Este documento describe la propagación de ondas electromagnéticas en una guía de ondas rectangular. Explica que los modos de propagación pueden ser modos TM (transversos magnéticos) o modos TE (transversos eléctricos), dependiendo de si el campo magnético o eléctrico es longitudinal. Para cada modo, resuelve las ecuaciones de Maxwell para derivar expresiones para los campos eléctricos y magnéticos, y define la frecuencia de corte y la impedancia intrínseca.

1. PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´on
June 5, 2009

2. Cap´ıtulo 1
Gu´ıa de ondas rectangular
1.1 Campos electromagn´eticos en la G.O. rect-
angular
La gu´ıa de ondas rectangular es una de las l´ıneas de transmisi´on m´as ampliamente
utilizadas, est´a constituido por un conductor hueco (o relleno con un diel´ectrico)
de secci´on transversal rectangular de lados a × b, es decir, el ancho es a y altura
b.
Los campos electromagn´eticos de la onda de frecuencia ´angular ω que se pro-
pagan dentro de la GO rectangular pueden expresarse como:
E(x, y, z) = Ex(x, y, z) ˆx + Ey(x, y, z) ˆy + Ez(x, y, z) ˆz (1.1)
y
H(x, y, z) = Hx(x, y, z) ˆx + Hy(x, y, z) ˆy + Hz(x, y, z) ˆz (1.2)
Si se considera una propagaci´on neta en la direcci´on del eje Z, tenemos que cada
componente de los campos puede expresarse como:
Ex = Ex(x, y)e−jβz
, Ey = Ey(x, y)e−jβz
, Ez = Ez(x, y)e−jβz
(1.3)
aqui β es la constante de fase neta o constante de fase de la guia. Tambien:
Hx = Hx(x, y)e−jβz
, Hy = Hy(x, y)e−jβz
, Hz = Hz(x, y)e−jβz
(1.4)
Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) en coordenadas rectangulares
tenemos de · E(r) = 0:
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
− jβEz = 0 (1.5)
y de la ley de Gauss magn´etico · H(r) = 0:
∂Hx
∂x
+
∂Hy
∂y
− jβHz = 0 (1.6)

3. 2 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS RECTANGULAR
Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y de Ampere-Maxwell:
× E(r) = −j ω µ H(r) × H(r) = j ω ε E(r) (1.7)
de la primera ecuaci´on de (1.7) obtenemos:
∂Ez
∂y
− jβEy = −jωµHx (1.8)
∂Ez
∂x
− jβEx = jωµHy (1.9)
∂Ey
∂x
−
∂Ex
∂y
= −jωµHz (1.10)
y de la segunda ecuaci´on de (1.7):
∂Hz
∂y
− jβHy = jωεEx (1.11)
∂Hz
∂x
− jβHx = −jωεEy (1.12)
∂Hy
∂x
−
∂Hx
∂y
= jωεEz (1.13)
Combinando las seis ´ultimas ecuaciones, llegamos a:
k2
c Ex = jβ
∂Ez
∂x
− jωµ
∂Hz
∂y
(1.14)
k2
c Ey = jβ
∂Ez
∂y
+ jωµ
∂Hz
∂x
(1.15)
k2
c Hx = jβ
∂Hz
∂x
+ jωε
∂Ez
∂y
(1.16)
k2
c Hy = jβ
∂Hz
∂y
− jωε
∂Ez
∂x
(1.17)
donde:
k2
c = ω2
µε − β2
(1.18)
es la relaci´on de dispersi´on. A kc se le conoce como la constante de fase de corte.
Se observa que las componentes transversales Ex, Ey, Hx yHy, dependen de las
componentes longitudinales Ez y Hz, por lo tanto, es posible dividir la soluci´on
en dos grupos: modos TM cuando Hz = 0 y Ez = 0 y los modos TE cuando
Ez = 0 y Hz = 0

4. 1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TM EZ = 0 HZ = 0 3
1.2 Estudio de los Modos TM Ez = 0 Hz = 0
Considerando Hz = 0 en(1.14) y (1.15) y reemplazando en (1.5), se llega a la
ecuaci´on diferencial:
∂2
Ez
∂x2
+
∂2
Ez
∂y2
+ k2
c Ez = 0 (1.19)
Ez es un campo tangencial a las paredes met´alicas de la G.O., en este estudio se
consideran las paredes como conductores perfectos, entonces los campos E y H
dentro de estas son cero. Aplicando las condiciones de frontera E1 tang = E2 tang
se llega a la condici´on de frontera de Dirichlet:
Ez |paredes= 0 (1.20)
en forma m´as explicita
Ez(x = 0) = 0 Ez(x = a) = 0 Ez(y = 0) = 0 Ez(y = b) = 0 (1.21)
Para resolver (1.19) se utiliza la t´ecnica de separaci´on de variables, es decir
Ez(x, y) = X(x)Y (y) (1.22)
reemplazando en (1.19) y dividiendo entre XY se llega a
1
X
d2
X
d x2
−k2
x
+
1
Y
d2
Y
d y2
−k2
y
+k2
c = 0 (1.23)
la soluci´on de est´a ecuaci´on diferencial es conocida, el primer y segundo t´ermino
deben ser igual a una constante como se indica en la ecuaci´on anterior, es decir:
1
X
d2
X
d x2
= −k2
x
1
Y
d2
Y
d y2
= −k2
y (1.24)
adem´as
k2
x + k2
y = k2
c (1.25)
Resolviendo (1.24) se llega:
X(x) = a1cos(kxx) + a2sen(kxx) (1.26)
Y (y) = b1cos(kyy) + b2sen(kyy) (1.27)
Aplicando las condiciones de frontera Ez(x = 0) = 0 en (1.26) y Ez(y = 0) = 0 en
(1.27) se deduce que a1 = b1 = 0. Luego
X(x) = a2sen(kxx) Y (y) = b2sen(kyy) (1.28)

5. 4 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS RECTANGULAR
En est´a ´ultima ecuaci´on aplicamos las condiciones de frontera Ez(x = a) = 0 y
Ez(y = b) = 0, llegamos a
sen(kxa) = 0 y sen(kyb) = 0 (1.29)
entonces kxa y kyb tienen que ser multiplos de π. As´ı:
kx =
mπ
a
y ky =
nπ
b
para m = 1, 2 · · · n = 1, 2, · · · (1.30)
Una primera conclusi´on es que tenemos muchas soluciones y a cada soluci´on se
le llama modo. Reemplazando (1.30) en (1.28) y est´a en (1.22) y asumiendo que
a2b2 = E0 llegamos
Ez = E0sen
mπ
a
x sen
nπ
b
y (1.31)
para m = 1, 2, · · · y n = 1, 2, · · ·. reemplazando (1.31) en (1.3) obtenemos la
componente longitudinal del campo el´ectrico:
Ez(x, y, z) = Ez(x, y)e−jβ z
= E0sen
mπ
a
x sen
nπ
b
y e−jβ z
(1.32)
con condici´on de frontera de Dirichlet
Ez(x = 0) = Ez(x = a) = Ez(y = 0) = Ez(y = b) = 0 (1.33)
Reemplazando (1.31) en (1.14) hasta (1.17) y luego en (1.3) obtenemos las otras
componentes de los campos electromagn´eticos
Ex = −
jβ
k2
c
mπ
a
E0 cos
mπ
a
x sen
nπ
b
y e−jβ z
Ey = −
jβ
k2
c
nπ
b
E0 sen
mπ
a
x cos
nπ
b
y e−jβ z
Ez = E0 sen
mπ
a
x sen
nπ
b
y e−jβ z
(1.34)
Hx =
jωε
k2
c
nπ
b
E0 sen
mπ
a
x cos
nπ
b
y e−jβ z
Hy = −
jωε
k2
c
mπ
a
E0 cos
mπ
a
x sen
nπ
b
y e−jβ z
para el modo TM Hz = 0. Ahora definimos la frecuencia de corte e impedancia
intrinseca del modo TM
1.2.1 Frecuencia de corte del modo TM
Si reemplazamos (1.30) en (1.25) obtenemos kc
k2
c mn =
mπ
a
2
+
nπ
b
2
(1.35)

6. 1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TM EZ = 0 HZ = 0 5
reemplazando (1.35) en la relaci´on de dispersi´on (1.18) obtenemos
β2
= ω2
µε − k2
c mn = ω2
µε −
mπ
a
2
−
nπ
b
2
(1.36)
Puesto que la propagaci´on neta de la onda es en la direcci´on del eje z, entonces
seg´un (1.3) β debe ser positivo, sin embargo, seg´un (1.35), kc mn es variable y
puede tomar valores altos, por tanto, k2
c mn podr´ıa sobrepasar el valor de ω2
µε y
seg´un (1.36) β ya no seria positivo y la onda se atenuaria hasta desaparecer, por
tanto, no se propagaria este modo. Entonces, llegamos a la siguiente conclusi´on:
Si ω2
µε > k2
c mn =⇒ se propaga hasta el modo TMmn (1.37)
Si ω2
µε < k2
c mn =⇒ no se propaga el modo TMmn (1.38)
Definimos la frecuencia de corte angular ωc mn de la siguiente manera:
k2
c mn = ω2
c mnµε donde ωc mn = 2π fc mn (1.39)
aqui fc mn es la frecuencia de corte en Hz y es f´acil de calcular:
fc mn =
kc mn
2π
√
µε
=
1
2
√
µε
m
a
2
+
n
b
2
en Hz (1.40)
La misma f´ormula se puede expresar en forma m´as simple:
fc mn =
15
√
µrεr
m
a
2
+
n
b
2
GHz a y b en cm. (1.41)
1.2.2 Constante de fase de la Gu´ıa e Impedancia intrin-
seca ηTM
De (1.36) despejamos el valor de β y luego reemplazamos (1.39), obtenemos la
constante de fase de la gu´ıa.
β = ω
√
µε 1 −
k2
c mn
ω2µε
= ω
√
µε 1 −
fc mn
f
2
rad/m. (1.42)
Se define la impedancia intrinseca del modo TM ηTM en forma parecida a la onda
plana:
ηTM =
Ex
Hy
= −
Ey
Hx
Tomando Ex y Hy de (1.34), reemplazando en la ecuaci´on anterior, simplificando
y reemplazando (1.42), llegamos a:
ηTM =
β
ωε
=
µ
ε
1 −
fc mn
f
2
Ω (1.43)

7. 6 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS RECTANGULAR
1.3 Estudio de los Modos TE Hz = 0 Ez = 0
Considerando Ez = 0 en (1.16) y (1.17) y reemplazando en (1.6), se llega a la
ecuaci´on diferencial:
∂2
Hz
∂x2
+
∂2
Hz
∂y2
+ k2
c Hz = 0 (1.44)
Hz es un campo tangencial a las paredes met´alicas de la G.O., en este estudio se
consideran las paredes como conductores perfectos, entonces los campos E y H
dentro de estas son cero. Aplicando las condiciones de frontera H1 tang −H2 tang =
Kn se llega a la condici´on de frontera de Neumman:
∂Hz
∂ n
|paredes= 0 (1.45)
donde ˆn es un vector unitario normal a las paredes de la gu´ıa. La condici´on de
frontera en forma m´as explicita es:
∂ Hz
∂ x
|x=0=
∂ Hz
∂ y
|y=0=
∂ Hz
∂ x
|x=a=
∂ Hz
∂ y
|y=b= 0 (1.46)
Procediendo en forma similar al caso TM, se llega a:
Hz = H0 cos
mπ
a
x cos
nπ
b
y (1.47)
para m = 0, 1, 2, · · · y n = 0, 1, 2, · · ·. m y n a la vez no pueden ser cero.
Reemplazando (1.50) en (1.4) obtenemos la componente longitudinal del campo
magn´etico:
Hz(x, y, z) = Hz(x, y)e−jβ z
= H0cos
mπ
a
x cos
nπ
b
y e−jβ z
(1.48)
con condici´on de frontera de Neumman descrito en (1.49). Reemplazando (1.50)
en (1.14) hasta (1.17) en forma similar al caso TM llegamos a
Ex =
jωµ
k2
c
nπ
b
H0 cos
mπ
a
x sen
nπ
b
y e−jβ z
Ey = −
jωµ
k2
c
mπ
a
H0 sen
mπ
a
x cos
nπ
b
y e−jβ z
Hz = H0 cos
mπ
a
x cos
nπ
b
y e−jβ z
(1.49)
Hx =
jβ
k2
c
mπ
a
H0 sen
mπ
a
x cos
nπ
b
y e−jβ z
Hy =
jβ
k2
c
nπ
b
E0 cos
mπ
a
x sen
nπ
b
y e−jβ z
para el modo TE Ez = 0. Ahora definimos la frecuencia de corte e impedancia
intrinseca del modo TE

8. 1.3. ESTUDIO DE LOS MODOS TE HZ = 0 EZ = 0 7
1.3.1 Frecuencia de corte del modo TE
Puesto que se ha procedido de forma similar que el caso TM, llegamos a
k2
c mn =
mπ
a
2
+
nπ
b
2
(1.50)
reemplazando (1.53) en la relaci´on de dispersi´on (1.18) obtenemos
β2
= ω2
µε − k2
c mn = ω2
µε −
mπ
a
2
−
nπ
b
2
(1.51)
El anal´ısis es similar al caso TM. Definimos la frecuencia de corte angular ωc mn
de la siguiente manera:
k2
c mn = ω2
c mnµε donde ωc mn = 2π fc mn (1.52)
aqui fc mn es la frecuencia de corte en Hz y es f´acil de calcular:
fc mn =
kc mn
2π
√
µε
=
1
2
√
µε
m
a
2
+
n
b
2
en Hz (1.53)
La misma f´ormula se puede expresar en forma m´as simple:
fc mn =
15
√
µrεr
m
a
2
+
n
b
2
GHz a y b en cm. (1.54)
1.3.2 Constante de fase de la Gu´ıa e Impedancia intrin-
seca ηTE
De (1.51) despejamos el valor de β y luego reemplazamos (1.52), obtenemos la
constante de fase de la gu´ıa.
β = ω
√
µε 1 −
k2
c mn
ω2µε
= ω
√
µε 1 −
fc mn
f
2
rad/m. (1.55)
Se define la impedancia intrinseca del modo TM ηTM en forma parecida a la onda
plana:
ηTE =
Ex
Hy
= −
Ey
Hx
Tomando Ex y Hy de (1.52), reemplazando en la ecuaci´on anterior, simplificando
y reemplazando (1.55), llegamos a:
ηTE =
ωµ
β
=
µ
ε
1 − fc mn
f
2
Ω (1.56)

9. 8 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS RECTANGULAR
1.4 Longitud de la onda λ, de la gu´ıa λg y de la
de corte λc
La longitud de la onda se conoce como:
λ =
2π
K
=
2π
ω
√
µ ε
(1.57)
De manera similar, la longitud de la onda de la gu´ı a se define como:
λg =
2π
β
=
2π
ω
√
µε 1 − fc mn
f
2
(1.58)
y la longitud de onda de corte como:
λc =
2π
kcmn
=
2
m
a
2
+ n
b
2
(1.59)
1.5 Transmisi´on y atenuaci´on en una Gu´ıa de
Ondas rectangular
Para determinar el flujo de potencia dentro de la gu´ıa, primero determinamos la
densidad de flujo de potencia promedio:
S =
1
2
Re{E × H∗
}
Reemplazando los campos electromagn´eticos dados anteriormente obtenemos:
S =
| Ex |2
+ | Ey |2
2η∗
ˆz (1.60)
donde:
η∗
=
ηTM para el modo TM
ηTE para el modo TE
La potencia promedio transmitida por la secci´on transversal de la gu´ıa de onda
sin p´erdidas (o en el inicio de la gu´ıa z = 0):
Pprom 0 =
a
0
b
0
| Ex |2
+ | Ey |2
2η∗
dx dy (1.61)
No es d´ıficil demostrar que para el caso TM y para una gu´ıa de ondas de secci´on
transversal arbitraria:
Pprom 0 =
1
2 ηTM
β
kc mn
2
S
| Ez |2
dS caso TM (1.62)

10. 1.5. TRANSMISI ´ON Y ATENUACI ´ON EN UNA GU´IA DE ONDAS RECTANGULAR9
y para el caso TE
Pprom 0 =
ηTE
2
β
kc mn
2
S
| Hz |2
dS caso TE (1.63)
hasta aqui hemos supuesto que las gu´ıas de ondas no tienen p´erdidas, pero en
realidad, el diel´ectrico dentro de la gu´ıa tiene ligeras p´erdidas, las paredes de la
gu´ıa no son conductores perfectos, tienen conductividad alta y no infinita. Estas
consideraciones hacen que el flujo de potencia dentro de la gu´ıa (en z > 0) tenga
un decaimiento:
Pprom = Pprom 0 e−2αz
(1.64)
donde α es el coeficiente de atenuaci´on y Pprom 0 es el flujo de potencia en el inicio
de la gu´ıa (z=0). El decremento de Pprom debe ser igual a la p´erdida de potencia
promedio temporal PL por unidad de longitud:
PL = −
d Pprom
d z
= 2αPprom
Despejamos α, considerando el flujo de potencia promedio en el inicio de la gu´ıa
(z=0)
α =
PL
2 Pprom 0
(1.65)
Las p´erdidas por unidad de longitud debido a las paredes met´alicas ya se ha
estudiado anteriormente,
PL =
1
2
Rs | Htang. |2
dr (1.66)
donde Rs es la resistencia superficial y est´a dado por
Rs =
πfµc
gc
donde f es la frecuencia de operaci´on de la onda µc es la permeabilidad y gc es
la conductividad de las paredes metalicas de la gu´ıa de ondas. El coeficiente de
atenuaci´on se debe a dos p´erdidas: en el diel´ectrico (αd) y en las paredes met´alicas
(αc). αd es mucho menor que αc. Por esta raz´on se estudia solo αc. La atenuaci´on
para el modo TE10 est´a dado por
αc =
2 Rs
b µ
ε
1 − fc mn
f
2



1
2
+
b
a
fc mn
f
2



(1.67)
La siguiente expresi´on es para el caso TEmn cuando n = 0
αc =
2 Rs
b µ
ε
1 − fc mn
f
2



1 +
b
a
fc mn
f
2
+
b
a
b
a
m2
+ n2
b2
a2 m2 + n2

1 −
fc mn
f
2





(1.68)

11. 10 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS RECTANGULAR
La siguiente expresi´on es para el modo TMmn
αc =
2 Rs
b µ
ε
1 − fc mn
f
2
(b/a)3
m2
+ n2
(b/a)2m2 + n2
(1.69)
Ejemplo Una gu´ıa de ondas con revestimiento de cobre (gc = 5.8×107
S/m) opera
a 4.8 GHz debe alimentar una antena con una potencia m´ınima de 1.2 kW. Si la
gu´ıa est´a ocupada por poliestireno (g = 10−17
S/m, ε = 2.55εo) y sus dimensiones
son a = 4.2 cm, b = 2.6 cm, calcular la potencia disipada en una longitud de
60 cm que tiene la gu´ıa en el modo TE10.
Soluci´on Los posibles modos que pueden propagarse se determinan utilizando
(1.54):
fc mn =
15
√
µrεr
(m/a)2 + (n/b)2 en GHz a y b en cm
para m = 1 y n = 0
fc 10 =
15
√
2.55 × 4.2
= 2.2365 GHz
Este modo se propaga, Tambi´en se pueden propagar los modos TE01, TE11 y
TM11, sin embargo piden la potencia disipada para el modo TE10. Calculamos
Rs:
Rs =
π f µc
gc
=
π × 4.8 × 109 × 4π × 10−7
5.8 × 107
= 0.01808
Reemplazando en αc
αc =
2 Rs
b µ
ε
1 − fc 10
f
2



1
2
+
b
a
fc 10
f
2



= 0.004218
La potencia en la entrada de la gu´ıa es Pprom 0 y a la salida de la gu´ıa en la antena
es Pprom 0 e−2αcz
= 1.2 kW donde αc es conocido, z es 0.6 m, de aqui obtenemos
Pprom 0 = 1.2061 kW. La potencia disipada ser´a la potencia de entrada menos la
potencia de salida: 1.2061-1.2=0.0061 KW=6.1 W.
Problema Una gu´ıa de ondas de paredes met´alicas de cobre cuya secci´on transver-
sal est´a limitada por:
y = 0 cm para 0 cm < x < 4 cm
x = 0 cm para 0 cm < y < 3 cm
y = 3 cm para 0 cm < x < 2 cm
x = 2 cm para 2 cm < y < 3 cm
y = 2 cm para 2 cm < x < 4 cm
x = 4 cm para 0 cm < y < 2 cm
est´a rellena con un diel´ectrico ideal con εr = 2.25, µr = 1 y g = 10−4
S/m. Si la
frecuencia de operaci´on es 10 MHz, determine la atenuaci´on debido al diel´ectrico
y a las paredes met´alicas

12. Contenido
1 Gu´ıa de ondas rectangular 1
1.1 Campos electromagn´eticos en la G.O. rectangular . . . . . . . . . 1
1.2 Estudio de los Modos TM Ez = 0 Hz = 0 . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Frecuencia de corte del modo TM . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Constante de fase de la Gu´ıa e Impedancia intrinseca ηTM 5
1.3 Estudio de los Modos TE Hz = 0 Ez = 0 . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Frecuencia de corte del modo TE . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Constante de fase de la Gu´ıa e Impedancia intrinseca ηTE . 7
1.4 Longitud de la onda λ, de la gu´ıa λg y de la de corte λc . . . . . . 8
1.5 Transmisi´on y atenuaci´on en una Gu´ıa de Ondas rectangular . . . 8