El documento presenta una breve historia del desarrollo de los números negativos. Explica que los matemáticos indios del siglo VII usaban números negativos para deudas pero no aceptaban raíces negativas. Más tarde, en los siglos XVI y XVII, otros matemáticos como Cardano y Wasllis estudian y cuestionan la validez de los números negativos. Finalmente, en el siglo XVIII, Euler les da un estatuto legal y "demuestra" que menos por menos es más.

1. 45
Álgebra
I.
Menos por menos es más
Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente. Sin
embargo los matemáticos de la India, en el siglo VII, usaban los números negativos paraindicar
deudas y los representaban con un circulito sobre el número; admitían solucionesnegativas
en las ecuaciones pero no las tomaban en consideración porque decían que “la gente no
aprueba las raíces negativas”.
Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su
Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.
John Wasllis (1616-1703), en su Arithmetica Infinitorum (1655), “demuestra” la
imposibilidad de su existencia diciendo que "estos entes tendrían que ser a la vez mayoresque
el infinito y menores que cero”.
Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal; en su Anteitung Zur Álgebra
(1770) trata de “demostrar” que (–1)(–1)=+1; argumenta que el producto tiene que ser
+1 ó –1 y que, sabiendo que se cumpla (1)(–1)=–1, tendrá que ser: (–1)(–1)=+1.
Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clases de matemáticas es ¿por qué
menos por menos es más?
Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla es puramente
arbitraria y se adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias
justificaciones claras y aceptables: Equivalente lingüístico: la doble negativa equivale a una
afirmación: No es cierto que Pepito no tenga el libro= Pepito tiene el libro.
Un ejemplo fácil de visualizar es el de la isla Barataria, donde hay ciudadanos “buenos”
los que se asigna el signo +, y ciudadanos “malos” a los que se da el signo–. También se
acuerda que: “salir” de la isla equivale al signo –, y “entrar” a la isla equivale al signo +.
• Reconoce a los números y su aplicación en la vida diaria.
• Realiza operaciones con los números enteros utilizando símbolos en agrupación.
OPERACIONES EN
D 1

2. 46
Álgebra
Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria, el resultado para la islaes
positivo: (+)(+)=(+).
Si un ciudadano malo (–) sale (–) de Barataria, el resultado para la isla es
positivo: (–)(–)=(+).
Si un ciudadano bueno (+) sale (–) de Barataria, el resultado para la isla es
negativo: (+)(–)=(–).
Si un ciudadano malo (–) entra (+) a Barataria, el resultado para la isla es
negativo: (–)(+)=(–).
FUENTE: HISTORIA E HISTORIAS DE MATEMÁTICAS
II.
JUEGO DEL 100 (4 jugadores, 2 equipos de 2 jugadores)
Cada equipo alternativamente lanza un dado 4 veces y anota los resultados.
Cada equipo tacha todos los números del tablero que
haya podido obtener enlazando los números obtenidos
mediante 3 operaciones (se puede utilizar +, –, , ÷).
Por ejemplo, si han salido 3, 3, 2, 5 se pueden tachar los
siguiente números.
(3 3)+(2 5)=19
(3+3+2) 5=40
(3 5)–(3 2)=9
(3 2 5)÷3=10
(5–2) 3 3=27
Gana el equipo que ha tachado más números.
¡INTÉNTALO EN GRUPO!
Entra a
la isla
Sale de
la isla
Ciudadano
bueno +
+ –
Ciudadano
malo –
– +

3. 47
Álgebra
III.
Números enteros
Fijate en las temperaturas que marcan estos términos en diferentes épocas del año.
– 1 – 5 31 17
Números enteros negativos
Expresan cantidades que son
menores que cero.
Números enteros positivos
Expresan cantidades que son
mayores que cero.
NÚMEROS ENTEROS
Enteros
positivos
El cero
Enteros
negativos

4. 48
Álgebra
I. . ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
1 . Caso: Adición de números enteros del mismo signo
Para sumar número enteros del mismo signo, se suman
los valores absolutos y a dicha suma se le antepone el
signo común.
Ejemplos:
a. (+100) + (+50) = +150
b. (+20) + (+5) = +25
c. (–8) + (–2) = –10
d. (–10) + (–5) = –15
2 . Caso: Adición de números enteros de signos diferentes
3 . Asociativa
La forma como se agrupan los sumandos no altera la
suma.
Ejemplo:
(+8 + –3) + –2 = +8 + (–3 + –2)
+5 + –2 = +8 + –5
+3 = +3
4 . Elemento neutro
En D el elemento neutro es el cero (0), que sumado con
cualquier número entero, resulta el mismonúmero.
a D , se cumple que a + 0 = a
Para sumar dos números enteros de signos diferentes se
halla la diferencia se le antepone el signo del sumando que
tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo:
Ejemplo:
+8 +0 = + 8
+10 +0 = +10
a. (+200) + (–100) = +100
b. (+50) + (–30) = +20
c. (–500) + (+400) = –100
d. (–300) + (–50) = –350
Axiomas de la adición en D
En el conjunto D , se cumple las siguientes propiedades:
5 . Elemento inverso aditivo
Todo número entero tiene un opuesto que sume con dicho
número resulta cero.
Ejemplos: (+8) + (–8) = 0
(–200) + (+200) = 0
Propiedades
1. Propiedad aditiva
Siambos miembros deuna igualdad, puede ser anulado,
conservándose la igualdad.
1 . Clausura
La suma de dos números enteros es otro entero. Ejemplo:
x a x n a n
a y b DD (a b) x 3 x 8 3 8 

Ejemplo: x + (+8) = +11
(2)DDDy(5) 


2 . Conmutativa
(2)(5) 3  
2. Propiedad cancelativa
Todo sumando que aparece en ambos miembros deuna
igualdad, puede ser anulado, conservándose la
El orden de los sumandos no altera la suma. igualdad.
Ejemplo:
a y b D a b b a
Ejemplo:
Si x a b a x b
(–3)(7) (7) (3) 4 Si x 9109 x  10

5. 49
Álgebra
II. SUSTRACCIÓN DE NÚMERO ENTEROS
Para calcular la diferencia entre dos números enteros, se
suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Esdecir,
para cualquier par de enteros a y b se cumple que:
a – b = a + (–b)
Ejemplo:
(+5) – (+3) = (+5) + (–3) = +2
(+10) – (–3) = (+10) + (+3) = +13
III. MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS
En forma general se define del siguiente modo:
abbb... ba b
"a "veces
Ejemplo:
[(–2)(4)](–3) = (–2)[(4)(–3)] = [(–2)(–3)](4)
(–8)(–3) = (–2)(–12) = (+6)(4)
+24 +24 +24
4 . Elemento neutro.- El elemento neutro de la
multiplicación es el 1.
a D , a 1 a
Ejemplo:
17 · 1 = 17
5 . Multiplicativa del cero (absorbente).- Todo número
entero multiplicado por cero, da como producto cero.
–a bbb... ba b
"a "veces
Regla de signos
1. (+) · (+) = +
Ejemplo:
a. 6 · 0 = 0
b. (–8) · 0 = 0
a D , a 0 0
2. (+) · (–) = –
3. (–) · (+) = –
6 . Distributiva.- Sean a, b, c números enteros se cumple
que:
4. (–) · (–) = +
Axiomas de la multiplicación
Tenemos las siguientes propiedades:
1 . Clausura.- El producto de dos números enteros es
también otro número entero.
Ejemplo:
a(b + c) = a · b + a · c
a(b – c) = a · b – a · c
4(–3 + –5) = 4(–3) + 4(–5)
= –12 + –20
= –32
Ejemplo:
Si a DD,Db  a b  
Propiedades
(–4)(5) = –20
2 . Conmutativa.- El orden de los factores no altera el
producto.
1. Propiedad multiplicativa.- Si a los dos miembros de una
igualdad se le multiplica por un mismo númeroentero,
entonces lo productos también son iguales.
Ejemplo:
Si a DD, b   a b b a
Ejemplo:
Si x a n x na
(–2)(–3) = (–3)(–2)
x 8 4 x 4(–8) 32
+6 +6
3 . Asociativa.- En la multiplicación de tres o más factores,
2. Propiedad de cancelación.- Si en ambos miembros de una
igualdad, existe un mismo factor diferente de cero, éste
puede suprimirse, conservándose la igualdad.
la forma como se agrupan los mismos no altera el
producto. Ejemplo:
Si a x a b x b ; a  0
a,b,cD , (a b)c a b ca cb 5 x 5 (3) x  3

6. Álgebra
50
IV. DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La división es la operación inversa de la multiplicación
que consiste en lo siguiente: “Dado dos números
enteros llamados dividendo y divisor (éste diferente de
cero), hallar un tercer número llamado COCIENTE, que
multiplicado por el divisor de el dividendo”.
2 . División inexacta
En toda división inexacta hay un cociente, el dividendoes
igual al producto del divisor por el cociente, más el
residuo.
Cociente
D d c
Donde:
d c D ; d 0 D = d c + r Residuo
Divisor
D: dividendo; d: divisor; c: cociente
Regla de signos
1. (+) ÷ (+) = +
2. (–) ÷ (+) = –
3. (+) ÷ (–) = –
4. (–) ÷ (–) = +
• La división de un número por cero, no está definido, por
tanto:
Número
No existe 0
Clases de división
Dividendo
Propiedades
1. Si se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo
número diferente de cero, el cociente no varía, pero el
resto queda multiplicado por ese mismo número.
Ejemplo:
37 3
12
1
Queda
multiplicado
1 . División exacta
La división es exacta cuando el resto es cero.
37×3 3×3 111 9
12 3 12
por 3.
D d c 
Propiedad
D d c  D c d
2 . Si se divide el dividendo y el divisor por un mismo
Si el dividendo y el divisor de una división exacta se
multiplican o se dividen por un mismo número diferente de
cero, el cociente no varía.
Ejemplo:
12
3
4
• Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5.
número diferente de cero, el cociente no varía, pero el
resto queda dividido por dicho número.
70 34
30 17
2
Quedadividido
60
= = 3 El cociente no
70÷2 34÷2 35 2
17 1 17
por 2.
20
varía.
• Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2.
6
= = 3 El cociente no
2 varía.
12(5)
4(5)
12÷2
4÷2

7. Álgebra
51
 )
1. Nivel I(primera fase ONEM 2006)
Al simplificarla expresión:
S=1–(2–(3–(4–5))–(6–(7–(8–(9–10))))
se obtiene:
3 . Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Las letras a,b,c,d, e,f, g y h representannúmerosque
cumplen:
a= 100;b= 2
; c= 3
; d= 4
; e= 5
; f= 6
;
a b
g=
7
; h=
8
c d e
f g
Resolución:
S= 1–(2–(3–(–1))) – (6–(7–(8–(–1))))
Hallar el producto abcdefgh.
S= 1–(2–4) – (6–(7–9))
S= 1–(–2)–(6–(–2))
A) 480
3
B) 500
3
C) 384
S= 1+2–(8)
S= 3–8 S=
–5
2 . Nivel I (primera fase ONEM 2005)
Efectúa la siguiente operación:
Rpta.: –5
D) 400 E) 420
Resolución:
De la segunda relación: ab = 2 De
la cuarta relación: cd = 4 De la
sexta relación: ef = 6 De la
última relación: gh = 8
2( 49 + 5
0
2 – 3
8 (43
– 5

)32
– 2 121

Multiplicando (ab)(cd)(ef)(gh)= 2 4 6 8
= 384
A) 10 B) 60 C) 40
D) 30 E) 50
÷11– 7
1


Rpta.: 384
Resolución:
= 2(7+0)2–[2(64–5 12)][9–2 11÷11–1]
= 2(49)–[2(64–60)][9–2 1–1]
= 98 – 8 6
= 98 – 48
= 50
Rpta.: 50
144
A) 0 B) –53 C) –15
D) –10 E) –5

8. Álgebra
52
1 . Escribe verdadero (V) o falso (F).
A) El conjunto D está formado
por D
–
D

. ( )
B) Todo número positivo es mayor
que cero. ( )
6 . Complete con un número entero.
A) –2 <..........
B) –5 >.......... C)
....... > +4
C) el conjunto D
–
es igual al 7 . Ubicar los siguientes números en la recta numérica:
conjunto D . ( ) –2; –3; 0; –7; 2; 3
2 . Complete con:
izquierda - derecha -
–
0 D


0
8 . Ubicar los siguientes números en la recta numérica:
A) El conjunto D está formado por ..........................
B) Los números positivos sesitúan en la recta
numérica a la .................. del cero.
C) Los números negativos se sitúan en la recta
numérica a la ................ delcero.
3 . Escribe el opuesto de:
A) –274 .............................
B) +542 ............................
C) 125...............................
D) –505 .............................
4 . Complete los espacios en blanco:
A) –415 es el opuesto de ..................
B) .............. es el opuesto de –57.
C) +102 es el opuesto de ..................
5 . Colocar el signo “>” o “<”, según corresponda.
A) –7 12
B) –2 +2
C) –3 0
D) +7 +4
–7; –6; 4; 6; –1; 5; –9
0
9 . Calcule las siguientes sumas:
A) (+7)+(+8) =..................
B) (–4)+(–9) =....................
C) (+12)+(–5) =..................
10 . Calcule las siguientes sumas:
A) (–125)+(+100) = ..................
B) (–37)+(–13) = ....................
C) (+79)+(–37) = ..................
11 . Calcule las siguientes sustracciones: A)
(+127) – (+372) =..................
B) (–548) – (+148) = ....................
C) (+327) – (–23) =..................
12 . Calcule las siguientes sustracciones: A)
(–128) – (–28) = ..................
B) (–324) – (+124) = ....................
C) (+729) – (–151) = ..................
ÁLGEBRA - I

9. Álgebra
53
13 . Efectuar:
14 . Efectuar:
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8)
Rpta.: 19
(+3)+(–5)+(–7)+(+9)+(–10)
Rpta.: –10
15 . Resuelve las siguientes operaciones:
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
Rpta.: –84
16 . Resuelve las siguientes operaciones:
(+106)–(+56)+(+78)–(+94)–(–36)
Rpta.: 70
1 . Colocar el opuesto de:
A) –149 .............
B) +302 ............
C) –999 .............
D) 147 ...............
7 . Operar:
Q = –(–3) – (–2) – (–1)
2 . Escribe los signos “<” o “>” según corresponda:
A) –7 8
B) –20 1
C) 0 500
3 . Ubicar los siguientes números en la recta numérica:
–4; –2; –5; 3; –7; 5
8 . Completar las siguientes divisiones:
A) (–20) ÷ (–5) = .................
B) 200 ÷ (–20) = .................
C) –35 ÷ 1 = .................
9 . Reducir:
A = (10) + (30) + (5) – (20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) –2 E) N.A.
0
4 . Efectúe las siguientes sumas:
10 . Reducir:
P= 25(–8 )7–( 95 )8

A)
B)
–(5) + (+8)
–(–2) + (3)
= .................
= .................
A) –1 B) 0 C) 1 D) –2
C) (–10) + (–8) + 1 = ................. 11 . Resolver:

5 . Efectúe las siguientes sustracciones:
(–316 )(–125 )–(–65– 5 )

A) (+10) – (–10) = ................. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
B) (+200) – (50) = .................
C) (–333) – (–222) = ................. 12 . Si: (a b ) 2a b y
6 . Efectuar:
M = +(2) – (–3) + 7 – (–1)
(p q ) p q
Calcular: (–8 10)+(–18 9)
A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) N.A. A) –6 B) –2 C) 8 D) –8
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) N.A.

10. 54
Álgebra
1 . Completar en los recuadros:
• –4+7=
• –3–2=
• –17+20=
2 . Relacionar con una flecha:
• –4 –8+10 • –11
• 8–11+3 • 0
• –16+16–11 • –2
6 . Calcule el valor de:
(–7–3)–(–3+1)
A) 6 B) –7 C) –8
D) 8 E) 7
7 . Calcular el valor de:
(–4–2)–(–16+5)
A) –5 B) 5 C) 4
D) –4 E) 1
8 . Efectuar:
3 . Efectuar:
(–1+5–6)–7
(2)(3)(–1)(–4)
A) 7 B) 2 C) 23
D) 24 E) –24
A) 5 B) –9 C) 97
D) 9 E) –5
4 . Efectuar:
(16–4–20)+1
A) 3 B) 4 C) 7
D) 1 E) –7
9 . Efectuar:
10 . Calcule el valor de:
(–5)(4)(–2)
5 . Efectuar:
(–4+2)+(–8+10)
(7)(4)(–10)(0)(5)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
• Alumno(a) :
• Curso : • Aula :
• Profeso
r
:
A) 30 B) 20 C) 10
D) 5 E) 40
A) 0 B) –1 C) –28
D) 27 E) –5

11. 55
Álgebra
1 . Hallar el resultado de:
A=–(+12–13)+(–19–54)–(–11+15)–(+6)
Rpta.: –82
1 0 . Indica el valor de A–B.
A= (–2)(–3)(5)(–2)(–10)
B= (+6)(+5) – (10)(–50)
Rpta.: 70
2 . Hallar el resultado de:
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Rpta.: –113
11 . Efectuar:
A 
(7)(–2)(2)(5)
(–6)(2)
3 . Operar:
[(–4)(–2)]+[(+7)(–3)]
Rpta.: –13 12 . Operar:
Rpta.: 1
4 . Operar:
[(–2)(–7)(+1)] – [(–12)(–5)(0)]
Rpta.: 14
B= (–20)÷(–2)+(–15)÷(+3)–(–12)÷(–2)
Rpta.: –1
13 . Efectuar:
5 . Calcula el valor de M.
M=6(+9–2)+7(6–10)–8(–3+1)
Rpta.: 30
90 sumandos
(–2)(–2)(–2)...(–2)
A 
(3)(3)(3)...(3)
60 sumandos
Rpta.: –1
6 . Calcula el valor de N.
N= [(–3+6)(–5+8)+3(–3+6)]÷(–6)
Rpta.: – 3
7 . Reducir:
[(+4)–(–6)](–2)+[(–1)+(–3)](+4)
Rpta.: –36
14 . Efectuar:
30 veces
–4–4–4–4–...– 4
M 
–3– 3– 3–3–...– 3)
20 veces
Rpta.: 2
8 . Operar:
[3+(–1)][–5+(+2)]+(–3)
Rpta.: –9
15 . Si: a@b= –ab y
p q= p÷q
Calcular (–12 –4 ) – (5@3).
Rpta.: 18
9 . Calcula A+B.
A= –20+30–50–10
B= 10–3+5+20
Rpta.: –18
16 . Si: m#n= m–2n y
p q= p÷q
Calcular (–8#4 ) – (15  –3).
Rpta.: –11
ÁLGEBR A - II

12. 56
H 4 4 4 ... 7 7 7 ...
1 . Operar:
A= (+3)–[(+ 4–3)+4–(–5+3)]
7 . Efectuar:
K = (–3) + (–3) + (–3) + ... 30 veces
A) –4 B) 4 C) 3
D) –3 E) N.A.
A) –60 B) –90 C) –100
D) –120 E) N.A.
2 . Reducir:
[(–2)(–1)(–5)] ÷ [(2)(5)(–1)]
8 . Efectuar:
  
20 veces 30 veces
A) –1 B) 1 C) 0
D) 2 E) N.A.
3 . Operar:
A) 290 B) 300 C) 310
D) 240 E) N.A.
9 . Efectuar:
[(–7)(–8)(–9)] – [(–9)(8)(7)]
A) –8 B) 1 C) –1
D) 0 E) N.A.
30 veces
(5 5 5 ...5)
(3 3 3 ...3)
50 veces
4 . Reducir:
5 . Efectuar:
[(10)(2)(–5)][(0)(1)] + [(8)(–3)]
Q 
(–9)(2)(3)
(4)(3)(9)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
10 . Reducir:
P= (–40)÷(–4)+(–30)÷(+6)–(–24)÷(–4)
A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) N.A.
11 . En un corral donde hay vacas y patos, se cuentan en
total 25 cabezas y 80 patas. ¿Cuántas vacas hay en
total?
A) 2 B) –1 C) –3
1
D)
2
E) N.A.
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) N.A.
12 . Entre 8 personas tienen que pagar por partes iguales S/.
20,00, como alguna de ellas no pueden hacerlo,
6 . Operar:
M 
(2)(3)(2)(1)
4
cada uno de los restantes tiene que pagar S/. 1,50
soles más para cancelar la deuda. ¿Cuántas personas
no pagarán?
A) 1 B) 2 C) 0 D) –1 E) N.A. A) 7 B) 6 C) 03 D) 2 E) N.A.
Álgebra
A) 21 B) –24 C) 13
D) 15 E) –8

13. 57
Álgebra
1 . Indicar el valor de:
(–4)(–1)+(–2)(–3)
A) 4 B) –5 C) 10
D) –10 E) 5
2 . Indicar el valor de:
(–7)(–5)+(–3)(2)
7 . Efectuar:
8 . Simplificar:
(–7+7+4)÷(–2–2)
M 
(–4)(–8)(–2)
(–4)(–1)(2)
3 . Indicar el valor de A+B, si:
A= (–4)(–3) ; B= (–7)(3)
A) 9 B) –4 C) 3
D) 7 E) –9
4 . Indicar el valor de A–B, si:
A= (–7)(–2)(1)
B= (–4)(7)(0)
A) 0 B) –14 C) 14
D) 7 E) –5
5 . Completar en cada recuadro los números que faltan.
I. (–35) ÷ 7=
9 . Efectuar:
[(–5)(–4)(–12)]÷[(6)(–5)(–1)]
A) 8 B) 7 C) 6
D) 5 E) 4
10 . Efectuar:
30 veces
(–8)(–8)(–8)...(–8)
(–6)(–6)(–6)...(–6)
20 veces
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
II. (6) ÷ (–1)=
III. ÷ (–9)= 5
6 . Efectuar:
(–16–4)÷(–8+3)
A) –16 B) –4 C) 8
D) 4 E) 0
A) 4 B) –8 C) –2
D) 1 E) –4
A) 31 B) 29 C) –21
D) 24 E) –29
• Alumno(a) :
• Curso : • Aula :
• Profeso
r
:
A) 1 B) 7 C) –7
D) 0 E) –1

14. 58
Álgebra
I.
¿Cuál es el origen de
las fracciones?
Origen de las fracciones
La palabra fracción viene del latín “fractio”, utilizada por primera vez en el siglo XII, cuando Juande
Luna tradujo a ese idioma la Aritmética árabe de Al-Juarizmi.
El origen de las fracciones se remonta a la antigüedad. Es posible
encontrar muestras de su uso en diversas culturas de ese período
histórico. Los babilonios las utilizaron teniendo como único
denominador al número 60. Los egipcios, por su parte, las emplearoncon
sólo el 1 como numerador. Por ejemplo, si querían representar 5/8
escribían 1/2 y 1/8, considerando que 1/2 equivale a 4/8.
En tanto, los griegos marcaban con un acento el numerador, y con dos el denominador.
¿Por qué fueron creadas?
En la historia, es posible distinguir dos motivos principales por los que fueron inventadas las
fracciones. El primero de ellos fue la existencia de divisiones inexactas. Estas son aquellas enque
el cociente no es factor del dividendo, y tienen residuo, Por ejemplo representa 5:3.
Como no hay ningún número cardinal que multiplicado por 3 dé como producto 5, lo más
exacto es escribir 5/3. Lo mismo sucede con 4/7.
Para medir
Un segundo motivo por el cual se crearon las fracciones resultó de la aplicación de unidades de
medida de longitud.
En nuestro capítulo anterior de geometría vimos que los trazos se podían medir. Para realizar las
• Reconoce e identifica al conjunto de los números racionales y sus elementos.
• Realiza operaciones básicas entre números racionales.
OPERACIONES EN D
2

15. Álgebra
59
mediciones de trazos, se tomaba otro trazo como unidad de medida, y se veíalas
veces que contenía en el otro. Como no siempre cabía de manera exacta, se dividía
el trazo que servía de unidad en partes iguales y más pequeñas, para que el
resultado fuera extacto. Este resultado de la medición se expresaba en fracción.
A continuación queremos que estudies esto gráficamente, con el ejemplo de 5/3.
5/3 representa que el trazo que se utilizó como unidad de medida, debió dividirse en 3 pedazos iguales paraque el
trazo a medir lo contenga 5 veces exactas.
II.
Dominó de fracciones
En esta actividad te invitamos a jugar un dominó de fracciones equivalentes.
En él encontrarás que una misma fracción está escrita de diferentes formas. Es decir encontrarás una fracción ysus equivalentes.Por
ejemplo encontrarás la fracción 1/6 escrita también así: 2/12; 3/18; 4/24; 5/30. Todas estas fracciones son equivalentes.
Antes de empezar a jugar escribe algunas fracciones equivalentes a cada una de las fracciones que encontrarás en el juego.
Fracción Fracciones equivalentes
1/7
1/6
1/5
1/4
1/3
1/2
1
¡Listo! Imprimetu dominó y a jugar. Terecomendamos que pegues las fichas en cartón grueso para que sea más fácil usarlas.
1 5 2 2 3 5 4 1 2 5 1 3 5 2
6 30 12 10 8 20 24 3 12 10 6 3 30 14
2 1 5 5 3 5 4 5 3 5 1 5
10 5 25 20 15 15 20 10 15 5 5 35
3 1 2 1 4 3 1 4 5 4
12 4 8 3 16 6 4 4 20 28

16. Álgebra
60
u egoR
egla
1 5 4 3 3 2 5 3
3 15 12 6 9 2 15 21
4 1 2 6 1 2
8 2 4 6 2 14
¿Cómo se juega el domino? Un
pequeño recordatorio:
s d el j
Este dominó es muy parecido al dominó normal, la única diferencia es que en lugar de
números enteros tiene fracciones. Así la ficha más alta, en lugar de ser la mula de 6 es la
mula de1.
El dominó tiene 28 fichas y se juega con 4 jugadores. Se colocan las fichas boca abajo y se
revuelven.
Esto sellama “hacerla sopa”.
Cada jugador toma 7 fichas alazar. Eljugadorcon la mula de1es elque inicia eljuego. El
jugador queestéa la derecha tirará una ficha con 1.
El siguiente jugador a la derecha puede escoger, para tirar, uno de los dos extremos de la
hilera. Siempre tendrá que tirar una ficha que coincida con el número de alguno de los
extremos.
Cada jugador tirará una sola ficha en su turno y si no tiene ninguna que pueda acomodar
tendrá quepasar.
Gana elprimerjugadorquecoloquetodas sus fichas.
Si esto no sucede porque ya ningún jugador puede acomodar fichas, se dice que eljuego está
cerrado.
En un juego cerrado, cada jugadordeberá sumartodos losnúmeros desus fichas. Ganará el que
menos puntos tenga.
6 1
6 7
3
1
3
1 3
7 21

17. Álgebra
61
1
;
3
;
2
3 4 3
números
fraccionarios
14
;
8
2 4
no son
números
fraccionarios
LOS NÚMEROS RACIONALES ( D )
Observamos el caso de la división, por ejemplo, para los
números 8 y 4 D .
8
2 DD,pero
4
0, 5 
4 8
Números fraccionarios
Son aquellos números racionales que no son enteros.
Ejemplos:
Ya que el cociente de dos enteros no es necesariamente
entero, se tuvo que extender el conjunto de los enteros al
conjunto de los racionales.
Luego se define D como:
Interpretación gráfica de las fracciones
donde: a : numerador
b : denominador
3
¿Qué significa la fracción ?
8
Gráficamente:
3
8
DD a b  ; b  0a
b
D
Números
enteros
Fracciones o su
representación
decimal Recta numérica
Clases de
equivalencia
Sustracción MultiplicaciónAdición
División
Potenciación
CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS RACIONALES
Operaciones
se simboliza
contiene a
se representa
en
define establece
represen tan
como

18. Álgebra
62
Se observa:
1 . El denominador indica en cuántas partes se divide el
todo.
2 . El numerador representa las partes del todo que se toman
o que se consideran.
Lectura y escritura de fracciones
Fracciones equivalentes
Son aquellas que tienen el mismo valor.
Se obtienen fracciones equivalentes por simplificación opor
amplificación.
Ejemplos:
2
1 . Sea la fracción
3
.
Recordando
1
2 5

10
35 15
es equivalente a
2
.
3
2 se lee:
2
3 se lee:
6
7
se lee:
1
10
selee:
9
13
se lee:
se lee “dos veinteavos”.
Multiplicando por un mismo número entero al
numerador y denominador (amplificación).
2 . Si tenemos la fracción:
5
15
30

30
se lee “cinco doceavos”.
24 24
12
4
Tenemos fracciones equivalentes (por simplificación):
15
;
5
12 4
.
3 . Si los dos términos de una fracción tienen un divisor
común y sedividepor dicho divisor, la fracción resultante es
equivalente a la primera.
()()

()()
 a n

p

 a

p
()()
()()

()()
()()
() ()

()()


Sea la fracción:
b n q b q
20
;
20 4

5

 20

5
¡Es la misma ley!
36 36 4 9 36 9

19. Álgebra
63
14
12
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Simplificar:
24
a)
36
b)
70 52
80
c)
36
80
d)
48
e)
150
180
f
)
240
124
I. . Adición y sustracción
Se pueden dar los siguientes casos:
A) Para fracciones homogéneas.
Ejemplo:
5

3

2

5 3 2

6
7 7 7 7 7
2 . Reducción a común denominadorEjemplo:
Reducir a común denominador:
B) Para fracciones con denominadores primos entre sí. 5
;
7
;
3  MCM(6; 12;10) 60
Se puede efectuar con el método del aspa.
6 12 10
Ejemplo:
3

7

311 5 7

33 35

68
* 60 6 10 10 5 50 
5

50
6 60
7 35
5 11 5 11 55 55 * 60 12 5 5 7 35  
12 60
* 60 10 6 6 3 18 
3

18
C) Para fracciones cuyos denominadores que no sean
primos entre sí.
10 60
Primero se halla el M.C.M. Las nuevas fracciones son:
50
; 35
;
18
.
Ejemplo:
60 60 60
×
3

5

9 5



¡Analiza bien
este ejemplo!
7

7
II. Multiplicación
Para multiplicar números racionales se multiplican los
numeradores y los denominadores separadamente.
Ejemplo:


4 11 5 

3
4 12 12 6 
20

8

22

2

÷ 6
MCM(4; 12) = 12 Simplificando:
    

 1 1  1 


4 11  5 

3 



1 1 5 

3 
Procedimientos importantes

20

8 
22
     
   2  5 8 2 2 
1 . Simplificación
 5  2   1 
Simplificar una fracción es hallar otra equivalente
que sea irreductible.
1113 3
 
18 2 2 32
Cuando una fracción es irreductible ésta se forma como
representante canónica del número racional.
25

25  5

5
10 10  5 2
 Fracción irreductible
Es decir el par (5; 2) es el representante.
16
3
1 Número mixto
16 5
5 5 1 3

20. Álgebra
64

Si hay números racionales negativos debes
multiplicarlos teniendo en cuenta la ley de signos.
Otra forma (extremos ymedios)
III. División
Para dividir dos números racionales, se multiplica el
primero por el inverso del segundo.
Ejemplos: Ejemplos:

ad
bc
producto deextremos
producto demedios
6 3
2
6 5 10 5
2 5
1 .       • 5 • 9
4 5 4 3 4 2
1
3 8
4 27
2 .
1

1

1
4
2
 2
2 4 2
1
1 . Efectuar:
3

3 

1

3
Luego se tiene:
7  1
5 2

3 2 15 4 7 15 4
 
   

Resolución:
Operando el paréntesis:
6 15 

1

3
Finalmente:
14 3
15
15 14 3
2
2
10

3 2 1

4

2
Luego:
 



9

1

3

27 10 45
10 3 2 30
2 3 3
1
Rpta.: 2/3

31
3 . NIVEL I (PRIMERA FASE ONEM2006)
15
Rpta.: –31/15
Si
1 n+5
4, entonces 1 es :
n+6
5 4
2 . Determinar el valor de:
2

1 
3 5 4
 
A) 5 B)
D) 3 E)
4
C) 5
1
5
1 
1
 3 Resolución:
Resolución:
 15 
Como
1
 4
n+5
entonces n+5 
1
, luego 4
Efectuando numerador y denominador del corchete:
10 3 
n 6 1 
1

5
, de donde finalmente deducimos
4 4
1 415 

4 que  .
14 
3
n6 5
  Rpta.: 4/5
15 
a
b
c
d

21. Álgebra
65
 





1 . Efectuar:
1

5

1
–
4
6 6 6 6
Rpta.: 1/2
9 . Hallar el valor de:
1

3
– 11 5
2 2 3 6
Rpta.: –1/6
2 . Efectuar:
3
–
2

5

1
7 7 7 7
Rpta.: 1
10 . Calcular el valor de M+N.
M=
1
–
1
5 2
N=
3

1
4 2
Rpta.: 19/20
3 . Calcula el valor de M.
M=
1
–
3
6 2
11 . Efectuar:
8

9

5




5

2
–
5
Rpta.: – 4/3
13 4 7 13 7 4
Rpta.: 3
4 . Calcula el valor de N.
M=
1
–
3
2 4
Rpta.: –1/4
12 . Efectuar:
2

1

7

3
–
1

7
9 4 9 5 4 5
Rpta.: 3
5 . Resolver:
A= 3
5
– 1
2
8 8
Rpta.: 19/8
13 . Calcula el valor de A+B.
A= 1+
4
3
B=
2
– 4
3
Rpta.: –1
6 . Resolver:
B= 2
1
3
2
5 5
Rpta.: 28/5
14 . Calcula el valor de C+D.
C= 2+
11
7
D=
3
– 3
7
Rpta.: 1
7 . Calcula el valor de N.
N= 1
1
–
5
15 . Resuelve:
 5 2 3 2




8 . Calcula el valor de Q.
4 12
Rpta.: 5/6
16 . Resuelve:
M – 3 1  1 –1
Rpta.: –4/15
Q= 2
1
–
5 9 3 2 5  10
N 2 – 1 –
3 9
1 4

13
Rpta.: 16/9 Rpta.: –1/9
ÁLGEBR A - I

22. Álgebra
66
   
1 . Efectuar:
2

3
–
1

3
7 7 7 7
8 . Calcular el valor de A+B.
A=
3
–
1
;
5 2
B=
1

2
6 3
A) 9/7 B) 6/7 C) 1 D) 4/7
2 . Calcular el valor de N.
N=
3
–
5
8 4
A) 7/8 B) –7/8 C) –2/4 D) –1/2
A) 8/15 B) 14/15 C) 11/15
D) 7/15
9 . Efectuar:
A=
3

9

1

2

2
–
2
5 7 3 3 5 7
3 . Hallar el valor de A.
A=
2
–
4
5 3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
10 . Efectuar:
N=
7

2

9

5
–
2

1
A) –14/15 B) 15/14 C) –15/14
D) 14/15
4 . Resolver:
12 3 5 12 3 5
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
R= 3
1
2
3
4 4
A) 13/4 B) 2 C) 6
D) 11/4
11 . Efectuar:
1 – 1
2 18
51
6 9
5 . Calcula el valor de T.
T= 3
1
–
7
A) 8/17 B) 7/8 C) 8/7 D) 7/10
5 15
A) 15/41 B) 41/15 C) 16/5
D) 5/16
6 . Efectuar:
12 . Resolver:
11 
3 2 

5
1 1  2
– 
6 3 
2 – 1 1 – 3
3 2 6 2
A) 1 B) 2 C) –2
D) –1/2
A) 9/6 B) 7/6 C) –7/6
D) 6/5
7 . Calcular el valor de M+N.
M=
1
–
1
;
6 2
N=
2
– 1
9
A) 9/10 B) 1/4 C) –10/9
D) 2/5

23. 67
Álgebra
1 . Escribe (V) verdadero o (F) falso donde corresponda:
1

1
1
6 . Efectuar:
1
–
1
A)
2 2
............................................ ( ) 3 4
B)
1

1

7
............................................ ( )
5 5 10
A) 1 B) 12 C) 4
D) –7 E) 1/12
3
–
2

1 ...................................... ( ) 7 . Efectuar:
C)
12 12 24
1
1

3
4 4
2 . Relaciona convenientemente con una flecha. A) 2 B) 1 C) 3
D) 5 E) 6
7
–
2

3
4 4 4
5

13
6 6
• • 1
• • 2
8 . Reducir:
3
1
–
5
2 3
7

1
–
2
6 6 6
• • 3 A) 11 B) 6 C) 11/6
D) 11/5 E) 5/11
3 . Efectuar:
1

3

7

5
4 4 4 4
9 . Calcular:
A=
1

1

5
4 3 3
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4 . Efectuar:
A) 9/7 B) 9/4 C) 9/5
D) 4/5 E) –1/5
10 . Efectuar:
3

20

1
–
2
2

1

1
3 4 5
11 11 11 11
A) 1 B) 3 C) 5
D) 6 E) 2
A) 20/7 B) 39 C) 4
D) 39/20 E) 5
5 . Efectuar:
3

1
4 5
A) 19 B) 19/20 C) 20
D) 4/9 E) 2/9
• Alumno(a) :
• Curso : • Aula :
• Profeso
r
:

24. 68
Álgebra
1 . Reducir:
E 
1
–  2
– 1
–
1

6 . Calcula el valor de PQ R.
P=
1

6
2 . Reducir:
2 5 3 5  

Rpta.: 7/30
3 5
Q=
–1

7
7 3
R= 3 
–1
2
L 
2
 7
– 1
–
1
  Rpta.: 1/5
5 10 2 5 

Rpta.: 4/5
7 . Efectuar:
3 . Calcular el valor de A+B. 1
– 1

4
–
5

3 
A 
–2

7
7 3
B 
1

5

–9
5 9 3
Rpta.: –1
8 . Efectuar:
3 2 3 9 5 




3
– 1

3
–
4

3 

Rpta.: 0
5 3 5 9 4 

4 . Calcular el valor de M+N.
M=
3

5

–4
5 4 7 9 . Calcular el valor de A+B.
Rpta.: 11/15
N=
9

–8

4

1 A 
4

–2
; B 
2

4
8 3 3 7
Rpta.: –1
9 3 5 15
Rpta.: 5/6
5 . Calcula el valor de AB C.
10 . Calcular el valor de P+Q.
P 
3

–5
; Q 

1

–1
A=
1

4
2 5
B=
–4

3
9 2
11 . Operar:
4 2 10 2
Rpta.: –2/5
C=
–1
6 1 3 10 1 4
3 Q   –  

Rpta.: 8/15
2 5 9 5 5 

Rpta.: 6/5
ÁLGEBR A - II

25. 69
 

12 . Operar:
F 
10
2

15
–
1

6 
15 . Determinar el valor de:
2 1 
13 5 4 6 5  –
A=
3 5 

4
1– 1  3
13 . Reducir:
Rpta.: 100/169 



16 . Calcularel valor de:
15  

Rpta.: 2/3
1 – 1 

1 10 3 1 16 2 

2 M=  –

 1


 
2 1  5
3 12 
5 3 5 10 2
Rpta.: –41/6
Rpta.: –10/9
14 . Efectuar:
1 3 
4 2  7
 
1 – 1  3
6 2 

Rpta.: –9/4
En un estudio realizado por científicos suecos y húngaros se descubrió que la piel rayada de las
cebras resulta “poco atractiva” , por lo tanto mantiene alejadas a las moscas.
La profesora Susanne Akesson, de la Universidad de Lund (Suecia) expilco: -”Comenzamos
estudiando caballos negros, marrones y blancos, y descubrimos que obteníamos luz polarizada
horizontalmente de los de piel oscura, un efecto muy atractivo para las moscas” .
Álgebra

26. Álgebra
70
1 . Resolver:
5
 –5 – 1

1
7 . Reducir:
A= 1
–4
  1
1
6
8 8 2 2 8 5 10 3 5
A) 0 B) 1/2 C) 1 A) 5/2 B) 7/2 C) 2/5
D) 3/4 D) – 2/5
2 . Resolver:
7
– 2  7

2
8 . Calcular el valor de A–B.
A=1
1

1
B=
5

3
3 5 3 5 2 3 3 2
A) –1 B) 0 C) 1 D) 2
3 . Hallar el valor de:
A) –4/3 B) –5/3 C) 0 D) 1/3
9. Hallar el valor de P÷Q.
A=
3

10

2

9 P= 1 – 1 
5
Q=
1
–
3
5 7 9 7 4 6  12 15 15
A) 1/7 B) 8/7 C) 5/7
D) 4/7
4 . Hallar el valor de:
A) 1/4 B) –3/4 C) –3/8 D) 1
10 . Efectuar:
R=
–1
 1  5 3
 12 3
2 3

9 3 2 2
5
2– 1 1 

A) 2/13 B) –1/39 C) 1/9
D) –1/9
5 . Efectuar:
T=
–2

2

6

5
3 9 2 2
A) 0 B) –1 C) 1 D) 2
6 . Reducir:
–2
1
–14

5
7 3 3 9
A) 1 B) 8/9 C) 7/9
D) 1/9
A) –5/3 B) –5/2 C) –1/5 D) 2/5
11 . Tania pintó los 2/5 de una pared, su hijo pintó 1/4 y su
sobrino 3/10 de la misma pared. ¿Qué parte de la
pared falta?
A) 1/20 B) 2/5 C) 1/10 D) 5/23
12 . Un tanque tiene una capacidad de 4000 L. Un caño “A”
lo llena en 6 horas, otro caño “B” en 8 horas y un
desagüe “C” lo vacía en 4 horas. Si el tanque está
vacío y las tres llaves abiertas. ¿En cuánto
tiempo se llenará el tanque?
A) 12 h B) 1/12 h C) 1/24 h
D) 24 h

27. 71
Álgebra
1 . Efectuar:
7
–
1

1
3 2 4
7 . Efectuar:
5

25
1
4 16
A) 25/12 B) 1/2 C) 1/4
D) 7/20 E) 1/20
A) 9/5 B) 9 C) 5
D) 1 E) 2
2 . Calcular:
B=
7

3
– 3
2 4
8 . Calcular:
3

9
–
1
7 7 3
A) 5 B) 4 C) 1/4 A) 15 B) 16 C) 19
D) 3/5 E) 5/4 D) 20 E) 0
3 . Calcular A.
A=
38

625
9 . Efectuar:
3

49
–
4

16
125 19 7 9 3 3
A) 9 B) 10 C) 38 A) 12/25 B) 25/12 C) 4/9
D) 25 E) 38/5 D) 1/7 E) N.A.
4 . Calcular:
B=
25

18
– 2
9 5
10 . Calcular el valor de B.
36
B= 5 5
A) 4 B) 3 C) 8
D) 7 E) 6
5 . Efectuar:
4

7

7
 3
9 4 7
1 –1
2 4
A) 36/5 B) 36 C) 5
D) 36/7 E) 36/8
A) 4 B) 9 C) 3
D) 1 E) 1/3
6 . Efectuar:
3
8 
5
9
4 3
A) 20 B) 21 C) 22
D) 40 E) 42
• Alumno(a) :
• Curso : • Aula :
• Profeso
r
: