Multiplicacion y division de enteros

1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS

2. En un tanque entra y sale agua a razón de 10 litros por
minuto. ¿Cuánto de agua salió en 3 minutos? ¿Cuánto
de agua ingreso en 2 minutos?
Buscando la solución
a)Salió agua durante 3 minutos: (+10) . (-3) = -30
b)Ingresó agua durante 2 minutos: (+10) . (+2) = +20
Observamos que:
Si los números enteros tienen igual signo, el
resultado es positivo.
Pero si tienen distinto signo, el resultado es
negativo.
Multiplicación en Z
Situación Problemática No. 1

3. 3
Situación Problemática 2
Cada vez que va al cine gasta 6 euros
(a) (–7) ·(+ 9) = – 63
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número
entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos
de los factores.
Otros ejemplos:
– 6
(c) (– 13) · (+4)= –52
(b) (+12) · (–12) = –144
Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha
gastado después de haber ido tres veces?
Va tres veces + 3
Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18
Gráficamente:
0 +6 +12–24 –18 –12 –6
–6–6 –6

4. 4
Hay cuatro posibilidades:
(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63
(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63
Regla de los signos:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.Observa:
2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo.
El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.
(a) (+5) · (– 1) = –55
Otros ejemplos:
(b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27
Recuerda en la multiplicación
de números enteros:

6. REGLA DE SIGNOS PARA
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.

7. (+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3
Pueden darse cuatro casos:
(+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8
(–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7
(–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6
Regla de los signos:
+ : + = +
+ : – = –
– : + = –
– : – = +
Es la misma
que para la
multiplicación
Observación: El paréntesis es necesario
cuando se divide por un número negativo.
En cualquier otro caso se puede obviar.

9. 9
PROPIEDADES DE
LA
MULTIPLICACIÓN
EN Z
CONMUTATIVA
El producto de dos números
enteros no varía cuando se cambia
el orden de los factores.
(– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27
(+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48
DISTRIBUTIVA:
El producto de un número entero por
una suma es igual a la suma
de los productos del número entero
por cada uno de los sumandos
–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7
Elemento Neutro de la
multiplicación es el 1.
a.1 = a
Elemento Absorbente de la
Multiplicación es el 0.
a.0=0
ASOCIATIVA:
La suma de tres números enteros
no varía cuando
se asocian los términos de modos
distintos
[10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) +
(– 2)]

10. 10
Operaciones combinadas. Resumen
Resumimos con los siguientes casos:
–12 + (–3) · (+4) + (–9)
[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)
–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]
[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)]
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Observa que en todos los casos
hay los mismos números y operaciones.
Cambia la situación de los paréntesis
= –12 + (–12) + (–9) = –33
= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69
= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3
= –15 · (–5) = 75

11. Operación Combinada:
{ (- 40)( - 1) : ( - 8)} : (- 1) =
{ (+ 40) : ( - 8) } : ( - 1) =
( - 5) : ( - 1) =
= + 5

12. 12
Resolución de problemas
Tantear para comprender mejorPrimero:
Hacer una tablaSegundo:
Comprobación.Tercero:
La suma es: –4 + (–15) = –19.
Que son las condiciones requeridas.
No puede ser, pues su producto debe ser 60.
¿Por qué no valdrían dos números positivos?
Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290.
¿Has advertido que
para que el producto sea
60, los dos números deben
ser negativos?
Negativos que sumen 19 1, 18 2, 17 3, 16 4, 15 5, 14 6, 13
Negativos de producto 60 1, 60 2, 30 3, 20 4, 15 5, 12
Luego, los números buscados son –4 y –15.
Su producto vale: (–4) · (–15) = 60

13. 13
Resolución de problemas
800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725
Leemos el enunciadoPrimero: Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?
Representamos gráficamente.Segundo:
+25 durante 15 min.
-30
Hacer los cálculos respectivos.Tercero:
Comprobamos.Cuarto:
Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)
En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.
Quedan entonces: 800 – 75 = 725.
Hay 800 l
Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior
un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por
otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el
depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

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Espero que hayas aprendido
Lic. Gladys Tacilla Calua