La validez de todo razonamiento puede corroborarse mediante tablas de verdad. Sin embargo este metodo puede ser tedioso y muy largo. Hay otro camino. En estas hojas hablamos de ello.

1. Cap´ıtulo 5. Deducciones
por G3
Agosto 2014
Resumen
La validez de todo razonamiento puede corroborarse mediante tablas
de verdad. Sin embargo este m´etodo puede ser tedioso y muy largo.
Hay otro camino. En estas hojas hablamos de ello.
Definici´on 1. Una inferencia deductiva, o simplemente deducci´on, es la
relaci´on que se da entre las premisas y la conclusi´on de un razonamiento
v´alido (regla de inferencia), y est´a representada por una sucesi´on finita
de proposiciones conclusivas (implicaciones) de las cuales se sigue la con-
clusi´on.
En seguida enunciamos y probamos la principal herramienta para la
construcci´on de deducciones .
Teorema 1. Adici´on y sustracci´on de hip´otesis en reglas de inferencia.
(I) Supongamos que p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q es una tautolog´ıa. Si s1,...,sm
son proposiciones, entonces
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm ⇒ q,
es una tautolog´ıa.
(II) Sea r ≤ n, y supongamos que p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pr ⇒ s es una tautolog´ıa.
Si p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ s ⇒ q es una tautolog´ıa, entonces
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q,
es una tautolog´ıa.
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2. Demostraci´on. La parte (I) se sigue de inmediato usando la proposici´on 18
de cap´ıtulo 3, y la partte (II) se sigue de la proposici´on 21 del mismo cap´ıtulo.
No obstante, damos a continuaci´on las pruebas de estos hechos.
Prueba de (I). Sea T una tautolog´ıa. Si partimos de la hip´otesis de que
(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn) ⇒ q
es una tautolog´ıa, entonces ´esta proposici´on es equivalente a T. Luego,
[(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm) ⇒ q] ≡ [((s1 ∧ · · · ∧ sm) ∧ (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn)) ⇒ q]
(asociatividad, conmutatividad, reemplazo)
≡ [(s1 ∧ · · · ∧ sm) ⇒ ((p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn) ⇒ q)]
(exportaci´on)
≡ (s1 ∧ · · · ∧ sm ⇒ T)
(hip´otesis, reemplazo)
≡ T.
(proposici´on 14, cap´ıtulo 3)
Prueba de (II). Queremos demostrar que si
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pr ⇒ s (1)
y p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ s ⇒ q, (2)
son ambas tautolog´ıas (con r ≤ n), entonces
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q, (3)
es una tautolog´ıa. Pues bien, el ´unico modo en que la implicaci´on (3) puede
ser F, es cuando
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn es V y q es F.
Veamos que este caso no sucede bajo la hip´otesis de que (1) y (2) son tau-
tolog´ıas. En efecto, si p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn es V, entonces todas y cada una
de las proposiciones p1, p2,...,pn son V. De aqu´ı se sigue que, en particular,
p1 ∧p2 ∧· · ·∧pr es V. Por lo tanto, dado que (1) es tautolog´ıa, la proposici´on
s es V, no le queda de otra. Por consecuencia, p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ s es V,
pues es la conjunci´on de puras proposiciones que son V. Por lo tanto, dado
que (2) es tautolog´ıa, se tiene que q es V, no le queda de otra. As´ı que (3)
es tautolog´ıa, como quer´ıamos probar.
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3. ¿C´omo usamos estas reglas? Supongamos que debemos determinar
la validez de un esquema de razonamiento
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q.
Es decir, queremos determinar si esta implicaci´on es tautolog´ıa o no.
Generalmente, las premisas originales p1,..., pn no son suficientes para
deducir el consecuente q de forma inmediata. As´ı que procedemos del modo
siguiente:
Paso 1. Supongamos que con un subconjunto de premisas pi1 ,...,pir ,
con r ≤ n, deducimos una proposici´on s1 m´as inmediata que q. Es decir,
supongamos que
pi1 ∧ · · · ∧ pir ⇒ s1
es una tautolog´ıa, para alguna proposici´on s1. Note que de la parte (I) del
teorema 1 (y conmutatividad de la conjunci´on), se sigue que
p1 ∧ · · · ∧ pn ⇒ s1 (4)
es una tautolog´ıa.
Paso 2. Hay entonces dos casos:
Caso (a). Existe un subconjunto de premisas pj1 ,...,pjk
, con k ≤ n, tal que
con la conjunci´on de las premisas pj1 ..., pjk
y s1 es posible deducir
q de forma inmediata, esto es, sucede que es (casi) inmediato que la
implicaci´on
pj1 ∧ · · · ∧ pjk
∧ s1 ⇒ q,
es una tautolog´ıa. Entonces, nuevamente seg´un la parte (I) de teorema
1 (y conmutatividad de la conjunci´on), se tienen que la implicaci´on
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ⇒ q, (5)
es una tautolog´ıa. Luego, seg´un la parte (II) del teorema 1, de las
tautolog´ıas (4) y (5), se sigue que la implicaci´on
p1 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
es una tautolog´ıa. Y en consecuencia, ya acabamos!
Caso (b). Con las premisas p1,..., pn y s1 no es posible deducir q de forma
inmediata. Repetimos entonces el Paso 1, pero con el conunto de
premisas p1,..., pn y s1.
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4. Se trata entonces de un proceso iterativo que finaliza hasta conseguir
deducir la proposici´on q, si ello es posible.
Enseguida justificamos esta idea de forma expl´ıcita.
Corolario 1. Supongamos que p1,...,pn, s1,...,sm y q son proposiciones tales
que:
(i) Cada proposici´on sk, con 1 ≤ k ≤ m, se deduce del conjunto de
premisas p1,..., pn, s1,..., sk−1, es decir, tal que la implicaci´on
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sk−1 ⇒ sk
es una tautolog´ıa.
(ii) De las premisas p1,...., pn, junto con las premisas extra s1,..., sm se
deduce q, es decir, la implicaci´on
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm ⇒ q
es una tautolog´ıa.
Entonces la implicaci´on
p1 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
es una tautolog´ıa.
Demostraci´on. Tenemos que las implicaciones
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm−1 ⇒ sm y
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm ⇒ q,
son tautolog´ıas. Entonces, por la parte (II) del teorema 1, la implicaci´on
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm−1 ⇒ q
es tautolog´ıa. Ahora,
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm−2 ⇒ sm−1
es tautolog´ıa. De modo que por la misma raz´on que antes,
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ s1 ∧ · · · ∧ sm−2 ⇒ q
es tautolog´ıa. As´ı continuamos sucesivamente el n´umero suficiente de veces
para concluir finalmente que
p1 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
es una tautolog´ıa.
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5. Casi siempre lo que hacemos en los ejercicios o casos particulares es
deternimar la validez de un argumento con otros medios, despu´es se esboza
todo el proceso deductivo.
A continuaci´on detallamos un ejemplo.
Ejemplo 1. Determine la validez del argumento siguiente.
p ⇒ (q ∨ r)
¬q
∴ p ⇒ r
Si el razonamiento es v´alido, entonces realiza una deducci´on para corro-
borarlo. Si no es v´alido, exhibe los valores de verdad de las proposiciones
componentes que lo hacen falso.
Soluci´on. En otras palabras, primero queremos determinar si la implicaci´on
(p ⇒ (q ∨ r)) ∧ (¬q) ⇒ (p ⇒ r) (6)
es tautolog´ıa o no. Por supuesto podemos proceder por tablas de ver-
dad, pero ello es muy aburrido (la tabla tiene 16 renglones). Analicemos
la situaci´on del siguiente modo: Para que la implicaci´on (6) sea F tiene que
suceder
(p ⇒ (q ∨ r)) ∧ (¬q) es V mientras que (p ⇒ r) es F. (7)
Veamos si esto es posible o no. Si (p ⇒ (q ∨ r)) ∧ (¬q) es V y (p ⇒ r) es F,
entonces (p ⇒ (q ∨ r)) es V, ¬q es V, y p es V y r es F. Pero ello significa
que p es V y q ∨ r es F, y por tanto (p ⇒ (q ∨ r)) es F. Contradicci´on. As´ı
que las condiciones (7) no se cumplen. Concluimos que (6) es efectivamente
tautolog´ıa, y el argumento es v´alido.
Ahora procedemos a construir un esquema deductivo para esta regla de
inferencia.
Partimos del par de hip´otesis originales:
1. p ⇒ (q ∨ r).
2. ¬q.
La idea es agregar a estas hip´otesis una tercera hip´otesis la cual se deduzca
de estas dos. Luego una cuarta que se deduzca de este grupo de tres. As´ı
sucesivamente, hasta lograr un grupo de hip´otesis adecuado que nos premita
deducir el consecuente de (6)
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6. Tenemos entonces que
(p ⇒ (q ∨ r)) ⇒ (¬(q ∨ r) ⇒ ¬p)
es tautolog´ıa por la ley del contrarec´ıproco.
Entonces agregamos al par de hip´otesis originales una tercera hip´otesis:
1. p ⇒ (q ∧ r).
2. ¬q.
3. ¬(q ∨ r) ⇒ ¬p.
Ahora, tomamos la hip´otesis 3. y vemos que
[¬(q ∨ r) ⇒ ¬p] ⇒ [(¬q ∧ ¬r) ⇒ ¬p]
es tautolog´ıa por De Morgan y Reemplazo.
Entonces agregamos una cuarta hip´otesis:
1. p ⇒ (q ∧ r).
2. ¬q.
3. ¬(q ∨ r) ⇒ ¬p.
4. (¬q ∧ ¬r) ⇒ ¬p.
Pero por la ley de exportaci´on, se sigue de la hip´otesis 4 que la impliaci´on
[(¬q ∧ ¬r) ⇒ ¬p] ⇒ [(¬q) ⇒ (¬r ⇒ ¬p)]
es tautolog´ıa.
Entonces agregamos una quinta hip´otesis:
1. p ⇒ (q ∧ r).
2. ¬q.
3. ¬(q ∨ r) ⇒ ¬p.
4. (¬q ∧ ¬r) ⇒ ¬p.
5. (¬q) ⇒ (¬r ⇒ ¬p).
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7. De la hip´otesis 5,
[(¬q) ⇒ (¬r ⇒ ¬p)] ⇒ [¬q ⇒ (p ⇒ r)]
es tautolog´ıa por la ley del contrarec´ıproco y reemplazo.
Agregamos entonces una sexta hip´otesis:
1. p ⇒ (q ∧ r).
2. ¬q.
3. ¬(q ∨ r) ⇒ ¬p.
4. (¬q ∧ ¬r) ⇒ ¬p.
5. (¬q) ⇒ (¬r ⇒ ¬p).
6. ¬q ⇒ (p ⇒ r).
Por ´ultimo, de la premisa 2 y 6 y la regla del Modus Ponens, se sigue la
proposici´on (p ⇒ r), como quer´ıamos.
Todo el razonamiento anterior suele escribirse en la forma de c´alculo
proposicional de la siguiente manera:
1. p ⇒ (q ∧ r).
2. ¬q.
3. ¬(q ∨ r) ⇒ ¬p (Contra-rec´ıproco de 1.)
4. (¬q ∧ ¬r) ⇒ ¬p (De Morgan a 3.)
5. (¬q) ⇒ (¬r ⇒ ¬p) (Exportaci´on a 4.)
6. ¬q ⇒ (p ⇒ r) (Contra-rec´ıproco al consecuente de 5.)
∴ (p ⇒ r). (Modus Ponens con 2. y 6.)
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