Lógica Proposicional

1. Pensamiento Lógico Complejo
1. Lógica Proposicional
MY RVA Víctor A. Prieto T.
Bogotá, Marzo de 2022

2. Lógica es el estudio del razonamiento que
hace referencia específica a si el
razonamiento es correcto.
La lógica se centra en la relación entre las
afirmaciones y no en el contenido de una
afirmación en particular
Que es la lógica…?

3. Ejemplos:
Proposiciones
• El día de hoy está bonito.
• Está lloviendo.
• 17+5=20
Nota.: los enunciados que expresen admiración, duda,
interrogación, suspenso, etc., no son proposiciones.
¿me invitas a bailar?
¡qué hermoso paisaje!
¿cómo estás?
Una proposición es una unidad semántica que, o solo es
verdadero, o solo es falsa, pero no ambas cosas a la vez.

4. Lógica Proposicional
La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de
lógica.
Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite
representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea.
La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un
mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego
sentencias complejas. Formadas mediante el uso de conectivos
proposicionales. por ejemplo: Y (AND), O (OR9.
Entonces, ¿cual es la tarea de la lógica?

5. Tarea de la lógica
�Determinar la falsedad o verdad de una premisa es
tarea: de la ciencia en general
�El lógico no está interesado en la verdad o falsedad
de: las proposiciones sino en las relaciones lógicas
entonces ellas, es decir, la validez de los argumentos en
que pueden aparecer
�La lógica nos da elementos: para afirmar sobre la validez
de un argumento

6. Proposición
� Es un enunciado al cual se le puede asociar
el concepto de verdadero o falso, pero no ambos
Ejemplos:
� La luna es cuadrada
� 7 es un número primo
� Las arañas son mamíferos

7. Proposiciones compuestas
Conectivos
Conocido el valor de la verdad de ciertas
proposiciones, la lógica establece el valor de
verdad de otras relacionadas con estas.
A éstas últimas se les conoce como proposiciones
compuestas.
�
�

8. QU
E
SO
N
CALCUL
OS
LOGICO
S?
Es una serie de relaciones que se dan entre
enunciados y que hace posible hacer
operaciones que permitan evaluar su
validez formal y estos se dan a partir de
parámetros establecidos por reglas del
sistema

9. Veamos el listado de estos símbolos y su
aplicación:
Cada proposición es representada por una letra,
tradicionalmente p, q, r, ...
Tenemos conectores lógicos:
• y (A), o (v), no (--,), implicación (4)
• Definidos a través de una tabla de verdad
ELEMENTOS
PRIMITIVOS
Lógica proposicional
�
�
• p ˄ q

10. símbolo
Leer como
Explicación Ejemplos
Categoría
⇒
→
⊃
Condicional (implicación) A ⇒ B es verdad (en 3 de las 4
posibilidades) si ambos son falsos,
ambos verdaderos o B verdadero
→ puede significar lo mismo que ⇒
(pues existe otro caso donde él indica
la relación entre dominio y contra
dominio de una función.
⊃ puede significar lo mismo que ⇒
(pues existe otro caso donde indica
subconjunto
x = 2 ⇒ x2 = 4 es verdadero,
pero x2 = 4 ⇒ x = 2 es,
considerando todas las
posibilidades falso
(considerando que el x podría
ser también −2).
implica, si .. Entonces
lógica proposicional
⇔
≡
↔
si y solamente si (sse) A ⇔ B es verdad solo si A y B fueran
falsos
o A y B fueran verdadero.
A<->B es verdad cuando
( A -> B & B -> A)
es verdad
x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
si y solo si; sse
lógica proposicional
¬
˜
!
Negación
La proposición ¬A es verdadera si y
solamente si A es falso.
¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y ⇔ ¬(x = y)
Negado
lógica proposicional
∧
•
&
conjunción lógica
La proposición A ∧ B es verdadera
si A y B son ambos verdaderos; si no,
es falso.
n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3
cuando n es un número
natural.
y (and)
lógica proposicional,

11. ∨
+
ǀǀ
disyunción lógica (inclusiva)
La proposición A ∨ B es verdadera
si A o B (o ambos) es verdadero; si
ambos son falsos, la proposición es
falsa.
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3
cuando n es un número
natural.
o (or)
lógica proposicional, Álgebra
booleana
⊕
⊻
Disyunción exclusiva La proposición A ⊕ B es verdadera
cuando por los menos un A o B, pero
nunca ambos, es
verdadero. A ⊻ B tiene mismo
significado.
(¬A) ⊕ A es siempre
verdadero, A ⊕ A es siempre
falso.
Xor
lógica proposicional, Álgebra
booleana
⊤
T
1
Tautología
Independientemente de las
condiciones, la proposición ⊤ es
verdadera.
A ⇒ ⊤ es siempre verdadero.
verdad, verdadero,(top, verum)
lógica proposicional, Álgebra
booleana
⊥
F
0
Contradicción
Independientemente de las
condiciones, la proposición ⊥ es
falsa.
⊥ ⇒ A es siempre verdadero.
(bottom, falsum) falsedad, falso
lógica proposicional, Álgebra
booleana
∀
()
Cuantificador universal
∀ x: P(x) o (x)P(x) significa
P(x) es verdadero para todo x.
∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n.
Para todo; para cualquier uno;
para cada

12. ∃
∃ x: P(x) significa que hay por lo
menos un x para el cual P(x) es
verdadero.
∃ n ∈ ℕ: donde n es par.
existe; hay por lo menos un
lógica de primer orden
∃!
Cuantificador para unicidad ∃! x: P(x) significa que existe
exactamente un x para el cual P(x)
es verdadero.
∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.
existe exactamente un
lógica de primer orden
:=
≡
:⇔
definición x := y o x ≡ y significa x está
siendo definido como otro nombre
usando y (pero notar que ≡ puede
significar congruencia).
P :⇔ Q significa P está siendo
definido siendo lógicamente
equivalente a Q.
cosh x := (1/2)(exp x +
exp (−x))
A XOR B :⇔
(A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
es definido como
concepto universal
( ) grupo que posee
precedencia
Son realizadas primero las
operaciones de dentro del
paréntesis.
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1,
pero 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 =
4.
paréntesis, (brackets)
concepto universal
⊢
Trinquete x ⊢ y
significa y permite ser probado a
partir de x (en un sistema formal
especificado).
A → B ⊢ ¬B → ¬A
deduce que
lógica proposicional,
lógica de primer orden
⊨
doble trinquete x ⊨ y significa que x
semánticamente trinquete y
A → B ⊨ ¬B → ¬A
Trinquete
lógica proposicional, lógica
de primer orden
NOTA: algunos de los símbolos aquí explicados se utilizan en matemáticas, pero no se verán en
Fuente: Wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_l%C3%B3gicos

13. Negación
• Si "p" es una
proposición verdadera,
¿Cómo es ~p?
 Si p es una proposición,
entonces "no p" es la
negación de p y se
denota por: ~p
 Ejemplo:
 P: Hoy es martes
 ~ p: Hoy no es martes
TABLAS DE
VERDAD

14. Negación
• Como sinónimos de no se utilizan las expresiones
siguientes expresiones:
 No es cierto que …
 No sucede que ……
 Es falso que …..
 No es el caso que …..

15. Negación
• Podemos representar la negación
de una proposición cualquiera “p”
en forma “compacta”, utilizando
una tabla.
• A esta tabla se le llama “tabla de
certeza o tabla de verdad de la
negación”
Posibilidades para la proposición p
p ~p
v F
F v

16. Conjunción..."y"
La conjunción de dos proposiciones se forma
insertando la palabra “y” entre ellas.
• "Hoy es día de fiesta y amaneció lloviendo”
• "Me llamo Rosmary y soy Psicopedagoga"
• "Te llamas Carmen y eres técnico en Artes de Fuego"

17. Conjunción..."y"
• Si p y q son proposiciones,
se llama conjunción de p y q
a la proposición compuesta
“p y q” y se denota por:
p ∧ q
Ejemplos:
p: Hoy es martes
q: la luna está cuadrada
r: mañana es miércoles
p ∧ q : Hoy es martes y
la luna está cuadrada
p ∧ r: Hoy es martes y
mañana es miércoles

18. Conjunción
• Para construir la tabla de
p ∧ q,
debemos considerar las
diferentes alternativas de verdad
para p y para q:
• Cuáles son?
• Ambas verdaderas
• una V y la otra F
• Ambas falsas
P q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F

19. Conjunción...."y"
• Se toman, como "sinónimos" de la conjunción:
• Además
• Pero
• Sin embargo
• Aunque
• También
• Aún
• A la vez
• No obstante

20. Conjunción: p ∧ q
• Luis estudia, además de trabajar
• Luis estudió, pero no aprobó
• Luis canta, sin aún embargo no baila
• Luis jugó futbol aunque estaba lesionado
• Luis juega futbol , también José
• Luis salió, aún no llega
• Luis cocina a la vez que canta
• Luis viajará no obstante esté sin visa
• Luis canta, pero no baila

21. Disyunción...."o"
• La disyunción de dos proposiciones se forma
insertando la palabra “o” entre ellas.
• "Hoy es día de fiesta o amaneció lloviendo"
• "Me llamo Rosmary o soy Psicopedagoga"
• " Te llamas Carmen o eres técnico en Artes
de Fuego"

22. Disyunción
• Si p y q son proposiciones,
se llama disyunción de p
y q a la proposición
compuesta “p o q” y se
denota por:
.
. ,
p v q
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

23. Disyunción
Seré cantante o futbolista
p: Seré cantante
q: Seré futbolista
Simbolización:
p v q
p q p v q
V V V
V F V
F v V
F F F

24. Condicional
• Si p y q son proposiciones,
se llama condicional de p y
q a la proposición
compuesta “si p entonces q”
y se denota por:
Ejemplos:
Si no llueve (entonces) iremos a
la playa
Si me gano la lotería (entonces)
me voy de viaje
Si no estudio (entonces) no
aprobaré lógica
p → q

25. Condicional
• Veamos la tabla
del condicional:
p → q
• Conviene pensar en
una “promesa” …. Si
no llueve (entonces)
iremos a la playa
p q p → q
V V V
V F F
F v V
F F V

26. Condicional
Algunas expresiones del lenguaje que indican la
presencia de un condicional (p → q), son las siguientes:
• p es condición suficiente para q
• Si p, q
• q si p
• q si p
• Que p supone que q
• Cuando p, q
• q es condición necesaria para p
• En caso de que p entonces q
• p solo si q

27. Condicional
P q p → q
V V V
V F F
F v V
F F V
EI condicional es falso sólo
cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente
es falso; es decir, cuando la
"promesa" no se cumple.

28. P q p ↔ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
Bicondicional
• El bicondicional es verdadero cuando ambos
son verdaderos o cuando ambos son falsos, y
es falso en los demás casos.