El documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de rectas como la ecuación punto-pendiente, ecuación general, casos particulares de rectas paralelas y perpendiculares, ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y cómo calcular la pendiente e inclinación de rectas dadas sus ecuaciones o puntos. También explica cómo determinar si puntos son colineales, hallar áreas de figuras geométricas relacionadas a rectas, y resolver problemas que involucran estas nociones.

1. I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS”
QUINTO AÑO
Ecuación de la Recta:
Es una expresión matemática que sólo se verifica o
satisface para los puntos de la recta.
De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene la
ecuación punto-pendiente y la ecuación general.
Ecuación Punto Pendiente
y
L
L :y
(0,b)
º
0
mx
Rectas perpendiculares
b
Dadas dos rectas y1 , y2 que responden a las
siguientes ecuaciones:
y1 = m1 x + b1
Y 2 = m2 x + b 2
x
(a,0)
Si:
a, b y c:
Ec. General: ax + by + c = 0
m2
constantes
las rectas serán perpendiculares.
Ej. gráfico – numérico
Recta que pasa por el origen de coordenadas
Sea la ecuación:
1
m1 =
y1 = 3x + 6
1
y2 = x+3
3
Y=-X
Vemos que la ecuación anterior carece de ordenada al
origen, es decir: b = 0. La recta pasa por el origen 0
1u
sen
b = 0 m = tg =
=
cos
1u
y
3u
6
3
1u
3u
1u
-x
x
-y
Casos particulares:
Rectas paralelas
Si:
Dadas dos rectas que responden a las siguientes
ecuaciones:
y1 = m1 x + b1
y2 = m2 x + b2
m=0
resulta y = b = constante
y
Dichas rectas serán paralelas si:
m1 = m2
y=b
Ej.: gráfico – numérico
y1
y2
=
=
m1
=
m2
b
2x + 7
2x + 3
=
x
2
será una recta paralela al eje x.
1

2. I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS”
QUINTO AÑO
Ej.: y = 4
Un caso similar se presenta si:
de donde;
x = a = constante
y
y – yo =
y1
y1
yo
xo
(x – xo)
Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos
Ej.: numérico:
y=a
a
Dados Po (4,3) y P1 (2, -1), reemplazando en la fórmula
se tendrá:
x
y – yo
=
y–3
=
Su representación será una recta paralela al eje Y.
Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos
y1
x1
( 1)
2
yo
yo
(x – xo)
3
(x – 4)
4
y = 2x – 8 + 3 = 2x – 5
Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es
posible encontrar la ecuación de la recta que
determine.
y = 2x – 5
Dados Po (xo; yo) y P1 (x1 ; y1), dos puntos cualesquiera,
representamos ambos en el plano:
1.
Qué inclinación tienen las siguientes rectas:
Si es paralela al eje X
Si es paralela al eje Y
Si es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante
Si es paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante
2.
sen
=
cos
=
cat. op.
=
hip.
cat. ady .
hi p.
y1
y1
=
sen
=
cos
P P
o 1
yo
P P
o 1
x1 xo
P P
o 1
=
y1
yo
x1 xo
Hallar la pendiente de los segmentos
determinados por los siguientes puntos.
yo
P P
o 1
y1
tg
3.
yo
=
Qué pendiente tienen las siguientes rectas:
Si es paralela al eje X
Si es paralela al eje Y
Si es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante
Si es paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante
=
y1
yo
A(3;4) , B(-1;2)
C(7;8) , D(-1;-5)
E(4;5) , F(-2;5)
G(5;-3) , H(5;7)
po p1
= m
4.
Tomando un punto cualquiera entre Po y P1, en nuestro
caso M (x,y), la tangente de la recta en ese punto es:
m = tg
y yo
o sea
m=
x yo
Haciendo uso de pendientes diga si son
colineales los puntos:
A(-3;-2) , B(-1;-2) y C(0;4)
M(10;0) , N(9;2) , P(6;8)
R(-2;-3) , S(2;-1) y T(10;3)
pero como = resulta tg = tg
(por correspondiente);
2

3. I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS”
5.
QUINTO AÑO
Determinar la inclinación de las rectas cuya
pendiente es:
14. Determinar para qué valores de a y b las dos
rectas
ax – 2y – 1 = 0 , 6x – 4y – b = 0
a) tienen un punto común;
b) son paralelas
c) son perpendiculares
3
3
1
-1
3
6.
7.
Calcular la pendiente de la recta. S
y
a) 3
4
3 2
b) 2
3
1
c)
2
3
d) 2
e) 1
Calcular la
pendiente:
ecuación
de
la
15. Determinar para qué valores de m y n las dos
rectas:
a) son paralelas
b) coinciden
c) son perpendiculares
d) concurrentes
x
recta
1.
punto
Hallar el área del triángulo formado por las
rectas
L1
a) y = x-1
d) y = 1-x
8.
9.
x
b) y = x+1
e) x – 3
y = 3x – 5
:
y= x
2
L3
(0,1)
(-1,0)
:
L2
L
y
:
y=4
a) 6
c) y = 2x+1
2
b) 13
d) 15
2.
Determine la ecuación de la mediatriz del
segmento. Si: A (-3,2) y B (1,6)
a) y = x+3
b) y = 2x+3
c) y = -x+3
d) y = -2x+3
e) y = x-3
e) 30
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el 1er.,
2do. y 4to. cuadrante. El punto (3,2) pertenece a
ellas y los interceptos son iguales.
(0,b)
Una recta pasa por el punto P(1;6) la suma de
las coordenadas en el origen es 2. ¿Cuál es la
ecuación general de la recta?
A (3,2
))
(b,0)
10. Una recta tiene pendiente m = 4; además la
suma de los cuadrados de sus coordenadas en
el origen es 17. ¿Cuál es su ecuación?
a) y = x+5
d) y = 2x+5
11. El punto Q(-3;1) divide al segmento de recta
interceptado por los ejes según la razón:
QB
QA
=-
c) 7,5
3.
1
b) y = -x+5
e) y = x-3
c) y = x-5
Dado el triángulo ABC, se tiene que A(2,3), B(3,6)
y C(5,4). Calcule la ecuación de la recta que pasa
2
por la altura, relativa al lado AC ,
Hallar la ecuación de la recta
y
12. Dados los puntos P(2;3) y Q(-1;0), hallar la
ecuación de la recta que pasa por Q,
perpendicular al segmento PQ
B
C
A
13. Determinar para que valor de a la recta:
(a + 2)x + (a2 – 9)y + 3a2 – 8a + 5 = 0
a) es paralela al eje de abscisas;
b) es paralela al eje de ordenadas;
c) pasa por el origen de coordenadas
x
a) y = 3x+10
4.
3
b) y = 3x+20
d) y = x+12
e) y = 3x+15
Calcular la ecuación de la recta L
L
c) y= 2x+30

4. I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS”
QUINTO AÑO
d) 21
L
y
8.
60º
(0,4)
y=
60º
10
3 x-4
b) y =
5.
x
e) y=
(5 3 4 )
x-4
5
a) 42
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el
9.
El área de un triángulo es 8 u2; dos de sus
vértice C está en la recta2x + y – 2 = 0
L1
(7,8)
Determinar las coordenadas del vértice C.
10. Dados los vértices de un triángulo A(1;-1), B(-2;1)
L2
y
(3,4)
(-2,2)
e) 52
vértices son los puntos A(1;-2), B(2;3) y el tercer
los puntos (-2,2) y (3-4)
y
(12,1)
x
c) 164
b) 82
d) 41
punto (7,8) y es paralela a la recta que pasa por
C(3;5),
hallar
la
ecuación
de
la
recta
perpendicular trazada desde el vértice A a la
36
d) y = 2 x 5
5
2x
e) y =
+ 30
5
a) y = x+5
b) y = 2 x 5
2x+
c) y =
5
6.
(12,12)
(2,3)
5 -4
y=
(6,12)
d) y = 5 3 x-4
5 3 4 x+4
5
c)
Calcular el área de la región poligonal ABCD
y
60º
(0,0)
a)
e) 23
26
5
26
5
mediana trazada desde el vértice B.
x
11. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo
ABC conociendo uno de sus vértices C(4;-1) y las
ecuaciones de una de las alturas 2x-3y + 12 = 0 y
la mediana.
Calcular el valor de “k”; para que la recta
kx + 3y – 9 = 0, determine en el eje “x”, un
12. Una recta pasa por el punto de intersección de
las rectas:2x – 3y – 5 = 0
segmento igual a – 4.
y
x + 2y – 13 = 0
y el segmento que determina sobre el eje X es
y
L :kx + 3y – 9 = 0
igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación
de dicha recta.
13. Determinar los valores de k1 y k2 para que las dos
a) - 9
4
x
(-4,0)
d) 2
7.
ecuaciones:k1x – 7y + 18 = 0 y 8x – k2y + 9k1 = 0
c) 9
8
b) - 4
3
Representan la misma recta
14. Una
e) 1
recta
L1,
de
pendiente
negativa
cuya
ordenada en el origen es 5, forma con el eje de
Determine el área de la región sombreada:
ordenadas y con la recta L2 : 7x – y – 19 = 0, un
Si:
L1 : y = x + 2
triángulo de área 36 u2. Determinar la ecuación
L2 : Y = -2x + 5
general de la recta L1.
15. Hallar la ecuación de una recta L de pendiente
y
positiva que intercepta al eje X en un punto A y a
L2
L1
la recta L1 : x = 6 es un punto B de ordenada 8, si
se sabe además que L, L1 y el eje X determinan un
triángulo de área igual a 48 u2.
x
a) 11
b) 11,5
Mg. Luis Alberto Churampi Arellano
c) 22
4