El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo sus ejes, cuadrantes y coordenadas. También describe cómo calcular la distancia entre puntos y encontrar el punto medio de un segmento. Explica las ecuaciones para representar líneas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas en el plano cartesiano.
1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder popular Para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Plano Numérico.
Nombre y Apellido:
Maria Carreño
C.I. 31.113.411
Sección: CO0123
2. Plano Numérico.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las (x), y
la vertical, eje de los ordenados o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de
origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan
por sus coordenadas o pares coordenados.
Características de un plano cartesiano
Los ejes de coordenadas son perpendiculares entre sí.
Las escalas de los ejes son iguales.
Los números positivos están a la derecha del origen en el eje de las x y por arriba del
origen en el eje de las y.
Los puntos en los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.
Es bidimensional.
Distancia entre puntos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: la distancia entre dos puntos (-4,0) y (5,0) es 4+5=9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y 0 en una recta paralela a este eje, la
distancia entre entre los puntos corresponde al valor absoluto de las diferencias de sus ordenados.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia
queda determinada por la relación.
3. Para demostrar una relación se debe ubicar los puntos A(x1, y 1) y B(x2, y 2) en el sistema de
coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de
Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B(4,1)
A(x1, y1)
B(x2, y2)
XM=
x1+x2
2
yM=
y1+y2
2
XM=
x1+x2
2
yM=
y1+y2
2
D= 5 Unidades.
Punto Medio.
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera
o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales
.
Ejemplos para el cálculo del punto medio
4. 1 dados los puntos A(3, -2, 5) y B(3, 1, 7), hallar las coordenadas del punto medio en el segmento
que determinan.
Utilizaremos la fórmula de las coordenadas del punto medio tendremos.
M=
x1+x2,
2
, = 𝑀(
3+3
2,
,
Entonces.
𝑀(3, −
1
2
, 6)
Ecuaciones.
Ecuación vectorial.
En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos X=(x, y, z0) que
pertenezcan a un plano llamado π.
Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano P=(x0, y0, 20) y a dos vectores con direcciones
distintas
𝑢
⃗ = (𝑈1, 𝑈2, 𝑈3)𝑌
𝑈
⃗
⃗ = (V1, V2, V3) llamado vectores directores.
Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano P= (x0, y0, z0) y a dos vectores con direcciones distintas
𝑢
⃗ = (u1, u2,u3) y
𝑢
⃗ = (v1, v2, v3) llamados vectores directores.
5. Los vectores 𝑢
⃗ y 𝑣 se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para
generar los puntos X del plano π, dichos vectores se consideran en el plano.
La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente:
Consideremos a P como un punto de referencia del plano 𝜋
Consideremos a un vector en el plano π que comienza en P y termina en X, dicho vector se puede
construir de la siguiente manera
𝑃𝑋
⃗⃗⃗⃗⃗ = X-P= (x-x0, y-y0,z-z0)
Ahora, como 𝑢
⃗ y 𝑣 también pertenece a π y no tiene la misma dirección, es posible encontrar
escaleras ⋋ y 𝜇 respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores ⋋ 𝑢
⃗ y 𝜇𝑣 cuya suma sea
𝑃𝑋
⃗⃗⃗⃗⃗ , es decir:
𝑃𝑋
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋋ 𝑢
⃗ +𝜇𝑣
Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar:
(x-x0, y-y0, z-z0)= ⋋(u1, u2, u3)+ 𝜇(v1, v2, v3)
Es decir:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + (u1, u2, u3)+ 𝜇(v1, v2, v3)
Llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano π:
X=P+⋋ 𝑢
⃗ +𝜇𝑣
Ecuación paramétricas:
Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos las ecuaciones de la recta.
6. X=a+𝛼 + 𝜆𝑣1
y= b+𝜆𝜐2
Ecuación continúa:
Despejando I en las ecuaciones de arriba, e igualando se tiene la ecuación continua de la recta:
𝑥−𝑎
𝑣1
=
𝑦−𝑏
𝑣2
Ecuación continúa de la recta que pasa por dos puntos:
(Siendo a el punto de corte con el eje x y b el punto de corte con el eje Y)
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
Ecuación funcional:
Y=m x + b
Siendo m el valor de tg a (también llamada “pendiente” de la recta), b el punto de corte del eje y.
Ecuación cartesiana:
A x + b y + c = 0
7. Trazado de circunferencia.
Ecuación de la circunferencia centrada en el origen:
Para una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas:
X2
+ y2
=R2
Ecuación de la circunferencia centrada en otro punto:
Para una circunferencia de radio R centrada en un punto P(a, b): (x-a)2
+ (y-b)2
= R2
Ecuaciones paramétricas de la circunferencia:
Para una circunferencia de radio R centrada en el origen:
8. X= R cos j
Y = R sen j
En el caso que la circunferencia está centrada de un punto distinto del origen digamos en P (a, b), las
ecuaciones paramétricas quedan:
X= a+ R cos j
Y= b + R sen j
Parábola.
Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono con un plano cuyo ángulo de
inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano
resaltara por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de
un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponda con
las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos
que se mueven bajo la influencia exclusiva de gravedad
Elipses.
9. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados
focos es constante.
Sea una elipse centrada en o, y cuyos semiejes sean a, b. Esta elipse tiene por ecuación en coordenadas
cartesianas. :
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
=1
Hipérbola.
Es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente
paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
La hipérbole cuyo centro se halla en el origen de coordenadas O (0, 0) es representable mediante una de las
siguientes ecuaciones denominadas de manera común como ecuación canónica o forma normal de la
ecuación de una hipérbola:
𝑥2
𝑎2
-
𝑦2
𝑏2
= 1 = b2
x2
– a2
y2
=a2
b2
𝑦2
𝑎2
-
𝑥2
𝑏2
= 1 = b2
y2
–a2
x2
= a2
b2
10. Ecuaciones de la cónica.
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz, alrededor de
otra recta e, eje con el cual se corta en un punto V, vértice.
G= la generatriz
E= el eje
V = el vértice
