radiacion electromagnetica

Electromagnetismo 2004 10-1
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
Introducción
En los capítulos precedentes analizamos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un re-
cinto sin fuentes de campo, que constituyen ondas electromagnéticas. En tales casos se suponía
que las fuentes se hallaban fuera del recinto de integración. En este capítulo analizaremos las
soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando las fuentes del campo se hallan dentro del re-
cinto de integración. De esta forma se determina la relación entre el campo y sus fuentes, es de-
cir, se describe el proceso de generación de energía electromagnética radiante.
El problema de la radiación electromagnética tiene importancia práctica a altas frecuencias. En
sistemas de potencia es de relevancia en situaciones de sobrecarga o desbalanceo transitorios,
caída de rayos, y como factor de interferencia electromagnética sobre otros equipos o instalacio-
nes. En comunicaciones inalámbricas, los sistemas radiantes se basan en estos principios. Final-
mente, son de interés actual las consecuencias biológicas y ambientales de los campos electro-
magnéticos, fundamentalmente en relación a los eventuales efectos perjudiciales que las instala-
ciones eléctricas puedan tener sobre la salud humana y el medio ambiente.
Resolución de las ecuaciones de Maxwell en el vacío con fuentes
En el vacío:
),(
),(
),(
0
),(
),(
0),(
),(
),(
0
0
0
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
rj
rE
rH
rH
rE
rH
r
rE
=
∂
∂
−×∇
=
∂
∂
+×∇
=•∇
=•∇
ε
µ
ε
ρ
Para resolver estas ecuaciones inhomogéneas, es conveniente introducir los llamados potenciales
electrodinámicos, que surgen de las propiedades de los campos:
Como 0),( =•∇ trH ⇒⇒⇒⇒ ),(
1
),(
0
tt rArH ×∇=
µ
A es el llamado potencial vectorial electrodinámico1
.
Entonces: 0),(),(0
),(
),( 0 =×∇
∂
∂
+×∇⇒=
∂
∂
+×∇ tt
t
t rA
t
rE
t
rH
rE µ
Luego: 0
),(
),( =





∂
∂
+×∇
t
rA
rE
t
t
de modo que el campo dentro del corchete se puede escribir como el gradiente de un potencial
escalar: ),(
),(
),( t
t
t r
t
rA
rE φ−∇=
∂
∂
+ ⇒⇒⇒⇒
t
rA
rrE
∂
∂
−−∇=
),(
),(),(
t
tt φ
φ es el llamado potencial escalar electrodinámico2
.
1
Nótese que este potencial vectorial electrodinámico coincide con el potencial vectorial magnético que hemos visto
previamente en el caso estático cuando los campos no dependen del tiempo.
2
También el potencial escalar electrodinámico coincide con el potencial electrostrático cuando los campos no de-
penden del tiempo.
10 - Radiación Electromagnética

Ejemplo 10.1: Analizar la unicidad en la selección de los potenciales electrodinámicos.
Como se define el potencial vectorial a partir de: 0/),(),( µ×∇= tt rArH se ve que puede
escribirse también: [ ] 0/),(),(),( µttt rrArH Ψ∇+×∇= donde ),( trΨ es un campo escalar
diferenciable cualquiera, ya que el rotor de un gradiente siempre es cero. Entonces el poten-
cial vectorial no es único, sino que está definido a menos del gradiente de un campo escalar.
Si tomamos entonces: ),(),(),( ttt rrArA Ψ∇+=′
queda para el campo eléctrico:
t
r
t
rA
r
t
rA
rrE
∂
Ψ∂∇
−
∂
∂
−−∇=
∂
′∂
−−∇=
),(),(
),(
),(
),(),(
tt
t
t
tt φφ
o sea:
t
rA
t
r
rrE
∂
∂
−





∂
Ψ∂
+−∇=
),(),(
),(),(
tt
tt φ
de manera que si tomamos los potenciales electrodinámicos:
t
r
rr
rrArA
∂
Ψ∂
−=′
Ψ∇+=′
),(
),(),(
),(),(),(
t
tt
ttt
φφ
llegamos a las mismas expresiones de los campos que antes. La función Ψ es arbitraria, y
su elección se conoce como una calibración o gauge. Las leyes físicas deben ser invariantes
frente a una transformación de calibración. Las modernas teorías de gauge en la descripción
de las interacciones elementales han creado una nueva visión de la física.
Los potenciales electrodinámicos φ(r,t) y A(r,t) permiten obtener los campos. Veamos cómo
se escriben las ecuaciones de Maxwell para estos potenciales:
j
A
Arj
rE
rH
A
Ar
rE
=





∂
∂
+∇
∂
∂
+×∇×∇⇒=
∂
∂
−×∇
−=•∇
∂
∂
+∇⇒−=





∂
∂
+∇•∇⇒=•∇
tt
t
t
t
t
tt
t
t
φε
µ
ε
ε
ρ
φ
ε
ρ
φ
ε
ρ
0
0
0
0
2
00
1
),(
),(
),(
),(
),(
de donde:
( ) j
A
AAj
A
AA 02
2
2
2
202
2
22
2 1111
µ
φ
µ
φ
=
∂
∂
+∇−





∂
∂
+•∇∇⇒=
∂
∂
+





∂
∂
∇+∇−•∇∇
tctctctc
Todo campo vectorial queda unívocamente definido si se dan su divergencia y su rotor. En el
caso del potencial vectorial A se conoce el rotor (que es H) pero las ecs. de Maxwell no dan nin-
guna condición sobre su divergencia. Es así que podemos elegirla de la forma más conveniente
para resolver el problema. Esta elección arbitraria se llama una calibración, como se mencionó
en el Ejemplo 10.1.
En nuestro caso, las ecuaciones diferenciales para los potenciales electrodinámicos se simplifi-
can si usamos la calibración de Lorentz: 0
1
2
=
∂
∂
+•∇
tc
φ
A
de donde queda:
),(),(
1
),(
),(
),(
1
),( 02
2
2
2
0
2
2
2
2
tt
tc
t
t
t
tc
t rjrArA
r
rr µ
ε
ρ
φφ =
∂
∂
−∇=
∂
∂
−∇
que son ecuaciones vectoriales de D’Alembert inhomogéneas.
La solución de estas ecuaciones inhomogéneas son las siguientes (APENDICE 7):
∫∫
′′
=
′′
=
VV
dV
R
t
tdV
R
t
t
),(
4
),(
),(
4
1
),( 0
0
rj
rA
r
r
π
µρ
επ
φ
con: cRttR /−=′′−= rr
Se ve de estas expresiones que
los potenciales en un punto r
del espacio y en el instante t
dependen de lo que ocurrió en
las fuentes en un instante ante-
rior t’. Por esta razón se lla-
man potenciales retardados.

Este retardo surge del valor finito de propagación de la luz en el vacío, que da lugar a un interva-
lo entre el momento que se da un cambio en la fuente y el momento en que se observa el corres-
pondiente cambio en el campo lejano observado. Los cambios se propagan en forma ondulatoria
con velocidad c. Estas ecuaciones representan la generación de ondas electromagnéticas a partir
de sus fuentes. Estas ondas transportan energía desde las fuentes hacia otros sistemas.
De la expresión de A se observa que existe generación de ondas cuando la corriente depende del
tiempo. Si la corriente es estacionaria, no existe generación de ondas. Una corriente estacionaria
(independiente del tiempo) implica que las cargas se hallan en movimiento uniforme. Una co-
rriente no estacionaria implica cargas aceleradas.
Parámetros básicos de las antenas
Su objetivo es enviar o recibir energía y/o información a distancia en forma de ondas electro-
magnéticas. Se puede pensar una antena como un dispositivo de adaptación de impedancias entre
la línea o guía de alimentación y el espacio. En las siguientes secciones presentamos los paráme-
tros básicos que describen el comportamiento de las antenas.
Resistencia de radiación
Cuando la antena actúa como emisora, envía energía al espacio que la rodea. Se puede modeli-
zar esta cesión de energía con una analogía circuital donde la energía radiada se supone disipada
por efecto Joule en una resistencia de radiación.
Diagrama de radiación
Un parámetro importante de una antena es la distribución espacial de la radiación que emite.
Sabemos que mediante interferencia de radiadores coherentes podemos obtener una distribución
no uniforme de la radiación. Esto permite lograr “guiar” ondas aún el espacio libre sin contornos.
Las gráficas de campo o densidad de potencia radiada según las direcciones del espacio son los
llamados diagramas de radiación. Estos diagramas también describen las propiedades anisótro-
pas de recepción de antenas receptoras, de manera que son características de gran interés en el
diseño de un enlace de radiocomunicaciones.Habitualmente el diagrama de radiación de una an-
tena es un diagrama tridimensional o un grupo de secciones sobre planos que definan las caracte-
rísticas de la antena.
Normalmente se trata de un diagrama en coordenadas esféricas y secciones sobre planos horizon-
tales (a ϕ constante) o verticales (a θ constante). En la figura se muestran diagramas polares
horizontales del campo y la densidad de potencia radiados por un arreglo de radiadores ubicados
sobre el eje vertical.
Generador
Onda guiada
Antena Generador
Onda guiada
R Radiación
Onda libre
Se concluye entonces que sólo cargas aceleradas emiten ondas electromagné-
ticas, mientras que cargas en movimiento uniforme no emiten radiación.
Una antena es un transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre.

También se pueden dibujar los diagramas en coordenadas cartesianas, con ordenada proporcional
a la amplitud del campo o a la densidad media de potencia radiada, en escala normal o en escala
logarítmica (en dB), como se ilustra en las siguientes figuras para el mismo sistema de las gráfi-
cas polares.
Se observa que el diagrama de radiación consiste en una serie de lóbulos. Se ve además que (en
general) el diagrama de radiación de campo revela con más detalle la estructura lobular de la
radiación, aunque el diagrama de densidad de potencia describe en forma más realista la distri-
bución anisotrópica de la energía radiada. En lo que sigue en esta sección, nos referiremos al
diagrama de potencia.
Hay lóbulos principales, en las direcciones de máxima radiación, y lóbulos secundarios, que se
hacen más evidentes en los diagramas logarítmicos. El lóbulo se define por su amplitud y su
ancho de haz de potencia media ∆ϕ para el cual la densidad de potencia cae a la mitad del
valor máximo para el lóbulo (y los campos a 2/1 ).
En muchos casos la antena produce una polarización no lineal, y se pueden dar los diagramas de
radiación para cada componente de polarización o un diagrama de potencia, que grafica el módu-
lo del vector de Poynting (para el campo completo) en función de la dirección (θ,ϕ). Habitual-
mente los diagramas de potencia se normalizan a la densidad máxima.
Potencia media radiada
El vector de Poynting medio emitido por la antena será: ( )*Re
2
1
HEN ×>=<
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
Diagrama de campo Diagrama de potencia
θ (grados) θ (grados)
∆ϕ

La potencia media radiada por la antena se calcula mediante el flujo del vector de Poynting a
través de una superficie cerrada que contiene a la antena:
∫ •=
S
dsP nN ˆ
La superficie de integración es cualquiera. Supongamos,
por ejemplo, que tomamos a S1 como superficie de inte-
gración, y obtenemos un valor 1P . Si luego tomamos
otra superficie S2 que contiene a S1, obtendremos en prin-
cipio otro valor 2P . Pero el espacio entre S1 y S2 es va-
cío, es decir, no contiene fuentes (otros radiadores) ni su-
mideros (por ejemplo, cuerpos conductores) de energía
electromagnética. Por lo tanto la potencia que cruza S1
debe ser la misma que cruza S2. De esta forma demostra-
mos que la superficie de integración puede ser cualquiera y entonces se elige por conveniencia
matemática una esfera centrada en el centro de la antena:
∫∫ Ω><=•><>=<
π4
2
ˆ drNdSP r
S
nN
donde dΩ es el ángulo sólido elemental subtendido por el elemento dS. Definimos así el dia-
grama de radiación de potencia:
),(2
ϕθf
N
N
dPd
dPd
Nr
d
Pd
maxr
r
max
r =
><
><
=
Ω
Ω
⇒><=
Ω
><
Area de haz
Se define como área de haz a: πϕθ
π
4),(
4
≤Ω=Ω
∫ dfA y es el ángulo sobre el cual se
concentraría la radiación si fuera dentro de este ángulo de valor igual al máximo.
Se tiene que: AmaxAmaxr dPdrNP ΩΩ=Ω><>=< 2
El área de haz mide la anisotropía de la radiación. Es menor cuanto más concentrada se halla la
radiación en un ángulo pequeño.
El área de haz se puede expresar en forma aproximada como el producto de los anchos de poten-
cia media sobre las dos direcciones principales ortogonales:
ϕθ ∆∆≅Ω A
También en ocasiones se separa la contribución de los lóbulos mayores de los lóbulos menores:
mMA Ω+Ω≅Ω lo que lleva a definir la eficiencia del haz principal como: AMM ΩΩ= /ε
Directividad, ganancia y eficiencia
La directividad de una antena es la relación entre la densidad de potencia máxima y la densidad
de potencia promediada sobre una esfera. Resulta en un número ≥ 1 que mide el grado de aniso-
tropía de la radiación. Una antena muy directiva concentra su radiación en un ángulo sólido pe-
queño.
De acuerdo a su definición:
A
Amax
P
P
P
dPd
D
Ω
=
Ω
=
Ω
=
π
ππ
4
4/
/
4/
y se ve que la directi-
vidad es inversamente proporcional al área de haz.
S1
S2dS dΩ
r
Una antena isotrópica tiene directividad unitaria.

Se denomina ganancia de la antena a:
donde k es la eficiencia de la antena, que está relacionada con las pérdidas por efecto Joule en
los conductores de la antena. Si (idealmente) la antena no presenta pérdidas óhmicas, k = 1 y la
ganancia coincide entonces con la directividad.
Impedancia de entrada
La impedancia de entrada es la impedancia que la antena presenta al circuito de alimentación. En
general es compleja: ZA = RA + i XA y la parte resistiva se puede descomponer en la parte Rj que
representa las pérdidas óhmicas en el circuito de la antena y la resistencia de radiación Rr,
asociada a la potencia emitida: RA = Rj + Rr.
La impedancia de entrada de la antena es un parámetro fundamental para la adaptación de la an-
tena al circuito alimentador y es frecuente que su variación con la frecuencia sea uno de los pa-
rámetros de diseño más importantes.
En general podemos considerar un generador de impedancia interna ZG conec-
tado a una antena de impedancia de entrada ZA. La corriente de alimentación
de la antena es la que circula por el circuito equivalente de la figura:
)( AGrjGAG XXiRRR
V
ZZ
V
I
++++
=
+
=
donde V es la tensión pico del generador. La potencia media de pérdidas óh-
micas en la antena es: 22
2
2
)()(22
1
AGrjG
j
jj
XXRRR
RV
RIP
++++
==
mientras que la potencia media radiada por la antena es:
22
2
2
)()(22
1
AGrjG
r
r
XXRRR
RV
RIP
++++
==
Finalmente, la potencia media perdida en el circuito del generador es:
22
2
2
)()(22
1
AGrjG
G
GG
XXRRR
RV
RIP
++++
==
El generador debe suministrar estas tres potencias. La condición de máxima transferencia de
potencia del generador a la antena se da cuando la impedancia de la antena es el conjugado de la
impedancia del generador:
AGrjAG XXRRRR −=+==
En este caso las potencias involucradas valen:
)(8)(8)(8
2
2
2
2
2
rj
G
rj
r
rj
j
j
RR
V
P
RR
RV
P
RR
RV
P
+
=
+
=
+
=
de donde se ve que: PPPP jAG +==
es decir la potencia perdida en el circuito interno del generador es igual a la potencia total que se
envía a la antena, donde parte se disipa por efecto Joule y parte es emitida en forma de radiación
electromagnética. Si la antena idealmente no tuviera pérdidas el generador debería suministrar el
doble de la potencia que se quiere emitir en la condición de máxima transferencia de potencia.
En casos prácticos debe suministrar más, para compensar las pérdidas óhmicas de la antena y de
la/s líneas de transmisión de conexión.
Abertura o área efectiva
Cuando la antena se utiliza como receptora, recibe una dada densidad de potencia electromag-
nética, que convierte en energía eléctrica en un circuito. La relación entre la potencia eléctrica
ZA
ZG
V I
G = k D

útil y la densidad de potencia que recibe la antena tiene dimensiones de área, y se denomina área
o abertura efectiva de la antena:
La abertura efectiva de la antena significa el área efectiva que presenta a la radiación inciden-
te, como si fuera una “abertura” por donde pasa toda la potencia recibida. La abertura efectiva de
la antena resume dos características: la anisotropía o directividad de la antena y la eficiencia de
conversión de energía radiante en potencia eléctrica en un circuito. Si suponemos que esta efi-
ciencia es máxima (unitaria), la abertura efectiva se denomina abertura efectiva máxima.
Para calcular la abertura efectiva máxima de una antena receptora consideremos una antena que
está conectada a una carga ZL, sobre la que incide
una onda desde un transmisor lejano, que podemos
considerar una onda plana. En tal caso, el vector de
Poynting o densidad de potencia incidente es:
0
2
2ηiEN >=< donde Ei es la amplitud del cam-
po incidente. Por otra parte, este campo incidente
inducirá una fem LEV i≈ sobre la antena, don-
de L es su longitud. Se puede entonces pensar en un circuito equivalente como el de la figura,
donde ZA es la impedancia de la antena. Por lo tanto, la potencia transmitida a la carga es:
( ) ( ) 2
22
**
222
1
2
1
AL
LL
LL
ZZ
RVRI
IIZeIVeP
+
==ℜ=ℜ>=<
Si queremos hallar la abertura máxima no debe haber pérdidas en la antena, de modo que la parte
real de la impedancia de antena es solamente la resistencia de radiación: ArA iXRZ += lo que
indica que toda la potencia activa absorbida por la antena es potencia de radiación. Además, para
máxima transferencia de potencia de la antena a la carga, la impedancia de carga debe ser conju-
gada de la de la antena: ArAL iXRZZ −== *
y entonces:
r
i
rr
r
AL
L
R
LE
R
V
R
RV
ZZ
RV
P
88222
222
2
2
2
2
===
+
>=<
La abertura efectiva máxima resulta así:
ri
ri
e
R
L
E
RLE
N
P
A m
42
8 2
0
0
2
22
η
η
==
><
><
=
para una antena del tipo de un alambre recto.
Cuando la antena es una espira, la fem inducida será:
cSEiSEiSBidtdV iiim ωηµωω ==≈Φ= )/( 00
donde S es el área de la espira. Luego:
88 2
2222
⇒=>=<
r
i
r Rc
SE
R
V
P
ω
rri
ri
e
R
S
Rc
S
E
RcSE
N
P
A m 2
2
0
2
2
22
0
0
2
2222
42
8
λ
ηπωη
η
ω
===
><
><
=
donde se ha usado: ω/c = 2π/λ
Una misma antena puede utilizarse como transmisora y receptora. Por lo tanto, sus características
de rtransmisión y recepción están ligadas. Las relaciones más importantes son3
:
Aem
A Ω=2
λ ee AGAD m 22
44
λ
π
λ
π
=⇒= :
3
Ver, por ejemplo, W.Stutzman & G.Thiele, “Antenna Theory and Design”, 2nd
.Ed., Wiley, New York, 1998, p.78.
ZL
L ZL
ZA
V I
Ae = <P>/<N>

Tipos básicos de radiadores
En este capítulo veremos algunos de los tipos básicos de radiadores: el dipolo eléctrico corto, el
dipolo magnético elemental y las ranuras radiantes. Con estos tipos podemos describir antenas de
mayor complejidad y tamaño.
Los diagramas de radiación y la polarización de los campos emitidos por estos radiadores se
muestran en las figuras para comparación. Debe tenerse en cuenta que la intensidad de la poten-
cia radiada por estos elementos es diferente y los diagramas no están a escala.
Una clasificación básica de las antenas surge de su comportamiento en frecuencia. Hay configu-
raciones de banda angosta, que emiten eficientemente sólo en un conjunto discreto de frecuen-
cias (quizás una sola) y antenas de banda ancha, que emiten con eficiencia similar en un espec-
tro importante. Cada tipo tiene aplicaciones específicas y veremos ejemplos de ambos tipos de
antenas en este Capítulo.
Radiación dipolar eléctrica
Las antenas tradicionales consisten en conductores filiformes por los que circulan corrientes de-
pendientes del tiempo. El caso más simple de emisión de ondas electromagnéticas o radiación,
se da en el caso de un hilo muy corto, que transporta una corriente uniforme variable en el tiem-
po. Este objeto no corresponde a ningún caso real, pero se trata de un caso límite que se puede
usar luego para el análisis de antenas reales mediante superposición.
Suponemos que por el hilo, que llamamos dipolo eléctri-
co radiante, circula una corriente armónica uniforme
ti
eItI ω
0)( = (en notación fasorial). El potencial vectorial
magnético creado por el dipolo será:
∫∫ ′
′
=′
′′
=
CV
zd
r
tI
Vd
R
t
t z
rj
rA ˆ
)(
4
),(
4
),( 00
π
µ
π
µ
donde hemos pasado de una integral de volumen a una
integral de línea, y como r’ = 0 y la corriente no depen-
de de r’ queda: zrA ˆ
4
),( )/(00 crti
e
r
LI
t −
= ω
π
µ
A partir del potencial vectorial podemos calcular el cam-
po magnético: H = ∇×A. Para ello nos conviene expresar A en coordenadas
esféricas, ya que su dependencia funcional es respecto de la distancia r.
De la figura: θˆsenˆcosˆ θθ −= rz
y entonces: ( )θˆsenˆcos
4
),( )/(00
θθ
π
µ ω
−= −
rrA crti
e
r
LI
t
E
H
Dipolo eléctrico
E
H
Dipolo magnético
Ranura radiante
E
H
La combinación de estos tres tipos elementales de radiadores lleva
a la mayoría de los tipos de antenas de uso en la técnica.
z
θ
r
rˆ
θˆ
zˆ
x
z
y
A(r,t)
L
I(t)
r

En coordenadas esféricas:
0
0
ˆsenˆˆ
sen
1
sen
ˆsenˆˆ
sen
1
22
θφθ
θ
φθθ
θ
θ
φθ
φθθ
θ
rAA
r
rr
r
ArrAA
r
rr
r
rr
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
rr
A
( )
( ) φθθ
π
µ
φθ
θ
θ
π
µ
φ
θ
ω
ωθ
ˆsensen
4
ˆcossen
4
ˆ
)(1
00
00












+−−=












∂
∂
−
∂
∂
−=





∂
∂
−
∂
∂
=
−
−
−
−
r
e
ekie
r
LI
r
e
e
r
e
r
LIA
r
rA
r
kri
kriti
kri
kritir
y finalmente: φθ
πµ
ω ˆsen
1
4
1
),( )(0
0






+=×∇= −
r
kie
r
LI
t krti
ArH
Se ve que H(r,t) tiene dos términos, uno que depende como 1/r y otro que depende como 1/r2
.
A partir de H(r,t) se puede calcular E(r,t) con la ecuación de Maxwell-Ampère:
( ) ( )





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=⇒
∂
∂
=×∇
φφ
φ
θθθ
θθεω
θ
φθ
φθθ
θεωεω
ε
Hr
r
rHr
ri
Hr
r
rr
riit
senˆsenˆ
sen
11
sen00
ˆsenˆˆ
sen
111
2
0
2
00
0
rE
r
HE
E
H
y finalmente: 











−−−





+−= −
θθ
θ
ωεπ
ω ˆ1
senˆ
1cos
2
4
),( 2
2)(
0
0
rr
ik
k
r
ki
r
e
r
LIi
t krti
rrE
Se ve que E(r,t) tiene dos componentes, una sobre rˆ y otra sobre θˆ . Esta última componente
presenta un término que depende como 1/r mientras que todos los otros términos de E(r,t) de-
penden de potencias de r inversas mayores.
Los campos creados por cargas estáticas y corrientes estacionarias contenidas en recintos acota-
dos a grandes distancias varían como 1/rn
, con n ≥ 2. Este es el primer caso que hemos encon-
trado donde campos lejanos varían como 1/r. Estos términos, que predominan a grandes distan-
cias sobre los otros términos, se denominan términos de radiación.
Para completar el análisis de su significado calculamos la potencia media que transportan las
ondas generadas por el dipolo. Necesitamos el valor medio del vector de Poynting. En notación
fasorial: ( ) ( )θ
φθ
φφθ
φ
θ
ˆˆRe
2
1
00
0
ˆˆˆ
Re
2
1
*Re
2
1 **
*
HEHE
H
EE rr −=












=×=>< r
r
HEN
Luego (señalamos en rojo los términos de radiación):
( )* ( ) ( )0 0
2
2
0
1 1 1 1
Re Re sen sen
2 2 4 4
i t kr i t kriI L I Lik
E H e e
r r r
k ik
r r
ω ω
θ φ θ θ
πε ω π
− − −    
= − − +−    
    
2 2 2 2 3 22 2
20 0
2 2 2 2 3 2 2
0 0
3 sen1 1
Re sen
2 16 32
iI L I L kk k ik ik
r r r r r r
ik
r
θ
θ
π ε ω π ε ω
  
= + − − + − = − 
  

( )
0
1
cossen
8
Re
2
1
sen
1
4
1cos
sen
4
2Re
2
1
Re
2
1
2
22
2
0
2
22
0
)(0)(
0
0*
=











+−+=












+−





+= −−−
rr
ki
r
ki
k
r
LIi
r
kie
r
LI
r
ki
r
e
r
LIi
HE krtikrti
r
θθ
ωεπ
θ
π
θ
θ
ωεπ
ωω
φ
y finalmente: rrN ˆ
8
sen
ˆ
32
sen 2
2
22
00
2
0
2
2322
0






==><
λ
θη
ωεπ
θ L
r
I
r
kLI
Se observa que sólo contribuyen al valor medio del vector de Poynting los términos de ra-
diación en el desarrollo de los campos:
φθω
π
φθ
π
θθω
ωεπ
θθ
ωεπ
ω
ω
ˆsen)sen(
4
ˆsen
4
),(
ˆsen)sen(
4
ˆsen
4
),(
0)(0
0
2
0)(
0
2
0
krt
r
kLI
e
r
kLIi
t
krt
r
kLI
e
r
kLIi
t
krti
rad
krti
rad
−−==
−−==
−
−
rH
rE
de donde:
0
000
0
2
0
1
4
4
η
εωε
π
ωεπ
====
c
k
r
kLI
r
kLI
rad
rad
H
E
Estos campos se denominan campos de radiación y son los
que describen la emisión de energía electromagnética del
dipolo. Se ve que los términos de radiación dependen como
1/r , son perpendiculares entre sí y a la dirección de propaga-
ción radial, y la relación entre ellos es la impedancia intrín-
seca del vacío. Constituyen entonces una onda esférica ele-
mental.
Ejemplo 10.2: Analizar la relación entre los campos de radiación y los potenciales electrodi-
námicos.
Para soluciones armónicas: AE ωφ i+−∇=
El potencial vectorial es: ( )θˆsenˆcos
4
),( )/(00
θθ
π
µ ω
−= −
rrA crti
e
r
LI
t
Y el campo eléctrico de radiación: θθ
ωεπ
ω ˆsen
4
),( )(
0
2
0 krti
rad e
r
kLI
t −
−=rE
Se ve que θω θ
ˆ),( Aitrad =rE de donde surge que el campo de radiación está relacionado
solamente con la componente de A transversal a la propagación. El potencial escalar no
interviene en la definición del campo de radiación, sino que da lugar a componentes longi-
tudinales a la propagación que no son términos de radiación.
De estas ecuaciones surge que una forma sencilla de hallar, en forma aproximada, los
campos lejanos o campos de radiación de un radiador es:
1) calcular A con la solución particular ecuación inhomogénea;
2) calcular E rad = iω AT donde AT es la componente de A transversal a la propagación;
3) calcular 0/ˆ ηradrad ErH ×=
x
z
y
N(r,t)
Hφ(r,t)
Eθ(r,t)
L
I(t)
r

z
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
z
Los otros términos de los campos se denominan campos de inducción o términos de inducción
y decaen más rápido que los términos de radiación. Estos términos no transportan energía
neta (en valor medio temporal), pero definen los valores relevantes del campo en las cercanías
del emisor.
El diagrama de radiación para el dipolo eléctrico corto se obtiene de:
22 2
0 0
2
22 2
0 0max
sen
8
( , )
8
r
r
I L
r N
f
r N I L
η θ
λ
θ φ
η
λ
 
 < >  = =
< >  
 
 
⇒ 2
( , ) senf θ φ θ=
Este diagrama presenta un máximo o lóbulo principal para θ = π/2. El diagrama no presenta
dependencia respecto de φ por la simetría de revolución del problema respecto del eje z, de ma-
nera que la gráfica polar 2D es una sección recta del diagrama 3D que es un toro.
Potencia radiada
La potencia media radiada por el dipolo es:
∫ •><=><
S
dSP nN ˆ
donde S es una superficie cerrada cualquiera que encierra al radiador. Debido a que <N> depen-
de de r y de θ, conviene usar una superficie esférica. Se tiene:
∫∫∫∫ 





=





=•><=><
ππ π
θθπ
λ
η
φθθ
θ
λ
η
0
3
22
002
2
0 0
2
222
00
sen2
8
sen
sen
8
ˆ d
LI
ddr
r
LI
dSP
S
nN
y entonces:
22
00
3






=><
λ
ηπ LI
P
Se observa que la potencia media radiada depende del cuadrado de la corriente pico y de la rela-
ción (L/λ)2
. Como para el dipolo elemental esta relación es muy pequeña, la potencia emitida por
el dipolo radiante eléctrico también lo es.
Podemos calcular los otros parámetros vinculados con la radiación:
• Resistencia de radiación: rRI
LI
P 2
0
22
00
2
1
3
=





>=<
λ
ηπ
⇒
2
0
3
2






=
λ
η
π L
Rr
• Ancho de haz de potencia media: o
90/24/2/1sen 2,1
2
==∆⇒±=⇒= πθπθθ
• Area de haz y eficiencia del haz principal:

1
3
8
sensen
0
3
2
04
2
4
=
Ω
Ω
===Ω=Ω
><
><
=Ω
∫∫∫∫ A
M
M
maxr
r
A dddd
N
N
επθθϕθ
ππ
ππ
• Directividad: 2/3/4 =Ω= AD π
• Abertura efectiva máxima:
π
λη
8
3
4
22
0
==
r
e
R
L
A m
(se verifica 2
/4 λπ meAD = )
Ejemplo 10.3: Un dipolo eléctrico radiante de 1 cm de longitud alimentado por una corriente
pico de 1 A y frecuencia 10 MHz. Halle la potencia radiada y la resistencia de radiación
A 10 MHz la longitud de onda es cmLmfc 130/ =>>≈=λ de modo que podemos
usar las aproximaciones de dipolo elemental.
La potencia radiada es: ( ) WLIP µ≈ληπ>=< 443
22
00 que es muy baja.
La resistencia de radiación es: ( ) Ω×≈η×≈ληπ= −− 5
0
72
0 1077.8103.232 LRr
también muy baja

Radiación dipolar magnética
Para el espacio vacío, las ecuaciones de Maxwell donde figura el rotor de los campos son simé-
tricas: 0
),(
),(0
),(
),( 00 =
∂
∂
−×∇=
∂
∂
+×∇
t
t
t
t
t
t
rE
rH
rH
rE εµ
Nada cambia si reemplazamos E por H y µ0 por ε0 en la ley de Faraday, H por (-E) y ε0 por µ0
en la de Maxwell-Ampère. Esta propiedad se conoce como dualidad, y lleva a que podamos
expresar la solución de un problema con una fuente magnética a partir de la solución para un
problema similar con una fuente eléctrica.
Para usar esta propiedad expresamos los campos de la radiación por un dipolo eléctrico corto, no
en términos de la corriente que circula por el elemento sino a través de su momento dipolar
eléctrico, que podemos calcular a partir de la ecuación de continuidad aplicada dentro del ele-
mento conductor. Para variaciones armónicas:
00/ =+•∇⇒=∂∂+•∇ ωρρ it jj
Integramos sobre un volumen V que encierre un solo extremo del elemento:
( ) ∫∫∫∫∫ =•⇒=•∇⇒=+•∇
VVVV
dVidSdVidVdVi ρωρωωρ
S
ˆ0 njjj
de donde: qiI ω=0 . En esta ecuación q es la carga acumulada en el extremo del
elemento. Debido a la pequeña longitud del elemento no habrá carga acumulada
en su interior, aunque un razonamiento similar nos demuestra que hay una carga
acumulada (-q) en el otro extremo del elemento. Podemos pensar así al elemento
de corriente como un dipolo, cuyo momento dipolar será: ωiLIqLp 0==
A partir de este resultado podemos expresar los campos y otras características del dipolo eléctri-
co corto radiante en términos de este momento dipolar eléctrico4
:
En la magnetostática se define el momento dipolar magnético de una espira como nm ˆIS= ,
donde I es la corriente que circula por la espira, S su área y nˆ la normal. El campo magnético
creado por este dipolo magnético tiene la misma forma matemática que el campo eléctrico crea-
do por el dipolo eléctrico en la electrostática. En la electrodinámica podemos, utilizando la pro-
piedad de dualidad, escribir los campos creados por un dipolo magnético radiante por el que cir-
cula una corriente armónica. Para ello usamos las siguientes relaciones duales:
Dipolo eléctrico radiante ⇒ Dipolo magnético radiante
Momento dipolar eléctrico ⇒ Momento dipolar magnético
Campo E, µ0 ⇒ Campo H, ε0
Campo H, ε0 ⇒ Campo (-E) , µ0
zp ˆ)( 0 ωiLI= ⇒ zm ˆIS=
de donde:
θ
π
ω ω
φ sen
r
kie
r
pi
tH krti






+= − 1
4
),( )(
r
⇒
θ
π
µω ω
φ sen
r
kie
r
mi
tE krti






+−= − 1
4
),( )(0
r
θ
επ
ω
cos
1
2
),( )(
2
0






+= −
r
kie
r
p
tE krti
r r
⇒
θ
π
ω
cos
1
2
),( )(
2






+= −
r
kie
r
m
tH krti
r r
θ
επ
ω
θ sen
rr
ik
ke
r
p
tE krti






−−−= −
2
2)(
0
1
4
),(r
⇒
θ
π
ω
θ sen
rr
ik
ke
r
m
tH krti






−−−= −
2
2)( 1
4
),(r
4
En realidad, en la deducción original de los campos radiados por este elemento realizada por Hertz consideró efec-
tivamente un dipolo (dos cargas eléctricas) cuya carga depende del tiempo, de donde surge el nombre de este ra-
diador.
I0
V
S

Y los campos de radiación del dipolo magnético radiante quedan entonces
φθ
π
η ω ˆ
4
),( )(
2
0
sene
r
mk
t krti
rad
−
=rE θθ
π
ω ˆ
4
),( )(
2
sene
r
mk
t krti
rad
−
−=rH
Los campos de radiación son normales entre sí y a la dirección radial de propagación, y se hallan
en relación de dualidad respecto de los campos radiados por el dipolo eléctrico corto. El vector
medio de Poynting es:
( ) rHEN ˆ
32
ˆ
4
ˆ
4
Re
2
1
Re
2
1 2
22
22
00
4
)(0
2
)(0
2
0*
θ
π
η
θθ
π
φθ
π
η ωω
sen
r
SIk
sene
r
SIk
sene
r
SIk krtikrti
=








×−=×=>< −−−
El diagrama de radiación es el mismo que para el dipolo eléctrico corto. La potencia radiada es:
4
2
2
00
2
0
3
2
22
00
4
2
3
4
sen
32
2
λ
ηπθθ
π
η
π
π
S
Id
SIk
dSNrP
S
r ==><=>< ∫∫
A partir de estas expresiones se pueden calcular los otros parámetros de la antena dipolar magné-
tica.
• Resistencia de radiación: rRI
S
IP 2
04
2
2
00
2
2
1
3
4
=>=<
λ
ηπ ⇒ 4
2
0
2
3
8
λ
ηπ S
Rr =
• Abertura efectiva máxima:
8
3 2
2
2
0
2
λ
λ
ηπ
==
r
e
R
S
A m
El ancho de haz de potencia media, el área de haz y la eficiencia del haz principal y la directivi-
dad coinciden con las expresiones del dipolo eléctrivo corto.
Es interesante comparar las potencias radiadas por las dos antenas elementales en similares con-
diciones. Tomamos el mismo valor de I0, frecuencia y tamaño equivalente con: S = L2
:
( )
( )
1
4
222
003
1
222
00
2
3
4
<<==
><
><
λ
π
ληπ
ληπ S
LI
SI
P
P
E
M
para dipolos pequeños frente a la longitud de onda. Por lo tanto, el dipolo magnético radiante es
aún menos eficiente que el dipolo eléctrico de dimensiones similares.
Radiador isotrópico
Se ve que la radiación emitida por el dipolo eléctrico corto es anisótropa, es decir, depende de la
dirección en el espacio. En análisis teóricos es conveniente disponer de un radiador (ideal) que
emita en forma isótropa. Este radiador isótropo o isotrópico se puede describir mediante los
campos y densidad de potencia:
que representan una onda esférica elemental.
Por otra parte, estas expresiones coinciden con las correspondientes a los campos del dipolo eléc-
trico elemental sin tener en cuenta la variación con θ.
radiador isotrópico 1),(
2 2
0
2
0
)(
=⇒=><==
−
φθ
ηη
φ θ
ω
θ f
r
A
N
E
H
r
e
AE r
krti

Radiador fuera del origen
Los campos de un radiador situado en el origen de coordenadas pue-
den describirse por ondas esféricas elementales, modulada por un
factor de anisotropía debido a la geometría del radiador y la distribu-
ción de corriente dentro del radiador:
r
e
fF
krti )(
),()(
−
=
ω
φθr
En la figura se muestra esta geometría. Si se corre el origen de coor-
denadas, de modo que el radiador pase a la posición r’, la expresión
de los campos debe modificarse a:
R
e
fF
kRti )(
),()(
−
′′=
ω
φθr donde rrR ′−==R
θ’ y φ’ son los ángulos esféricos en el sistema coordenado
centrado en el radiador. Para distancias lejanas ( rr ′>> )el
triángulo formado por los vectores r, r’ y R es muy delgado.
Por el teorema del coseno y desarrollando en serie de Taylor a
primer orden:
rrrr ˆ222
•′−≈•′−′+= rrrR
Podemos aproximar a orden cero en la amplitud del campo
(el denominador de la expresión anterior), pero debemos
mantener orden uno en la fase, ya que en general usamos la
descripción del radiador fuera del origen de coordenadas para
analizar la superposición coherente de los campos radiados por un conjunto de radiadores, y es el
término de fase el que introduce el fenómeno de interferencia. Por otra parte, los ángulos esféri-
cos tienden a sus valores respecto del sistema coordenado original: θ’→ θ y φ’ → φ.
Aproximamos así: rkrr
r ′•
−
•′−
−
=≈ i
krti
ik
krti
e
r
e
fe
r
e
fF
)()(
),(),()(
ωω
φθφθ &&
ya que rkrrrk ′•−=•′−≈⇒= krrkkRk )ˆ(ˆ . En resumen:
y
z
x
θ
φ
r
En la superposición de campos emitidos por radiadores elementales,
los campos de radiación lejanos habitualmente pueden calcularse:
• aproximando la amplitud a orden cero: rR /1/1 ≈
• aproximando la fase a orden uno: rk ′•−≈ krkR
• suponiendo paralelos los campos emitidos
φ’ y
z
x
θ'
φ
r R
r’
θ

Dipolo eléctrico largo
El dipolo eléctrico corto es un sistema ideal, ya que la corriente
no puede ser constante sobre toda su extensión, porque debe
anularse en los extremos. En el caso de una antena dipolar de
longitud L cualquiera podemos anular la corriente en los ex-
tremos abiertos, pero entonces debemos admitir que la corrien-
te varía a lo largo de la antena. Se observa experimentalmente
que en muchos casos de interés la distribución de corriente a lo
largo de la antena se puede expresar aproximadamente como:
tiez
L
ItzI ω
λ
π












−=
2
2
sen),( 0
Para calcular los campos emitidos por el dipolo largo podemos
repetir el procedimiento realizado con el dipolo corto o pode-
mos pensar que la antena está formada por una sucesión de
dipolos eléctricos cortos de longitud dl´, cada uno de los cuales
emitirá un campo de radiación:
0
0
0
2
sen),(
2
sen
4
),(
η
θ
λ
η
θ
ωεπ
θ
φ
θ
dE
dH
ldetzI
R
i
lde
R
ktzIi
dE ikRikR
=
′′=′′= −−
En estas ecuaciones: 22
)( zzR ′−+=′−= ρrr
y θ′ es el ángulo formado entre R y el eje z.
Como la relación de fases entre las corrientes que alimentan a los distintos elementos radiantes
es fija, dada por la expresión de la distribución de corriente sobre la antena, los radiadores emi-
ten en coherencia de fase, y se suman los campos.
0
2/
2/
00
sen
2
2
sen
2 η
θ
λ
π
λ
η θ
φ
ω
θ
E
Hzd
R
e
z
L
e
Ii
E
L
L
ikR
ti
=′′











′−= ∫−
−
Para distancias muy alejadas ( Lr >> ) aproximamos el campo generado por cada elemento como
se ha explicado en la sección precedente y tenemos:
ϑcosˆˆ
)ˆ(
zik
ikr
zik
ikrkriikR
e
r
e
e
r
e
r
e
R
e ′
−
′•
−′•−−−
==≈ zr
rk
Luego: ∫−
′−
′





′−≈
2/
2/
cos)(00
2
sensen
2
L
L
zikkrti
zdezk
kL
e
r
Ii
E θω
θ θ
λ
η
En el APENDICE 8 se calcula esta integral:






−





=′




 ′−∫−
′
2
coscos
2
cos
sen
2
2
sen 2
2/
2/
cos kLkL
k
zdezk
kL
L
L
zik
θ
θ
θ
con lo que tenemos:
( )0 0
0
cos cos cos
2 sen 2 2
i t kri I EkL kL
E e H
r
ω θ
θ φ
η
θ
π θ η
−   
≈ − ≈  
  
Podemos reescribir esta expresión como el producto entre el campo generado por un único dipo-
lo “corto” de longitud L y otro factor:
θ
z
r
r´
R
L/2
-L/2
dl´
ρ
0
θ′







−





≈ −
2
coscos
2
cos
sen2
)(00 kLkL
e
r
Ii
E krti
θ
θπ
η ω
θ














−











= −
2
coscos
2
cos
sen
sen
2 2
)(00 kLkL
L
e
r
LIi krti
θ
θπ
λ
θ
λ
η ω
donde el primer factor θ
λ
η
θ ω
θ sen
2
),( )(00 krtid
e
r
LIi
rE −
= es el campo que generaría un único
dipolo “corto” de longitud L y 





−





=
2
coscos
2
cos
sen)2/(
1
),(
2
kLkL
kL
LF θ
θ
θ
es un factor de interferencia que depende de la dirección en el espacio (como en toda interfe-
rencia) y también de la longitud del dipolo. Este factor de interferencia surge de la superposición
coherente de dipolos elementales que se ha usado en el cálculo del campo radiado.
El diagrama de radiación generado por el dipolo largo es:
( )




















=
><
><
=
==







×=×=><
max
max
d
d
maxr
r
d
r
LF
LF
rE
rE
Nr
Nr
f
LFrE
EE
EHEN
),(
),(
),(
),(
),(
),(),(
2
1
2
Re
2
1
Re
2
1
2
2
2
2
2
2
22
00
2
0
*
*
θ
θ
θ
θ
φθ
θθ
ηηη
θ
θ
θ
θθ
θφθ
y se observa que se cumple la llamada regla de multiplicación de diagramas: el diagrama de
radiación total se puede expresar como el producto del diagrama de radiación de cada elemento
en que se divide el sistema radiante y el diagrama de radiación que surge de la interferencia entre
los radiadores elementales independientemente de sus características individuales. Realizando
las cuentas:
maxr
r
Nr
Nr
f
><
><
= 2
2
),( φθ pero:
θ
λ
π
θ
λ
π
π
η
2
2
2
2
002
sen
coscoscos
8












−





=><
LL
I
Nr r
el máximo de esta densidad de potencia depende de una forma trascendente de la relación λ/L .
Para hallar el máximo, graficamos la siguiente expresión en función de θ para distintos valores
de L/λ: θ
λ
π
θ
λ
π
θ 2
2
sencoscoscos)( 











−





=
LL
g
A la derecha se da el diagrama de radiación logarítmico (en dB) normalizado para las distintos
valores de de L/λ. Observamos el reposicionamiento y modificación del valor de los máximos
L/λλλλ fmax θθθθ (grados)
1/2 1.0 90
1 4.0 90
3/2 1.96 42.6, 137.4
5 11.6 35,145
Diagrama logarítmico
normalizado (en dB)

principales con la longitud de la antena. Se ve que aumenta la intensidad de los máximos con la
relación L/λ y aparecen lóbulos secundarios en distintas direcciones.
En las figuras se presenta el diagrama de radiación polar normalizado5
lineal que pueden compa-
rarse con los diagramas lineales de la página previa:
Finalmente, podemos calcular la potencia radiada por el dipolo largo:
∫∫


















=><=><
−π
θ
π
η
π
θ
λ
π
θ
λ
π
0
2
2
00
sen
2
coscoscos
8
2 d
I
dSNP
LL
S
r
Esta expresión se puede calcular6
en términos del llamado coseno integral:
∫
−
=
x
dt
t
t
xCin
0
cos1
)(
Definimos λ/2Ln = (número de semilongitudes de onda que entran en la longitud de la antena)
y entonces:
[ ]


−
=><
par
impar
)2()(4
)2(
8
2
00
nnCinnCin
nnCinI
P
ππ
π
π
η
o, en función de la resistencia de radiación:
2
2
0 rRI
P =>< ⇒
[ ]


−
=
par)2()(4
impar)2(
4
0
nnCinnCin
nnCin
Rr
ππ
π
π
η
y la abertura efectiva máxima:
[ ]


−
==
par)2()(4/
impar)2(/
4
2
22
0
nnCinnCinL
nnCinL
R
L
A
r
e
πππ
ππη
5
En diagramas no normalizados los máximos crecen rápidamente con la longitud de la antena, de acuerdo a los
valores de la gráfica de la página previa.
6
M.Bisceglia, E.Zubcov, J.C.Fernandez, “Curso de electromagnetismo”,Ed. Nueva Librería (1982), p.347.
L/λ = 1/2 L/λ = 3/2 L/λ = 5
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180

Ejemplo 10.4: Calcular la resistencia de radiación para dipolos eléctricos radiantes de nλ/2,
con n =1, 10.
Calculamos de tablas o mediante series los cosenos integrales7 para obtener:
n Rr Comentarios n Rr
1 0.194 η0 = 73.08Ω dipolo de media onda 6 0.785 η0 = 295.55Ω
2 0.528 η0 = 198.95Ω dipolo de onda completa 7 0.347 η0 = 130.76Ω
3 0.279 η0 = 105.42Ω 8 0.853 η0 = 321.29Ω
4 0.689 η0 = 259.46Ω 9 0.367 η0 = 138.28Ω
5 0.320 η0 = 120.68Ω 10 0.906 η0 = 341.29Ω
Se observa que la resistencia de radiación aumenta, tendiendo a η0 con la longitud del dipo-
lo y es mayor para antenas de longitud múltiplo de onda completa. Este comportamiento es-
tá relacionado con la forma y tamaño de los lóbulos de radiación de las figuras previas,
donde se ve cómo aumenta la radiación emitida con el tamaño de la antena.
La antena dipolar eléctrica o dipolo largo, es una antena resonante porque en el caso ideal de
pérdidas nulas se forma sobre ella una onda estacionaria de corriente con nodos en los extremos
abiertos. Por lo tanto la longitud de la antena debe ser un número entero de semilongitudes de
onda para satisfacer esta condición. De esta forma se ve que sólo se puede excitar un conjunto
discreto de frecuencias de resonancia. Si se alimenta a la antena con una frecuencia no "permiti-
da", habrá una fuerte reflexión a la entrada de la antena, que se comporta en forma similar a una
línea resonante. Por lo tanto la antena dipolar eléctrica es una antena de banda angosta alrededor
de la/s frecuencia/s de resonancia. Este resultado es para un alambre de sección despreciable.
Puede demostrarse que el ancho de banda de una antena dipolar eléctrica aumenta si se usan
alambres de mayor sección.
En muchas ocasiones el “dipolo” tiene una sola rama a la que se co-
necta el generador, cuya otra conexión se hace a tierra. La otra rama
se puede considerar como la imagen en tierra de la rama verdadera.
Así, una rama de L = λ/4 produce un “dipolo” de λ/2. Esta disposi-
ción se conoce como antena látigo y es muy usada (automóviles, telé-
fonos celulares, etc.). Para que este sistema sea eficiente la tierra de-
be acercarse al comportamiento de plano conductor perfecto, de ma-
nera que debe ser de alta conductividad y extenderse varias veces λ/4
alrededor de la posición del látigo.
En general, la mayoría de las antenas se diseñan y construyen sobre tierra, y el método de imá-
genes se usa extensivamente. Sin embargo, en la realidad la tierra no es un conductor perfecto, ni
siquiera en casos un buen conductor. A partir de las investigaciones pioneras de Sommerfeld a
principios del siglo XX, la radiación de un dipolo eléctrico sobre un plano terrestre de conducti-
vidad finita se puede describir convenientemente como la superposición de una onda espacial,
cuyos campos decaen como 1/r (los típicos campos de radiación que hemos ya encontrado) y una
onda de superficie cuyos campos decaen como 1/r2
, de forma que estos términos dejan de tener
importancia en la radiación lejana. Sin embargo, la presencia de conductividad finita altera los
diagramas de radiación, de manera que los lóbulos que se dan para el plano horizontal θ = π/2
giran sus máximos a un cierto ángulo de elevación, y la potencia emitida rasante al suelo se ve
reducida respecto al caso ideal.
En la figura8
se muestra la influencia en el diagrama de radiación de una antena dipolar vertical
de 10m de longitud colocada a λ/2 por encima de tierra, con suelos de distinta conductividad,
7
En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral.
8
Esta figura está tomada de “A ground is just a ground – unless it is a model of a ground”, L.B.CebikW4RNL,
http://www.cebik.com/modelling.html.

modelizado con el pro-
grama EZNEC/4. Se
observa primero que el
caso de tierra de con-
ductor perfecto los ló-
bulos, que tienen su
máximo sobre el plano
horizontal, se mueven
hacia arriba. La caída
de la conductividad del
suelo disminuye el va-
lor del máximo de radiación y convierte el cero en un máximo secundario (Nótese que la escala
es logarítmica, en dB).
Antenas de onda viajera
El dipolo eléctrico largo que hemos analizado es una antena resonante, porque las distribuciones
de corriente y tensión a lo largo de la misma son ondas estacionarias. Podemos analizar esta an-
tena como una línea de transmisión de impedancia característica variable y abierta en el extremo.
Sin embargo, es posible construir antenas donde la onda de corriente es una onda viajera que se
propaga a lo largo de ella. Por ejemplo, consideremos un conductor recto de longitud L donde la
corriente está definida por la onda progresiva:
)(
0),( kzti
eItzI −
= ω
El campo eléctrico radiado por cada elemento dz´ de la antena será,
como en el caso del dipolo largo:
ldetzI
R
i
lde
R
ktzIi
dE ikRikR
′′=′′= −−
θ
λ
η
θ
ωεπ
θ sen),(
2
sen
4
),( 0
0
2
y aproximando de la misma manera que en ese caso:
∫ ′≅ ′′−−
L
zikzikkrti
zdeee
r
Ii
E
0
cos)(00
sen
2
θω
θ θ
λ
η
La integral es inmediata y obtenemos:
[ ]1
cos1
sen
4)1(cos
1
sen
2
)1(cos)(00
)1(cos
)(00
−
−
=
−
−
≅ −−
−
− θω
θ
ω
θ
θ
θ
π
η
θ
θ
λ
η ikLkrti
ikL
krti
ee
r
I
ik
e
e
r
Ii
E
y finalmente:
0
)1(cos
2)(00
cos1
sen)cos1(
2
sen
2 ηθ
θθ
π
η θ
φ
θ
ω
θ
E
H
L
k
ee
r
I
E
L
ik
krti
=
−






−
−≅
−
−
El diagrama de radiación (no normalizado) será:
)2/(
)cos1(sen
8)cos1(
sen)cos1(
2
sen
8
2 2
2
2
2
00
2
22
2
2
00
0
222
θ
θ
λ
π
π
η
θ
θθ
π
η
ηθ
tan
L
I
L
k
I
ErNr r






−
=
−






−
≅=><
En la figura se muestran cuatro casos. Obsérvese que los máximos se hallan orientados hacia el
sentido de propagación de la onda viajera (+z). El valor de los máximos crece con la longitud de
la antena en forma similar a la de la antena resonante. Podemos calcular la potencia total radiada
por esta antena:
∫∫ −
−




=Ω><=><
π
π
θ
π
η
π
θ
θθ
0
2
2
00
4
2
2
)cos1(
3
sen)cos1(
2
2
sen
8
2 d
I
dNrP
L
k
r
O
z
L
r
r´
R

Esta integral vale9
:
( ) ( ) 



+−+=><
λπ
λπ
λπλ
π
η
/4
)/4sen(
/4/2ln1415.1
4
2
00
L
L
LCiL
I
P
donde ∫
∞
−+=−=
x
xCinxdt
t
t
xCi )()ln(
cos
)( γ es otra va-
riante del coseno integral. La constante 577216.0≈γ es
llamada constante de Euler.
De aquí la resistencia de radiación resulta:
( ) ( ) 





+−+=
λπ
λπ
λπλ
π
η
/4
)/4sen(
/4/2ln1415.1
2
0
L
L
LCiLRr
y la abertura efectiva máxima:
( ) ( ) 





+−+
==
λπ
λπ
λπλ
πη
/4
)/4sen(
/4/2ln1415.1
2/
4
22
0
L
L
LCiL
L
R
L
A
r
e
Ejemplo 10.5: Calcular Rr para antenas de onda viajera de nλ/2, con n =1, 10.
La expresión a usar es: ( ) ( ) 





+−+=
π
π
π
π
η
n
n
nCinRr
2
)2sen(
2ln1415.1
2
0
Calculamos de tablas o mediante series10 los cosenos integrales para obtener:
n Rr n Rr
1 0.185 η0 = 69.80Ω 6 0.467 η0 = 175.92Ω
2 0.293 η0 = 110.37Ω 7 0.491 η0 = 185.15Ω
3 0.357 η0 = 134.48Ω 8 0.513 η0 = 193.15Ω
4 0.403 η0 = 151.66Ω 9 0.531 η0 = 200.20Ω
5 0.438 η0 = 165.00Ω 10 0.548 η0 = 206.52Ω
Se observa que la resistencia de radiación aumenta en forma monótona, tendiendo a η0 con
la longitud de la antena. Salvo para n = 1, los valores para n impar son mayores y los valo-
res para n par menores que los de la antena resonante de igual longitud.
Las antenas de onda viajera se pueden combinar para construir antenas V o antenas rómbicas,
disposiciones cuyas características de radiación se pueden describir en función de las halladas.
Como además la longitud de onda de la onda viajera no tiene que cumplir ninguna condición en
los extremos de la antena, como en el caso de las antenas resonantes, no hay condición sobre la
frecuencia de la corriente alimentadora y estas antenas son antenas de banda ancha, a diferen-
cia de las antenas resonantes que son de banda angosta.
9
J.A.Stratton, "Electromagnetic Theory", Mc-Graw Hill, New York, (1941), p.445.
10
En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral.
z
L=λλλλ/2
L=λλλλ
L=3/2λλλλ
L=5λλλλ

Redes o arreglos de radiadores
Las antenas individuales dan diagramas de radiación que no siempre satisfacen las necesidades.
Es posible modificar el diagrama de radiación usando múltiples radiadores, causando interfe-
rencia entre los campos emitidos por cada uno. Para ello es necesario que los radiadores emitan
en forma coherente, es decir, que haya una correlación de fase entre los campos, lo que se logra
habitualmente estableciendo una correlación de fase entre las corrientes alimentadoras de los
radiadores.
Estas disposiciones se conocen como redes o arreglos de radiadores, y la mayoría de las antenas
de uso actual se basa en ellas.
Analicemos el caso más simple que consiste en un par de radiadores iso-
trópicos separados una distancia d. Como la recta que une ambos radia-
dores es un eje de simetría de revolución del sistema, tomamos un siste-
ma de referencia centrado en el par, con los radiadores sobre el eje z, de
forma que los campos no dependan de φ. Suponemos además que las
corrientes alimentadoras son de igual amplitud pero que puede haber un
desfasaje ψ entre ellas. El campo emitido por el par de dipolos es, por
superposición coherente para distancias lejanas:






+≅
−−
ψω
θ
i
ikrikr
ti
e
r
e
r
e
eEE
21
0
21
donde r1 y r2 son las distancias desde cada radiador al punto de observa-
ción. Hemos adjudicado al segundo dipolo el desfasaje de las corrientes.
Para puntos lejanos (r >> d):
θcos
2
2,1
2,1
2,1 d
ik
ikr
i
ikrikr
e
r
e
e
r
e
r
e ±
−
′•
−−
=≈
rk
y tenemos:








+=







+≈
−−−+−−
−
)
2
cos
2
()
2
cos
2
()
2
(
0
cos
2
cos
2)(0
ψ
θ
ψ
θ
ψ
ω
ψ
θθ
ω
θ
d
ki
d
kikrti
i
d
ik
d
ik
krti
eee
r
E
eeee
r
E
E






−=
+−
2
coscos
2 )
2
(
0 ψ
θ
λ
π
ψ
ω d
e
r
E krti
El vector medio de Poynting es:






−≅⇒><=





−≅=><
2
coscos),(),(
2
coscos
2
4
2
22
2
0
2
0
0
2
0 ψ
θ
λ
πψθψθ
ψ
θ
λ
π
ηη
d
FFN
d
r
EE
N maxrr
qu
e es un factor de interferencia entre los dos radiadores, que tienen diagramas individuales esfé-
ricos. Este factor depende de θ y ψ y en las siguientes figuras se grafica para diversas relaciones
d /λ y desfasajes ψ.
0
ψ = 0
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
x
r1
-d/2
θ
φ
z
r2
r
d/2

ψ = 0
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1
ψ = π/4
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
ψ = π/2
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180

Se observa la influencia que tiene la separación y el desfasaje en el diagrama de interferencia de
los dos radiadores. En los diagramas siguientes, para d = 5λ se ve la complejidad de los diagra-
mas obtenidos aún con sistemas muy simples.
Consideramos ahora la misma configuración pero reemplazamos los radia-
dores isotrópicos con dipolos eléctricos cortos paralelos al eje z. Repetimos
el cálculo del campo radiado y el diagrama de radiación para obtener:






−=








+≈
+−
−
−
2
coscossen
2
sen
)
2
(
0
cos
2
cos
2)(0
ψ
θ
λ
πθ
θ
ψ
ω
ψ
θθ
ω
θ
d
e
r
E
eeee
r
E
E
krti
i
d
ik
d
ik
krti
ψ = π
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
ψ = 0 ψ = π/2 ψ = π
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
x
r1
-d/2
θ
φ
z
r2
rd/2

y el vector medio de Poynting es:
),,(4
2
coscossen
2
4
2
22
2
0
2
0
0
2
0
ψφθ
ψ
θ
λ
πθ
ηη
FN
d
r
EE
N
dipr
r
><=






−








≅=><
que es un nuevo ejemplo de la:
La anisotropía en el diagrama de radiación introducida por el elemento base se ve así multiplica-
da por la anisotropía introducida por el factor de interferencia, que depende de la dirección del
espacio y el desfasaje entre las corrientes alimentadoras de los elementos. Este resultado es to-
talmente general y se aplica cualquiera sea el elemento base (siempre que el arreglo sea de ele-
mentos idénticos).
En la siguiente figura se grafica el diagrama dipolar, el factor de interferencia y su producto para
d = λ , ψ = π/2.
Redes lineales
Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan situados sobre una línea recta. Esta es
una red lineal.
Analizamos primero una red vertical. Asumiremos que se trata de radiado-
res isotrópicos porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia.
Colocamos el sistema de coordenadas de manera que la posición del n-ésimo
radiador de la fila sea: zr ˆ)1( dni −=′ . El campo creado por el conjunto es:
nn
n
ikR
ti
N
n
n
R
R
e
eEtE
n
n
rrr ′−==
−
+
=
∑),( )(
1
0 conψω
θ
donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n
y fase ψn. Para puntos lejanos podemos aproximar como en la sección ante-
rior, a orden uno en la fase: θcos)1( dnrR nn −−≅′−= rr y a orden cero
en la amplitud, para obtener:
[ ] [ ]
∑∑
−
=
+−
=
+−−
=≅
1
0
cos
0
)(
1
cos)1(
0
)( 11
),(
N
n
nkdi
n
krti
N
n
kdni
n
krti nn
eEe
r
eEe
r
tE ψθωψθω
θ r con 0,1 000 == ψE .
Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Entonces podemos tomar
nctecteEE nn ∀==== 000 ψy .
La suma se convierte en una serie geométrica, ya que cada término es igual al precedente multi-
X =
d = λ ψ = π/2
rn
θ
z
r
d
Regla de multiplicación de diagramas
El diagrama de radiación del conjunto es el producto del diagrama de
radiación del elemento base por un diagrama de interferencia

plicado por el factor constante θcosikd
e :












=
−
−
=
−
−
=≅
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
∑
θ
θ
θ
ω
θθ
θθ
θ
ω
θ
θ
ωθω
θ
cos
2
sen
cos
2
sen
1
1
),(
cos)1(
2
1
)(0
cos
2
1
cos
2
1
cos
2
1
cos
2
1
cos)1(
2
1
)(0
cos
cos
)(0
1
0
cos)(0
kd
Nkd
ee
r
E
ee
ee
ee
r
E
e
e
e
r
E
ee
r
E
tE
kdNi
krti
kdikdi
NkdiNkdi
kdNi
krti
ikd
iNkd
krti
N
n
inkdkrti
r
y el diagrama de interferencia será proporcional a:












=












≅>=<
θ
λ
π
θ
λ
π
η
θ
θ
ηη
θ
cossen
cossen
2
cos
2
sen
cos
2
sen
22 2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
22
d
d
N
E
kd
Nkd
EE
rNr r
que es función del tipo )(sen/)(sen 22
ββN . Esta función tiene el máximo principal para
πθ
λ
πβ n
d
== cos , que vale: ( )0
2
0
2
2/ ηEN de donde el diagrama de radiación es:












=
><
><
=
θ
λ
π
θ
λ
π
φϑ
cossen
cossen
),(
22
2
2
2
d
N
d
N
Nr
Nr
f
maxr
r
Graficamos la expresión no normaliza-
da en función de β para varios valores
de N: Los máximos principales se dan
para β = nπ, con n entero (n = 0,1,2…).
Como θλπβ cos)/(d= , la condición n
= 0, β = 0 lleva a 0cos =θ , que impli-
ca un máximo sobre el plano horizontal
θ=π/2. Este máximo siempre existe,
aunque no siempre es el máximo
principal. Por este motivo, estos arre-
glos con corrientes alimentadoras en
fase se conocen como formaciones la-
terales (broadside arrays).
Para n > 0 tenemos que:
d
nn
d λ
θπθ
λ
π =⇒= coscos
Como 1cos ≤θ , esta condición se cumple solamente para d ≥ λ. En tal caso, aparecen otros
máximos principales en direcciones no laterales.
En las figuras siguientes se muestran los diagramas de campo de interferencia para N = 6 y dis-
tintas relaciones d/λ. Se observa que el ancho del lóbulo principal disminuye a medida que au-
menta d/λ cuando d < λ , y que aparecen otros lóbulos para d ≥ λ.
N = 5
N = 10
N = 25

Consideremos ahora que mantenemos los campos de igual amplitud pero con fases variables.
Esto se logra desfasando las corrientes alimentadoras de cada radiador.
Sólo podemos obtener una serie geométrica si la fase crece linealmente con la posición del dipo-
lo en el arreglo, o sea si: δψψδψ =−⇒= −1nnn n . En tal caso:






+












+
=
−
−
=≅
+
−
+
+
−
−
=
+−
∑
2
cos
2
sen
2
cos
2
sen
1
1
),(
]cos[
2)(0
)cos(
)cos(
)(0
1
0
)cos()(0
δ
θ
δ
θ
δθ
ω
δθ
δθ
ωδθω
θ
kd
kd
N
ee
r
E
e
e
e
r
E
ee
r
E
tE
kd
N
i
krti
kdi
kdiN
krti
N
n
kdinkrti
r
y el diagrama de radiación es:
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
d/λ = 0.05 d/λ = 0.25 d/λ = 0.5
d/λ = 1 d/λ = 2 d/λ = 5
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180







+












+
=⇒






+












+
=>=<
2
cossen
2
cossen
)(
2
cos
2
sen
2
cos
2
sen
22 22
2
2
2
0
2
0
0
2
22
δ
θ
λ
π
δ
θ
λ
π
θ
δ
θ
δ
θ
ηη
θ
d
N
d
N
f
kd
kd
N
EE
rNr r
La presencia del desfasaje δ varía la posición de los máximos principales del diagrama de radia-
ción. Como en el caso de desfasaje nulo, el máximo principal se da cuando:
πδθ
λ
πβ n
d
=+= cos2 .
Analizamos el caso β = 0. Como 1cos ≤θ se ve que el dominio de β es:
λπδβλπδ dd 22 +≤≤−
Entonces, para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de
β. Como δ puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades:
a) δ > 0. Existe β = 0 si λπδλπδ dd ≤⇒≤− 202
b) δ < 0. Existe β = 0 si λπδλπδ dd ≤⇒≥+− 202
O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si:
λπψλπδλπδ Ld)(N-)(N-d ≤∆⇒≤⇒≤ 21212
donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo
que se cumpla esta condición, el máximo principal se da para:
d
d MM
λ
π
δ
θδθλπβ
2
cos0cos2 −=⇒=+=
Como puede verse, θM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal se da para θM =
±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.
Por otra parte, si:
02
2
M
M
=⇒−=
=⇒=
θλπδ
πθλπδ
d
d
y se tienen las llamadas formaciones de punta (endfire arrays), donde la máxima radiación se
da sobre la línea que contiene a los dipolos. Las siguientes gráficas muestran los diagramas de
campo de 6 radiadores en una formación de punta:
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
d/λ = 0.05 d/λ = 0.25 d/λ = 0.5
d/λ = 1 d/λ = 2 d/λ = 5

Arreglos en fase (phased arrays)
El análisis de las formaciones laterales y de punta indica que introduciendo un desfasaje entre las
corrientes alimentadoras de un arreglo de radiadores se logra modificar la posición del máximo
principal. Podemos ver que el diagrama de radiación:
( )
( )






+












+
==
2
cossen
2
cossen
sen
sen
)(
22
2
22
2
δ
θ
λ
π
δ
θ
λ
π
β
β
θ
d
N
d
N
N
N
f
que da el máximo principal para β = 0 si d < λ. Si tomamos: 0cos2 θλπδ d−= nos queda
( )0coscos2 θθλπβ −= d que se anula con θ = θ0. Variando θ0 con el tiempo se logra que el
máximo principal de radiación gire en el tiempo. Esta característica se usa, por ejemplo, en rada-
res de aeropuertos donde es importante el seguimiento de los aviones. En las siguientes gráficas
se muestra el diagrama de radiación para un arreglo lineal de 5 elementos, separados en d =
0.4λ, para distintos ángulos θ0:
Se observa la relocación del máximo principal siguiendo el ángulo θ0, desde la formación de
punta, para θ0 = 0, hasta la formación lateral, para θ0 = 90 y luego se repite el comportamiento
en el otro hemisferio.
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ0 = 0 θ0 = 30 θ0 = 45
θ0 = 60 θ0 = 90 θ0 = 120
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ 3030
0
6060
9090
120120
150150
180
θ0 = 135 θ0 = 150 θ0 = 180

Redes horizontales
Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan sobre una línea
horizontal. Asumiremos nuevamente que se trata de radiadores isotrópicos
porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia. Ubicamos el sis-
tema de coordenadas de forma que la posición del n-ésimo radiador de la
fila es: xr ˆ)1( dni −=′ .
El campo creado por el conjunto es:
nn
n
ikR
ti
N
n
n
R
R
e
eEtE
n
n
rrr ′−==
−
+
=
∑),( )(
1
0 conψω
θ
donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n y fase ψn. Para
puntos lejanos podemos aproximar nuevamente a orden uno en la fase:
φθ cossen)1( dnrR nn −−≅′−= rr y a orden cero en la amplitud, para obtener:
[ ]
∑=
+−−
≅
N
n
kdni
n
krti n
eEe
r
tE
1
cossen)1(
0
)(1
),( ψφθω
θ r
[ ]
0,1
1
000
1
0
cossen
0
)(
=== ∑
−
=
+−
ψψφθω
EeEe
r
N
n
nkdi
n
krti n
con
Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Tomamos cteEE n == 00 y
ncten ∀== 0ψ . La sumatoria constituye una serie geométrica, ya que cada término es
igual a precedente multiplicado por un factor constante φθ cossenikd
e :












=
−
−
=
−
−
=≅
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
∑
φθ
φθ
φθ
ω
φθφθ
φθφθ
φθ
ω
φθ
φθ
ωφθω
θ
cossen
2
sen
cossen
2
sen
1
1
),(
cossen)1(
2
1
)(0
cossen
2
1
cossen
2
1
cossen
2
1
cossen
2
1
cossen)1(
2
1
)(0
cossen
cossen
)(0
1
0
cossen)(0
kd
Nkd
ee
r
E
ee
ee
ee
r
E
e
e
e
r
E
ee
r
E
tE
kdNi
krti
kdikdi
NkdiNkdi
kdNi
krti
ikd
iNkd
krti
N
n
inkdkrti
r
y el diagrama de interferencia será proporcional a:












=












≅>=<
φθ
λ
π
φθ
λ
π
η
φθ
φθ
ηη
θ
cossensen
cossensen
2
cossen
2
sen
cossen
2
sen
22 2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
22
d
d
N
E
kd
Nkd
EE
rNr r
Para el plano horizontal 2/πθ = , esta función tiene el máximo para 0cossen =φθ
λ
π
d
, que vale:
( )0
2
0
2
2/ ηEN ⇒












=
><
><
=
φθ
λ
π
φθ
λ
π
φϑ
cossensen
cossensen
),(
22
2
2
2
d
N
d
N
Nr
Nr
f
maxr
r
es el diagrama de radiación, que puede escribirse: ( )
( )β
β
φϑ 22
2
sen
sen
),(
N
N
f =
Esta expresión en β es la misma que para la red vertical, de modo que son aplicables las conclu-
siones halladas en la sección precedente. Los máximos principales se dan para β = nπ. Como
rn
d
x
θ
φ
z
r

φθλπβ cossen)/(d= la condición β = 0 lleva a 0cossen =φθ .
En el plano horizontal (θ = π/2) esto significa que los máximos principales se dan para φ = π/2,
3π/2 (direcciones laterales a la línea de dipolos).
La otra condición β = nπ lleva a que nd =φθλ cossen)/( . Como las funciones trigonométri-
cas tienen módulo ≤ 1, esta condición se cumple solamente para (d/λ) ≥ 1. En tal caso, aparecen
otros máximos principales en direcciones no laterales. Estos arreglos son formaciones laterales
como las vistas en la sección precedente.
Consideremos ahora nuevamente campos de igual amplitud pero con fases linealmente variables
con la posición, como antes: δψψδψ =−⇒= −1nnn n .
En tal caso:
)cossen(
)cossen(
)(0
1
0
)cossen()(0
1
1
),( δφθ
δφθ
ωδφθω
θ +
+
−
−
=
+−
−
−
=≅ ∑ kdi
kdiN
krti
N
n
kdinkrti
e
e
e
r
E
ee
r
E
tE r






+












+
=
+
−
2
cossen
2
sen
2
cossen
2
sen
]cossen[
2)(0
δ
φθ
δ
φθ
δφθ
ω
kd
kd
N
ee
r
E kd
N
i
krti
y el diagrama de radiación es proporcional a:






+












+
=>=<
2
cossen
2
sen
2
cossen
2
sen
22 2
2
0
2
0
0
2
22
δ
φθ
δ
φθ
ηη
θ
kd
kd
N
EE
rNr r
Podemos realizar el mismo análisis que en el caso del arreglo vertical.
Para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de β. Como δ
puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades:
c) δ > 0. Existe β = 0 si
λπ
δ
λ
πδ
dd
≤⇒≤−
2
02
d) δ < 0. Existe β = 0 si
λπ
δ
λ
πδ
dd
≤⇒≥+−
2
02
O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si:
λπ
ψ
λπ
δ
λπ
δ Ld
)(N-)(N-
d
≤
∆
⇒≤⇒≤
2
1
2
1
2
donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo que
se cumpla esta condición, el máximo principal se da para:
d
d
MM
λ
π
δ
φδφ
λ
πβ
2
cos0cos2 −=⇒=+=
Como puede verse, φM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal se da para φM =
±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.
Por otra parte, si:
02
2
M
M
=⇒−=
=⇒=
φ
λ
πδ
πφ
λ
πδ
d
d
y se tienen nuevamente las formaciones de punta, donde la máxima radiación se da sobre la
línea que contiene a los radiadores.

φ
30
210
0
60
240
90
270
120
300
150
330
180
Ejemplo 10.6: No siempre los radiadores emiten campos polarizados en la misma dirección.
Considere dos dipolos eléctricos cortos perpendiculares entre sí, situados en el mismo pun-
to. Las corrientes alimentadoras son de igual amplitud y frecuencia, pero pueden estar des-
fasadas en ψ. Se pide hallar el diagrama de radiación sobre el plano horizontal que contiene
a los dipolos y analizar la polarización de la onda radiada.
Elegimos un sistema de coordenadas con su origen en los
dipolos y orientado como indica la figura. El punto campo se
toma sobre el plano horizontal xy. El dipolo 1 (orientado
según -z) crea el campo:
zE ˆˆsen )(0)(0
1
krtikrti
e
r
E
e
r
E −−
=′′= ωω
θθ
porque sobre el plano xy: θ' = π/2 y zˆˆ =′θ .
Para expresar el campo creado por el dipolo 2 debemos re-
emplazar θ por el ángulo entre el eje del dipolo (x en nues-
tro caso) y el vector posición r. Sobre el plano xy este ángulo
es φ, y el versor θˆ resulta el versor φˆ. Entonces el campo
emitido por el dipolo 2 es:
φφ ψω ˆsen )(0
2
+−
= krti
e
r
E
E
y el campo eléctrico total es: [ ]zEEE ˆˆsen)(0
21 +=+= −
φφ ψω ikrti
ee
r
E
El campo magnético radiado puede calcularse como:
[ ] [ ]φφ
η
φφ
ηη
ψωψω ˆˆsenˆˆsenˆ
ˆ )(
0
0)(
0
0
0
−=+×=
×
= −−
zzr
Er
H ikrtiikrti
ee
r
E
ee
r
E
y el vector medio de Poynting:
( ) ( ) ( )[ ] ( )φ
η
φφφφ
η
ψψ 2
2
0
2
0
2
0
2
0
sen1
2
ˆˆsenˆˆsen
22
1
+=−×+ℜ=×ℜ= −
r
E
eee
r
E
e ii
zzHEN *
Se ve que el vector medio de Poynting es la suma de los vectores de Poynting individuales de
cada dipolo. No hay un factor de interferencia. Esto se debe a que los campos radiados son
perpendiculares entre sí. Además no depende del des-
fasaje entre las corrientes alimentadoras de los elemen-
tos. Las direcciones de máxima radiación corresponden
a φ = π/2, 3π/2, para las cuales el seno vale 1. El dia-
grama de radiación sobre el plano horizontal que con-
tiene a los dipolos es entonces:
2
sen1
)(
2
φ
φ
+
=f
y se muestra en la figura a la izquierda. Este diagrama
es la semisuma de los diagramas horizontales de radia-
ción individuales de cada dipolo, que se muestran en
rojo en la figura.
Para analizar el comportamiento de la polarización de
la onda radiada, seguimos un procedimiento similar al
de la página 328. El campo eléctrico total es:
( ) ( )[ ]zzE ˆ)cos(ˆ)cos(senˆˆsen 0)(0
krtkrt
r
E
ee
r
E
e ikrti
−++−=





+ℜ= −
ωφψωφφφ ψω
Entonces: )cos(0
krt
r
E
Ez −= ω
[ ]ψωψωφψωφφ sen)sen(cos)cos(sen)cos(sen 00
krtkrt
r
E
krt
r
E
E −−−=+−=
x
θ
φ
z
r
y
E1
E2
1
2
θ'

y podemos escribir:
0
)cos(
E
rE
krt z
=−ω
ψφ
ψ
ψφ
ψωω
φφ
sensen
cotan
sensen
cotan)cos()sen(
000 E
rE
E
rE
E
rE
krtkrt z
−=−−=−
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y sumamos miembro a miembro para obtener:
ψψ
φφ
ψφ
ψ
ψφ
ψ
ψφ
ψ
φφ
φφ
φ
2
00
2
0
2
0
2
0
22
0
2
2
0
2
00
2
0
sencos
)/sen)(/(
2
/sen/
sensen
cotan2
sensen
)cotan1(1
sensen
cotan1
=−





+





−





++





=






−+





=
rErE
EE
rE
E
rE
E
E
EEr
E
rE
E
rE
E
rE
E
rE
E
rE
zz
zz
zz
que podemos comparar con la ecuación de la elipse de polarización hallada en el Capítulo 6:
φφ 2
00
2
0
2
0
sencos2 =−








+








yx
yx
y
y
x
x
EE
EE
E
E
E
E
Observamos que ambas ecuaciones son formalmente idénticas, de manera que el sistema de
dos dipolos cruzados emite una onda elípticamente polarizada.
Se observa también que los semiejes de la elipse cambian con r (por el decaimiento de la
amplitud de los campos de una onda esférica) y con φ.
En particular, en la dirección de mínima radiación sen φ = 0, y se tiene Eφ = 0. Entonces en
esa dirección sólo hay Ez y la onda es linealmente polarizada.
En la dirección de máxima radiación sen φ = 1, y el estado de polarización de la onda radia-
da depende solamente de ψ:
ψψ
φφ 2
2
0
2
0
2
0
sencos
)/(
2
//
=−





+





rE
EE
rE
E
rE
E zz
ψ = ±nπ. Eφ = Ez y la onda es linealmente polarizada a π/4 del plano xy.
ψ = ±(2n+1)π/2.
2
022






=+
r
E
EEz φ y la onda es circularmente polarizada.
Para valores intermedios de ψ la onda resulta elípticamente polarizada.
En otras direcciones la onda resulta elípticamente polarizada.
Ejemplo 10.7: Las antenas usan reflectores para modificar sus diagramas de radiación y me-
jorar su eficiencia. Considere un arreglo lineal de N alambres conductores de sección des-
preciable S y altura h<<λ a la frecuencia de trabajo. Una on-
da plana verticalmente polarizada incide sobre el conjunto
formando un ángulo αi con la normal a la distribución. Esta
onda induce corrientes variables en el tiempo sobre los
alambres, que entonces se convierten en radiadores. Halle la
amplitud del campo radiado por el conjunto y el diagrama de
radiación horizontal. Analice su uso como reflector.
Por la continuidad del campo eléctrico sobre la interfase aire-
conductor podemos suponer que el campo dentro de cada
alambre es igual al campo incidente, de forma que la corriente que circula en el n-
ésimo alambre es inn SEI σ= donde Ein es el campo incidente sobre ese alambre.
Pero la fase del campo incidente va cambiando de elemento a elemento, porque, co-
mo se muestra en la figura, hay una diferencia de caminos idl αsen=∆ entre los
x
z
y
h
L
α
αi
Ei
Er
ki
kr
EiE

campos que llegan a dos elementos adyacentes. Esta diferencia de caminos se
traduce en una diferencia de fase ikdlk αϕ sen=∆=∆ entre los campos y, por
lo tanto, entre las corrientes de elementos adyacentes.
Por comodidad colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la distri-
bución y tenemos para el elemento n-ésimo la corriente:
)sen()( ini nkdti
o
ti
on eESeESI αωω
σσ −•−
== rk
Como la altura del elemento es mucho menor que λ podemos suponer que la
distribución de corriente es uniforme y que el elemento se comporta como un
dipolo radiante elemental, y emite un campo eléctrico de radiación:
θθ
ωεπ
σ
θθ
ωεπ
φθαω ˆsen
4
ˆsen
4
),( cossensen)(
0
2
0
0
2
inkdinkdkrtiiikrn
n eee
r
khESi
ee
r
khIi
t in −−−′•−−
== rk
rE
El campo total emitido por la distribución es:
θ
β
β
θ
ωεπ
σ
θθ
ωεπ
σ
βω
φθαω
ˆ
]2/sen[
]2/sen[
sen
4
ˆsen
4
),(
]2/)1([
0
2
0
1
0
)cossen(sen)(
0
2
0
N
e
r
khESi
ee
r
khESi
t
Nkrti
N
n
inkdkrti i
−+−
−
=
+−−
=
= ∑rE
donde: )cossen(sen φθαβ += ikd . El diagrama de radiación es proporcional a:
]2/[sen
]2/[sen
sen
162
1
2
2
2
22
0
2
422
0
22
0
2
β
β
θ
ωεπ
σ
η
NkhES
Nr r =
Sobre el plano horizontal 2/πθ = y tenemos:
)cos(sen
]2/[sen
]2/[sen
162
1
2
2
22
0
2
422
0
22
0
2
φαβ
β
β
ωεπ
σ
η
+== ir kd
NkhES
Nr
El valor máximo de esta expresión se da para 0=β , de modo que el diagrama de radiación
queda: )cos(sen
]2/[sen
]2/[sen
)( 22
2
φαβ
β
β
φ +== ikd
N
N
f
La condición de máximo implica: iMikd αφφαβ sencos0)cos(sen =⇒=+=
Pero, de la figura: iM αααφαπφ sensensencos2/ =⇒=⇒−=
y se observa que el máximo de radiación se da en la dirección que predice la ley de Snell de
la reflexión. Además, de la figura de la página 410 se ve que el diagrama de radiación tiene
un máximo principal más angosto y máximos secundarios más pequeños cuanto mayor sea
el número N de elementos en la distribución, de forma que la potencia emitida en las di-
recciones de reflexión secundaria es más baja cuanto mayor es N.
Ejemplo 10.8: Extender los resultados del ejemplo previo al caso de un reflector plano conduc-
tor.
El reflector puede considerarse como la superposición de
elementos de ancho dx y altura h. Cada elemento se puede
ver como un dipolo, que emite un campo:
xdeee
r
khESi
td xikxikkrti i
′= ′−′−−
θθ
ωεπ
σ φθαω ˆsen
4
),( cossensen)(
0
2
0
rE E
sta es la misma expresión del ejemplo precedente, con:
xnd ′→ . El campo total es la integral:
θ
γ
γ
θ
ωεπ
σ
θθ
ωεπ
σ
ω
φθαω
ˆ
2/
)2/sen(
sen
4
ˆsen
4
),(
)(
0
2
0
2/
2/
)cossen(sen)(
0
2
0
krti
L
L
xikkrti
e
r
LkhESi
xdee
r
khESi
t i
−
−
+′−−
=
′= ∫rE
αi
x
d
x
z
y
h
L
α
αi
Ei
Er
ki
kr
dx

con )cossen(sen φθαγ += ikL . El diagrama de radiación es proporcional a:
2
2
2
22
0
2
422
0
22
2
)2/(
)2/(sen
sen
16 γ
γ
θ
ωεπ
σ khES
Nr r =
y nuevamente el máximo principal de esta ecuación se da para 0=γ , lo que lleva a la ley de
Snell de la reflexión para la radiación en el plano horizontal. Nuevamente aparecen máximos
secundarios cuya altura es menor cuanto mayor sea kL. En el límite ∞→= λπ /2 LkL la
función
22
)2/()2/(sen γγ se convierte en una delta de Dirac )0(δ que lleva a que sólo
existe el “rayo” reflejado en la dirección de la ley de Snell de la óptica. Esta es una buena
aproximación cuando la longitud de onda es muy pequeña frente a las dimensiones del re-
flector.
El uso de arreglos de radiadores permite diseñar diagramas de radiación que no pueden obtenerse
con un único elemento. Permiten modificar el ancho de los lóbulos aumentando la directividad y
elegir la dirección del espacio de máxima potencia. También permiten lograr radiación con pola-
rización no lineal. Además del número de elementos, el espaciamiento y el desfasaje entre las
corrientes alimentadoras se pueden introducir valores distintos en las amplitudes de las corrien-
tes alimentadoras o un espaciado no equidistante para tener aún mayor flexibilidad en el dise-
ño, especialmente en la eliminación de los lóbulos secundarios y en el aumento del ancho de
banda de la antena.
También se pueden realizar arreglos 2D y 3D. Todos estos tipos de sistemas radiantes se presen-
tan en el programa APV.EXE11
que se puede descargar del ftp de la materia. Este es un progra-
ma de DOS que permite ver los diagramas de radiación de distintos tipos de arreglos con diver-
sos elementos y otros tipos de antenas.
11
Desarrollado por A.Z. Elsherbeni y C.D.Talor Jr., Dept. Electrical Engineering, Univ. Mississippi, ©1993.

Antena bicónica
Como se mencionó al final de la sección del dipolo eléctrico lar-
go, el ancho de banda de la antena aumenta con la sección del
alambre. Este efecto se aprovecha en la antena bicónica.
La antena bicónica ideal consiste en dos conos infinitos enfrenta-
dos por los vértices, como se indica en la figura. Como la estruc-
tura es infinita, se puede analizar como una línea de transmisión
de parámetros variables a lo largo de su estructura. Cuando se
conecta un generador a la entrada de la antena, circularán co-
rrientes a lo largo de los conos. A su vez, estas corrientes crean
un campo magnético Hφ que tiene simetría cilíndrica respecto del
eje de los conos. Las variaciones en el tiempo del campo magné-
tico generan un campo eléctrico. Ambos campos resultan en una
onda electromagnética que se propaga hacia fuera de la antena.
Suponemos el caso más sencillo, que la onda sea una onda esfé-
rica elemental y que el campo electromagnético sea transversal
(TEM) a la propagación. En tal caso, el campo eléctrico tendrá
solamente componente Eθ.
Entonces, en la región entre los conos tenemos:
θφ θφ
ˆˆ EH == EH
La ecuación de Maxwell-Ampere: EH ωεi=×∇ en coordenadas esféricas puede escribirse:
θωε
θ
φθ
φθθ
θ
θ
φ
ˆ
sen00
ˆsenˆˆ
sen
1
2
Ei
Hr
r
rr
r
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
de donde: ( ) ( ) θφφ ωεθ
θθ
EiHr
rr
-H
r
=
∂
∂
=
∂
∂ 1
0sen
sen
1
De la primera ecuación surge que: ( )
θ
θ
θ
φφ
sen
1
0sen ∝⇒=
∂
∂
HH y como suponemos
ondas esféricas elementales, podemos asumir:
θπ
φ
sen
1
4
0
r
e
HH
ikr−
=
Introduciendo esta expresión en la segunda ecuación obtenemos Eθ:
( ) φφθ η
θπ
η
θωεπθπωεωε
H
e
r
He
r
Hke
H
rri
Hr
rri
E
ikrikrikr
===





∂
∂
−=
∂
∂
−=
−−−
sen4sen4sen
1
4
11 00
0
Los campos satisfacen la relación de las ondas esféricas elementales. Podemos calcular el dia-
grama se radiación: ( )
θπ
ηη
φφθ 22
2
02
2
*22
sen3222
1 H
H
r
HEerNr r ==ℜ=
Esta expresión es máxima para θ = θh que es el valor mínimo de θ, de donde el diagrama de ra-
diación es simplemente:
θ
θ
θ 2
2
sen
sen
)( h
f =
Existen otros modos no TEM que aparecen cuando la antena no es infinita. En este caso se dis-
tingue entre una región interior hasta la tapa de los conos y una región exterior. En la región in-
terior, y lejos de las tapas, se puede suponer válida la descripción sencilla TEM que hemos anali-
z
θ
θh
Eθ
Hφ
~
V
I
I

zado, porque el sistema se comporta como una línea de transmisión, mientras que cerca de las
tapas y en la región exterior es necesario usar otros modos no TEM en función de armónicos
cilíndricos.
Las antenas cónicas o bicónicas se usan desde los tiempos de Marconi por su gran ancho de ban-
da, pero sólo a mediados del siglo XX se encontró una descripción matemática satisfactoria. Ac-
tualmente es una de las antenas usadas en ensayos de EMC (compatibilidad electromagnética).
Antenas tipo Yagi-Uda
Los arreglos de radiadores vistos hasta el momento consisten de elementos idénticos todos acti-
vos, es decir, todos alimentados por corrientes desde el sistema generador. Esto puede ser com-
plicado desde el punto de vista práctico porque los desfasajes y/o amplitudes deben seguir una
función rígida para garantizar el diagrama de radiación. El llamado arreglo Yagi-Uda tiene un
único elemento activo y otros elementos (pasivos) por los que circulan corrientes inducidas por
el campo generado por el elemento activo. El desfasaje adecuado entre las corrientes se logra
ajustando el tamaño y separación de los elementos pasivos.
En el esquema de la figura se ve un dipolo activo de longitud
l1 y un elemento pasivo de longitud l2 separados una distancia
d. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell hace posible
escribir un par de ecuaciones que relacionan los voltajes y las
corrientes en el centro de los elementos:
2221212
2121111
IZIZV
IZIZV
+=
+=
Las Zij son constantes que dependen de las longitudes de los
elementos, su espaciado y la longitud de onda de la radiación.
Se puede demostrar que
V2 = 0, de manera que: 122212 )/( IZZI −= .
El campo emitido por el conjunto se puede escribir como:
( )θθ cos
121
cos
21 /1 ikdikd
rad eIIaeaaE +=+∝
y el diagrama de radiación será proporcional a:






−+=





−∝ θθφθ cos
22
21
2
22
21
2
cos
22
21 Re211),( ikdikd
e
Z
Z
Z
Z
e
Z
Z
f
El primer término representa la contribución del radiador activo, el segundo la contribución del
radiador pasivo y el tercero es un término de interferencia. Cuando esta interferencia es tal que
maximiza la radiación en el sentido de +z el elemento pasivo se conoce como un director, mien-
tras que si la radiación se maximiza según -z el elemento pasivo se conoce como un reflector. La
máxima directividad de un director se obtiene cuando λ11.0≅d . Si el elemento activo es de me-
dia onda, el espaciado debe ser mayor: λλ 48.038.0 << d . En el caso de un reflector, la máxima
directividad de un reflector se obtiene cuando λ16.0≅d . Si el elemento activo es de media on-
da, el espaciado debe ser mayor: λλ 52.051.0 << d .
El arreglo Yagi-Uda más simple consiste de un elemento activo, un director y un reflector. En
esta situación puede mantenerse las separaciones antedichas, pero surge que el director debe ser
un poco menor aún que elemento activo y el reflector un poco mayor.
La adición de más reflectores no modifica mucho el diagrama de radiación, pero sí lo hacen más
directores, de manera que las antenas típicas de TV consisten de un dipolo (doblado) activo, un
reflector y un conjunto de directores de tamaños variables. Directividades entre 10 y 100 se pue-
den obtener en función de la cantidad de directores usada. Sin embargo estos valores se dan para
x
l2
l1
d

la longitud de onda de diseño, de modo que la respuesta en frecuencia de la antena Yagi-Uda es
pobre.
Antenas log-periódicas
Consideremos una estructura como la de la figura. La locali-
zación y longitud de los sucesivos elementos aumenta de
uno al siguiente en un factor constante:
11 −− == nnnn llzz ττ
donde la longitud del primer elemento es función de la lon-
gitud de onda de operación. Si ahora multiplicamos la longi-
tud de onda de operación por τ, todas las posiciones y longi-
tudes de la estructura se multiplican por τ y el resultado es
una estructura idéntica a la original (supuestamente indefinida). Por lo tanto la estructura radia de
igual manera para longitudes de onda λ, τλ, τ2
λ, etc., de donde podemos escribir el conjunto de
longitudes de onda “permitidas” como: 1
1
1 λτλτλ −
− == n
nn .
Expresando esta ecuación en términos de logaritmos:
ττλλ )1(loglog)1(loglog 11 −−=⇒−+= nffn nn
La estructura se conoce como logarítmica-periódica o log-periódica.
Un análisis de las características de radiación de esta estructura se puede hacer a partir de una
estructura de tres elementos y la antena Yagi-Uda. Se halla del cálculo que la máxima radiación
a lo largo del arreglo se da cuando el elemento central, supuesto activo, tiene una longitud de
media onda. Como el elemento menor actúa como director y el mayor como reflector en la ante-
na Yagi-Uda, entonces la radiación se dirige hacia el extremo derecho del arreglo. Para mejorar
el ancho de banda, se adopta la siguiente forma de alimentación desde el extremo más corto de la
antena y se conectan los sucesivos semi-elementos del arre-
glo como se indica en la figura, espaciando los elementos
en la mitad de su longitud en ese punto. Esto hace que la
corriente en el elemento n+1 esté adelantada π/2 respecto
del elemento n. Si el elemento n es resonante a la frecuen-
cia de operación, la distancia al siguiente elemento es λ/4.
Estas dos características llevan a que ambos elementos ra-
dien en fase.
El cálculo detallado muestra que que la fase de la tensión
provista a los sucesivos dipolos aumenta uniformemente desde el extremo de alimentación. Si el
elemento resonante está al medio del arreglo, es esta región la que radiará más eficientemente. Si
se varía la frecuencia, será otra región la de máxima radiación. El cálculo demuestra que hay
poca variación en el diagrama de radiación en el rango de frecuencias de operación
),( 1
)1(
1 ff n−−τ .
ln
zn

APENDICE 7 - Resolución de las ecuaciones de la radiación
Los potenciales retardados satisfacen las ecuaciones inhomogéneas de la radiación electromag-
nética:
0
2
2
2
2 ),(
),(
1
),(
ε
ρ
φφ
t
t
tc
t
r
rr −=
∂
∂
−∇ ),(),(
1
),( 02
2
2
2
tt
tc
t rjrArA µ−=
∂
∂
−∇
Puede observarse que cada componente cartesiana de la ecuación vectorial para A(r,t) es mate-
máticamente equivalente a la ecuación diferencial escalar para φ(r,t), de forma que vamos a re-
solver esta última ecuación diferencial y escribiremos por analogía la solución para el potencial
vectorial.
0
2
2
2
2 ),(
),(
1
),(
ε
ρ
φφ
t
t
tc
t
r
rr −=
∂
∂
−∇
La solución de esta ecuación diferencial lineal e inhomogénea dentro de un recinto del espacio se
puede escribir como la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución
particular de la ecuación completa.
La ecuación homogénea se obtiene cuando se toma ρ(r,t) = 0 para todo punto del recinto de
integración. Desde el punto de vista físico, esta suposición es equivalente a decir que no hay
fuentes del potencial escalar electrodinámico dentro del recinto de interés. Pero si no hay fuen-
tes, no puede haber campo, de manera que habrá una solución no trivial del problema sólo en el
caso en que las fuentes se hallen fuera del recinto de integración. Por lo tanto, la solución de la
ecuación homogénea representa la contribución a la radiación de las fuentes externas al recinto
de integración. Esta situación fue analizada en los Capítulos precedentes, donde se estudió la
propagación de ondas electromagnéticas en recintos sin fuentes de campo. Por lo tanto, para los
propósitos presentes podemos suponer que no hay fuentes de campo fuera del recinto de integra-
ción y entonces debemos anular la solución de la ecuación homogénea. La solución del problema
será entonces la solución particular.
Para obtener una solución particular, y dada la linealidad de la
ecuación diferencial, vamos a dividir el recinto de integración V
en elementos de volumen infinitesimales dv´. Como la forma de
estos elementos es irrelevante, elegimos esferas de radio δ → 0.
Para una de estas esferas, situada en r´, la ecuación diferencial
queda:





>′−==
<′−==−
=
∂
∂
−∇
δ
δ
ε
ρ
δφδφ
rrR
rrR
r
rr
R
R
t
t
tc
t
si0
si
),(
),(
1
),( 02
2
2
2
donde ),( trδφ es el potencial escalar creado por la esfera, dado que fuera de ella no hay carga.
Como nos interesa la solución fuera de la esfera, nos queda la ecuación:
0),(
1
),( 2
2
2
2
=
∂
∂
−∇ t
tc
t rr δφδφ
El elemento de carga tiene simetría esférica, de manera que ),(),( tRt δφ=δφ r , donde R es la
distancia al centro de la esfera. Entonces podemos escribir:





 δφ
=δφ∇=δφ∇
dR
d
R
dR
d
R
tRt 2
2
22 1
),(),(r ⇒ 0
11
2
2
2
2
2
=
∂
δφ∂
−




 δφ
tcdR
d
R
dR
d
R
Pero el laplaciano se puede reescribir como: ( )δφR
dR
d
R 2
2
1
ya que:
S
V
r
r´
R
dV

( ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
211
2
2
11
dR
d
dR
d
RdR
d
R
dR
d
R
R
dR
d
R
dR
d
dR
d
RdR
d
R
dR
d
R
RdR
d
R
dR
d
R
δφδφδφ
δφδφ
δφδφδφδφδφ
+=





+=
+=





+=





y la ecuación de ondas resulta:
( ) ( ) ( ) 0
1
0
11
2
2
22
2
2
2
22
2
=δφ
∂
∂
−δφ⇒=
∂
δφ∂
−δφ R
tc
R
dR
d
tc
R
dR
d
R
Pero esta ecuación es matemáticamente idéntica a la ecuación de las ondas planas, de manera
que podemos escribir la solución formal:
R
cRtf
tctRftR
)/(
),()(),(
m
m =⇒= rr δφδφ
donde el signo positivo identifica una onda "progresiva" (que se propaga en el sentido de R cre-
cientes) y el signo negativo a una onda "regresiva" (que se propaga en el sentido de R decrecien-
tes).
Para determinar cuál función )/( cRtf m es la apropiada, consideramos la condición de borde
para 0→R . En este caso vale la ecuación inhomogénea (ya que δ<R ) y tenemos:
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2 ),(
),(
1
),(
),(
),(
1
),(
ε
ρ
δφδφ
ε
ρ
δφδφ
tR
tR
tc
tR
t
t
tc
t −=
∂
∂
−∇⇒−=
∂
∂
−∇
r
rr
ya que se sigue cumpliendo la simetría esférica. Podemos escribir entonces el laplaciano como
antes:
0
2
2
22
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
),(
),(
12
),(
),(
11),(
),(
1
),(
ε
ρ
−=δφ
∂
∂
−
δφ
+
δφ
ε
ρ
−=δφ
∂
∂
−




 δφ
⇒
ε
ρ
−=δφ
∂
∂
−δφ∇
tR
tR
tcdR
d
dR
d
R
tR
tR
tcdR
d
R
dR
d
R
tR
tR
tc
tR
En esta última ecuación se ve que el término del laplaciano predomina frente a la derivada tem-
poral para 0→R , debido a los factores inversamente proporcionales a R. Entonces podemos
escribir:
0
2 ),(
),(
ε
ρ
−≈δφ∇
tR
tR
que es una ecuación de Poisson cuasi-estática. Esta ecuación tiene la solución particular que es
la integral de Poisson: vdtRt ′ρ
πε
≈δφ ),(
4
1
),(
0
r
Por lo tanto este es el límite al que debe tender la solución general fuera de la esfera. La forma
matemática obtenida anteriormente y la condición de borde se satisfacen simultáneamente si:
R
vdcRt
tvdtR
t
R
cRtf
t
0
0
4
)/,(
),(
4
),(
),(
)/(
),(
πε
′′ρ
≈δφ⇒






πε
′ρ
≈δφ
=δφ
m
m
r
r
r
r
Esta es entonces la solución a la ecuación inhomogénea para un elemento de volumen infinitesi-
mal dv´. Se observa que el doble signo describe dos soluciones físicamente diferentes:
R
vdt
R
vdcRt
t
00 4
),(
4
)/,(
),(
πε
′′′ρ
=
πε
′−′ρ
≈δφ
rr
r representa el potencial creado en ),( tr por la pre-
sencia de la fuente en ),( t′′r , con cRtt /−=′ , o sea, el efecto en el punto campo se debe a

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