Proposiciones

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Facultad de ingeniería
Estructuras discretas I
Integrante:
Alberto Velázquez
C.I. 16.823.972.
Cabudare, mayo de 2014

2. Proposición:
Una proposición es un producto lógico del pensamiento, es un enunciado
cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero" o "falso", pero
no ambas cosas a la vez. Toda proposición tiene una y solamente una
alternativa.
Los conectivos lógicos de una proposición son:
La negación
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ¬ p, que se
lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la
negación de dicha proposición.
Nombre Símbolo Definicion
Negación ¬ No, no es cierto, not
La conjunción
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p ^ q,
que se lee "p y q".
Nombre Símbolo Definicion
conjunción ^ Y, and

3. La disyunción inclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p vq, que
se lee "p o q",
Nombre Símbolo Definición
Disyunción inclusiva,
permite todos los casos
ν O, or
La disyunción exclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición
p v q, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la
disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.
Nombre Símbolo Definición
Disyunción exclusiva ν O..O, xor
El condicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y
consecuente q es la proposición p → q, que se lee "si p, entonces q".
Nombre Símbolo Definición
Si condicional o implicación → Si... entonces

4. El Bicondicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y qa la proposición
p ↔ q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q.
Nombre Símbolo Definición
Bicondicional o implicación
doble
↔ Si y solo si
El orden de las proposiciones es: Negación, conjunción, disyunción, implicación, bi-
condicional y se asocian por la izquierda.
Formas proposicionales
Proposición Tautológica:
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.
Contradicciones:
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
Falacias o indeterminada:
Es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.
Condición suficiente:
H es suficiente para C
Condición necesaria:
C es condición necesaria para H, si la enunciación hipotética A-B es verdadera se dice que
A es un condición suficiente para B. Bajo las mismas condiciones, se dice que B es una
condición necesaria para A. Esquemáticamente:

5. A-B Donde
A: condición suficiente para B
B: condición necesaria para A
Leyes de Algebra proposicional
Equivalencia P ↔ P
Indepotencia
Pʌ P↔ P
PvP ↔ P
Asociativa
PvQ vR↔ (PvQ) vR↔Pv(QvR)
Pʌ Q ʌ R ↔ (Pʌ Q) ʌ R ↔ Pʌ (Qʌ R)
Conmutativa
Pʌ Q ↔ Qʌ P
PvQ ↔ QvP
Distributiva Pʌ (QvR) ↔ (Pʌ Q) v (Pʌ R)
Pv (Qʌ R) ↔ (PvQ) ʌ (PvR)
Identidad
Pʌ F↔ F
Pʌ V ↔ P
PvF ↔ P
PvV ↔ V

6. Complemento
Pʌ ¬P↔ F
Pv¬P ↔ V
¬(¬P) ↔ P
¬F ↔ V
¬V ↔ F
De Morgan ¬(Pʌ Q) ↔ ¬PV ¬Q
¬(PvQ) ↔ ¬Pʌ ¬Q
Absorción Pʌ (PvQ) ↔ P
Pv(Pʌ Q) ↔ P
Condicional simple P→Q ↔ ¬PvQ
P→Q ↔ ¬Q→¬P
Bicondicional P ↔ Q ↔(P→Q)ʌ (Q→P)
Conjunción Negativa P ↓ Q ↔ ¬Pʌ ¬Q

7. Método de demostración matemática
En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se
construye su demostración formal, aunque la proposición sea válida para un
número finito de casos no significa que sea válida para todo el universo.
Algunos métodos estudiados son:
Método directo de demostración:
En el método de demostración directa se tiene como hipótesis verdaderas las
proposiciones H1 y H2 y… y Hn procediendo a la deducción de que la
conclusión Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir
como una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de demostración en
el método directo es de la forma:
Si H1 y H2 y … y Hn entonces Q en forma simbólica:
H1 ∧ H2 ∧ …∧Hn → Q
El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de
inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado: Modus Ponens
[ P∧ (P→Q) ] →Q Modus Ponens que significa: si la hipótesis P es verdadera
y la hipótesis P implica la conclusión Q entonces la conclusión Q es
verdadera.

8. Método de demostración indirecto:
El método de demostración directa no siempre es aplicable debido a la
naturaleza de las proposiciones a demostrar, por lo que es necesario realizar
una demostración indirecta las cuales son ampliamente usadas en
matemáticas, a continuación algunos de los métodos usuales de
demostración indirecta.
Método de demostración indirecto por reducción al absurdo
Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la
invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus
argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un método
ampliamente aplicado en matemáticas.
El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al
absurdo una proposición de la forma (H1 ∧ H2 ∧ …∧Hn )↔ Q consiste en:
R1) Negar la conclusión Q utilizando las leyes de la lógica, la negación de
Q es denota por ¬Q que se lee “no Q”
R2) El conjunto de hipótesis ahora es de la forma H1 ∧ H2 ∧ …∧Hn∧¬Q,
es decir que ¬Q se añade como una hipótesis
R3) Del conjunto de hipótesis enunciadas en R2) obtener una contradicción
evidente, una contradicción es una proposición que siempre es falsa
yesdenotada por C, en forma simbólica: H1 ∧ H2 ∧ …∧Hn∧ ¬Q → C, es decir
que el conjunto de hipótesis {H1, H2, … ,Hn,¬Q} es inconsistente o
contradictorio.
R4) entonces Q es verdadera por la obtención de una contradicción al
suponer verdadera la negación de Q
Aristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al
absurdo en dos principios: principio de no contradicción ¬(p∧¬q) considerada
ley suprema de la lógica según Kant y Aristóteles, que significa que una
proposición no es verdadera y falsa simultáneamente y el principio del
tercero excluido (p∨¬p) que significa que una proposición es verdadera o
falsa. Si no son aceptados los principios anteriores, el método de reducción
al absurdo carece de fundamento lógico.

9. El fundamento lógico del método de reducción al absurdo es la equivalencia
lógica llamada precisamente reducción al absurdo:
(P→Q)↔[(P ∧¬Q)→C]
donde P es de la forma H1 ∧ H2 ∧ … ∧Hn∧¬Q y C denota una contradicción
Cuando solamente se afirma una proposición Q sin ninguna hipótesis, como
por ejemplo: π es transcendental, entonces la veracidad de Q se obtiene de
la regla de inferencia:
(¬Q→C)→Q
Método de demostración por contrapositiva:
El método de demostración por contrapositiva es un método indirecto que
tiene como fundamento la equivalencia lógica
(P→Q)↔(¬Q→¬P)
Para realizar una demostración por contrapositiva se toma como hipótesis la
negación de la conclusión escrita como ¬Q para obtener como conclusión la
negación de la hipótesis escrita como ¬P. El esquema argumentativo de la
deducción por contrapositiva es de la forma:
¬Q
_¬Q→¬P_
¬P
Método de demostración por inducción matemática
El principio de inducción matemática es un principio universalmente válido en
matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los números
naturales construidos por el matemático italiano G. Peano a finales del siglo
XIX, insistimos en que es un axioma que formalmente pertenece a la lógica
de segunda clase al cuantificar propiedades de números naturales, sin
embargo, por un tratamiento de 51letra predicativa como un parámetro se
considera al principio de inducción matemática como un axioma en la lógica
de primer orden.

10. Las demostraciones por el principio de inducción matemática se consideran
indirectas. El principio de inducción matemática es utilizado para demostrar la
veracidad de proposiciones p(n) donde n es un número natural mayor que un
valor inicial n0, el principio de inducción matemática consiste en:
i) inicialmente se verifica que la proposición p(n) es verdadera para n=n0, es
decir p (n0) es verdadera.
ii) Se enuncia la hipótesis de inducción: p (k) es verdadera para el número
natural k.
iii) Usando la hipótesis de inducción enunciada en (ii) y otras proposiciones
verdaderas demostradas anteriormente se demuestra que p (k+1) es
verdadera.
iv) La conclusión consiste en que p(n) es verdadera para todo n≥n0
En forma simbólica el principio de inducción matemática se escribe así:
[p (n0)∧ [∀k>n0[p(k)→p(k+1)]]]→ ∀k>n0 p(n)
Circuito lógico de una forma proposicional
pʌ q ↔ ¬pʌ ¬q
qp
¬p ¬q