Leyes de morgan

1. LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL

2. 2
LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
p
p 

 )
(

3. 3
LEY DE LA IDEMPOTENCIA
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
p
p
p
b
p
p
p
a




)
)

4. 4
LEY DE IDENTIDAD
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
p
F
p
d
V
V
p
c
F
F
p
b
p
V
p
a








)
)
)
)

5. 5
LEY DE LA CONTRADICCIÓN
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
F
p
p 


Independiente del valor de verdad que tenga p,
la proposición: (p   p) siempre es falsa.
Ejemplos:
(q   q) su valor de verdad es F
(r   r) su valor de verdad es F
(a  b)   (a  b) su valor de verdad es F

6. 6
LEY DEL TERCER EXCLUIDO
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
V
p
p 


Independiente del valor de verdad que tenga p,
la proposición: (p   p) siempre es verdadera.
Ejemplos:
(q   q) su valor de verdad es V
(r   r) su valor de verdad es V
(a  b)   (a  b) su valor de verdad es V

7. 7
LEY DE D´MORGAN
Solución: Cambiamos “y” por “o” y negamos las
proposiciones simples que forman el enunciado, así:
Respuesta: “7 no es un número primo o 30 no es divisible
por 5”.
Ejercicio: Negar la proposición: “7 es un número primo y
30 es divisible por 5”.
q
p
q
p
b
q
p
q
p
a












)
(
)
)
(
)
Si p, q son proposiciones simples o compuestas,
entonces:

8. 8
LEY DE LA CONDICIONAL
Solución:
a.  (p  q )  r ]   ( p  q )  r
b.  p  (  q   r ) ]   p  (  q   r )
Ejercicio:
Aplique la ley condicional a las proposiciones siguientes:
a. ( p  q)  r
b. p  (  q   r)
q
p
q
p 



Si p, q son proposiciones simples o compuestas,
entonces:

9. 9
LEY CONMUTATIVA
Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
p
q
q
p
c
p
q
q
p
b
p
q
q
p
a









)
)
)

10. 10
LEY ASOCIATIVA
Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
r
q
p
r
q
p
c
r
q
p
r
q
p
b
r
q
p
r
q
p
a
















11. 11
LEY DISTRIBUTIVA
Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
r
p
q
p
r
q
p
d
r
p
q
p
r
q
p
c
r
p
q
p
r
q
p
b
r
p
q
p
r
q
p
a

























12. 12
APLICACIÓN DE LAS LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
Demostrar que:
 ( p  q )   p   q )]
Solución:
1. Aplicamos la ley de la condicional
 ( p  q )   ( p )   q 
2. Aplicamos ley de D´Morgan
 ( p )   q    ( p)   ( q )
3. Aplicamos Ley de la Doble Negación
 ( p)   ( q )  p  ( q)
Demostrado:  ( p  q )   p  (q)

13. 13
APLICACIÓN DE LAS LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
Demostrar que:
( p  q)  p es una tautología
Solución:
1. Aplicamos la ley de la condicional
 ( p  q )  p
2. Aplicamos ley de D´Morgan
( p   q )  p
3. Aplicamos Ley asociativa
( p  p)   q
4. Aplicamos ley del Tercer excluido
(V)   q
5. Aplicamos ley de la Identidad
(V)

14. 14
EJERCICIOS DE LAS LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
1.- Demostrar que la siguiente proposición es
una tautología:
[ ( p  q)  (  q)]  (  p)
2.- Demostrar que la siguiente proposición es
una contradicción:
 [ ( p  q )  (  p  q ) ]   [  (  p  q ) ]
  (  p  q )

15. CUANTIFICADORES

16. 16
CUANTIFICADORES
Función Proposicional:
Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de
convertirse en una proposición al ser sustituido la
variable “x” por una constante específica.
Se denota así: p(x) ; q(x) ; (se lee: p de x; q de x)
Ejemplo:
Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 ,
la expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la
expresión es verdadera. Esto escribimos así:
P(3): 3+5=12 es falsa
P(7): 7+5=12 es verdadera.

17. 17
TIPOS DE CUANTIFICADORES
Cuantificador Universal:
Es toda función proposicional precedida por el Prefijo
“Para Todo”.
Se denotado por:
Ejemplo:
Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x² es
mayor o igual a cero”

0
: 2


 x
R
x

18. 18
TIPOS DE CUANTIFICADORES
Cuantificador Existencial
Es toda función proposicional precedida por el prefijo
“Existe algún x”.
Se denotado por:
Ejemplo:
Se lee: “Existe algún x perteneciente a los reales, 2x²
menos 8 igual a cero”
0
8
2
: 2



 x
R
x
x
