Este documento describe un curso de 40 horas sobre el uso de software matemático para comprender conceptos de geometría analítica. El curso cubrirá temas como geometría euclidiana, geometría cartesiana, coordenadas cartesianas y polares, ecuaciones de rectas, y cálculo de pendientes y puntos medios. El objetivo es utilizar el software para verificar cálculos y hacer los temas más comprensibles.

1. Facilitador: Ing. Álvaro Fernando Alvizo Cruz
Objetivo:
Utilización de software matemático para
comprobación de cálculos y hacer mas
comprensivos los temas de geometría analítica.
Duración: 40 horas en 5 sesiones de 8 horas c/u.

2. Álgebra Geometría
Geometría
Analítica

3. Geometría Euclidiana
Geometría Sintética
Geometría Cartesiana
Geometría Analítica

4. O
III
III IV
X
Y
P(x, y)
abscisa
ordenada

5. ACTIVIDAD 1:ACTIVIDAD 1:
Indica cuales son las coordenadas de los siguientes puntos.

6. Localizar los siguientes puntos en el plano
cartesiano en el cuaderno y después utilizar
software.
A(2,3) G(13,4)
B(3,5) H(6,7)
C(-10,3) I(-1,-4)
D(8,9) J(-3,-6)
E(12,-3) K(2,-8)
F(12,4) L(3,6)

7.  Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus abscisas.
 Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus ordenadas.
 Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de
coordenadas, la distancia queda determinada por la relación en la siguiente
figura.

8. X
Y

9. X
Y

10. En un sistema de coordenadas cartesianas,
situar los siguientes puntos y calcular sus
distancias respectivas.
A(3,7) Y B(17,5)
C(0,-9) Y D(9,0)
E(-2,2) Y F(-11,7)
G(-4,-6) Y H(-2,-1)

11. Ubicar los puntos en el software para corroborar
resultados:

12. Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un
punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las
dos partes, PA y PB, están en la relación r:

14. Encontrar las coordenadas del punto P que
divide al segmento determinado por A(8,2) y B(-
5,7) en la razón 3/4.

15.  1) Obtenga las coordenadas del punto P que divide al
segmento cuyos extremos son A(-2,-4) y B(1,4) en la razón
AP/PB=1/6.

2) Hallar las coordenadas del punto P que divide el segmento
AB en la razón AP/PB=2, donde A(1,2) y B(4,5). (Escriba la
razón r como 2/1)

3) Dados los puntos A(-5,-4) y B(-1,2), determine el punto P1
que divide el segmento de recta AB en la razón AP1/P1B=1/2,
encontrar el punto P2 que divide ese mismo segmento en la
razón AP2/P2B=2.

16. Encontrar la relación en el software.

17. Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con
la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

18. X
Y

19. es el punto medio de y
donde:

21. Encontrar el punto medio de los siguientes
segmentos.
A(3,4) y B(7,7)
C(2,1) y D(5,4)
E(4,3) y F(8,5)
G(3,2) y H(6,8)
I(-2,3) y J(5,8)

22. Para definir las coordenadas polares en el plano
necesitamos un punto al que llamaremos origen
y una línea a la que llamaremos eje polar.

23. El ángulo polar θ de un punto P, P ≠ origen es
el ángulo que hay entre el eje polar y la línea
que une el origen con el punto P. Los valores
positivos del ángulo indican ángulos medidos
en sentido antihorario desde el eje polar.

24. A partir del triángulo rectángulo que se ve en la figura se
establecen las siguientes relaciones entre las
coordenadas cartesianas (x,y) y las coordenadas polares
(r,θ). Se supone que el origen de las coordenadas
polares coincide con el de las cartesianas y que además
el eje polar es el eje X.

25. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado
largo (la hipotenusa):
r2
= 122
+ 52
r = √ (122
+ 52
)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

26. Convertir de coodernadas cartesianas a polares
los siguentes puntos.
A(2,4)
B(3,8)
C(4,5)
D(8,9)
E(5,6)

27. Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas
cartesianas?
Usamos la función coseno
para x:
cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y
resolvemos:
x = 13 × cos( 23 °) = 13 ×
0.921 = 11.98
Usamos la función seno
para y:
sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y
resolvemos:
y = 13 × sin( 23 °) = 13 ×
0.391 = 5.08

28. Convertir de coordenadas polares a cartesianas.
A(7,23º)
B(5,34º)
C(5,35º)
D(8,54º)
E(7,38º)

29. La pendiente entre dos puntos:
P1(x1,y1) y p2(x2,y2)
Se obtiene mediante la siguiente formula:
y2 – y1
x2 – x1
m =

30. La pendiente es igual ala tangente la que permite
calcular el ángulo que tiene la recta con el eje x.

31. X
Y

34. Calcular la pendiente de los siguientes puntos y
su inclinacion.
A(3,4) y B(7,7)
C(2,1) y D(5,4)
E(4,3) y F(8,5)
G(3,2) y H(6,8)
I(-2,3) y J(5,8)

35. 35

36. 36
OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos
asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones
lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose
en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.
CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS
• Ecuación de la recta.
• Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas.
• Condición de paralelismo y perpendicularidad.
Objetivos de Aprendizaje
1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta.
2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la
forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta.
3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas.
4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano.
5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas.
6) Resolver problemas que se pueden modelar usando la ecuación de la recta.

37. 37
Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ∈ R, representa una ecuación
lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares
ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano
cartesiano.
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
yEjemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación
general de la recta.
Grafiquemos L en el plano cartesiano:
Tabla de valores Gráfico
X Y (x, y)
2 2 (2, 2)
1 3 (1, 3)
0 4 (0, 4)
-1 5 (-1, 5)
Observaciones:
1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una
recta.
• Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es
solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

38. 38
Ejemplo: Sea L2
una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0
Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.
Ecuación General
2x – y- 1 = 0
Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1
Si dividimos la igualdad por -1 para
que el coeficiente de y no sea
negativo
-Y = -2x + 1 / : - 1
Nos queda Y = 2x – 1
se llama Ecuación principal de la recta.
Donde: m = 2 n= -1
Importante
Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta
donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)
y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

39. 39
Hagamos una gráfica más
acabada utilizando el
programa grahpmática:
En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la
recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y
pasa por el punto (0, -1)
x
y
1 2 31
1
2
Pero ¿Qué son m y n ?

40. 40
¿Qué es la Pendiente en una recta?
¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?
Veamos las siguientes imágenes:

41. 41
En estas imágenes
encontramos algo
común……es un
concepto
matemático que
permite modelar
situaciones de la
vida real.
Aterrizaje de un avión

42. 42

43. 43

44. 44

45. 45

46. 46
X
Y

47. 47
Ejemplo:
Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y =
4
despejamos la variable “y” en función de la variable “x”
así:
Ecuación x + y =4
Despejemos y y = -x + 4
m = -1 pendiente negativa la
recta forma un ángulo
obtuso con el eje x ( mide
más de 90º)
n= 4 la recta corta al eje y en
4, en el punto (0,4)
x
y

48. 48
Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8
despejamos la variable “y” en función de la variable “x”
así:
Ecuación 4x -2y - 4 =0
Despejemos y -2y = -4x + 4
Multipliquemos 2y = 4x - 4
Dividimos por 2 y = 4 x - 4
2 2
y= 2x - 2
m=2 n= -2
La pendiente es positiva por lo tanto
la recta forma un ángulo agudo (mide
menos de 90º) con el eje x.
La recta corta al eje y en -2 , en el
punto (0,-2)
x
y

49. 49
m>0 m<0
Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o
x
y
x
y
x
y
x
y

50. 50
Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente,
ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.
Por ejemplo:
Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta
Usaremos la ecuación
x-x
y-y
m
12
12
=
donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.
( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.
Por lo tanto remplazando tenemos:
Luego la pendiente m = -1
m = = = = -1
12
12
xx
yy
−
−
21
25
−−
−
3
3
−
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y

51. 51
¿Qué pasaría si en este
resbalín los dos lados no
fueran paralelos?
Los lados de este aparato
son paralelos es decir
describen segmentos de
recta que son paralelos.

52. 52
Y ¿SI LOS LADOS DE ESTA PASARELA NO FUERANY ¿SI LOS LADOS DE ESTA PASARELA NO FUERAN
PARALELOS?PARALELOS?
No puede haber un lado
que no sea paralelo al
otro no cumpliría la
función para el cual están
hechas, que es el facilitar
el acceso a los
discapacitados a un
edificio
Veamos a continuación las
distintas posiciones que
pueden adoptar dos rectas.

53. 53
Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:
a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten
c) Que sean
Coincidentes
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y

54. 54
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:
Es decir:
Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n
L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2
x1 x2
y1
y2
L
•
•
x2 – x1
y2
–
y1
α
x
y
L2

55. 55
Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3
En el mismo plano cartesiano

56. 56
Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman
rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto,
ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que
son perpendiculares.
si L1 es una recta de
ecuación y=m1 x + n
L2 es una recta de
ecuación
y= m2x +n
L1 ┴ L2 si m1 • m2
= -1
x1 x2
y1
y2
L
•
•
x2 – x1
y2
–
y1
α
x
y
L1

57. 57
Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = 4x + 3
y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano

58. 58
Rectas Coincidentes
Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus
pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas
“n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a
punto.
Si L1: y = m1 x + n1
L2: y = m2 x + n2
L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y
n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.
x1 x2
y1
y2
L1
•
•
α
x
y
L2

65.  Forma punto – pendiente:
 Forma Pendiente – Intersección
 Forma Simétrica

66.  Sea la ecuación de una recta y
un punto que NO pertenece a ella,
entonces: