en una bomba, es el mismo que entra en la otra, lo
que equivale a decir que en las fuentes en serie la corriente que entra en una de ellas es la misma
que entra y sale de la otra; por tanto fuentes de voltajes en serie tiene igual corriente.
Ahora analicemos las presiones y voltajes en ambos casos:
En el caso de las bombas el liquido que entra en la primera bomba, experimenta una incremento de
la presión y cuando entra en la otra incrementa nuevamente la presión, por tanto en las fuentes de
voltajes en serie se incrementa el voltaje del sistema. Por tanto:

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3.9.2. FUENTES DE VOLTAJES DC EN PARALELO.
En este tipo de conexión, se conectan los polos positivos de todas las fuentes y los polos negativos
de todas las fuentes, tal como se ve en el esquema:
El voltaje que se marca entre los
puntos A y b es de 6 V, por lo tanto se
puede deducir que si se tienen N
fuentes de voltaje, el voltaje total de
dichas fuentes en serie es de:
VTOTAL = V1 = V2 = … = VN
La corriente total de las fuentes en paralelo, se construye con la corriente que aporta cada fuente
en paralelo, por tanto se puede decir que la corriente total de las fuentes en paralelo es la suma
de cada corriente aportada por cada fuente:
ITOTAL = I1 + I2 + …+ IN
Para entender esta nueva condición, analicemos nuevamente el caso de las bombas:
A
I T
I 1 I 2 I 3
6 V 6V 6V
B

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Para el caso, cada bomba maneja un caudal independiente que se unen al caudal del resto del as
otras bombas, ósea, que el caudal total está constituido por el aporte o suma de cada una de las
bombas que componen el arreglo. Para el caso de las baterías:
La corriente total del arreglo es la suma de las corrientes aportadas por las baterías. Ahora para que
esto se puede cumplir sin problemas, las presiones de las bombas deben ser iguales, porque si una

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es mayor le inyectara agua a la otra, lo que equivale a decir que, en las fuentes, todas deben tener
el mismo voltaje porque si una esta mas baja, las demás van a cargarla.
La ventaja de las fuentes en paralelo es que como cada una aporta una menor corriente, demoran
mucho más tiempo funcionando.

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En el caso de sistemas mixtos, la regla para su análisis es:
• Tenga a la mano la información de voltaje y corriente de las fuentes que intervienen en el
arreglo.
• Identifique el ramal básico que componen el arreglo, este ramal tiene todas las fuentes en
serie y conectadas.
• Calcule el valor del voltaje de este ramal , String o subarreglo; el valor de este ramal se
constituye en el valor del voltaje del arreglo total, ya que los demás ramales están en
paralelo.
• Sume ahora las corrientes que aportan el resto de ramales para hallar la cantidad de
corriente que aporta el arreglo.
• Puede calcular la potencia de arreglo, ya sea sumando las potencias de todas las fuentes
que conforman el arreglo realizando la multiplicación del voltaje total del arreglo por la
corriente total del arreglo.

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Ver video:
VOLTAJES DE FUENTES DC https://youtu.be/VQZTE1Ptcxg

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3.9.3. RESISTOR
SIMBOLO
Es el componente de un circuito que se usa
debido a su resistencia. Generalmente un
resistor emite calor cuando pasa corriente a
través de él.
3.9.3.1. POTENCIA CONSUMIDA POR UN RESISTOR.
La potencia de un resistor esta representada por el calor que emite el mismo.
P = I2
R = ( V2
/ R ) = V I
Como se puede observar, si se incrementa la corriente en el circuito, la energía consumida por
unidad de tiempo ( Potencia ) se incrementa.
3.9.3.2. RESISTORES EN SERIE
Los resistores en serie se identifican porque:
• La corriente que entra en uno de ellos es la misma para los otros.
• Generalmente las resistencias en serie tienen diferentes voltajes. El voltaje de la fuente se
reparte entre las diferentes resistencias en serie de acuerdo a la resistencia de cada una.
• Donde finaliza una comienza la otra.
I t
R 1
R 2
Vf
R 3
I t
V f R t

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Por lo expresado anteriormente se concluye que para resistencias en serie:
I TOTAL = I 1 = I 2 = IN
V FUENTE = V 1 + V 2 + … + V N
Por la ley de Ohm:
( I TOTAL * R T ) = ( I 1 * R 1 ) + ( I 2 * R 2 ) + … + ( I N * R N )
Pero como las corrientes son iguales, la ecuación quedará:
R T = R 1 + R 2 + … + R N
Para resistores colocados en serie, su resistor equivalente quedaría:
R EQUIVALENTE = R1 + R2 + ..+ RN ; en otras palabras, resistencia conectadas en serie se comportan como
una sola con la suma de los valores de las resistencias del circuito original, por tanto, la corriente
del circuito disminuye debido a que hay mayor resistencia en el mismo.
Se puede definir la resistencia equivalente como aquella resistencia que permite obtener la misma
corriente total que se obtendría con el arreglo de resistencias en el circuito.
Con respecto a las potencias consumidas con la aportada por la fuente de voltaje se tiene:
V FUENTE = V 1 + V 2 + … + V N

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Si se multiplica la anterior ecuación por la corriente total que es común a todas se tiene que:
( I TOTAL * V FUENTE ) = ( I TOTAL * V 1 ) + ( I TOTAL * V 2 ) + … + ( I TOTAL * V N )
Pot fuente = P 1 + P 2 + ... + P N
3.9.3.3. RESISTORES EN PARALELO
Las resistencias en paralelo se conocen porque:
• Tienen el mismo voltaje.
• Generalmente poseen distintas corrientes.
• Las resistencias en paralelo comienzan en un mismo punto y finalizan en un mismo punto.
I TOTAL = I 1 + I 2 +…+ IN
I t
R 1 R 2 R 3
Vf I 1 I 2 I 3
I t
V f R t

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V FUENTE = V 1 = V 2 = … = V N
Por la ley de Ohm se tiene que:
( V FUENTE / R T ) = ( V 1 / R 1 ) + ( V 2 / R 2 ) +…+ ( V N / R N )
( 1 / R T ) = ( 1 / R 1 ) + ( 1 / R 2 ) +…+ ( 1 / R N )
R EQUIVALENTE = 1 / [ ( 1 / R1 ) + ( 1 / R2 ) + ..+ ( 1 / RN ) ]
Para resistores en paralelo:
R EQUIVALENTE = 1 / [ ( 1 / R1 ) + ( 1 / R2 ) + ..+ ( 1 / RN ) ]; en otras palabras, resistencia conectadas en
serie se comportan como una sola con un valor de resistencia menor que cualquiera de ellas, por lo
tanto, la corriente que pasa por el circuito se incrementa. Con respecto a las potencias consumidas
con la aportada por la fuente de voltaje se tiene:
I TOTAL = I 1 + I 2 + … + I N
Si se multiplica la anterior ecuación por el voltaje de la fuente que es común a todas se tiene que:
( I TOTAL * V FUENTE ) = ( I 1 * V FUENTE ) + ( I 2 * V FUENTE ) + … + ( I N * V FUENTE )
Pot fuente = P 1 + P 2 + .. + P N
Ver video:
RESISTENCIAS EN SERIE, PARALELO Y
MIXTAS
https://youtu.be/Rn8TFxuRX10
3.9.4. CAPACITORES Y CAPACITANCIA
Un condensador es un dispositivo almacenador de energía en la forma de un campo eléctrico. El
capacitor consiste de dos placas, que están separadas por un material aislante, que puede ser aire
u otro material "dieléctrico", que no permite que éstas (las placas) se toquen. Se parece a la batería
que todos conocemos, pero el condensador solamente almacena energía, pues no es capaz de
crearla. Los condensadores se miden en Faradios (F.), pudiendo encontrarse condensadores que se
miden en Microfaradios (uF), Pico faradios (pF) y Nanofaradios (nF). A continuación se pueden ver
algunas equivalencias de unidades.
El primer capacitor es la botella de Leyden, el cual es un capacitor simple en el que las dos placas
conductoras son finos revestimientos metálicos dentro y fuera del cristal de la botella, que a su vez
es el dieléctrico. La magnitud que caracteriza a un capacitor es su capacidad, cantidad de carga
eléctrica que puede almacenar a una diferencia de potencial determinado. La botella de Leyden,

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uno de los Capacitores más simples, almacena una carga eléctrica que puede liberarse, o
descargarse, juntando sus terminales, mediante una varilla conductora. La primera botella de
Leyden se fabricó alrededor de 1745, y todavía se utiliza en experimentos de laboratorio.Hay
muchas formas de capacitares y pueden clasificarse de acuerdo al tipo de material dieléctrico que
se usa entre las placas conductoras. Para aplicaciones de circuitos electrónicos, el material
dieléctrico puede ser aire, vacío, papel impregnado de aceite, plástico, etc.
Para un capacitor se define su capacidad como la razónde la carga que posee uno de los conductores
a la diferencia de potencial entre ambos, es decir, la capacidad es proporcional al la carga e
inversamente proporcional a la diferencia de potencial: C = Q / V, medida en Farad (F). La diferencia
de potencial entre estas placas es igual a: V = E * d ya que depende de la intensidad de campo
eléctrico y la distancia que separa las placas. También: V =q / e * d, siendo q carga por unidad de
superficie y d la diferencia entre ellas. Para un capacitor de placas paralelas de superficie S por placa,
el valor de la carga en cada una de ellas es q * S y la capacidad del dispositivo:
C = q * S / (q * d / e ) = e * S / d Siendo d la separación entre las placas.
La energía acumulada en un capacitor será igual al trabajo realizado para transportar las cargas de
una placa a la otra venciendo la diferencia de potencial existente ellas:
D W = V * D q = (q / C) * D q
La energía electrostática almacenada en el Capacitor será igual a la suma de todos estos trabajos
desde el momento en que la carga es igual a cero hasta llegar a un valor dado de la misma, al que
llamaremos Q.
W = V * dq = ( 1 / C) * ( q * dq) = 1 / 2 (Q2 / C)
Si ponemos la carga en función de la tensión y capacidad, la expresión de la energía almacenada en
un capacitor será: W = 1/2 * C * V2 medida en unidades de trabajo. Dependiendo de superficie o
área de las placas su fórmula de capacidad es
C = e * A / 4p d, donde e es la constante dieléctrica.

36. 36
3.9.4.1. CAPACITANCIA
Es la propiedad eléctrica de los condensadores y la medida de su capacidad para almacenar carga
en sus dos conductores. La unidad de la Capacitancia en el SI es el FARADIO ( F ). Pero para
aplicaciones prácticas se emplea el micro faradio o µF. C = Q / V
3.9.4.2. CAPACITORES EN SERIE
Cuando se conectan condensadores en serie y se conecta el circuito, los mismos se comienzan a
cargar y sus voltajes a aumentar; cuando la suma de los voltajes de los condensadores iguala a la de
la fuente, se suspende el paso de corriente.

37. 37
C EQUIVALENTE = 1 / [ ( 1 / C1 ) + ( 1 / C2 ) + .. + ( 1 / CN ) ]; entonces la capacidad de carga del sistema
disminuye.
3.9.4.3. CAPACITORES EN PARALELO
Al conectar los condensadores en serie, cada uno de ellos tienen igual voltaje y diferentes ramales
por os cuales asa la corriente; cada uno de ellos se carga independientemente y la corriente del
circuito cuando los condensadores están completamente cargados.
C 1 C EQUIVALENTE
V V
C 2

38. 38
CEQUIVALENTE = C1 + C2 + …+ CN; entonces la capacidad del sistema para almacenar carga se incrementa.
Ver video:
CAPACITORES EN SERIE Y PARALELO https://youtu.be/TuW4e99PiV0
3.9.4.4. ENERGIA ALMACENADA EN UN CAPACITOR
WCAPACITOR = ( ½ ) C V2
C EQUIVALENTE
V V
C1
C2

39. 39
3.9.4.5. COMPORTAMIENTO DE UN CONDENSADOR EN UN CIRCUITO DE DC.
En un circuito de corriente directa, el condensador en cuanto a corriente y voltaje en el tiempo, se
comportan de la siguiente forma:
Lo que indican las graficas es que el voltaje en un capacitor con el tiempo se estabiliza, o sea, que
este elemento es un regulador de voltaje de un circuito, pero también la corriente que pasa a través
de él tiene a cero, o sea, que se comporta con una circuito abierto.
3.9.4.6. PROCESO DE CARGA DE UN CAPACITOR
El proceso de carga de un capacitor conectado en serie
con una resistencia viene dado por la expresión:
Vc = Vf + ( Voc – Vf )* e- RC/ t
Donde:
Vf : Voltaje de la fuente.
Voc : Voltaje inicial del condensador
t : Tempo en segundos.
R: Resistencia en ohmios.
C: Capacitancia en faradios
Vcondensador
Tiempo
Icondensador
Tiempo
R
+ +
Vf C Vc
-
-

40. 40
La corriente que pasa por el condensador está expresada por la ecuación:
Ic = [ ( Vf – Voc )* e- RC/ t
] / R
3.9.4.7. PROCESO DE DESCARGA DE UN CAPACITOR
Como desaparece el voltaje de la fuente, o es igual a cero, para el proceso de descarga de un
condensador, las ecuaciones de la carga quedan modificadas de la siguiente forma:
Vc = Voc * e- RC/ t
Ic = [ – Voc * e- RC/ t
] / R
3.9.5. INDUCTORES E INDUCTANCIA
Junto al capacitor, otro elemento que almacena energía es el Inductor ó bobina, que es básicamente
un alambre enrollado sobre sí mismo, donde el material de su centro, es de aire y en otras ocasiones
es de un material diferente, que posee un grado de permeabilidad. Como en el capacitor las
cualidades de este elemento, dependen de su forma geométrica y física, y presenta la propiedad de
la inductancia, que es la característica de un material de almacenar energía, en el campo magnético
generado por la variación de corriente que lo atraviesa. Una característica interesante de las bobinas
es que se oponen a los cambios bruscos de la corriente que circula por ellas. Esto significa que a la
hora de modificar la corriente que circula por ellas (ejemplo: ser conectada y desconectada a una
fuente de poder), esta tratará de mantener su condición anterior.
Las bobinas se miden en Henrios (H.), pudiendo encontrarse bobinas que se miden en Mili henrios
(mh). El valor que tiene una bobina depende de:

41. 41
• El número de espiras que tenga la bobina (a más vueltas mayor inductancia, o sea mayor
valor en Henrios)
• El diámetro de las espiras (a mayor diámetro, mayor inductancia, o sea mayor
valor en Henrios).
• La longitud del cable de que está hecha la bobina.
• El tipo de material de que esta hecho el núcleo si es que lo tiene.
3.9.5.1. FLUJO MAGNÉTICO
Los fenómenos magnéticos se explican mediante el concepto de flujo magnético. La unidad de flujo
en el SI es el WEBER ( Wb ). El símbolo para una cantidad de flujo constante es Φ, y para un flujo
variable se emplea φ. La corriente que circula por un alambre también produce un flujo, con el
reglamento de la mano derecha. El mismo fenómeno se obtiene al colocar un material
ferromagnético en el interior y alrededor de esta estructura llamada bobina. El término
PERMEABILIDAD, cuyo símbolo es µ, es una medida de esta propiedad que hace aumentar el flujo;
su unidad en el SI es el HENRY/MTS y su símbolo unitario es H/m. la permeabilidad del vacío, µ0 , es
de 0,4 π µ H/m. En la mayor parte de las bobinas, una corriente i produce un eslabonamiento de
flujo Nφ que es proporcional a i. La inductancia de una bobina depende de la forma de la bobina
misma, de la permeabilidad del material que la rodea, del número de vueltas, del espaciamiento
entre las vueltas y otros factores:

42. 42
L = N2
µ A / l N: Numero vueltas alambre
µ: Permeabilidad magnética del núcleo.
A: Area sección transversal del núcleo.
l : Longitud bobina en metros.
3.9.5.2. INDUCTORES EN SERIE
LEQUIVALENTE = L1 + L2 + …+ LN
3.9.5.3. INDUCTORES EN PARALELO
L EQUIVALENTE = 1 / [ ( 1 / LC1 ) + ( 1 / L2 ) +….+ ( 1 / LN ) ]
3.9.5.4. COMPORTAMIENTO DE UN INDUCTOR EN UN CIRCUITO C.D.
En un circuito de corriente directa, el inductor, en cuanto a corriente y voltaje en el tiempo, se
comportan de la siguiente forma:
L 1 L 2 L EQUIVALENTE
V V
L EQUIVALENTE
V V
L1
L2

43. 43
Cuando se conecta un inductor a un circuito, el voltaje en él tiende a cero ( 0 ) mientras que la
corriente va de cero a un valor establecido, por lo cual el inductor es un regulador de corriente y al
cargarse deja el circuito cerrado.
Ver video:
RESPUESTA DE RESISTENCIAS,
CAPACITORES E INDUCTORES EN DC
https://youtu.be/EN7LWMCc3vI
3.9.6. APLICACIONES DE LEYES DE KIRCHHOFF EN CIRCUITOS BASICOS
Estas leyes se aplican para sistemas donde interviene varias fuentes dc y cargas o resistencias,
para su análisis y cálculo, está la ley de Kirchhoff para voltajes y para las corrientes; para el caso de
los voltajes se tiene que:
• La suma algebraica de las caídas de voltaje en la malla son cero ( 0 ); la suma algebraica de
las elevaciones de voltaje son igual a cero o la suma algebraica de las elevaciones de
voltajes son iguales a la suma algebraica de las caídas de voltaje.
Para este proceso tenga presente los siguientes pasos:
• Defina el circuito cerrado a malla a analizar.
• Defina un sentido de análisis ya sea en el sentido del reloj o en contra del sentido del reloj.
• Para el caso de las resistencias, establezca la caída de voltaje de acuerdo al sentido que
sigue.
• El signo de la caída de voltaje para el caso de las fuentes, está establecido por el polo que
se encuentre en mi movimiento.
Vinductor
Tiempo
Iinductor
Tiempo

44. 44
En el caso anterior, escogimos un sentido de análisis en el sentido horario, después de ello se
comienza a colocar los signos de las caídas de voltaje para las resistencias;; para nuestro caso si se
mueve de la fuente Vf se encuentra con la resistencia R1, se sabe que las resistencias consumen
voltaje, por tanto a la salida de la misma tendremos menos voltaje, por tanto existe una caída de
voltaje en la misma , por eso se le colocan un + en la entrada y un – en la salida.
Si no es encontramos con una fuente de voltaje se respetan los signos que tienen sus polos y, por
tanto no hay que asignarle simbología.
Para el caso de las corrientes se tiene:
• La suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo son igual a la suma algebraica de
las corrientes que salen del mismo nodo.
Para realizar un análisis de corrientes en un nodo:
• Establezca direcciones de corrientes en el circuito.
• Defina un nodo de análisis.
• Identifique las corrientes que entran al nodo y ponga sus valores en un lado de la ecuación
y los valores de las corrientes que salen del otro lado de la ecuación.

45. 45
Para el caso anterior, en este nodo, la corriente que entra al mismo es la If, y las que salen son las
Ir3, Ir2 e Ir1. Tal como se muestra.
Para el análisis de estos circuitos se tiene en cuenta tanto el análisis de voltaje por mallas como el
de corriente por nodos.
Ver video:
3.10. VOLTAJES Y CORRIENTES ALTERNAS
La fuente de voltaje alterna genera una corriente también de tipo alterno el cual cumple la siguiente
condición mostrada en la grafica

46. 46
De la anterior se deduce que:
• La fuente de voltaje alterno cambia de polaridad en el tiempo.
• La corriente cambia su sentido de flujo y magnitud en el tiempo.
• Tanto la corriente como el voltaje tienen valores máximos y valores nulos en ciertos
momentos.
La onda presentada es de tipo senoidal y en ella hay que estudiar los siguientes conceptos:
CICLO: Se define con la parte más pequeña de la grafica que no se repite.
PERIODO ( T ) : Es la duración de un ciclo en segundos.
T = 1 / f = 1 / 60 = 0,0166 seg
FRECUENCIA ( f ): Es el número de ciclos que efectúa en un segundo ( Hertz )
f = 1/T
Para el caso del sector eléctrico colombiano, la frecuencia eléctrica es de 60 HZ o 60 ciclos /seg
AMPLITUD ( A ): Valor pico o amplitud de la onda.
FRECUENCIA ANGULAR ( ω ) Es la frecuencia expresada en radianes por segundo:
ω = 2 π f
En el caso del sector eléctrico colombiano que opera a 60 hertz:

47. 47
ω = 2 π f = 2 π 60 = 376,991 rad/seg = 377 rad/seg
En al caso del sistema europeo que opera a 50 hertz:
ω = 2 π f = 2 π 50 = 314,16 rad/seg = 314.16 rad/seg
ANGULO DE FASE: Es la diferencia en el tiempo que existe entre la onda de voltaje o tensión y la
onda de corriente, por lo general se expresa en radianes.
Como la onda es de tipo senoidal, el valor del voltaje se expresaría en forma general como
V = Vm Sen ( ωt + θ ) Vm: Valor de voltaje pico o máximo.
t: tiempo
θ: Angulo de fase en radianes
VALOR PROMEDIO
El valor promedio de una periódica es el
cociente de un área y un tiempo, donde el área
es la superficie entre la onda y el eje del tiempo
durante un período y el tiempo es aquel que
corresponde a un periodo. Las áreas en la parte
superior se consideran positivas y las ubicadas
en la parte inferior se consideran negativas. De
acuerdo a lo anterior, el valor promedio de una
sinusoide es cero, porque sobre un período las
áreas positivas y negativas se cancelan al
efectuarse la suma de las dos áreas.
3.10.1. VALORES EFICACES O RMS
Los voltajes o corrientes eficaces se emplean en las especificaciones eléctricas de aparatos
electrodomésticos. La especificación de 120 V de un secador, corresponden a valores eficaces. Lo
mismo sucede con los medidores de voltaje y corriente. Por definición, el valor eficaz de un voltaje
o corriente periódica ( Vef o Ief ) es el valor de voltaje o corriente positiva de corriente continua que
produce el mismo valor promedio de potencia disipada en un resistor sometido a voltajes y
corrientes alternos. En otras palabras, se dice que 1 amperio eficaz de corriente alterna produce los
mismos efectos caloríficos de 1 amperio en corriente directa al circular por el mismo elemento
resistivo.
V
Periodo
Vm
AREA 1
AREA 2

48. 48
P promedio = ( Vef )2
/ R = [ Vm 2
/ 2R ] Vef = Vmax / 2
P promedio = ( Ief )2
R = [ ( R Im2
) / 2 ] Ief = Imax / 2
Entonces para nuestro sistema eléctrico, que se mide en las terminales de corriente 120 V el voltaje
pico de la red es:
Vmax o Vpico = Vef * 2 = 120 V * 1.4142 = 169.705 Voltios
Para el sistema europeo de 50 hertz, el voltaje es de 220 vac, por tanto:
Vmax o Vpico = Vef * 2 = 220 V * 1.4142 = 311.12 Voltios
Agregando el factor de frecuencia angular, para el sistema colombiano:
V = Vm Sen ( ωt + θ )
V = 120 * 2 Sen ( 377 t + θ ) = 169.705 Sen ( 377 t + θ ) Voltios
Para el Sistema Europeo:
V = Vm Sen ( ωt + θ )
V = 220 * 2 Sen ( 311.12 t + θ ) = 311.12 Sen ( 314.16 t + θ ) Voltios

49. 49
La anterior grafica corresponde a sólo un ciclo si se analiza esta figura durante 1 seg se tiene:

50. 50
3.10.2. SISTEMAS MONOFASICOS Y TRIFASICOS EN BAJA TENSION
Para entender los sistemas monofásicos y trifásicos de 60 o 50 hertz, en baja tensión, analicemos
como son los voltajes que llegan a nuestros hogares en ambos sistemas:
En le caso de los 60 Hertz, se poseen tres líneas vivas, llamadas: Linea 1, Linea 2 y línea 3; Fase1,
Fase 2 y Fase 3; r, S y T; U, V y W; que poseen un voltaje de 110 a 120 Vac, los mismo que una línea
neutral con 0 voltios y la línea de protección o tierra, tal como se muestra:
Las medidas entre cualquiera de estas líneas vivas y el neutro será de 120 a 120 VAC. Si medimos el
voltaje entre la misma línea viva, obtendremos 0 voltios Ahora, si medimos los voltajes entre líneas
vivas, vamos a tener los siguientes resultados:

51. 51
En el caso anterior, donde se emplean dos líneas vivas como alimentación, el voltaje entre las
mismas o resultante es la diferencia algebraica de las dos líneas senoidales, al estar desfasadas, nos
da un curva de la misma frecuencia pero con valores mas altos, tal como se muestra:

52. 52
Para esta nueva curva, el voltaje máximo o amplitud esta alrededor de los 300 a 310 voltios y el
voltaje eficaz o RMS entre los 210 y 220 voltios. Dado lo anterior, podemos tener las siguientes
configuraciones paca cargas eléctricas en baja tensión:
Esta configuración es usada por la mayoría de los electrodomésticos de baja tensión en frecuencia
de 60 hertz. Para los sistemas trifásicos se posee:

53. 53
También se pueden presentar voltajes especiales a 60 hertz, como en el siguiente caso:
En el caso anterior, se poseen líneas vivas de 220 a 240 voltios a 60 hertz, para electrodomésticos
que usen estos voltajes, esta disponibles en algunos países. Su sistema trifásico es el siguiente:
Empleados en industria con motores ac de alta caballaje o potencia.

54. 54
3.10.3. RESPUESTAS SENOIDALES DE LOS ELEMENTOS ELECTRICOS
3.10.3.1. RESPUESTA SENOIDAL DE UN RESISTOR
Si un resistor con resistencia R en ohmios se expone a un voltaje V = Vm Sen ( ωt + θ ), el valor de la
corriente que pasa por él es:
I = V/R = ( Vm / R ) Sen ( ωt + θ )
Se puede considerar la corriente pico Im = ( Vm / R ), por tanto la corriente que pasa por un resistor
es:
I = Im Sen ( ωt + θ )
NOTA: Observe que los ángulos de fase θ del voltaje y corriente son iguales, por tanto están en fase.
La potencia instantánea disipada por un resistor varia en el tiempo, debido a que el voltaje y la
corriente varían también en el tiempo:
P = V*I = [ ( Vm / R ) Sen ( ωt + θ ) ] * [ Im Sen ( ωt + θ ) ] = Vm Im Sen2
( ωt + θ )
Pero Sen2
( x ) = ( 1 – Cos 2x )/2

55. 55
P = [ ( Vm Im ) / 2 ] – [( Vm Im ) / 2 ][ Cos ( 2ωt + 2θ ) ]
En la formula anterior se tiene un valor constante y un valor sinusoide con el doble de frecuencia
angular y el doble de ángulo de fase. La potencia instantánea tiene un valor de cero ( 0 ) cada vez
que el voltaje y corriente son cero, pero su valor nunca es negativo. El hecho de que la potencia sea
siempre positiva, significa que un resistor jamás entrega potencia a un circuito.
NOTA: Recordar que potencia positiva en un dispositivo significa que la esta consumiendo; potencia
negativa en un dispositivo, significa que la está entregando al circuito. La potencia promedio
suministrada un resistor corresponde al primer término de la ecuación:
P promedio = [ ( Vm Im ) / 2 ] = [ Vm 2
/ 2R ] = [ ( R Im2
) / 2 ]
3.10.3.2. RESPUESTA SENOIDAL DE UN INDUCTOR
Hay dos formas de analizar los inductores. La primera tiene que ver si por inductor de L henrios,
circula una corriente I = Im Sen ( ωt + θ ) al voltaje a través de ese inductor es:
V = L ( di/dt )

56. 56
V = L
dt
d
[ Im Sen ( ωt + θ ) ]
V = ω L Im Cos ( ωt + θ ) = ω L Im Sen ( ωt + θ + 90º )
V = Vm Cos ( ωt + θ ) = Vm Sen ( ωt + θ + 90º )
De la anterior ecuación se puede deducir:
• Vm = ω L Im, por tanto Im = ( Vm / ω L ) . El termino ω L se denomina REACTANCIA
INDUCTIVA ( XL ) y se asemeja a una resistencia, y sus unidades son ohmios ( Ω ). La reactancia
inductiva depende de la frecuencia angular ω, a mayor frecuencia, mayor efecto limitante de
corriente tendrá en el inductor; por el contrario a menor frecuencia , la corriente se incrementará y
cuando la frecuencia sea cero, se comportará como en corto circuito.
• Al analizar la expresión resultante del voltaje en el inductor, vemos que éste se adelanta 90º
con respecto a la corriente que circula por el mismo o la corriente del inductor se atrasa con respecto
al voltaje del mismo.
• En realidad, la corriente inducida de auto inducción no impide que la corriente principal
pase por a bobina, sino que la misma dificulta y retarda su paso.
Para la potencia consumida por el inductor, se tiene que:
P = V*I = [ Vm Cos ( ωt + θ ) ]*[ Im Sen ( ωt + θ ) ] = Vm Im Cos ( ωt + θ ) Sen ( ωt + θ )
P = ( Vm Im / 2 ) Sen ( 2ωt + 2θ ) = Vef Ief Sen ( 2ωt + 2θ )
Pm = ( Vm Im / 2 ) = Vef Ief
Esta potencia es senoidal con un valor de frecuencia que es el doble de la frecuencia del voltaje y la
corriente. Por tanto su valor promedio es cero. Por otro lado, un inductor consume energía en los
tiempos cuando la potencia es positiva ( curva por encima ) y entrega energía al circuito en los
tiempos en que la potencia es negativa ( curva por debajo ).

57. 57
310.3.3. RESPUESTA SENOIDAL DE UN CAPACITOR
Si por un capacitor de C faradios, circula un voltaje V = Vm Sen ( ωt + θ ) la corriente a través de ese
condensador es:
I = C ( dv/dt ) = C
dt
d
[ Vm Sen ( ωt + θ ) ]
I = ω C Vm Cos ( ωt + θ ) = ω C Vm Sen ( ωt + θ + 90º )
I = Im Cos ( ωt + θ ) = Im Sen ( ωt + θ + 90º )
De la anterior ecuación se puede deducir:
• Im = ω C Vm, por tanto Vm = ( Im / ω C ) . El termino ( 1 / ω L ) se denomina REACTANCIA
CAPACITIVA ( XC ) y se asemeja a una resistencia, y sus unidades son Ω. La reactancia capacitiva
depende de la frecuencia angular ω, a mayor frecuencia, mayor efecto de corriente tendrá en el
capacitor; por el contrario a menor frecuencia , la corriente se disminuye y cuando la frecuencia sea
cero, se comportará como en un circuito abierto.

58. 58
• Al analizar la expresión resultante de la corriente en el capacitor, vemos que ésta se
adelanta 90º con respecto al voltaje que circula por el mismo o que el voltaje del condensador se
atrasa 90º con respecto a la corriente del mismo.
• Un condensador al contrario que la bobina, facilita el paso de la corriente.
Para la potencia consumida por el inductor, se tiene que:
P = V*I = [ Vm Sen ( ωt + θ ) ]*[ Im Cos ( ωt + θ ) ] = Vm Im Cos ( ωt + θ ) Sen ( ωt + θ )
P = ( Vm Im / 2 ) Sen ( 2ωt + 2θ ) = Vef Ief Sen ( 2ωt + 2θ )
Pm = ( Vm Im / 2 ) = Vef Ief
Esta potencia es senoidal con un valor de frecuencia que es el doble de la frecuencia del voltaje y la
corriente. Por tanto su valor promedio es cero. Por otro lado, un capacitor almacena energía en los
tiempos cuando la potencia es positiva ( curva por encima ) y entrega energía al circuito en los
tiempos en que la potencia es negativa ( curva por debajo ).

59. 59
En el aspecto de potencia, tanto el inductor como el capacitor tiene comportamientos similares.
Ver video:
RESPUESTA DE RESISTENCIAS,
CAPACITORES E INDUCTORES EN AC
https://youtu.be/OsnTfDWe4Jk
3.10.4. ALGEBRA COMPLEJA Y DE FASORES
Se empleará el termino J = 1− , llamado término imaginario, por tanto obedece las leyes de las
ecuaciones. Si un número real se suma o resta a uno imaginario, el resultado se le denomina número
complejo, por ejemplo: 4 + 8J
El mismo se puede graficar en un plano
cartesiano de complejos donde en la
abscisa se ubican los valores reales y en
la ordenada los valores imaginarios,
respectando la ubicación de los signos.
3.10.4.1.FORMA POLAR DE UN COMPLEJO
Sean un complejo X + Y J, su forma polar viene por la expresión A ∠θ, donde
θ = Tan -1
( Y / X ) A = 22
YX +
Por ejemplo sean el complejo 6 – 5 J en forma polar sería 7,81 ∠-39.8º
Si se tienen dos complejos en forma polar A ∠θ y B ∠φ se cumple:
A ∠θ * B ∠φ = AB ∠ ( θ + φ )
A ∠θ / B ∠φ = A/B ∠ ( θ - φ )
Si se tiene un complejo en forma polar A ∠θ y se desea pasar a complejo se hace:
J +
8J 4 + 8 J
- 4 +
J -

60. 60
X = A * Cos θ Y = A * Sen θ
3.10.4.2. FASORES
Un fasor, en electricidad, es un número complejo en forma polar, asociado a una onda senoidal
desplazada en fase, su magnitud el valor eficaz RMS del voltaje o corriente, y su ángulo es el ángulo
de fase de la onda senoidal desplazada en fase. Por ejemplo, para el caso del sistema eléctrico, por
ejemplo:
Sea :
V = Vm Sen ( ωt + θ ) V = Vef ∠ θ V = ( Vm / 2 ) ∠ θ
V = 110 * 2 Sen ( 377 t + 40º ) V
V = 110 ∠ 40º
I = 0.439 ∠ - 27º
I = 0.439 * 2 Sen ( ωt – 27º )
3.10.4.3. ANALISIS DE RESISTENCIAS, INDUCTORES Y CAPACITORES CON FASORES
3.10.4.3.1. RESISTENCIAS
Se analizó anteriormente que los voltajes y corrientes que pasan por un resistor son:
V = Vm Sen ( ωt + θ ) en forma fasorial V = ( Vm / 2 ) ∠ θ
I = Im Sen ( ωt + θ ) en forma fasorial I = ( Im / 2 ) ∠ θ
Como
R = V/I = [( Vm / 2 ) ∠ θ ] / [( Im / 2 ) ∠ θ ] = Vm / Im ∠ 0º = Vef / Ief ∠ 0º
En forma de complejo es: R = Vm / Im = Vef / Ief
3.10.4.3.2. INDUCTORES
Se analizó anteriormente que los voltajes y corrientes que pasan por un inductor son:
V = L ω Im Sen ( ωt + θ + 90º ) en forma fasorial V = ( L ω Im / 2 ) ∠ ( θ + 90º )
I = Im Sen ( ωt + θ ) en forma fasorial I = ( Im / 2 ) ∠ θ
Como

61. 61
R = V/I = [( L ω Im / 2 ) ∠ ( θ + 90º )] / [( Im / 2 ) ∠ θ ]
R = ω L ∠ 90º
En su forma de complejo es: R = ( ω L ) J = XL J
3.10.4.3.3. CAPACITORES
Se analizó anteriormente que los voltajes y corrientes que pasan por un capacitor son:
I = C ω Vm Sen ( ωt + θ + 90º ) en forma fasorial I = ( C ω Vm / 2 ) ∠ ( θ + 90º )
V = Vm Sen ( ωt + θ ) en forma fasorial V = ( Vm / 2 ) ∠ θ
Como
R = V/I = [( Vm / 2 ) ∠ θ ] / [( C ω Vm / 2 ) ∠ ( θ + 90º )]
R = ( 1 / C ω ) ∠ - 90º
En su forma de complejo es: R = – ( 1 / C ω ) J = - XC J
3.10.5. ANALISIS DE CIRCUITOS DE CA CON FASORES
Se siguen los mismos procedimientos que para circuitos de corriente continua pero con ecuaciones
de favores, por ejemplo:
Vs = 110 2 Sen ( 377 t + 20º
)
C = ( 1/16 ) F
L = 2 H
R = 6 Ω
De la ecuación de voltaje por la línea y siguiendo la trayectoria de la corriente I:
Vr + Vi + Vc – Vs = 0 Vr + Vi + Vc = Vs
Vs = 110 ∠20º
Vr = 6 Ω I
Vi = ( ω L ) J I = ( 377 * 2 ) J I = ( 754 Ω ) J I
Vc = – ( 1 / C ω ) J I = – [ 1 / (1/16) 377 ] J I = – ( 0.042 ) J I
+ - + -
+ Vr Vi
+
Vs Vc
- I -

62. 62
6 Ω I + ( 754 Ω ) J I – ( 0.042 ) J I = 110 ∠20º
( 6 Ω + 753,95 Ω J ) I = 110 ∠20º
I = (110 ∠20º ) / ( 753.97 ∠ 89.54º )
I = 0.145 ∠ - 69.54
La expresión de i = 0.145 * 2 Sen ( 377 t – 69.54º ), la corriente esta atrasada 90º con respecto al
voltaje.
3.10.5.1. METODO DE LA IMPEDANCIA ( Z )
El método de la impedancia consiste en sumar todas las resistencias y las reactancias como un
complejo total, en otras palabras, una impedancia es una resistencia equivalente del sistema o
circuito, se expresa de la siguiente forma:
Z = R + J X = Z ∠∠∠∠ θθθθ Donde:
R = Z Cos θθθθ = ΣΣΣΣ R
X = Z Sen θθθθ = [ ΣΣΣΣ ωωωωL + ΣΣΣΣ ( - 1/ωωωωC ) ]
Donde R es la suma de las resistencias del
circuitos y X , llamada Reactancia de la
Impedancia, es la suma de las reactancias del
circuito. Esto es equivalente a obtener una
resistencia equivalente en un circuito de cc.
Para el caso del ejemplo anterior, la suma de las resistencias R es 6Ω; la suma de las reactancias son
( 754 – 0.042 ). El valor de la impedancia del sistema es:
Z = 6 Ω + 753.97 Ω J
Como la impedancia se comporta como una resistencia, cumple las misma leyes cuando están en
serie o en paralelo:
Zequiv = Z1 + Z2
I
V Z
Z1
V
Z2

63. 63
Zequiv = 1 / [ ( 1 / Z1 ) + ( 1 / Z2 ) ]
3.10.6. POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
La potencia promedio consumida por un circuito de corriente alterna de dos terminales, puede
deducirse a partir de la potencia instantánea consumida. Si se tiene un voltaje V = Vm Sen ( ωt + θ )
y una corriente de entrada I = Im Sen ( ωt ), la expresión para la potencia instantánea es:
P ( t ) = v * i = [ Vm Sen ( ωt + θ ) ]*[ Im Sen ( ωt ) ]
P ( t ) = Vef Ief Cos θ - Vef Ief Cos ( 2ωt + θ )
El valor promedio de esta potencia instantánea es el valor promedio de los dos términos de la
ecuación. La potencia promedio del término V I Cos ( 2ωt + θ ), por tratarse de una característica
senoidal, su potencia promedio es cero. Por tanto la potencia promedio consumida por el circuito
es:
P = PPROM = Vef Ief Cos θ
NOTA: El ángulo θ es el ángulo por medio del cual el voltaje de entrada se adelanta a la corriente de
entrada. Para un circuito resistivo θ = 0º; para un circuito inductivo θ = 90º y para un circuito
capacitivo θ = -90º. En los circuitos puramente inductivos y puramente capacitivos, no se consume
potencia promedio, observe el motivo:
TIPO CIRCUITO ANGULO DE FASE θθθθ POTENCIA PROMEDIO P
RESISTIVO 0 P = VI
INDUCTIVO 90º P = 0
CAPACITIVO -90º P = 0
El término COS θ se le denomina FACTOR DE POTENCIA ( FP ).
FP = ( POTENCIA ACTIVA / POTENCIA APARENTE ) = COS θ
El ángulo del factor de potencia tiene diferente signo para circuitos inductivos y capacitivos, pero
como se sabe que Cos θ = Cos ( - θ ), el ángulo del factor de potencia no afecta al factor de potencia.
Con base en lo anterior la ecuación de potencia promedio quedará:
P = Vef Ief * FP
Z1
Z2
V

64. 64
El factor de potencia de un circuito inductivo se le denomina Factor de Potencia Atrasado, debido a
que la corriente se atrasa con respecto al voltaje en este circuito. El factor de potencia de un circuito
capacitivo se le denomina factor de Potencia Adelantado, debido a que en este circuito, la corriente
se adelanta con respecto al voltaje.
Otra forma para expresar la potencia promedio es:
P = Vef Ief Cos θ = ( Ief Z ) Ief Cos θ = I2
ef Z Cos θ = I2
R Donde R = Z Cos θ
La potencia promedio se puede medir con el watimetro, el cual tiene dos terminales o pares de
tomar; un par es el de voltaje y el otro el de la corriente. El par de voltaje se conecta en paralelo a
la carga y el par de corriente se conecta en serie con la carga.
En las industrias, además del watimetro o contador, se tiene un medidor para las potencias reactivas
( Q ), que en caso que la empresa pase su consumo de las Q en cierto valor, la cia de electricidad
puede multarlas.
3.10.6.1. POTENCIA REACTIVA ( Q )
Para consideraciones industriales se emplea el concepto de potencia reactiva, cuyas unidades son
el Voltampere Reactivo ( VAR ). Esta es la potencia que se necesita para crear los campos magneticos
en motores y se define como:
Q = Vef Ief Sen θ
Donde θ sigue siendo el ángulo con que el voltaje de entrada se adelanta a la corriente de entrada
o el mismo ángulo del factor de potencia FP. El término SEN θ se le denomina FACTOR REACTIVO DE
CARGA ( FR ). Observe que pasa con la potencia Q para los circuitos:
TIPO CIRCUITO ANGULO DE FASE θθθθ POTENCIA REACTIVA Q
RESISTIVO 0 P = 0
INDUCTIVO 90º P = V I
CAPACITIVO -90º P = - V I
Otra forma para expresar la potencia promedio es:
Q = Vef Ief Sen θ = Vef Ief * FR = ( I Z ) I Sen θ = I2
Z Sen θ = I2
X Donde X = Z Sen θ
.10.6.2. POTENCIA COMPLEJA Y APARENTE
Existe una relación entra la potencia real de la carga, la potencia reactiva y otra potencia llamada
Potencia Compleja. Se parte de la ecuación de la impedancia Z:
Z = R + J X se multiplica esta ecuación por I2
( I2
Z ) = ( I2
R ) + J ( I2
X )

65. 65
S = P + J Q
Donde S = I2
Z es lo que se denomina Potencia Compleja de la carga y su unidad, al igual que la
potencia reactiva, es el Voltampere ( VA ). El origen de este nombre proviene del hecho de
considerarla igual al producto del voltaje y de la corriente efectiva ( ef ) de la entrada:
S = I2
Z = V I
También porque en el caso de circuitos de corriente continua, este producto VI corresponde a la
potencia absorbida.
Z = R + J X
Z = Z ∠ θ
Z = )XR( 22
+
Tan θ =
R
X
S = P + J Q
S = S ∠ θ
S = )QP( 22
+ = V I
Otra forma de expresar S es:
S = P + J Q
S = ( Vef Ief * FP ) + ( Vef Ief Sen θ ) J
3.10.7. CONSECUENCIAS DE UN BAJO FACTOR DE POTENCIA.
Para tener un factor de potencia bajo, se requiere poseer un ángulo de fase alto, lo cual implica:
• Cos θ es bajo por tanto las cargas reactivas son mas grandes.
• Se requieren el empleo de transformadores de mayor potencia para una misma carga.
• Disminución del rendimiento de los generadores y los transformadores.
• La corriente es mayor, lo que implica perdidas en las líneas de transmisión.
Z
J X
θ
R
Z I2
J X I2
θ
R I2
S
J Q
θ
P