logica matematica basica

1. Lógica
matemática
Delia Peña

2. Razonamiento
Definición

3. Razonamiento
Son proposiciones
compuestas que pueden ser
representadas por la
conjunción de proposiciones
denominadas premisas o
hipótesis, la condicional
como operador lógico
principal; y, una proposición
final denominada conclusión.

4. [H1 ∧ H2 ∧ H3 ... ∧ Hn] C
Conjunción de hipótesis Condicional Conclusión
Antecedente Operador Lógico Consecuente
Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la
implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.

5. La lógica simbólica se ocupa de analizar la validez de los
razonamientos; no nos puede decir si la información
contenida en una hipótesis es verdadera o falsa. Los
términos válido y no válido se refieren a la estructura
del razonamiento, no a la veracidad o falsedad de las
proposiciones. El punto importante para recordar es que
la veracidad o falsedad de las premisas y la conclusión,
no determinan la validez del razonamiento.

6. Validez de un
razonamiento
Definición

7. Validez de un razonamiento
Un razonamiento es válido
cuando la forma
proposicional que representa
su estructura lógica es una
tautología. Si dicha forma
proposicional es una
contradicción o contingencia,
entonces el razonamiento no
es válido, en cuyo caso se
denomina falacia.

8. Ejemplo
Determine si el siguiente razonamiento es
válido:
“Si Pablo recibió el e-mail, entonces tomó el
avión y estará aquí al mediodía. Pablo no
tomó el avión. Luego, Pablo no recibió el e-
mail”.

9. Solución
Se procede primero a identificar
las proposiciones simples:
a: Pablo recibió el e-mail.
b: Pablo tomó el avión.
c: Pablo estará aquí al mediodía.

10. Solución
Luego, se identifican las
hipótesis y la conclusión:
H1: a→(b∧c) H2: ¬b
C: ¬a

11. Solución
A partir de estas proposiciones
pueden obtenerse las
siguientes formas
proposicionales:
H1: p→(q∧r) H2: ¬q
C: ¬p

12. Solución
Con lo cual, la estructura
lógica del razonamiento sería:
[H1∧H2]→C
[(p→(q∧r))∧¬q]→¬p

13. Solución
p q r q∧r H1
p→(q∧r)
H2
¬q
H1∧H2 C
¬p
[H1∧H
2]→C
0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 0 0 0 1

14. Puesto que la forma proposicional resultó tautológica,
podemos concluir que el razonamiento es válido.
Otro método para determinar la validez de este
razonamiento consiste en la utilización de las
propiedades de los operadores lógicos:

15. • [(p→(q∧r))∧¬q]→¬p
• ¬[(p→(q∧r))∧¬q]∨¬p Por la Ley de la Implicación.
• ¬[(¬p∨(q∧r))∧¬q]∨¬p Por la Ley de la Implicación.
• ¬(¬p∨(q∧r))∨¬(¬q)∨¬p Por la Ley de De Morgan de la Conjunción.
• (¬(¬p)∧¬(q∧r))∨¬(¬q)∨¬p Por la Ley de De Morgan de la Disyunción.
• (p∧¬(q∧r))∨q∨¬p Por la Ley de la Doble Negación.
• (p∧(¬q∨¬r))∨q∨¬p Por la Ley de De Morgan de la Conjunción.
• (p∧¬q)∨(p∧¬r)∨(q∨¬p) Por la Ley Distributiva de la Conjunción.
• (p∧¬q)∨(p∧¬r)∨¬(p∧¬q) Por la Ley de De Morgan de la Conjunción.
• [(p∧¬q)∨¬(p∧¬q)]∨(p∧¬r) Por la Ley Asociativa de la Disyunción.
• 1∨(p∧¬r) Por la Ley del Tercero Excluido.
• 1 Por la Ley de Absorción de la Disyunción.

16. Equivalencia Lógica Tabla

17. Función
proposicional

18. Un enunciado, p(x), en el que aparece una
variable x, se dice que es una función
proposicional si, al sustituir la variable x por un
valor determinado, p(x) se convierte en una
proposición.
Por ejemplo, “2x + 5 es un múltiplo de tres”. Es
claro que, si x = 2, el enunciado es verdadero y,
si x = 1, la proposición es falsa.

19. Cuantificadores
Se utilizan para convertir
una función proposicional
en una proposición

20. Cuantificador Existencial ∃x p(x)
Se lee “existe x que verifica p(x)”, “hay algún x que verifica
p(x)”. Es verdadera cuando p(x) es verdadera para, al menos,
un valor de x. Es falsa cuando, para todo valor de x, la
proposición p(x) es falsa. “Existe un entero x que sumado con 1
nos da 0”es verdadero. “Existe un entero x que sumado con 1
no da x” es un argumento falso. Cuando el valor de x que
verifica p(x) es único se utiliza la notación: ∃ ◦x p(x).

21. Cuantificador Universal ∀x p(x)
Se lee “para todo x se verifica p(x)”, “cualquier x verifica p(x)”.
Este tipo de proposición es verdadera cuando p(x) es verdadera
para cualquier valor de x. Es falsa, si para algún valor de x es
falsa.
Por ejemplo: “Todos los alumnos de la Universidad de La Coruña
tienen más de 16 años” es una proposición verdadera.
“Todos los alumnos de la Universidad de La Coruña nacieron en
La Coruña” es una proposición falsa.

22. La relación entre ambos
cuantificadores se basa en las
dos reglas siguientes:
• ¬∃x p(x) ≡ ∀x ¬p(x)
• ¬∀x p(x) ≡ ∃x ¬p(x)

23. Ejemplo
Epiménides de Cnosos (siglo V. a. de C.) decía “Todos
los cretenses son mentirosos y yo soy cretense, luego
miento”.
Alguien, a la vista de ello, razona como sigue.
Si Epiménides mintió en lo que dijo, entonces los
cretenses no eran mentirosos, luego Epiménides, por
ser cretense, no mintió en lo que dijo. Se llega pues a
una contradicción.
¿Es el razonamiento anterior correcto?

24. No, ya que la negación de “Todos los
cretenses son mentirosos” es que algún
cretense no miente, pero no que todos
sean no mentirosos.