Este documento presenta el procedimiento para calcular la probabilidad de error para señales transmitidas en un canal AWGN. Primero se define la región de decisión y los puntos de constelación. Luego, se calcula la probabilidad de error para cada símbolo posible y se promedia para obtener la probabilidad de error total. Finalmente, se aplica este procedimiento a ejemplos prácticos como BPSK, BFSK y QPSK coherente.

1. Universidad Nacional de Ingeniería
Comunicaciones II
Conferencia 17: Probabilidad de error para señales en AWGN –
Parte 2
UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications Management
Profesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr. Teoría Estimación

2. Outline
• Análisis de Zonas
• Procedimiento de cómputo de probabilidad de
error
– Ejemplo práctico
• Probabilidad de error de algunos esquemas
de transmisión pasabanda binario
• Probabilidad de error de algunos esquemas
de transmisión pasabanda M-ario
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr. Teoría Estimación

3. Análisis de Zonas
Note que en la mayoría de los casos, Z puede ser representado por
i
{( ) }
Z = Z = r ,r ,...,r a < r < b , a < r < b ,...,a < r <
b
i 1 2 N 1 1 1 2 2 2 N N N
donde i = 1,2,...,M, a ´s podría ser - ¥ , y b´s, ¥
. Así tenemos
i i
{ } { }
P Î Z m = P a < r < b , a < r < b ,...,a < r <
b m
i i 1 1 1 2 2 2 N N N i
{ } { } { }
= < < < < < <
( ) , j 1,2,...N, dado que m es transmitido
R ~ Ν μ,σ Ν s , N
ö 2
çè
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In3tr. Teoría Estimación
y
P a r b m P a r b m ...P a r b m
i
o
ij
2
1 1 1 i 2 2 2 i N N N i
= ÷ø
= æ
r

4. Procedimiento de cómputo de probabilidad de error (1)
Paso 1:
Calcule los puntos de mensaje (o constelación de señales)
( )
= = i s
s ,s ,...,s , i 1,2,...,M
i1 i2 iN
y determine la región de decisión Z , i =
1,2,...,M. En la
mayoría de casos, Z puede ser representado por
i
i
{( ) } 1 2 N 1 1 1 2 2 2 N N N
Z = r ,r ,...,r a < r < b , a < r < b ,...,a < r <
b
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In4tr. Teoría Estimación

5. Procedimiento de cómputo de probabilidad de error (2)
( )
=
Paso 2:
Para cada i 1,2,...,M, calcule P m usando el siguiente
subprocedimiento :
=
para cada j 1,2,...,N, calcule
P a r b m F b F a , R ~ N s , N
{ } ( ) ( )
< < = - æ
çè
o
ö c i
j j j i j j ij
= ÷ø
, j 1,2,...,N
2
Escriba la función F en términos de la función Q. Luego
( ) N
{ } ( ) ( ) e i c i
Õ=
= < < Þ =
P m P a r b m P m 1- P m
j j
c i j j i
j 1
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6. Procedimiento de cómputo de probabilidad de error (3)
( )
P m
Paso 3:
Calcule
P 1
å==
e e i
para símbolos equiprobables P m
( ) i
M
i 1
M
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In6tr. Teoría Estimación

7. Ejemplo (1/6)
•Determine la probabilidad media de error por símbolo para la constelación
de señales mostrada abajo (NRZ Polar)
S1(t)
T
m1=0
-A
S2(t)
m2=1
T
A
Z1 Z2
S1 S2
j-AÖT A ÖT 1
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In7tr. Teoría Estimación

8. Ejemplo (2/6)
De la gráfica :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= j = - j
=
s t s t A T t ó s -A T
1 11
= j = j
=
s t s t A T t ó s A T
1 21
( )
T
0
1 11 1
2 21 1
T
0
2
2
ò ò
2 2
donde
= = =
E s (t)dt 2 -A dt A 2
T
T
0
2 2
T
0
1
1
ò ò
2 2
2 2
= = =
E s (t)dt 2 A dt A 2
T
2
2
2
2
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9. Ejemplo (3/6)
= = Þ = - =
Paso 1:
Fijamos m 0, m 1 s A T, s A T
1 2 11
Z = {r r < 0}, Z = {r r ³
0}
j j j j
1 1 1 2 1 1
2
21
2
Donde para señales equiprobables, tenemos que el umbral de decisión o frontera entre las
regiones de decisión es igual a:
0
g = s11 + s21 = - A T + A T =
2 2
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10. Ejemplo (4/6)
Calculamos,
P 0 P r 0 0 con R ~ N s , N
( ) { }
( ) { } ( )
ö çè= < æ
N A T, N
æ- = ÷ø
ö çè
o 2 o
j
c 11
2
1
= - ³ ³ g = æ g
-
P 0 1 P r 0 0 donde P R Q μ
j
1
con R = r y = 0, μ = s y σ =
N
11
æ
ö çè
2 o
j
1
substituyendo :
2
g
( ) { } ( )
÷ø
ö
P 0 1 P r 0 0 1 Q 0 A T
æ
= - ³ = - - -
ö
j
æ
ö
÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç
è
2
N
2 o
2
s
P 0 Q A 2T
1
P 0 1 Q A 2T
( ) ( ) ÷ ÷ø
ç çè
= Þ ÷ ÷ø
ç çè
= -
÷ø
2
o
2 e
o
c
c
c
N
N
2
Paso 2-1:
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr0. Teoría Estimación

11. Ejemplo (5/6)
Calculamos,
P 1 P r 01 con R ~ N s , N
( ) { }
=
³ æ ö çèj
c 21
³ = æ -
1
g g
donde P R Q μ
( )
ö çè
÷ø
N A T, N
o 2 o
2
s
con R = r y = 0, μ = s y σ =
N
j
1
substituyendo :
g
= ³ = -
P 1 P r 01 Q 0 A T
( ) { }
æ = ÷ø
ö çè
21
2
2 o
2
Q -A 2T
N
N
2 o o
ö
æ
ç çè
æ
æ
ç ç ç ç
è
ö
æ
=
ö
÷ ÷ ÷ ÷
ø
2
2
P 1 Q A 2T
j
1
P 1 1 Q A 2T
( ) ( ) ÷ ÷ø
ç çè
= Þ ÷ ÷ø
ç çè
= -
ö
÷ ÷ø
÷ø
2
o
2 e
o
c
c
N
N
2
Paso 2-2:
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr1. Teoría Estimación

12. Ejemplo (6/6)
2
P m 1
( ) ( )
M
Calcule
P 1
= å = å
i 1
e e i
i 1
2
= =
[ ( ) ( )]
M
1
P 0 P 1
2
e e
Q A 2T
N
ö
÷ ÷ø
= +
é
ê êë
æ
1
2
Q A 2T
ç çè
=
=
ù
ö
÷ ÷ø
ú úû
æ
P m
Q A 2T
ç çè
ö
+ ÷ ÷ø
æ
ç çè
2
o
e i
2
o
2
o
N
N
Paso 3:
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr2. Teoría Estimación

13. Pe para BPSK Coherente
El receptor obtiene donde la pdf de R=r1 dado que la señal s1(t) fue transmitida es
1 1 1 ( r s )
= 2
1 1 11
Con AWGN con media cero y PSD N
é
- -
, tenemos que
2
Q E
P P r E
(1) { 01} 2 2 b
(0)
O
ö
÷ ÷ø
æ
N
N
b
O
P P (1) P (1) P (0) P (0) Q 2
E
ç çè
ö
= ÷ ÷ø
æ
ç çè
= < =F -
1
= + =
ö
= ÷ ÷ø
æ
ç çè
b
0
0
N
P
e,BPSK e e
e
ù
b
SNR = 2E
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr3. Teoría Estimación
e
PPrroobbaabbiilliiddaadd ddee EErrrroorr::
r = s + n 1 11
úû
êë
p
N
exp
N
f ( r )
O O
R m
y decide que s1(t) fue enviado si r1>0 y s2(t) en otro caso.
El receptor comete un error si s1(t) fue enviado y r1<0. Es decir, r1ÎZ2.
Así, la probabilidad de error dado que el mensaje m1 fue transmitido es:
Se nota que:
O
máx N

14. Pe BFSK Coherente
BBiinnaarryy FFrreeccuueennccyy SShhiifftt KKeeyyiinngg ccoonn ddeetteecccciióónn CCoohheerreennttee
= ò f = + Tb
j i j ij j donde r r ( t ) ( t )dt s n
0
r s ( t )~N s , NO , j ,
j i ij = ÷ø
1 2
æ
ö çè
2
÷ø
r s ( t )~N s , N N O N E , O
b
1 1 11 2 2
r s ÷ø
( t )~N s , N N O N , O 1 2 21 2
( ) 2 j t
2 s
ö çè
æ = ÷ø
÷øö çè
æ
O O r s ( t )~N s , N N , N
çè
æ
ö 2 1 12 2
ö çè
æ = ÷ø
ö çè
÷ø
æ
2
0
O r s ( t )~N s , N N E , N
çè
æ
ö O
b
2 2 22 2 2
b d = 2E PPrroobbaabbiilliiddaadd ddee EErrrroorr::
æ = ÷ø
0
ö çè
2
æ = ÷ø
ö çè
Con AWGN con media cero y DSP N b E
1 0 s
Con p(0)=p(1)=0.5
ö
÷ ÷ø
æ
P Q E
ç çè
=
b
0
e,BFSK
0
N
2
b E
( ) 1 j t
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr4. Teoría Estimación

15. Pe QPSK Coherente (1/2)
1
4
4 1
La probabilidad media de error de QPSK para símbolos
equiprobables está dado por: å=
P =
P (m )
e e i i
Note que las regiones de decisión son iguales y los puntos señales son simétricas. De allí
que todas las Pe(mi) son iguales. En los que sigue, sólo nos enfocamos a calcular el
resultado con m1=10. P ( ) P ( ) e 10 =1- c 10
P ( ) P( r ( r ,r ) Z ) P{ r , r } c 10 10 0 010 1 2 1 1 2 = = Î = < < ¥ -¥ < <
donde 10 2 1 2 1 0 r N(s ,N / ), j , j j ® =
y estas dos variables aleatorias gaussianas son independientes. Así
P ( ) P{ r }P{ r } c 10 010 010 1 2 = > <
2
ö
æ
ö
æ
ö
ö
æ
F = ÷ ÷
ø
ö
æ - F ÷ ÷
ø
æ
ö
æ - = -F
Q E
E
E /
E /
1 2 ÷ ÷
2
2
ç ç
è
÷ ÷
ø
N /
N /
0 0
ç ç
÷ø
÷ = 1
- 2
2
ø
O O N
è
÷ ÷ø
ç çè
ç çè
ç ç
è
ç ç
è
N
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr5. Teoría Estimación

16. Esquema QPSK Coherente (2/2)
Probabilidad de Error de Símbolo:
ö
2
= ÷ ÷ ø
P P Q E
1 1 1 2
ö
÷ ÷ø
æ
N
O
P Q E
ç çè
æ
ç ç
= - = - -
è
1 2
e c
>> »
ö
÷ ÷ø
æ
Q E
ç çè
ö
- ÷ ÷ø
æ
Q E
ç çè
ö
÷ ÷ø
æ
ç çè
N
si E
e
0 0
0
2
0
N
N
N
Podemos expresar esto en función de la energía Tx. Por bit:
ö
÷ ÷ø
Q 2E
2 b
æ
N
P 2Q 2E
ç çè
ö
- ÷ ÷ø
æ
P 2Q 2E
ç çè
b
0
N
1
>> »
ö
÷ ÷ø
æ
ç çè
=
b
0
e
si E
b
0
0
e
N
N
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr6. Teoría Estimación

17. Pe MSK Coherente
P P 2Q 2E Z3 Z4
s3 :1 E
b s4 :0
b E
Probabilidad de Error de Símbolo:
Q 2E
ö
÷ ÷ø
N
æ
1 P 2Q 2E
ç çè
= =
e,MSK e,QPSK
>> »
æ
ç çè
ö
- ÷ ÷ø
æ
ç çè
b
0
e
si E
b
0
2 b
b
0
N
N
b - E Así para valores elevados por Eb/N0, la
s2 :0 s1: 1
b - E
0
N
probabilidad de error medio para un sistema
MSK es aproximadamente el mismo que el
correspondiente para un sistemas BPSK
Coherente (ignore el factor de escala de 2).
Esto es así al precio de un incremento en la
complejidad del receptor.
ö
÷ ÷ø
Z2 Z1
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr7. Teoría Estimación

18. Pe QAM Coherente (1/2)
Se puede demostrar que la probabilidad de error del símbolo en la QAM M-aria está dada
aproximadamente por:
O
Q E
O
En consecuencia, podemos reescribir la ecuación anterior en términos de ES como:
ö
÷ ÷ø
P 2 1 1 2
@ æ - -
÷øö çè
e ,QAM Maria N
æ
M
2 1 1 3
ç çè
æ
ç çè
×
-
@ æ - -
ö çè
Q
÷ø
S
O
E
P
e ,QAM Maria M
N
M
1
ö
÷ ÷ø
En el caso M=4 es de interés especial. La relación de señales para este valor de M es la misma
correspondiente a la QPSK. En realidad, haciendo M=4 en la ecuación de arriba y advirtiendo
que para este caso especial ES=E donde E es la energía por símbolo, encontramos que la
fórmula resultante para la probabilidad de error de símbolo se vuelve idéntica a ecuación de la
diapositiva 8 que se reproduce aquí.
ö
÷ ÷ø
æ
P Q E e
ç çè
»
0
2
N
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In1tr8. Teoría Estimación

19. Pe QAM Coherente (2/2)
El resultado anterior es exacto para M=2k donde k par. Cuando k es impar, no hay sistema PAM
L-ario (ÖM). Pero esto no es problema. Se puede demostrar casi directamente que la
probabilidad de error de símbolo se encuentra confinada con cota superior a través de la
expresión siguiente:
2
×
-
E
P Q
e ,QAM Maria N
1
é
æ
1 1 2 3
ù
ú úû
£ - - -
ê êë
ö
÷ ÷ø
ç çè
S
O
M
æ
4 3
ç ç
è
×
-
£
kE
b ,S
N
O
M
Q
1
para cualquier k³1, y Eb.S es la energía por bit promedio.
ö
÷ ÷
ø
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20. Pe BFSK No coherente
PPrroobbaabbiilliiddaadd ddee EErrrroorr::
Con AWGN con media cero y DSP N
ö
÷ ÷ø
æ
exp E
2
ç çè
P 1
= -
b
0
e
0
2N
2
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr0. Teoría Estimación

21. Pe M-arios
Caso: Esquema M-ario PSK
La probabilidad de recepción
correcta es la integral del área
sombreada de la figura. Esta
probabilidad puede ser limitada
por alguna frontera. Por tanto,
para valores grandes de E/No la
probabilidad de error de símbolo
es aproximadamente dada por:
PPrroobbaabbiilliiddaadd ddee EErrrroorr::
ö
æ
sen π
P Q E e,M-PSK
si
p / M
2 2 4
» M
0
³ ÷ ÷ø
ç çè
M
N
E E log M b 2 =
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr1. Teoría Estimación

22. Pe M-arios
Caso: Esquema M-ario FSK
Para FSK M-ario, el receptor óptimo corresponde a un
banco de M correlaciones o filtros acoplados. En los
sistemas de muestreo t=kT, el receptor toma decisiones
basadas en la mayor de las salidas del filtro acoplado. La
probabilidad de error de símbolo puede limitarse
superiormente a:
PPrroobbaabbiilliiddaadd ddee EErrrroorr::
ö
æ
P (M 1)Q E b 2
e,M-FSK = ÷ ÷ø
donde E E log M
N
o
ç çè
£ -
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr2. Teoría Estimación

23. Rendimiento de algunos esquemas
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr3. Teoría Estimación

24. Pb (BER) a partir de Pe
1. Probabilidad de error de bit a partir de la probabilidad de error de
símbolo.
• Hay dos enfoques para definir una probabilidad de error de bit equivalente, Pb,
o tasa de errores de bit (BER), a partir de la probabilidad de error de símbolo,
Pe. Esto depende de:
• la estructura del espacio de señales, y
• el mapeo de los puntos de señales espaciales en secuencias de bits
equivalentes
2. Definición 1: En este caso, asumimos que al ir de un punto de señal a
un punto de señal adyacente, solamente cambia un bit en la palabra
binaria representación representada en la señal.
M
P Pe
b
2 log
=
Nota: PSK M-ario empleando código Gray y QAM M-ario cumplen esta
condición
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr4. Teoría Estimación

25. Pb (BER) a partir de Pe
3. Definición 2: Denotamos n=log2M. Asumimos que todos los errores de
símbolos son igualmente probables. Definimos Pb como la razón de A,
que es el número medio de bits con errores de símbolo de n-bits, con
relación a n, el cual es el número de bits por símbolos. Definiremos una
fórmula explícita para Pb.
Observe que, en un sistema M-ario, cada símbolo se encuentra en error
con una probabilidad:
Pe
M -1
Para un símbolo dado, suponga que k bits están en error. Entonces,
hay ö
maneras que esto puede suceder, lo cual resulta en:
÷ ÷ø
n
æ
k
ç çè
P A
= =
b
1
n n
para M muy grande.
n
å=
P ®
P
M
-
=
ö
P
- ÷ ÷ø
n
k
æ
ç çè
k
e
e
e
M
M
k
1 ( 1) 2( 1) 2
Nota: Los sistemas FSK M-ario se encuentran bajo esta condición.
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr5. Teoría Estimación

26. 2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf 17: Detec. e In2tr6. Teoría Estimación