Sistemas polifásicos: análisis y cálculo de tensiones trifásicas

Sistemas polifásicos 1 de 38
SISTEMAS POLIFÁSICOS
1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................. 3
2. GENERACIÓN DE UN SISTEMA ENEFÁSICO DE TENSIONES EQUILIBRADAS ................................................. 3
3. NOCIÓN DE FASE Y SECUENCIA DE FASES ................................................................................................... 7
4. CONEXIÓN DE FUENTES EN ESTRELLA Y EN POLÍGONO.............................................................................. 9
5. TENSIÓN SIMPLE, DE FASE Y TENSIÓN DE LÍNEA. INTENSIDADES DE FASE Y DE LÍNEA. RELACIONES
ENTRE LAS MISMAS EN LOS SISTEMAS EQUILIBRADOS.................................................................................... 10
Ejemplo 1. .......................................................................................................................................................... 14
6. ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS. CÁLCULO DE LOS MISMOS POR REDUCCIÓN A UN
PROBLEMA MONOFÁSICO................................................................................................................................... 16
Conexión estrella-estrella................................................................................................................................... 16
Conexión triángulo-triángulo ............................................................................................................................. 19
Conexiones estrella-triángulo y triángulo-estrella.............................................................................................. 21
7. ANÁLISIS DE SISTEMAS DESEQUILIBRADOS................................................................................................. 22
Teorema de Millman .......................................................................................................................................... 22
CONEXIÓN Y-Y................................................................................................................................................... 23
VARIAS CARGAS CONECTADAS EN PARALELO.................................................................................................... 24
CONOCIDAS LAS TENSIONES EN LOS BORNES ..................................................................................................... 24
8. POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS ......................................................................... 25
Comparación de los sistemas trifásicos equilibrados con los monofásicos........................................................ 26
Ejemplo 2 ........................................................................................................................................................... 29
9. MEDIDA DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS ........................................................................................ 34

Sistemas con hilo neutro..................................................................................................................................... 34
Sistemas sin hilo neutro...................................................................................................................................... 34
10. EJERCICIOS .................................................................................................................................................. 37

1. INTRODUCCIÓN
Hoy en día se utilizan, de forma casi generalizada, consumos en energía eléctrica en forma de
corriente alterna C.A., en los sistemas de potencia.
Esto ha obligado a desarrollar técnicas de generación, transporte y consumo mucho más eficaces y
rentables. El transporte y la generación se puede realizar en C.A. monofásica, trifásica o polifásica, el
consumo exactamente igual.
El que se realice tanto el transporte como la generación en C.A. trifásica se debe a que presenta una
serie de ventajas respecto al monofásico, como veremos en el capítulo.
Los sistemas polifásicos, en general, quedan determinados por:
-Tensión.
-Número de fases o circuitos monofásicos que lo constituyen,
-Ángulo de desfase que lo caracteriza, siendo:
2 360º
;
m m
π
ϕ = ϕ =
donde m es el número de fases.
Si las tensiones y corrientes son iguales así como el ángulo ϕ entre fases, el sistema es equilibrado, en
caso contrario el sistema es desequilibrado.
En 1888 Ferraris descubrió que se podía generar un campo magnético giratorio con dos a más
corrientes alternas fuera de fase, y esta es otra de las grandes ventajas de los sistemas polifásicos frente a los
monofásicos.
De los sistemas polifásicos el más utilizado es el trifásico.
2. GENERACIÓN DE UN SISTEMA ENEFÁSICO DE TENSIONES
EQUILIBRADAS
Si una espira rígida gira con una velocidad ω constante en el seno de un campo magnético uniforme,
se genera en la misma una tensión senoidal debido a que el flujo que la atraviesa tiene una variación senoidal
en el tiempo. Igualmente se logra esa tensión permaneciendo fija la espira y girando los polos con velocidad
angular constante ω. Por diversas razones, en cuyo estudio no nos detenemos ahora, este último procedimiento
es el que se utiliza en la práctica.

figura 1
En la figura 1 se representa un generador de tensión alterna, que consta de un rotor, formado por un
electroimán de cuatro polos salientes, dos norte y dos sur, dispuestos alternativamente de forma tal que
producen una distribución senoidal del flujo magnético a lo largo del entrehierro, y de un estator, donde se
alojan los lados activos de unas bobinas cuyas secciones transversales se representan convencionalmente por
un solo conductor. Una bobina abarca el arco entre dos polos consecutivos. El lado conectado al terminal de
entrada, esto es, al extremo de polaridad de referencia positiva, le designamos con la letra A y el conectado al
terminal de salida le designamos con la letra X. Suponemos que los lados de las bobinas se cierran por la parte
posterior del plano, conexión que al solo efecto de que quede representada dibujamos fuera del estator, y que
en la parte anterior están los terminales extremos. En esta figura se representan, pues, dos bobinas, una la Al -
X1 y otra la A2 - X2. Al girar el rotor con velocidad angular ωg, se induce en cada bobina una tensión alterna
senoidal de pulsación ω. Si la rueda polar o rotor tuviera sólo un polo norte y un polo sur, esto es, un solo par
de polos, la pulsación ω de la tensión inducida en cada bobina sería:
gω = ω
pues en una vuelta se completaría un período.
En la máquina tetrapolar de la figura, número de pares de polos p = 2, se completa en media vuelta un
período del flujo senoidal y de la tensión inducida en cada bobina; luego:
g
g g
T
2 T
2
ω = π = ω
en donde Tg es el tiempo empleado por el rotor en una revolución. Esto significa que el período T de
la tensión inducida es la mitad de Tg o que, según la expresión anterior,
En general será:
gpω = ω
lo que quiere decir que en una máquina de p pares de polos basta una rotación igual a l/p de vuelta,
que. equivale a 360/p grados geométricos, para obtener un período de la tensión inducida, esto es, 360º
eléctricos.

Las tensiones inducidas en las bobinas Al –X1 y A2 -X2 están en fase, como se ve fácilmente por su
idéntica disposición respecto de dos polos consecutivos. Las podemos conectar, pues, en serie, terminal de
salida de una con el de entrada de la otra, con lo que se duplica la tensión en los terminales libres. Este
alternador, en que sólo se obtiene una tensión senoidal o tensiones en fase, se denomina monofásico.
Obsérvese que la separación entre las entradas Al y A2 de las bobinas es 360º/p y que estarán en fase las
tensiones inducidas en dos bobinas cuya separación geométrica tenga este valor o un múltiplo del
mismo.
figura 2
En cambio, en bobinas como las representadas en la figura 2, cuyas entradas son Al, B1 Y C1, se
inducen tensiones no en fase y que, si se toma como referencia la inducida en la bobina A1 pueden expresarse
por
A A
B B B
C C C
E 0
E
E
=
= −ϕ
= −ϕ
EEEE
EEEE
EEEE
pues, según el sentido de rotación indicado en la figura, estas tensiones van retrasadas en tiempo

g g
g g
B B B
g
C C C
g
p
p
ϕ ϕ ϕ
= =
ω ω ω
ϕ ϕ ϕ
= =
ω ω ω
Por consiguiente, llamando ϕ a la diferencia de fase o ángulo eléctrico, entre las tensiones inducidas
en dos bobinas y designando por ϕg su separación o ángulo geométrico, puede escribirse en general
gpϕ = ϕ
Si a lo largo del diámetro interior del estator hay distribuidas uniformemente pn bobinas iguales, esto
es, p grupos de n bobinas (un grupo por cada 360/p grados geométricos) y si la rueda polar es simétrica, las
tensiones de las bobinas de cada grupo forman un sistema n-fásico de tensiones equilibradas, denominación
debida a que las amplitudes son iguales y a que entre cada dos sucesivas hay una diferencia de fase igual a l/n
de período. (Para la figura 2 se ha tomado n = 3.) Haciendo g
2
n
π
ϕ = diferencia de fase del sistema n-fásico,
podemos escribir:
( )
1
2 s
3 s
n s
E 0
E
E 2
........................
E n 1
=
= −ϕ
= − ϕ
= − − ϕ
EEEE
EEEE
EEEE
EEEE
Conectando en serie las bobinas de los distintos grupos cuyas tensiones están en fase, por ejemplo,
conectando el terminal X1 con A2, X2 con A3 y así sucesivamente, obtendremos entre Al y el X de la última
bobina una tensión
U pE=
Se obtiene, en definitiva, el sistema
( )
1
2
3
n
U 0
2
U
n
2
U 2
n
........................
2
U n 1
n
=
π
= −
π
= −
π
= − −
UUUU
UUUU
UUUU
UUUU
cuya representación vectorial se muestra en la figura 3

figura 3
En la práctica no se encuentran nada más que los sistemas
− bifásico
− trifásico
− tetrafásico y
− hexafásico
En la figura 4 se muestran sus respectivas representaciones vectoriales. Por excepción, la diferencia de
fase entre las tensiones del sistema bifásico es
s
2
π
ϕ =
y no igual a π, como resultaría de seguir la ley general. El más utilizado en la distribución de energía
eléctrica es, sin duda alguna, el sistema trifásico.
figura 4
3. NOCIÓN DE FASE Y SECUENCIA DE FASES
Cada uno de los sistemas monofásicos que componen el sistema trifásico.

Por extensión, se da el nombre de fase a cada una de las partes de un circuito en que se genera, se
transmite o se utiliza una de las tensiones del sistema.
Secuencia de fases es el orden en que se suceden las correspondientes tensiones. Recuérdese que los
vectores asociados a las funciones senoidales se representan en la posición correspondiente a un instante
determinado, por ejemplo, t = 0, pero son unos vectores rotatorios que giran con velocidad angular constante
ω en sentido contrario al de las agujas de un reloj. (Sentido sinistrórsum o sentido directo de rotación en el
plano.)
El orden en que los vectores representados en la figura 3 y figura 4 van coincidiendo con un eje que
pase por el origen, por ejemplo, el eje real, es 1, 2, 3, ... En este caso se dice que el sistema polifásico, tal
como le hemos numerado, es de secuencia positiva o directa.
En la figura 5 se representa un sistema trifásico equilibrado de secuencia negativa. Nótese que la
secuencia de fases expresa el orden en que se suceden los máximos de los valores instantáneos de las
tensiones.
figura 5
Según el sentido de rotación representado en la figura 2, las fases se suceden en el orden A-B-C, esto
es, en secuencia directa, y si cambia el sentido de rotación, las fases se suceden en el orden C-B-A, esto es, en
secuencia inversa. Pero imaginemos que disponemos de las tensiones en un punto alejado del generador y que
los conductores que allí poseemos no están marcados por número o letra alguno. En este caso, lo primero que
tenemos que hacer para entendemos es marcar los conductores y luego determinar experimentalmente en el
orden en que se suceden las tensiones. Si ocurre que éstas se suceden en el orden convencional de las marcas,
el sistema de tensiones es de secuencia directa, y si no ocurre así, es de secuencia inversa. Pero se ve lo
relativo de este concepto, pues basta cambiar dos marcas cualesquiera, en este caso de sistema trifásico, para
tener la secuencia Inversa.
No se crea que, a pesar de su relatividad, carece de utilidad el concepto de secuencia. El orden de
sucesión de fases de un sistema polifásico es causa de que éste produzca, por ejemplo, un campo rotativo de
un sentido u otro. También se producen resultados distintos en los sistemas desequilibrados al aplicarse en
ellos fuentes de secuencias contrarias, y es por ello que hemos de considerar el orden de sucesión de las fases.

El concepto de secuencia de fases, a veces denominado rotación de fases, se aplica también, aunque el
sistema sea desequilibrado. En este caso, los vectores del correspondiente diagrama no son de igual módulo,
no están separados por igual ángulo o se dan las dos circunstancias simultáneamente.
4. CONEXIÓN DE FUENTES EN ESTRELLA Y EN POLÍGONO
En la figura 6 se representa un sistema trifásico equilibrado de fuentes de tensión.
figura 6
En la figura 7(a) se representa su conexión en estrella, la que se obtiene uniendo en un punto común
N, llamado punto neutro, los terminales a’, b' y c' de polaridad de referencia negativa. Suele ser costumbre
representar las fuentes en estrella, como se hace en la figura 7(c), esto es, en la forma de estrella de que recibe
el nombre.
figura 7
En la figura 8(a) se representa la conexión en triángulo. Se obtiene conectando sucesivamente los
terminales de distinta polaridad. La figura 8(c) es la representación usual de la conexión en triángulo.
Creemos conveniente advertir aquí, aunque a muchos lectores les parecerá innecesario, que, aun en el
caso de representar las fuentes en la disposición geométrica de Y o , los vectores asociados o
representativos de las tensiones complejas no coincidirán en orientación, en general, con las flechas

correspondientes de referencia de polaridad. Esto es lo que ocurre en las figura 7 y figura 8. Para evitar
confusiones, aparte de tener en cuenta esta advertencia, se aconseja que, como referencia de polaridad, se
utilice aquí doble subíndice en lugar de flechas.
figura 8
Los sistemas tetrafásicos y hexafásicos se pueden conectar también en estrella y en polígono. No
ofrecen dificultad alguna los correspondientes esquemas y diagramas vectoriales. El sistema bifásico no
permite la conexión en polígono.
5. TENSIÓN SIMPLE, DE FASE Y TENSIÓN DE LÍNEA. INTENSIDADES
DE FASE Y DE LÍNEA. RELACIONES ENTRE LAS MISMAS EN LOS
SISTEMAS EQUILIBRADOS
Un sistema n-fásico de fuentes de tensión puede utilizarse para suministrar corriente a n cargas. No es
usual la conexión independiente que, por ejemplo, se muestra en la figura 9 para un sistema trifásico.
figura 9
Esta disposición requiere seis conductores para distribuir la energía a las cargas. La conexión de éstas
en estrella o en triángulo permite una reducción de ese número de conductores, lo que, como analizaremos
más adelante, supone una economía en los gastos de la instalación. A ello es debido el que uno u otro de estos
tipos de conexión, que se representan en la figura 10 para un generador trifásico en estrella, sea la norma

práctica de utilizar los sistemas polifásicos. En el esquema de los generadores de esta figura se ha incluido la
impedancia interna Zg de cada uno de ellos. Estas impedancias son las de los devanados donde se inducen las
tensiones de cada fase.
Para la conexión en estrella se utiliza el símbolo Y y para la conexión en triángulo el .
En la figura 10(a) se representa la conexión Y-Y con hilo neutro. En la figura 10(b), la distribución se
realiza a tres hilos, o sea, sin conductor de conexión entre los puntos neutros N' y N del generador y de la
carga. Por último, en la figura 10(c) se representa la conexión Y- . Cabe también considerar las conexiones
-Y y - .
Se denomina tensión simple a la diferencia de potencial que existe entre cada uno de los conductores
de línea y el hilo neutro.
Se denomina tensión de fase a la diferencia de potencial que existe en cada una de las ramas
monofásicas de un sistema trifásico. Para las cargas en estrella, la tensión de fase es la que aparece en la
correspondiente impedancia, y coincide con la tensión simple, por ejemplo, UaN para, Z1 en los dos casos
representados en la figura 10.
figura 10

Tensión compuesta o de línea (característica del sistema trifásico) es la diferencia de potencial que
existe entre dos conductores de línea. Si se considera que es nula la impedancia ofrecida por esos conductores,
las tensiones de línea en la carga son idénticas a las que se tienen en la salida del generador.
Intensidad de línea es una de las intensidades Ia, Ib o Ic que circulan por los conductores de la línea
de conexión entre el generador y la carga. Se llama intensidad de fase a la que circula por cada una de las
ramas monofásicas de un sistema trifásico.
En los sistemas en estrella, ya sean cargas o generadores, la intensidad de línea IL coincide con la
intensidad de fase IF, esto es,
L F=I II II II I
como se deduce de la simple inspección de la figura 10.
Para la conexión triángulo, por el contrario, es la tensión de línea la que coincide con la tensión de
fase, es decir,
F L=U UU UU UU U
lo que puede apreciarse en la figura 10(c) y en la figura 8.
Un sistema trifásico se dice equilibrado cuando lo es la carga y el generador, esto es, cuando las
impedancias que presentan estos elementos en sus distintas fases son iguales entre sí y las fuentes de tensión
del sistema están equilibradas. La línea de distribución ha de presentar también una misma impedancia ZL por
fase.
En los sistemas equilibrados, tanto las tensiones como las intensidades, ya sean las de fase o las de
línea, forman un conjunto de magnitudes equilibradas. Los vectores a ellas asociados son de igual módulo y
entre cada dos sucesivos hay una diferencia de fase constante.
Veamos las relaciones que existen entre las magnitudes denominadas de línea y las de fase en los
sistemas equilibrados.
Sean, figura 11, tres impedancias de carga iguales ZY conectadas en estrella. Supongamos que las
tensiones a ellas aplicadas formen un sistema trifásico equilibrado de secuencia positiva.
figura 11

El diagrama vectorial que se representa en la misma figura muestra que las intensidades de fase
forman también un sistema equilibrado, puesto que
a b cϕ = ϕ = ϕ
e
a b cI I I= =
ya que las impedancias en estrella son iguales entre sí.
Veamos las tensiones de línea,
( )ab aN Nb aN bN aN aNU 10º 1 120º U 3 30º− = − − =U =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U U
Por tanto, podemos escribir,
( )
( )
( )
ab aN
bc bN
ca cN
130º
130º
130º
=
=
=
U UU UU UU U
U UU UU UU U
U UU UU UU U
esto es,
L FU 3U=
con un adelanto de 30º de la tensión de línea respecto de la tensión de fase del mismo origen.
Obsérvese que esta conclusión referente a la diferencia de fase es válida sólo para las tensiones de línea
tomadas en sucesión directa, esto es, a-b, b-c, e-a, como hemos hecho en el referido diagrama.
Las mismas conclusiones obtenidas para las cargas se deducen para los generadores en Y, lo que
puede comprobarse comparando la figura 7(b) y la figura 11.
figura 12

Consideremos ahora el caso, figura 12, en que las tres impedancias Z estén conectadas en triángulo y
sea también positiva la secuencia de las tensiones de línea. Las intensidades de fase
IIIIab, IIIIbc, IIIIca
que representamos en el diagrama vectorial, forman un mismo ángulo ϕ, igual al argumento de Z ;
con las respectivas tensiones.
Las intensidades de línea vienen dadas por
a ab ca
b bc ab
c ca bc
= −
= −
= −
I I II I II I II I I
o bien por
( )
( )
( )
a ab
b bc
c ca
3 30º
3 30º
3 30º
= −
= −
= −
I II II II I
I II II II I
I II II II I
esto es,
L FI 3I=
con un retraso de 30º de la intensidad de línea respecto de la intensidad de fase del mismo origen de
referencia y de sucesión directa, esto es, a-b, b-c, c-a.
Del diagrama vectorial y esquema de la figura 12 se deducen de forma inmediata las ecuaciones
anteriores.
Ha de observarse que si los generadores están conectados también en triángulo, las intensidades de
fase suministradas por ellos se han de designar por:
IIIIb’a’, IIIIc’b’, IIIIa’c’
Y se verificará
ab b a
bc c b
ca a c
′ ′
′ ′
′ ′
=
=
=
I II II II I
I II II II I
I II II II I
Ejemplo 1.
A un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa se conecta una carga pasiva y equilibrada,
como se muestra en la figura 13.

Sabiendo que la carga está conectada en estrella, que su impedancia por fase es 25 6= −πZZZZ y que
la tensión de línea es de 150 V, construir un diagrama vectorial donde aparezcan todas las magnitudes de línea
y de fase (escalas: 3 V ~ 1 mm; 1 A ~ 1 cm). Tomar como origen de fases a Uan.
figura 13
Por ser el sistema de tensiones de secuencia inversa, se cumplirá:
an F
bn F
cn F
U 0º
U 120º
U 120º
=
=
= −
UUUU
UUUU
UUUU
Veamos las tensiones de línea:
( )ab an nb an bn F FU 10º 1120º U 3 30º− = − = −U =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U U
Por tanto, podemos escribir,
( )
( )
( )
ab an
bc bn
ca cn
1 30º
1 30º
1 30º
= −
= −
= −
U UU UU UU U
U UU UU UU U
U UU UU UU U
osea;
L FU 3U=
con un retraso de 30º de la tensión de línea respecto de la tensión de fase del mismo origen.
Para nuestro caso tendremos:
L
F
U 150
U 86,6v
3 3
= = =
Las intensidades de fase, que coinciden con las de línea, forman también un sistema equilibrado de
secuencia inversa, ya que lo es el de tensiones de fase. Como la carga es capacitiva, dichas intensidades de
fase irán adelantas π/6 respecto a su correspondiente tensión de fase. Su valor eficaz será:

F
F
U 86,6
I 3,46A
Z 25
= = =
Por consiguiente, el diagrama vectorial pedido es el construido en la figura 14.
figura 14
6. ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS. CÁLCULO DE
LOS MISMOS POR REDUCCIÓN A UN PROBLEMA MONOFÁSICO
Conexión estrella-estrella
Estudiaremos en primer lugar el sistema trifásico equilibrado Y-Y que se representa en la figura 15(a).
Para realizar el estudio con mayor generalidad se han considerado las impedancias Zg, o interna del
generador, ZL, o de los conductores de línea y ZN, o del hilo neutro, aparte, claro está, de las impedancias Z
de carga.
Escribamos las ecuaciones circulares correspondientes a los lazos básicos definidos por cada fase y el
hilo neutro. Con las referencias tomadas figura indicada se obtiene:
g1 L a N a b c
g2 L b N a b c
g3 L c N a b c
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
E Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I I
y siendo:
1 2 3 0+ + =E E EE E EE E EE E E

figura 15
puesto que se trata de un generador equilibrado, se verifica que:
g L N a b c0 ( 3 )( )= + + + + +Z Z Z Z I I IZ Z Z Z I I IZ Z Z Z I I IZ Z Z Z I I I
luego:
a b c 0+ + =I I II I II I II I I

por lo que
' N a b cNN
( )= + +U Z I I IU Z I I IU Z I I IU Z I I I
cualquiera que sea el valor de la impedancia ZN, Si no hay hilo neutro, N = ∞ZZZZ es obvio que se
verifica que la suma de intensidades es cero, pero entonces las ecuaciones de las tensiones E1, E2, E3 pueden
escribirse en la forma:
'
'
'
g1 L a NN
g2 L b NN
g3 L c NN
( )
( )
( )
= + + +
= + + +
= + + +
E Z Z Z I UE Z Z Z I UE Z Z Z I UE Z Z Z I U
y teniendo en cuenta que la suma tensiones es cero resulta que
'g L a b c NN
0 ( )( ) 3= + + + + +Z Z Z I I I UZ Z Z I I I UZ Z Z I I I UZ Z Z I I I U
Por lo que verificándose que la suma de intensidades es cero, se concluye también
'
NN
0=UUUU
Los puntos neutros de la carga y del generador en los sistemas trifásicos equilibrados están, pues, al
mismo potencial, ya exista o no hilo neutro. Esto nos permite poner en corto circuito los referidos puntos N y
N’ sin que se altere en nada el régimen de intensidades en las distintas partes del sistema. Esta situación se
representa en la figura 15(b), donde también se han sustituido las impedancias en serie Zg, ZL y Z, y por una
impedancia ZY equivalente.
Teniendo en cuenta que la tensión de neutro es cero, las ecuaciones para el cálculo de las intensidades
quedan:
1
a
Y
2
b
Y
3
c
Y
=
=
=
EEEE
IIII
ZZZZ
EEEE
IIII
ZZZZ
EEEE
IIII
ZZZZ
esto es, el mismo resultado que considerando aisladamente los tres circuitos monofásicos que se
representan en la figura 15(c), donde cada uno de ellos está formado con los elementos de una sola fase y con
los puntos N y N’ en cortocircuito.
Obsérvese que, por ejemplo, una vez calculada Ia y dado que el sistema es equilibrado, puede
escribirse inmediatamente:

b a
c a
(1 120º)
(1 120º)
= −
= +
I II II II I
I II II II I
Conexión triángulo-triángulo
Consideremos ahora el sistema equilibrado ∆-∆ que se representa en la figura 16(a).
Cabe reducirlo a un sistema equivalente Y-Y transformando, de la forma que ya hemos estudiado, las fuertes y
las impedancias de carga. Así se calculan las intensidades y las tensiones de línea. Estas tensiones de línea entre
terminales de la carga, o sea,
ab bc ca, ,U U UU U UU U UU U U
permiten calcular inmediatamente las intensidades de fases de la conexión original, pues no hay más
que dividir una de ellas por Z, ya que las otras son de igual módulo y están separadas entre sí 120º.
También pueden calcularse las intensidades de fase a partir de las intensidades de línea. Para ello
basta utilizar las relaciones que existen entre estas cantidades en la conexión ∆ equilibrada, cuestión que
hemos estudiado anteriormente.
Sin embargo, vamos a analizar directamente el sistema equilibrado ∆-∆, que representamos en su
forma más general en la referida figura 16(a). Si no existieran las impedancias de 1ínea ZL sería:
' '
' '
' '
ab a b
bc b c
ca c a
=
=
=
U UU UU UU U
U UU UU UU U
U UU UU UU U
Por ser equilibrado el sistema se verifica, exista o no ZL, que
' '
' '
' '
ab a b
bc b c
ca c a
=
=
=
I II II II I
I II II II I
I II II II I
lo que puede comprobarse inmediatamente examinando los diagramas vectoriales de intensidades en
las cargas y en los generadores.
Para ZL = 0, las intensidades de fase son las que circulan por los circuitos monofásicos que se
representan en la figura 16(b) y que se calculan inmediatamente. En efecto,

figura 16
ab
g
bc ab
ca ab
E 0
(1 120º )
(1 120º)
=
+
= −
= +
IIII
Z ZZ ZZ ZZ Z
I II II II I
I II II II I

Veamos ahora el efecto de la impedancia ZL. Para la malla correspondiente a la fase a-b, esto es, la
formada por la rama a-b de la carga, la rama a’-b’ del generador y los conductores de línea que unen sus
extremos homólogos, podemos escribir:
' 'g L a ab L bb a
E 0 = + + −Z I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z I
de donde, teniendo en cuenta la igualdad entre las intensidades de fase en el generador y la carga y
teniendo en cuenta las relaciones entre intensidades de línea y fase en sistemas equilibrados, se verifica para la
carga equilibrada en ∆ y sistema de secuencia directa que:
a ab
b bc ab
( 3 30º )
( 3 30º ) ( 3 150º)
= −
= − = −
I II II II I
reulta
( ) ( )g ab L ab g L abE 0º ( ) 3 30º 3 150º= + + − − − = + +Z Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z I
luego
ab
g L
E 0º
3
=
+ +
IIII
Z Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z
y análogamente
bc
g L
ca
g L
E 120º
3
E 120º
3
−
=
+ +
+
=
+ +
IIII
IIII
Estas intensidades son las que se obtienen en los circuitos monofásicos de la figura 16(c). Cada uno de
éstos comprende los elementos de la correspondiente fase más una impedancia igual a 3 ZL, la que representa
el efecto producido por la impedancia de línea. Vemos, pues, que no hay que tomar el doble de ZL, como
pudiera creerse a primera vista. Ello se debe a que las intensidades de línea son 3 veces las intensidades de
fase.
Conexiones estrella-triángulo y triángulo-estrella
Los sistemas Y-∆ y ∆-Y se reducen fácilmente a Y-Y o ∆-∆, transformando ya sean las cargas o los
generadores

7. ANÁLISIS DE SISTEMAS DESEQUILIBRADOS
Teorema de Millman
Permite calcular la tensión UAB que en régimen permanente existe entre los nudos A y B, conociendo
las impedancias concurrentes en B y las tensiones entre el nudo A y los otros extremos de las citadas
impedancias.
m m
k k k
1 1
AB m m
k k
1 1
=
∑ ∑
∑ ∑
EU IEU IEU IEU I
U =U =U =U =
Y YY YY YY Y
Sistemas desequilibrados, el desequilibrio se presenta cuando la carga lo es, o el generador o ambas
cosas a la vez, aunque normalmente el desequilibrio se suele presentar en la carga.
Los procedimientos de análisis se suelen dividir en dos:
• Métodos generales de análisis.
• Método de las componentes simétricas.
En este curso nos centraremos en los métodos generales de análisis. El método de componentes
simétricas se basa en que un sistema trifásico desequilibrado se puede descomponer en tres sistemas trifásicos
equilibrados, secuencia directa, secuencia indirecta y secuencia cero u homopolar, no puede haber
acoplamientos mutuos
En algunos casos se pueden hacer ciertas simplificaciones.
( )
( )
( )
1B
1B AB A1 1 1 AB A1
1
2B
2B AB A2 2 2 AB A2
2
mB
mB AB Am m m AB Am
m
= − ⇒ = =
= − ⇒ = =
= − ⇒ = =
⋮
UUUU
U U U I Y U -UU U U I Y U -UU U U I Y U -UU U U I Y U -U
ZZZZ
UUUU
ZZZZ
UUUU
ZZZZ

Conexión Y-Y
1 g1 L1 r1
2 g2 L2 r2
3 g3 L3 r3
= +
= +
= +
Z Z + Z ZZ Z + Z ZZ Z + Z ZZ Z + Z Z
Aplicando Millman
1 1 1 2 3 3 N N
NN
1 2 3 N
′
+ +
=
+ + +
EY+EY E Y E YEY+EY E Y E YEY+EY E Y E YEY+EY E Y E Y
UUUU
Y Y Y YY Y Y YY Y Y YY Y Y Y
Como:
NN
N 1 2 3 NN N
N
′
′+ + =
UUUU
I = I I I =U YI = I I I =U YI = I I I =U YI = I I I =U Y
ZZZZ
Llegamos a:
Intensidades de Línea Tensiones en el receptor Tensiones en el generador
1 NN
a
1
2 NN
b
2
3 NN
c
3
′
′
′
−
=
−
=
−
=
E UE UE UE U
IIII
ZZZZ
E UE UE UE U
IIII
ZZZZ
E UE UE UE U
IIII
ZZZZ
aN r1 a
bN r2 b
cN r3 c
⋅
⋅
⋅
U = Z IU = Z IU = Z IU = Z I
a N 1 g1 a
b N 2 g2 b
c N 3 g3 c
′ ′
′ ′
′ ′
U = E - Z IU = E - Z IU = E - Z IU = E - Z I

Para el caso de que no exista hilo de neutro, las fórmulas son válidas Zn=∞ Yn=0.
Si el neutro es ideal, impedancia cero, los puntos N y N’ están al mismo potencial. Las intensidades
de fase son entonces las de tres circuitos monofásicos independientes.
31 2
a b c
1 2 3
; ;
EEEEE EE EE EE E
I = I = I =I = I = I =I = I = I =I = I = I =
Las conexiones Y-∆, ∆-Y, ∆-∆, se pueden analizar planteando las ecuaciones, o bien reduciéndolas al
caso Y-Y.
CASOS PARTICULARES
Varias cargas conectadas en paralelo.
Se transforman todas a triángulo, con lo que quedan conectadas en paralelo, se calcula el equivalente
de cada una de las ramas del triángulo, y se transforma a estrella.
Conocidas las tensiones en los bornes
Es muy frecuente que se conozcan las tensiones en los bornes, normalmente equilibradas que
alimentan a un receptor trifásico. En este caso el cálculo se puede simplificar, estudiaremos tres casos:
Carga en Y con hilo neutro(impedancia de los hilos despreciable frente a la carga)
Carga en ∆
ab bc ca an bn cn
an bn cn
a b c
1 2 3
n a b c
NN
, , , ,
, ,
0′
⇒
= = =
= + +
=
U U U U U UU U U U U UU U U U U UU U U U U U
U U UU U UU U UU U U
I I I II I I II I I II I I I
UUUU
ab bc ca
ab bc ca
1 2 3
a ab bc
b bc ca
c ca ab
, ,= = =
=
=
=
U U UU U UU U UU U U
I I - II I - II I - II I - I

Carga en Y sin hilo neutro
En este caso se produce un desequilibrio en las tensiones simples en la carga Uan, Ubn, Ucn,
desequilibradas.
El procedimiento es calcular las corrientes de fase pasando
de Y a ∆, posteriormente se calculan Ia, Ib, Ic y con ellas las
tensiones simples en la carga.
8. POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
La potencia suministrada por un generador trifásico, o la consumida por un receptor trifásico, es, en
los sistemas equilibrados, igual a tres veces la suministrada o consumida por una fase. Designando en general
por PF la potencia de una fase, esto es,
F F FP U I cos= ϕ
en donde ϕ es la diferencia de fase entre UF e IF, podemos escribir, como expresión de la potencia en
él, un sistema trifásico equilibrado
F FP 3U I cos= ϕ
Es conveniente expresar P en función de la tensión e intensidad de línea. Para ello, observando que se
verifica en todo caso,
F F L L
1
U I U I
3
=
puesto que para la conexión Y es
F L F L
1
U U e I I
3
= =
y para la conexión en ∆
F L F L
1
I I e U U
3
= =
resulta:

L LP 3U I cos= ϕ
Nótese que ahora ϕ no es en ningún caso la diferencia de fase entre UL e IL, sino la que existe entre
UF e IF, como ya hemos dicho antes.
Por convención se toma como tensión U de un sistema trifásico la tensión UL y como intensidad I la
IL. Nótese que éstas son cantidades cuya medición es siempre posible.
Así, pues, escribimos, de acuerdo con este convenio,
P 3UIcos= ϕ
De forma análoga, siendo
F F FQ U I sen= ϕ
podemos escribir, como expresión general de la potencia reactiva de un sistema trifásico equilibrado:
Q 3UIsen= ϕ
La potencia compleja es, pues, en estos sistemas:
F F3P j3Q P jQ 3= + = + = ****
S UIS UIS UIS UI
Extendiendo el concepto de potencia aparente dado para un circuito monofásico obtenemos
S 3UI=
Se verifica
P
cos
S
ϕ =
y
Q
tg
P
ϕ =
Advertimos de nuevo que el concepto de potencia compleja y el teorema de Boucherot permiten
simplificar extraordinariamente la resolución, de ciertos problemas, sobre todo en sistemas equilibrados.
Comparación de los sistemas trifásicos equilibrados con los
monofásicos
Estudiemos algunos de los diversos aspectos que presentan la distribución y utilización de energía
según se realicen mediante un sistema monofásico o mediante un sistema trifásico equilibrado.

1. Distribución de energía
Supongamos que tenemos que suministrar a una carga cierta potencia P, con una tensión de línea UL y
con un factor de potencia cos ϕ.
La carga y el generador están a cierta distancia, por lo que tenemos que realizar su conexión mediante
cables que presentan una resistencia.
Si tuviéramos opción a disponer de la potencia mediante una simple carga monofásica o mediante una
carga trifásica equilibrada, cabe estudiar cuál de los dos procedimientos es más conveniente desde el punto de
vista de la potencia perdida en la resistencia de los cables de conexión (figura 17).
figura 17
Llamaremos R1 a la resistencia de cada uno de los cables de la distribución monofásica y R3 a la de
cada uno de los tres cables que componen la línea trifásica.
Para la conexión monofásica, la corriente de línea IL1 viene dada por:
L1
L
P
I
U cos
=
ϕ
Luego la potencia ∆P1 perdida en la línea es:
2
2
1 1 L1 2 2
L
P
P 2R I 2R1
U cos
∆ = =
ϕ
Para la distribución trifásica, la intensidad de línea es:
L3
L
P
I
3U cos
=
ϕ
luego
2
3 3 L3 2 2
L
P
P 3R I
U cos
∆ = =
ϕ
Así, pues,

3 3
1 1
P R
P 2R
∆
=
∆
Si utilizamos cables idénticos en uno y otro caso es
3 1
1
P P
2
∆ = ∆
por lo que, desde este punto de vista, resulta más conveniente la distribución trifásica. A esta misma
conclusión se llega comparando los volúmenes de material conductor que son necesarios para que se produzca
la misma pérdida de potencia con ambas formas de distribución. En este supuesto, de la expresión anterior
deducimos que
3 1R 2R=
por lo que para un solo hilo
( ) ( )3 1
1
Vol Vol
2
=
y para toda la línea
( )
( )
3
1
3 Vol 3
2 Vol 4
=
esto es, el volumen de material conductor necesario en la distribución trifásica es las tres cuartas
partes del que se necesita en la monofásica de igual pérdida.
Para comparar económicamente ambos sistemas hay que considerar aún otros muchos factores, por
ejemplo, los aisladores y los transformadores que son necesarios. No entramos en detalles sobre esta cuestión,
pero si diremos que no se obtiene apreciable economía en la línea correspondiente a uno u otro caso. Las
ventajas del sistema trifásico se refieren más a la maquinaria terminal que a la línea de distribución.
2. Potencia instantánea
En los sistemas trifásicos equilibrados, la potencia instantánea, suma de las correspondientes a cada
fase, es constante.
En efecto,
( )
( ) ( )
( ) ( )
a a a F F
b b b F F
c c c F F
p u i 2U cos t 2I cos t
p u i 2U cos t 120º 2I cos t 120º
p u i 2U cos t 120º 2I cos t 120º
= = ω ω − ϕ
= = ω − ω − −ϕ
= = ω + ω + −ϕ

expresiones que podemos poner
( )
( )
( )
a F F F F
b F F F F
c F F F F
p U I cos U I cos 2 t
p U I cos U I cos 2 t 240º
p U I cos U I cos 2 t 240º
= ϕ+ ω − ϕ
= ϕ+ ω − −ϕ
= ϕ+ ω + −ϕ
y siendo
( ) ( ) ( )cos 2 t cos 2 t 240º cos 2 t 240º 0ω −ϕ + ω − −ϕ + ω + −ϕ =
resulta
a b c F Fp p p U I cos P+ + = ϕ =
como queríamos demostrar.
Esta propiedad es de gran interés. Debido a ella, los motores trifásicos arrancan mejor y trabajan más
satisfactoriamente que los monofásicos. Además los grandes generadores monofásicos son muy ruidosos
debido a las vibraciones originadas por la potencia fluctuante.
Ejemplo 2
La figura 18 representa a un generador trifásico y equilibrado alimentando a una carga pasiva,
trifásica, equilibrada y conectada en estrella a través de tres hilos, cuya impedancia por fase es Zl = 1 + j.
Sabiendo que el generador trabaja a 50 Hz, que cede una potencia = 21,2 kW y que la carga pasiva
consume Pc = 20 kW con un factor de potencia 0,8 inductivo, determinar:
1. Intensidad de línea.
2. Tensión de fase en la carga.
3. Impedancia Z por fase de la carga.
4. Tensión de línea en el generador.
5. Capacidad por fase de la batería de condensadores, conectados en triángulo, en paralelo con la
carga, que hace aumentar el factor de potencia del conjunto a 0,9.
6. Idem, silos condensadores están conectados en estrella.
7. Una vez conectados los condensadores según los apartados anteriores calcular la nueva intensidad
de línea en cada uno de dichos casos para que las tensiones en la carga sean las mismas que antes
de conectar los condensadores.

figura 18
Corno el circuito es totalmente equilibrado, para efectuar su estudio podemos reducir el problema a
uno monofásico, tal como indica la figura 19. En este circuito, las potencias, consumidas por la carga y cedida
por el generador, son las potencias por fase del circuito trifásico y, por tanto, la tercera parte de las totales.
figura 19
1º Para el cálculo de la intensidad de línea basta observar que, por aplicación del teorema de
Boucherot en el circuito monofásico, la potencia permitida en uno de los hilos de la línea es:
Fl Fg FcP P P 0,4kw= − =
y como
2
Fl lP R I=
tenemos para la intensidad de línea
Fl
l
P 400
I 20
R 1
= = =
2º En la carga monofásica se cumple:
Fc FcP U Icos= ϕ
de donde la tensión de fase en la carga será:
3
Fc
Fc
P 20 10 3 1250
U 417V
Icos 20 0,8 3
⋅
= = = =
ϕ ⋅

3º El valor de la impedancia por fase de la carga es:
FcU 1250 3 125
Z
I 20 6
= = = Ω
y, por tanto
125 25
Z Z(cos jsen ) (0,8 j0,6) (4 j3)
6 6
= ϕ = ϕ+ ϕ = + = +ZZZZ
4º Las potencias reactivas consumidas por fase en la carga y en la línea son:
Fc Fc
20 3
Q P tg 5kVAr
3 4
= ϕ = ⋅ =
y
2
Fl lQ X I 400VAr= =
En consecuencia, la potencia reactiva cedida por fase del generador, por aplicación del teorema de
Boucherot, será:
Fg Fc FlQ Q Q 5,4kVAr= + =
La potencia aparente del mismo es:
2
2 2 2
Fg Fg
21,1
SFg P Q 5,4 8,9kVA
3
 
= + = + = 
 
y como
Fg FgS U I=
Resulta para la tensión por fase en el generador
3
Fg
Fg
S 8,9 10
U 445V
I 20
⋅
= = =
Por tanto la tensión de línea en el mismo será:
g FgU 3U 445 3 770V= = =
5º Los condensadores a colocar vienen representados en la figura 20. La potencia reactiva que deben
ceder dichos condensadores es la diferencia de las potencias reactivas consumidas por la carga por separado y
por el conjunto carga + condensadores. Es decir:
2
c Fc c cQ 3Q 3 C U P (tg tg )∆
′= = ω = ϕ− ϕ

figura 20
donde QFc es la potencia reactiva por fase cedida por los condensadores; Uc, la tensión de línea en la
carga, que coincide con la tensión de fase en los condensadores, ya que están conectados en triángulo, y ϕ’el
argumento de la impedancia total del conjunto condensadores + carga.
Por tanto, la capacidad pedida será:
c
2 2
c
P (tg tg ) 20 10(0,75 0,484)
C 10,8 F
3 U 3 2 50( 3 417)
∆
′ϕ− ϕ ⋅ −
= = = µ
ω ⋅ π⋅ ⋅
figura 21
Los condensadores conectados en estrella, figura 21, deben ceder la misma potencia reactiva que los
conectados en triángulo. Además, como las tensiones de línea son las mismas en dichas conexiones, la
configuración en estrella será la equivalente de la en triángulo. Ahora bien, como dicha equivalencia se
resumía en
Y3∆ =Z ZZ ZZ ZZ Z

donde Z∆ y ZY son las impedancias conectadas en triángulo y estrella, respectivamente, y como, en
nuestro caso, la impedancia de un condensador es inversamente proporcional a su capacidad, se cumplirá
YC 3C 3 10,8 32,4 F∆= = ⋅ = µ
Nota.- Es necesario observar que los condensadores en estrella sólo deben soportar la tensión de fase
en la carga, mientras que los conectados en triángulo soportan la tensión de línea.
Estas observaciones, de mayor capacidad y menor tensión a soportar de las baterías de condensadores
en estrella en relación con las de triángulo, han de tenerse en cuenta como criterio económico para mejorar el
factor de potencia de una instalación trifásica.
7º En ambos casos, las potencias consumidas por el conjunto carga + condensadores son:
cP P 20kW
Q Ptg 20 0,484 8,7kVAr
= =
′= ϕ = ⋅ =
La potencia aparente será, por lo tanto:
2 2 2 2
S P Q 20 8,7 22,2kVA= + = + =
Ahora bien, como
FcS 3U I′=
la nueva intensidad de línea será en ambos casos
3
Fc
S 22,2 10
I 17,8A
3U 3 417
⋅
′ = = =
⋅
Como se observa, al mejorar el factor de potencia, la intensidad de línea disminuye, con lo que
también disminuirán las pérdidas en los hilos de la línea.
Se puede ver también que, al mejorar el factor de potencia del receptor, se requiere menor tensión en
bornes del generador para mantener una misma tensión en bornes del receptor.

9. MEDIDA DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
Pueden presentarse los siguientes casos en la medida de potencia activa:
Sistemas con hilo neutro
Solo se pueden dar en la conexión Y-Y pudiéndose a su vez dar dos casos.
a)equilibrado. b)desequilibrado
P= 3W1 P=W1+W2+W3
Sistemas sin hilo neutro
-Conexión Y con neutro accesible, caso anterior.
-Conexión en ∆ con fases accesibles.
*Equilibrado: Un vatímetroP= 3W1.
*Desequilibrado: Tres vatímetros
P= W1+W2+W3.

-Conexión Y ó ∆ sin neutro o fases accesibles
a)Equilibrado: creando un neutro artificial:
b)Equilibrado o desequilibrado: 3 vatímetros iguales:
-Conexión ARON o método de los dos vatímetros.
Es un caso particular del anterior válido para sistemas equilibrados y desequilibrados, con la
condición de la distribución a tres hilos (sin neutro).
P=W1+W2+W3

Vectorialmente:
1 ac a ac a
2 bc b bc b
W cos( )
W cos( )
= U I U I= U I U I= U I U I= U I U I
= U I U I= U I U I= U I U I= U I U I
Suponemos sistema equilibrado y dibujamos el diagrama vectorial.
Esta suma no ha de entenderse en sentido algebraico, veamos casos prácticos:
i) Si ϕ = 0 ⇒ cos ϕ =1;
W1=W2 ⇒ P = 2 W1
ii) Si |ϕ| = 60º cos ϕ = 0,5 uno de los dos vatímetros indica cero
a) Receptor inductivo
ϕ = + 60º ⇒ W2 = 0
b) Receptor capacitivo
ϕ = - 60º ⇒ W1 = 0
iii) Si |ϕ| > 60º cos ϕ < 0,5 uno de los dos vatímetros indica cero
a) ϕ > 60º carga inductiva W2 < 0 P = W1 – W2.
b) ϕ < -60º carga capacitiva W1 < 0 P = W2 – W1.
p=vania+ vbnib+ vcnic
ia+ib+ic=0
p=vania+ vbnib- vcn(ia+ib)
p=ia(van-vcn)+ib(vbn-vcn)= iavac+ibvbc
P=W1+W2
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1 L L
2 L L
1 2 L L
L L L L
W U I cos 30
W U I cos 30
W W U I cos 30 cos 30
=2U I cos 30 cos 3U I cos P
= − ϕ
= + ϕ
+ = − ϕ + + ϕ =
ϕ = ϕ =

Uno de los dos vatímetros tenderá a medir negativo y habrá que invertir la conexión.
Tratándose de sistemas equilibrados, la diferencia W1 – W2 multiplicada por 3 proporciona la
potencia reactiva del sistema trifásico.
( )
( )
( )
( )
1 2 L L L L
1 2
1 2
1 2
1
W W 2U I sen30 sen U I sen30 sen Q
3
Q 3 W W
3 W WQ
tg
P W W
− = ⋅ ϕ = ⋅ ϕ =
= −
−
ϕ = =
+
Para la medida de potencia reactiva utilizaremos los mismos procedimientos sustituyendo los
vatímetros por varímetros, o bien mediante la conexión ARON.
10. EJERCICIOS
Primer Ejercicio
Calcular el módulo y argumento de las intensidades de fase en el receptor, de las intensidades de línea
y de las intensidades de fase en el generador. Tomar las referencias dadas en el esquema, de la figura 22
figura 22
Segundo Ejercicio
Encontrar las relaciones entre las intensidades de fase y de línea de una carga equilibrada, conectada
en triángulo y alimentada por un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa. Suponer que la carga
es inductiva.

Tercer Ejercicio
En el circuito de la figura 23, calcular:
figura 23
1. La intensidad de línea y la intensidad de fase en la carga.
2. La tensión de línea en la carga.
3. Factor de potencia con que trabaja el generador.
4. Potencia reactiva suministrada por el generador.
5. Potencia reactiva absorbida por la carga.
6. Valor de la inductancia L en cada fase de la línea.
7. Valor de la impedancia Z por fase de la carga.
8. Capacidad por fase de la batería de condensadores en estrella que, colocada en paralelo con la
carga, da un conjunto de factor de potencia unidad.
9. La misma pregunta anterior, pero en el caso de que la batería de condensadores se monte en
triángulo.

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