Caracterización de antenas lineales usando el Método de los Momentos

1. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Caracterización de antenas lineales
usando el Método de los Momentos
Prof. A. Zozaya, Dr.1
1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departamento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Valencia, junio/2010
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

2. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Contenido
Introducción
Ecuación integral del campo eléctrico
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

3. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
En un problema de radiación de antenas lin-
eales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-
imentación) conocer:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

4. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
En un problema de radiación de antenas lin-
eales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-
imentación) conocer:
por un lado: la distribución de corriente I(u) en
los alambres,
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

5. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
En un problema de radiación de antenas lin-
eales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-
imentación) conocer:
por un lado: la distribución de corriente I(u) en
los alambres,
por el otro: los campos de radiación E y H.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

6. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
En un problema de radiación de antenas lin-
eales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-
imentación) conocer:
por un lado: la distribución de corriente I(u) en
los alambres,
por el otro: los campos de radiación E y H.
pero: la distribución de corriente es una función
de los campos y éstos de la corriente.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

7. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
En un problema de radiación de antenas lin-
eales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-
imentación) conocer:
por un lado: la distribución de corriente I(u) en
los alambres,
por el otro: los campos de radiación E y H.
pero: la distribución de corriente es una función
de los campos y éstos de la corriente.
¿Cómo proceder?
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

8. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante el
Teorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)
en los alambres:
E = `|!
„
1 +
1
»2
rr´
«
A
donde
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

9. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante el
Teorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)
en los alambres:
E = `|!
„
1 +
1
»2
rr´
«
A
donde
A =
—
4ı
Z
S0
Js (r0
)g(r; r0
) ds0
siendo g(r; r0) = e`j»jr`r0j
jr`r0j
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

10. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
Sustituyendo A = —
4ı
R
S0 Js (r0)g(r; r0) ds0 en E = `|!
“
1 + 1
»2 rr´
”
A,
se obtiene
E = `
|!—
4ı
Z
S0
Js (r0
) ´
„
I +
1
»2
rr
«
g(r; r0
) ds0
donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

11. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
Sustituyendo A = —
4ı
R
S0 Js (r0)g(r; r0) ds0 en E = `|!
“
1 + 1
»2 rr´
”
A,
se obtiene
E = `
|!—
4ı
Z
S0
Js (r0
) ´
„
I +
1
»2
rr
«
g(r; r0
) ds0
donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green.
Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-
co, EFIE (por sus siglas en inglés)
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

12. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
Sustituyendo A = —
4ı
R
S0 Js (r0)g(r; r0) ds0 en E = `|!
“
1 + 1
»2 rr´
”
A,
se obtiene
E = `
|!—
4ı
Z
S0
Js (r0
) ´
„
I +
1
»2
rr
«
g(r; r0
) ds0
donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green.
Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-
co, EFIE (por sus siglas en inglés)
En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), se
desconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E, de las incógnitas
del problema.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

13. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

14. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

15. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribu-
ción de corriente de esta antena lineal.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

16. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribu-
ción de corriente de esta antena lineal.
Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

17. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribu-
ción de corriente de esta antena lineal.
Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

18. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribu-
ción de corriente de esta antena lineal.
Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de
onda –: a fi –.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

19. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribu-
ción de corriente de esta antena lineal.
Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de
onda –: a fi –.
El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corriente
se distribuye superficialmente: ff ) J ! JS .
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

20. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribu-
ción de corriente de esta antena lineal.
Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de
onda –: a fi –.
El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corriente
se distribuye superficialmente: ff ) J ! JS .
La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muy
pequeño comparado con –: ∆“ fi –
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

21. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo impreso
Admitimos que en nuestro problema el campo
eléctrico consiste de dos partes:
E = Es
+ Ei
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

22. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo impreso
Admitimos que en nuestro problema el campo
eléctrico consiste de dos partes:
E = Es
+ Ei
Ei es el campo impreso, debido a la excitación, que es distinto de cero
solo en el gap de alimentación:
Ei
=
∆V
∆“
az ; 8z j∆“=2j
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

23. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
Es es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

24. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
Es es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
El campo Es se relaciona con la corriente según
la ecuación
Es = `|!—
4ı
R
S0 Js (r0) ´
“
I + 1
»2 rr
”
g(r; r0) ds0
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

25. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
Es es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
El campo Es se relaciona con la corriente según
la ecuación
Es = `|!—
4ı
R
S0 Js (r0) ´
“
I + 1
»2 rr
”
g(r; r0) ds0
Como Js ! I(z0)az , con Iaz = Js 2ıa,
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

26. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
Es es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
El campo Es se relaciona con la corriente según
la ecuación
Es = `|!—
4ı
R
S0 Js (r0) ´
“
I + 1
»2 rr
”
g(r; r0) ds0
Como Js ! I(z0)az , con Iaz = Js 2ıa,
Entonces
R
S0 !
R
L0 , ds0 ! dz0.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

27. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
Es es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
El campo Es se relaciona con la corriente según
la ecuación
Es = `|!—
4ı
R
S0 Js (r0) ´
“
I + 1
»2 rr
”
g(r; r0) ds0
Como Js ! I(z0)az , con Iaz = Js 2ıa,
Entonces
R
S0 !
R
L0 , ds0 ! dz0.
Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @
@z
,
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

28. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
Es es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
El campo Es se relaciona con la corriente según
la ecuación
Es = `|!—
4ı
R
S0 Js (r0) ´
“
I + 1
»2 rr
”
g(r; r0) ds0
Como Js ! I(z0)az , con Iaz = Js 2ıa,
Entonces
R
S0 !
R
L0 , ds0 ! dz0.
Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @
@z
,
y como g(r; r0) ” e`j»
p
(z`z0)2+2
p
(z`z0)2+2
, resulta:
Es
= `
|!—
4ı
Z L
2
` L
2
I(z0
)
„
az +
1
»2
@
@z
r
«
e`j»
p
(z`z0)2+2
p
(z ` z0)2 + 2
dz0
donde  – a.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

29. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(Ei
+ Es
) ´ az j=a = 0
por tanto:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

30. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(Ei
+ Es
) ´ az j=a = 0
por tanto:
[ ∆V
∆“
‹(z)az `
|!—
4ı
R
L0 I(z0)
„
az + 1
»2
@
@z
r
«
g(r; r0) dz0] ´ az = 0
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

31. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(Ei
+ Es
) ´ az j=a = 0
por tanto:
[ ∆V
∆“
‹(z)az `
|!—
4ı
R
L0 I(z0)
„
az + 1
»2
@
@z
r
«
g(r; r0) dz0] ´ az = 0
y
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
resultando:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

32. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(Ei
+ Es
) ´ az j=a = 0
por tanto:
[ ∆V
∆“
‹(z)az `
|!—
4ı
R
L0 I(z0)
„
az + 1
»2
@
@z
r
«
g(r; r0) dz0] ´ az = 0
y
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
resultando:
Z L
2
` L
2
I(z0
)
„
»2
+
@2
@z2
«
e`j»
p
(z`z0)2+a2
p
(z ` z0)2 + a2
dz0
= `
|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

33. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

34. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

35. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
Para ello será necesario una expansión del tipo:
I(z0) ı
P
n Infn(z0).
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

36. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
Para ello será necesario una expansión del tipo:
I(z0) ı
P
n Infn(z0).
Establecer un procedimiento de prueba
hwm; Lfni.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

37. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
Para ello será necesario una expansión del tipo:
I(z0) ı
P
n Infn(z0).
Establecer un procedimiento de prueba
hwm; Lfni.
Un dominio fuente.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

38. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
Para ello será necesario una expansión del tipo:
I(z0) ı
P
n Infn(z0).
Establecer un procedimiento de prueba
hwm; Lfni.
Un dominio fuente.
Un dominio de observación.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

39. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
Para ello será necesario una expansión del tipo:
I(z0) ı
P
n Infn(z0).
Establecer un procedimiento de prueba
hwm; Lfni.
Un dominio fuente.
Un dominio de observación.
Discretización de los dominios de interés:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

40. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
Para ello será necesario una expansión del tipo:
I(z0) ı
P
n Infn(z0).
Establecer un procedimiento de prueba
hwm; Lfni.
Un dominio fuente.
Un dominio de observación.
Discretización de los dominios de interés:
Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N
(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz0
ng con una separación
constante h = L=N: z0
n = nh, con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N
2
.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

41. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
En la ecuación:
R
L0 I(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0) dz0 = `|4ı»
”
∆V
∆“
‹(z)
I(z0) se desconoce.
I(z0) se puede estimar usando el MoM.
Para ello será necesario una expansión del tipo:
I(z0) ı
P
n Infn(z0).
Establecer un procedimiento de prueba
hwm; Lfni.
Un dominio fuente.
Un dominio de observación.
Discretización de los dominios de interés:
Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N
(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz0
ng con una separación
constante h = L=N: z0
n = nh, con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N
2
.
Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cual
se localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =
0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N
2
.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

42. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Selección de las funciones bases y de peso.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

43. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Selección de las funciones bases y de peso.
Seleccionamos la siguiente familia de funciones
bases:
fn(z0
) =
8
:
sin »[z0`h(n`1)]
sin »h
; hn z0 (h ` 1)n;
sin »[h(n+1)`z0]
sin »h
; h(n + 1) z0 hn;
0; para el resto.
con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚N
2
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

44. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Selección de las funciones bases y de peso.
Seleccionamos la siguiente familia de funciones
bases:
fn(z0
) =
8
:
sin »[z0`h(n`1)]
sin »h
; hn z0 (h ` 1)n;
sin »[h(n+1)`z0]
sin »h
; h(n + 1) z0 hn;
0; para el resto.
con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚N
2
Seleccionamos la siguiente familia de funciones de peso:
w = ‹(z ` mh)
con m = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚N
2
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

45. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

46. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
Dado que Zm;n = hw; Lfni, tenemos:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

47. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
Dado que Zm;n = hw; Lfni, tenemos:
Zm;n =
R
L ‹(z ` mh)Lfn dz, así:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

48. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
Dado que Zm;n = hw; Lfni, tenemos:
Zm;n =
R
L ‹(z ` mh)Lfn dz, así:
Zm;n = Lfnjmh, esto es:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

49. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
Dado que Zm;n = hw; Lfni, tenemos:
Zm;n =
R
L ‹(z ` mh)Lfn dz, así:
Zm;n = Lfnjmh, esto es:
Zm;n =
R
L0 fn(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0)jmh dz0
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

50. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
Dado que Zm;n = hw; Lfni, tenemos:
Zm;n =
R
L ‹(z ` mh)Lfn dz, así:
Zm;n = Lfnjmh, esto es:
Zm;n =
R
L0 fn(z0)
“
»2 + @2
@z2
”
g(r; r0)jmh dz0
Así se tiene:
Zm;n =
Z L
2
` L
2
fn(z0
)
„
»2
+
@2
@z2
«
e`j»
p
(z`z0)2+a2
p
(z ` z0)2 + a2
˛
˛
˛
˛
˛
z=mh
dz0
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

51. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Aproximando @2f
@2z
mediante diferencias finitas:
@2f
@2z
ı 1
h2 [f (z ` h) ` 2f (z) + f (z + h)]
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

52. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Aproximando @2f
@2z
mediante diferencias finitas:
@2f
@2z
ı 1
h2 [f (z ` h) ` 2f (z) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
R L
2
` L
2
fn(z0) 1
h2
e
`j»Rm`1
Rm`1
+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm
Rm
+ e`j»Rm+1
Rm+1
#
dz0
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

53. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Aproximando @2f
@2z
mediante diferencias finitas:
@2f
@2z
ı 1
h2 [f (z ` h) ` 2f (z) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
R L
2
` L
2
fn(z0) 1
h2
e
`j»Rm`1
Rm`1
+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm
Rm
+ e`j»Rm+1
Rm+1
#
dz0
donde Rm =
p
(mh ` z0)2 + a2.
La integral en z0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2
@z2 )g(r; r0) se
mantiene uniforme en el subdominio fuente.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

54. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Aproximando @2f
@2z
mediante diferencias finitas:
@2f
@2z
ı 1
h2 [f (z ` h) ` 2f (z) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
R L
2
` L
2
fn(z0) 1
h2
e
`j»Rm`1
Rm`1
+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm
Rm
+ e`j»Rm+1
Rm+1
#
dz0
donde Rm =
p
(mh ` z0)2 + a2.
La integral en z0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2
@z2 )g(r; r0) se
mantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:
Zm;n = 1
h2
h
e`j»Rm`1;n
Rm`1;n
+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;n
Rm;n
+ e`j»Rm+1;n
Rm+1;n
i R L
2
` L
2
fn(z0) dz0
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

55. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Aproximando @2f
@2z
mediante diferencias finitas:
@2f
@2z
ı 1
h2 [f (z ` h) ` 2f (z) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
R L
2
` L
2
fn(z0) 1
h2
e
`j»Rm`1
Rm`1
+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm
Rm
+ e`j»Rm+1
Rm+1
#
dz0
donde Rm =
p
(mh ` z0)2 + a2.
La integral en z0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2
@z2 )g(r; r0) se
mantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:
Zm;n = 1
h2
h
e`j»Rm`1;n
Rm`1;n
+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;n
Rm;n
+ e`j»Rm+1;n
Rm+1;n
i R L
2
` L
2
fn(z0) dz0
donde Rm;n =
p
[(m ` n)h]2 + a2.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

56. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Como:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

57. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Como:
R L
2
` L
2
fn(z0) dz0 =
R nh
(n`1)h
sin »[z0`h(n`1)]
sin »h
dz0 +
R (n+1)h
nh
sin »[h(n+1)`z0]
sin »h
dz0
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

58. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Como:
R L
2
` L
2
fn(z0) dz0 =
R nh
(n`1)h
sin »[z0`h(n`1)]
sin »h
dz0 +
R (n+1)h
nh
sin »[h(n+1)`z0]
sin »h
dz0
Al resolver las integrales, se obtiene:
Z L
2
` L
2
fn(z0
) dz0
=
4 sin2
( »h
2
)
» sin »h
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

59. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Como:
R L
2
` L
2
fn(z0) dz0 =
R nh
(n`1)h
sin »[z0`h(n`1)]
sin »h
dz0 +
R (n+1)h
nh
sin »[h(n+1)`z0]
sin »h
dz0
Al resolver las integrales, se obtiene:
Z L
2
` L
2
fn(z0
) dz0
=
4 sin2
( »h
2
)
» sin »h
Finalmente Zmn tiene la forma:
Zm;n =
1
h2
»
e`j»Rm`1;n
Rm`1;n
+ (h2
»2
` 2)
e`j»Rm;n
Rm;n
+
e`j»Rm+1;n
Rm+1;n
–
4 sin2
( »h
2
)
» sin »h
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

60. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Como:
R L
2
` L
2
fn(z0) dz0 =
R nh
(n`1)h
sin »[z0`h(n`1)]
sin »h
dz0 +
R (n+1)h
nh
sin »[h(n+1)`z0]
sin »h
dz0
Al resolver las integrales, se obtiene:
Z L
2
` L
2
fn(z0
) dz0
=
4 sin2
( »h
2
)
» sin »h
Finalmente Zmn tiene la forma:
Zm;n =
1
h2
»
e`j»Rm`1;n
Rm`1;n
+ (h2
»2
` 2)
e`j»Rm;n
Rm;n
+
e`j»Rm+1;n
Rm+1;n
–
4 sin2
( »h
2
)
» sin »h
donde Rm;n =
p
[(m ` n)h]2 + a2.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

61. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Dado que Vm = hwm; `|4ı»
”
∆V
∆“
i, al poner:
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

62. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Dado que Vm = hwm; `|4ı»
”
∆V
∆“
i, al poner:
∆V = 1, y
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

63. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Dado que Vm = hwm; `|4ı»
”
∆V
∆“
i, al poner:
∆V = 1, y
∆“ = h,
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

64. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Dado que Vm = hwm; `|4ı»
”
∆V
∆“
i, al poner:
∆V = 1, y
∆“ = h, se obtiene:
Vm =
Z L
2
` L
2
‹(z ` mh)
„
`
|4ı»
”
1
h
«
dz
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

65. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Dado que Vm = hwm; `|4ı»
”
∆V
∆“
i, al poner:
∆V = 1, y
∆“ = h, se obtiene:
Vm =
Z L
2
` L
2
‹(z ` mh)
„
`
|4ı»
”
1
h
«
dz
Y:
Vm =

` |4ı»
”
1
h
; m = N+1
2
;
0; para el resto.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

66. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Distribución de corriente
Resultados
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10
−3
z′/λ
Re{i(z′)}
fI(z0)g vs. z0
–
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
x 10
−3
z′/λ
Im{i(z′)}
=fI(z0)g vs. z0
–
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

67. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
El patrón de radiación F(„) viene dado
por:
F(„) =
jN„(„)j
jN„(ı=2)j
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

68. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
El patrón de radiación F(„) viene dado
por:
F(„) =
jN„(„)j
jN„(ı=2)j
donde
N„(„) = [
R
L0 I(z0)az e|»z0 cos „ dz0] ´ a„
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

69. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
El patrón de radiación F(„) viene dado
por:
F(„) =
jN„(„)j
jN„(ı=2)j
donde
N„(„) = [
R
L0 I(z0)az e|»z0 cos „ dz0] ´ a„
F(„) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valores
del ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

70. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
El patrón de radiación F(„) viene dado
por:
F(„) =
jN„(„)j
jN„(ı=2)j
donde
N„(„) = [
R
L0 I(z0)az e|»z0 cos „ dz0] ´ a„
F(„) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valores
del ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „K g.
Para ello se reemplaza I(z0) por su aproximación: I(z0) ı
P
n Infn(z0):
N„(„) = ` sin „
R
L0
P
n Infn(z0) e|»z0 cos „ dz0
con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

71. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
La integral IN =
R
L0
P
n Infn(z0) e|»z0 cos „ se puede
resolver numéricamente.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

72. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
La integral IN =
R
L0
P
n Infn(z0) e|»z0 cos „ se puede
resolver numéricamente.
Intercambiando los operadores
P
n
R
L0 ,
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

73. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
La integral IN =
R
L0
P
n Infn(z0) e|»z0 cos „ se puede
resolver numéricamente.
Intercambiando los operadores
P
n
R
L0 ,
Llamando ‘0
n el sub-dominio de integración de
fn(z0):
IN ı
P
n In
R
‘0
n
fn(z0) e|»z0 cos „ dz0
con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

74. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
La integral IN =
R
L0
P
n Infn(z0) e|»z0 cos „ se puede
resolver numéricamente.
Intercambiando los operadores
P
n
R
L0 ,
Llamando ‘0
n el sub-dominio de integración de
fn(z0):
IN ı
P
n In
R
‘0
n
fn(z0) e|»z0 cos „ dz0
con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „K g.
Sub-dividiendo ‘0
n en M sub-tramos de longitud
∆.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

75. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
La integral IN =
R
L0
P
n Infn(z0) e|»z0 cos „ se puede
resolver numéricamente.
Intercambiando los operadores
P
n
R
L0 ,
Llamando ‘0
n el sub-dominio de integración de
fn(z0):
IN ı
P
n In
R
‘0
n
fn(z0) e|»z0 cos „ dz0
con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „K g.
Sub-dividiendo ‘0
n en M sub-tramos de longitud
∆.
Aproximando IN :
IN ı
P
n In
PM
m fn(zc0
m ) e|»zc0
m cos „ ∆
donde zc0
m es la coordenada z0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =
f„0; „1; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

76. Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
Resultados
0.20.40.60.81
π/6
5π/6
π/3
2π/3
π/2 π/2
2π/3
π/3
5π/6
π/6
π
0
N=i2.*exp(1j*2*pi*Zpctheta);
N=sum(N,2);
Nz=N'.*-sin(theta).*Delta;
a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM