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Curso
Matemáticas Financieras
Carlos Mario Morales C © 2009
Matemáticas Financieras
Capitulo 7

Matemáticas
Financieras
Contenido
Contenido
Capitulo 7 –Amortización y Capitalización
Concepto de amortización
Amortización con cuotas extras pactadas
Amortización con cuotas extras no pactadas
Amortización con periodos de gracia
Matemáticas
Financieras
Distribución de un pago
Concepto de Capitalización
Capitalización con cuotas extras pactadas
Fondos de amortización
Costo periódico de una deuda

Matemáticas
Financieras
Amortización y Capitalización
Concepto de amortización y capitalización
Concepto de amortización y capitalización
Uno de las aplicaciones más importantes de
concepto de interés es el de amortización
porque permite visualizar la forma como se
Matemáticas
Financieras
porque permite visualizar la forma como se
pagara una deuda y el de capitalización para
ver como se reúne un capital mediante el ahorro
A continuación se verán algunos casos
particulares útiles en los proyectos

Matemáticas
Financieras
Amortización con cuotas uniformes y
cuotas extras pactadas
cuotas extras pactadas
Aparte de las cuotas ordinarias entre el
deudor y acreedor se acuerdan cuotas
Matemáticas
Financieras
deudor y acreedor se acuerdan cuotas
extraordinarias en fechas definidas al
momento que se contrata el crédito
A continuación se analiza el caso a través
de un ejemplo.

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 1.
Ejemplo 1.
Se cancela una deuda de
USD$200.000 en cuatros cuotas
iguales trimestrales, con una
tasa de interés del 32% NT;
además se pacta una cuota
Matemáticas
Financieras
además se pacta una cuota
extra de $50.000 en el mes 9.
Realizar la tabla de
amortización.
0 1 2 3 4

Matemáticas
Financieras
Tabla de Amortización (Ejemplo 1)
Periodo Saldo de
Capital
Amortización Interés Cuota (Pago)
0 160.308
Matemáticas
Financieras
0 160.308
1 124.733 35.575 12.825 48.400
2 86.311 38.421 9.979 48.400
3 44.816 41.495 6.905 48.400
4 1 44.815 3.585 48.400

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo de
Capital
0 200.000
Matemáticas
Financieras
0 200.000
1 167.600 32.400 16.000 48.400
2 132.608 34.992 13.408 48.400
3 44.817 87.791 10.609 98.400
4 2 44.815 3.585 48.400

Matemáticas
Financieras
cuotas extras no pactadas
cuotas extras no pactadas
Se pacta el pago con cuotas ordinarias
entre el deudor y acreedor , no se
Matemáticas
Financieras
entre el deudor y acreedor , no se
acuerdan cuotas extraordinarias al
momento que se contrata el crédito
A continuación se analiza el caso a través
de un ejemplo.

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 2.
Ejemplo 2.
Una deuda de USD$ 600.000 se
va cancelar en 7 pagos
trimestrales con un interés del
9% ET. Si en el periodo 3 se
efectúa un abono de USD$
250.000 se pide: elaborar la
Matemáticas
Financieras
tabla de amortización
suponiendo que la cuota se
abona a capital
0 1 2 3 4 5 6 7

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo de
Capital
0 600.000
1 534.786 65.214 54.000 119.214
Matemáticas
Financieras
1 534.786 65.214 54.000 119.214
2 463.702 71.084 48.131 119.214
3 386.221 77.481 41.733 119.214
4 301.767 84.454 34.760 119.214
5 209.711 92.055 27.159 119.214
6 109.371 100.340 18.874 119.214
7 0 109.371 9.843 119.214

Matemáticas
Financieras
Al pagar una cuota extra de 250.000 en el periodo 3 la tabla queda
como sigue:
Periodo Saldo de
Capital
0 600.000
Matemáticas
Financieras
0 600.000
1 534.786 65.214 54.000 119.214
2 463.702 71.084 48.131 119.214
3 136.221 327.481 41.733 369.214
4 29.267 106.954 12.260 119.214
5 - 29.267 2.634 31.901
6
7

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 3.
Ejemplo 3.
Una deuda de USD$ 600.000 se
va cancelar en 7 pagos
trimestrales con un interés del
9% ET. Si en el periodo 3 se
efectúa un abono de USD$
Matemáticas
Financieras
tabla de amortización
suponiendo que se pide re-
liquidación de la cuota
0 1 2 3 4 5 6 7

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo de
Capital
0 600.000
1 534.786 65.214 54.000 119.214
Matemáticas
Financieras
1 534.786 65.214 54.000 119.214
2 463.703 71.083 48.131 119.214
3 136.222 327.481 41.733 369.214
4 106.435 29.787 12.260 42.047
5 73.967 32.468 9.579 42.047
6 38.577 35.390 6.657 42.047
7 2 38.575 3.472 42.047

Matemáticas
Financieras
Después de efectuado el préstamo pasa un
tiempo antes de que se empiecen a pagar las
cuotas. Existen dos modalidades:
Matemáticas
Financieras
cuotas. Existen dos modalidades:
Periodo de gracia muerto
Periodo de gracia con cuota reducida (pago
de intereses)
Se ilustran ambos casos a través de ejemplos

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 4.
Ejemplo 4.
Para el pago de un préstamo
de USD $2´000.000 se concede
un plazo de gracia de 6 meses.
El préstamo se pagara en 4
cuotas trimestrales crecientes
en un 10% y un interés de
Matemáticas
Financieras
44%NT. Elaborar la Tabla de
Amortización
0 1 2 3 4 5 6

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo de
Capital
0 2.000.000
1 2.220.000 (220.000) 220.000 -
Matemáticas
Financieras
1 2.220.000 (220.000) 220.000 -
2 2.464.200 (244.200) 244.200 -
3 2.042.136 422.064 271.062 693.126
4 1.504.332 537.804 224.635 762.439
5 831.127 673.206 165.477 838.682
6 (0) 831.127 91.424 922.551

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 5.
Ejemplo 5.
Para el pago de un préstamo
de USD $2´000.000 se concede
un plazo de gracia de 6 meses
con cuota reducida. El
préstamo se pagara en 4
Matemáticas
Financieras
44%NT. Elaborar la Tabla de
Amortización
0 1 2 3 4 5 6

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo de
Capital
0 2.000.000
1 2.000.000 - 220.000 220.000
Matemáticas
Financieras
1 2.000.000 - 220.000 220.000
2 2.000.000 - 220.000 220.000
3 1.657.443 342.557 220.000 562.557
4 1.220.950 436.493 182.319 618.812
5 674.561 546.389 134.305 680.693
6 (0) 674.561 74.202 748.763

Matemáticas
Financieras
No es necesario construir la tabla de amortización
para calcular lo correspondiente a interés y
amortización; basta con calcular los intereses al
Matemáticas
Financieras
amortización; basta con calcular los intereses al
capital insoluto del periodo inmediatamente
anterior y luego, restárselo al valor de la cuota para
conocer la parte que corresponde a la
amortización.
La situación se ilustra a través del siguiente ejemplo:

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 6
Ejemplo 6
Hallar la distribución del pago
número 125, en la amortización
de $2 millones, mediante pagos
mensuales durante 20 años,
suponiendo una tasa del
30%NM
Matemáticas
Financieras
30%NM
0 1 2 3… 125 … 240

Matemáticas
Financieras
3. Se sabe que la porción de la cuota 125 que se utiliza para pagar intereses es igual
a la tasa multiplicada por la deuda que queda inmediatamente después de
haberse efectuado el pago 124 ;
; entonces se deba calcular el valor presente de
los pagos que faltan por hacer
P = A (1-(1+i)-n)/i
P = 50.133(1–(1+0,025)-116)/0,025 = 1
1´
´891.004,92
891.004,92
Matemáticas
Financieras
4. Los intereses se calculan como:
I = 1´891.004,92 x 0,025 = $47.275,12
$47.275,12
5. La amortización será igual a la cuota menos los intereses C= 50.133,78 - 47.275,12
= $2.858,66
$2.858,66
Periodo Saldo de
Capital
124 1.891.005
125 1.888.146 2.859 47.275 50.134

Matemáticas
Financieras
Amortización mediante abono constante
Amortización mediante abono constante
a Capital con interés anticipado
a Capital con interés anticipado
Una forma de amortización utilizada por los
bancos consiste en cobrar intereses por
Matemáticas
Financieras
bancos consiste en cobrar intereses por
anticipado y amortización constante al final de
cada periodo.
La situación se ilustra a través del siguiente
ejemplo

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 7
Ejemplo 7
Se paga un préstamo
de $500.000 en
cuotas trimestrales
durante un año, con
amortización
Matemáticas
Financieras
amortización
constante e intereses
del 33% NT
anticipado. Elaborar
la tabla de
amortización

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo de
Capital
0 500.000 41.250 41.250
Matemáticas
Financieras
1 375.000 125.000 30.938 155.938
2 250.000 125.000 20.625 145.625
3 125.000 125.000 10.313 135.313
4 - 125.000 - 125.000

Matemáticas
Financieras
Amortización en valor constante
Amortización en valor constante
Muchos créditos se otorgan en valor constante,
lo cual significa que las cuotas y los saldos
insolutos deben ser ajustados en un porcentaje,
Matemáticas
Financieras
insolutos deben ser ajustados en un porcentaje,
igual al índice de corrección monetaria.
ejemplo

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 8
Ejemplo 8
Elaborar la tabla de
amortización de un
crédito de $600.000 el
cual se paga en 4
cuotas anuales
Matemáticas
Financieras
cuotas anuales
iguales, pero en valor
constante. Tasa de
interés 8%; corrección
monetaria del 22%
durante los 4 años

Matemáticas
Financieras
Primera cuota: 181.152,48 x (1+0,22) = 221.006,03
Segunda cuota: 181.152,48 x (1+0,22)2 = 269.627,35
Tercera cuota: 181.152,48 x (1+0,22)3 = 328.945,37
Segunda cuota: 181.152,48 x (1+0,22)4 = 401.313,35
Matemáticas
Financieras
Además se debe hacer la corrección de la deuda:
600.000 x (1+0,22) = 732.000
569.554 x (1+0,22) = 694.855,84
480.816 x (1+0,22) = 586.596,69
304.579 x (1+0,22) = 371.586,45

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo
Ajustado
Saldo Amortización Interés Cuota
(Pago)
0
600.000 732.000
-
Matemáticas
Financieras
600.000 732.000
1
569.555 694.857 162.445
58.560
221.005
2
480.818 586.599 214.038
55.589
269.627
3
304.582 371.590 282.017
46.928
328.944
4 5 6 371.585 29.727 401.312

Matemáticas
Financieras
Amortización en Monedas Extranjeras
Amortización en Monedas Extranjeras
Cuando se amortiza en pesos una deuda
extranjera su metodología es idéntica a la
cancelación de una deuda en valor constante.
Matemáticas
Financieras
cancelación de una deuda en valor constante.
En este caso la devaluación remplaza la tasa de
corrección monetaria
ejemplo

Matemáticas
Financieras
Ejemplo 9
Ejemplo 9
Elaborar la tabla de
amortización de un crédito
de USD $10.000 el cual se
paga en 3 cuotas anuales
iguales en pesos con una
tasa de interés 18% EA; el
Matemáticas
Financieras
tasa de interés 18% EA; el
tipo de cambio es
US$1=$900 y la tasa de
devaluación del peso
frente al dólar es para el
primer año del 15%, del 27%
el segundo y del 13% para
el tercer año.

Matemáticas
Financieras
Periodo Saldo
Ajustado
Saldo Amortización Interés Cuota
(Pago)
0 9.000.000 10.350.000 -
Matemáticas
Financieras
0 9.000.000 10.350.000 -
1 7.452.787 9.465.039 2.897.213 1.863.000 4.760.213
2 5.123.276 5.789.301 4.341.764 1.703.707 6.045.471
3 (6) (7) 5.789.308 1.042.074 6.831.382

Matemáticas
Financieras
Capitalización diferida
Capitalización diferida
Se refiere así a la capitalización que tiene
Matemáticas
Financieras
Se refiere así a la capitalización que tiene
uno o varios periodos en los cuales no se
efectúan depósitos, pero el capital
ahorrado si gana intereses.

Matemáticas
Financieras
Capitalización
Capitalización -
-Fondos de
Fondos de
Amortización
Amortización
Es un fondo de ahorros donde se hacen
depósitos periódicos que van ganando
Matemáticas
Financieras
depósitos periódicos que van ganando
interés. Su objetivo es reunir un capital
para una fecha especifica en el cual se
cancelara una deuda o para la
adquisición de un bien o servicio.

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