Objetivo Unidad 1, (Proposiciones)

1. Universidad Fermín toro
Vice – Rectorado Académico
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Ingeniería
Objetivo
Unidad 1
(Proposiciones)
Participante:
Jhonder Orozco
C.I: v-27679460
Profesor:
Domingo Méndez
Asignatura:
Estructura Discreta I

2. Índice
 Concepto de las Proposición………………………………….. PAG 1
 Conectivos lógico de una Proposición……………………… PAG 2
 Formas de una Proposición …………………………………..PAG 2
 Leyes del Álgebra de la Proposición…………………………PAG 3,4
 Métodos de Demostración en Matemática e Ingeniería…PAG 5,6,7
 Red de Circuito Lógico de una Composición……………… PAG 7

3. La Proposición es un concepto con diferentes usos. Puede tratarse de la
manifestación de algo para que otros individuos conozcan una intención,
de la concreción de una propuesta o de un enunciado que puede resultar
falso o verdadero.
La matemática, por otra parte, es la ciencia dedicada al análisis de las
entidades abstractas, como números, figuras geométricas y símbolos, y
de sus propiedades. Como adjetivo, el término refiere a todo lo vinculado
con esta disciplina deductiva.
Después de estas aclaraciones, podemos centrarnos en las proposiciones
matemáticas. Una proposición matemática es una expresión algebraica
que puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca
ambas a la vez.
Denominadas a través de letras minúsculas, las proposiciones
matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad o la
falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus características, es posible
distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores
lógicos) y proposiciones compuestas (cuentan con más de un conector
lógico). Dentro de estos grupos también pueden advertirse otras
clasificaciones: proposiciones relacionales, proposiciones predicativas,
etc.
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4.  Conectivos Lógicos de una Proposición.
Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones
simples dadas, produciendo así otras llamadas proposiciones
compuestas.
Los conectivos lógicos más comunes son:
 Formas de una Proposición.
Es la representación de su contenido y sintaxis usando las herramientas
de la lógica, en particular el simbolismo del cálculo proposicional y el
cálculo de predicados. Oraciones distintas pueden ser representaciones
de la misma proposición.
Existen tres formas proposicionales:
TAUTOLOGIAS: es aquella forma proposicional que da como resultado
verdadero.
CONTRADICCIONES: es aquella forma proposicional que siempre da
como resultado falso.
FALACIAS O INDETERMINADA: es aquella forma proposicional que
siempre es verdadera y falsa a la vez.
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5.  Leyes del Álgebra de Proposiciones.
Las leyes del álgebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se
pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del
bicondicional. Las leyes del álgebra de proposiciones son las siguientes:
EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS:
1) Doble Negación.- (DN) “Si negamos una proposición dos veces, se
concluye en la proposición inicial”.
Su simbolización será ~ ~ p
Ejemplo: No es verdad que no somos invitados
Equivale: Somos invitados
2) Conmutación.- (Conm.) Si los conjuntivos, disyuntivos y
bicondicionales
permutan sus respectivos componentes, sus equivalentes significan
lo mismo.
a) (p Ùq) ↔ (q Ù p)
Ejemplo: La pizarra es negra y la tiza blanca
Equivale: La tiza es blanca y la pizarra es negra
3. Idempotencia.- (Idem) Las variables redundantes en una cadena de
conjuntivos
o dsyuntivos se eliminan.
a) (p Ù p) ↔ p
Ejemplo: Mariela estudia. Y Mariela trabaja y estudia
Equivale: Mariela estudia y trabaja
4. De Morgan.- (D.M.) Se niegan las proposiciones conjuntivas o
disyuntivas y las
Cambiamos. La conjunción por la disyunción o la disyunción por la
conjunción,
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6. Negando cada uno de los componentes.
a) (p Ù q) ↔ ~(~ p v ~q)
Ejemplo: En invierno nieva y hace frio
Equivale: No es el caso que en invierno no nieva o no haga frio
5. Las Definiciones del Condicional.- (Def. Cond.)
a) Es la definición del esquema condicional por medio del disyuntivo.
Se niega el antecedente (p) y el condicional (→) cambia por el disyuntivo
(V)
(p → q) ↔ (~p v q)
Ejemplo: Si Kant es un filósofo entonces es idealista
Equivale: Kant no es un filósofo o es un idealista
6. Las Definiciones del Bicondicional (Def. Bicond.)
a) Indica que un esquema bicondicional puede transformarse en dos
condicionales donde uno de los miembros implica a otro y viceversa.
(p ↔ q) ↔ (p → q) Ù (q → p)
Ejemplo: Una figura geométrica tiene tres ángulos si y sólo si es
un triángulo
Equivale: Si una figura geométrica tiene tres ángulos entonces es
un triángulo y si es un triángulo entonces es una figura geométrica que
tiene tres ángulos.
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7.  Métodos de Demostración en Matemática e Ingeniería
Un método de demostración es un esquema argumentativo válido con
fundamento lógico no perteneciente en si a la matemática sino como
elemento propio de una metateoría. La validez de la argumentación radica
en la veracidad de las hipótesis consideradas para deducir una
conclusión.
 Método directo de demostración
 Métodos indirecto de demostración
 por reducción al absurdo
 por contrapositiva
 Método de Inducción matemática
• Método directo de demostración
En el método de demostración directa se tiene como hipótesis verdaderas
las proposiciones H1 y H2 y… y Hn procediendo a la deducción de que la
conclusión Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es
decir como una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de
demostración en el método directo es de la forma:
Si H1 y H2 y … y Hn entonces Q
En forma simbólica:
H1 ∧ H2 ∧… ∧ Hn → Q
El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla
de inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado:
Modus Ponens [ P∧ (P→Q) ] →Q Modus Ponens
Que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la
conclusión Q entonces la conclusión Q es verdadera.
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8.  Método de Demostración Indirecto
El método de demostración directa no siempre es aplicable debido a la
naturaleza de las proposiciones a demostrar, por lo que es necesario
realizar una demostración indirecta las cuales son ampliamente
usadas en matemáticas, a continuación algunos de los métodos
usuales de demostración indirecta
 Métodos indirecto de demostración por reducción al
absurdo
Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C.,
la invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus
argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un
método ampliamente aplicado en matemáticas.
El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción
al absurdo una proposición de la forma (H1 ∧ H2 ∧… ∧ Hn) ↔ Q
consiste en:
R1) Negar la conclusión Q utilizando las leyes de la lógica, la
negación de Q es denota por ¬Q que se lee “no Q”
R2) El conjunto de hipótesis ahora es de la forma H1 ∧ H2 ∧… ∧ Hn
∧¬Q, es decir que ¬Q se añade como una hipótesis
R3) Del conjunto de hipótesis enunciadas en R2) obtener una
contradicción evidente, una contradicción es una proposición que
siempre es falsa y es denotada por C, en forma simbólica:
H1 ∧ H2 ∧… ∧ Hn ∧ ¬Q → C,
Es decir que el conjunto de hipótesis
{H1, H2,… ,Hn,¬Q} es inconsistente o contradictorio.
R4) entonces Q es verdadera por la obtención de una contradicción al
suponer verdadera la negación de Q
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9.  Métodos indirecto de demostración por
contrapositiva
El método de demostración por contrapositiva es un método
indirecto que tiene como fundamento la equivalencia lógica
(P→Q)↔(¬Q→¬P)
Para realizar una demostración por contrapositiva se toma
como hipótesis la negación de la conclusión escrita como ¬Q
para obtener como conclusión la negación de la hipótesis
escrita como ¬P. El esquema argumentativo de la deducción
por contrapositiva es de la forma:
¬Q
_¬Q→¬P_
¬P
 Red de Circuito Lógico de una Composición
Circuito Lógico (Compuertas Básicas): Compuerta And:
Los estados posibles del circuito se pueden modelar en la
Tabla de Verdad que tiene asociada. Sabemos que los
interruptores sólo pueden tener dos estados, abiertos o
cerrados, si el interruptor abierto se representa mediante el
cero (0 o falso) y el cerrado mediante el valor uno (1 o
verdadero) entonces en la tabla de verdad asociada se puede
ver la situación que se describía en el párrafo anterior, cuando
se decía que la luz sólo prende cuando ambos interruptores
están cerrados, es decir, si A = 1 y B = 1 entonces L = 1. Para
efectos de este trabajo, la operación And la representaremos
como la función And( A, B ), donde A y B serían los parámetros
de entrada (los mismos valores de A y B en el circuito) y L =
And( A, B ), correspondería a la forma de asignación de valor a
L. En este caso el parámetro de salida es la misma función
And.