Recursos Didácticos para Profesor

Recursos Didácticos para el Profesor
PROHIBIDA
SU VENTA
FORMACIÓN
ACADÉMICA
Pensamiento Matemático
Recursos
Didácticos
para
el
Profesor
santillanacontigo.com.mx
Matemáticas 3. Recursos didácticos
para el profesor de la serie Espacios Creativos es
una obra especialmente diseñada para acompañarlo en su
trabajo. Este material contiene, entre otros, los siguientes
recursos didácticos:
• Descripción del Modelo Educativo para la educación
obligatoria y del mapa curricular
• Propuestas de dosificación de los aprendizajes
esperados
• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales
y solucionario
• Reproducción del libro del alumno con respuestas
de todas las actividades
Estamos seguros de que este libro será un valioso apoyo
para su labor cotidiana en el aula.
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
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FORMACIÓN
ACADÉMICA
PROHIBIDA
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Aprendizajes Clave para la Educación Integral
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fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo
de la Dirección General de Contenidos.
• Fotografía de portada Abraham Solís Saldaña
• Ilustración Ismael Segura Posadas
• Fotografía Shutterstock, Gettyimages
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3. Recursos
didácticos para el profesor de la serie Espacios Creativos son propiedad del editor. Queda
estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o
método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
Autor del libro del alumno: Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
Autor del libro de recursos didácticos para el profesor: Emmanuel Alba Arzate ,
María Jocelyn Lizzet Hernández Romero, Dalibor José Trnka Rodríguez
D.R. © 2021 EDITORIAL SANTILLANA S.A. DE C.V.
Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C.P. 03240,
alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México
ISBN: 978-607-01-4783-8
Primera edición: mayo de 2021
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 802
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El planteamiento curricular del Modelo Educativo 2017 tiene como propósito lograr una
formación humanista, integral y de calidad de los alumnos; para ello, la educación debe con-
tribuir aldesarrollo de los estudiantes en lo cognitivo, físico, social y afectivo, en condiciones
de igualdad; para que participen activamente en sociedad y se adapten a entornos cam-
biantes y diversos. Por lo anterior, los programas de estudio se enfocan en los aprendizajes
clave y en fortalecer los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores que les
permitan aprendera aprender.
Ante este desafío, y con el propósito de acompañar a los docentes en el uso del libro del
alumno, Editorial Santillana presenta Matemáticas 3. Recursos didácticos para el profesor,
en el que ofrece diferentes recursos didácticos que se describen a continuación:
• Modelo Educativo. Se describen el planteamiento curricular, los principios pedagógicos
y los componentes curriculares.
• Mapa curricular. Se presenta la organización curricular para el nivel educativo de se-
cundaria, los grados y los tres componentes del Modelo Educativo 2017: Formación
académica, Desarrollo personal y social y Autonomía curricular.
• La evaluación. Se explica la importancia de la evaluación formativa para coadyuvar al
desempeño de los alumnos a lo largo del curso.
• Dosificación trimestral. Se incluyen propuestas de dosificación trimestral para el calen-
dario escolar de 190 días de clase.
• Evaluación diagnóstica. Se proporciona un instrumento para identificar las áreas de
oportunidad de los escolares y, con base en la información que este arroje, planear es-
trategias didácticas oportunas.
• Evaluaciones trimestrales. Se sugieren distintos reactivos que se pueden emplear en la
evaluación del trimestre.
• Respuestas. Es un solucionario de las evaluaciones de este libro.
• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades
del libro del alumno.
• Reproducción dellibro delalumno, con las respuestas de todas las actividades.
Esperamos que este material se convierta en un referente para el trabajo que realiza en el
aula día a día.
Recursos Didácticos para el Profesor III
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Modelo Educativo
La educación básica es el pilar social de nuestro país y debe beneficiar a los mexicanos
desde muchas áreas y con un mismo fin: educación equitativa y de calidad.
Con este objetivo, la Secretaría de Educación Pública elaboró el Modelo Educativo para la
educación obligatoria, en el que se proyecta el desarrollo potencial de los niños, las niñas
y los jóvenes con el fin de formar ciudadanos libres, responsables e informados. No es una
tarea fácil; sin embargo, se pretende alcanzar la meta gracias a una reorganización del sis-
tema educativo en cinco ejes indispensables, que se describen a continuación.
• Planteamiento curricular. Este eje, de enfoque humanista, ensambla todos los niveles
de la educación básica, desde preescolar hasta bachillerato, para un desarrollo integralde
los aprendizajes clave. Con esto se espera que los estudiantes adquieran herramientas
para construir conocimientos a lo largo de la vida; es decir, que aprendan a aprender.
Además de lo anterior, este eje pone énfasis en el desarrollo de las habilidades socioe-
mocionales, importantes también en el crecimiento y desarrollo personal, no solo de la
vida académica, sino de la vida familiar, social y laboral.
Aunado a lo anterior, y con conocimiento de que nuestro país es rico en diversidad, tam-
bién se deja un margen de autonomía curricular. Así, cada comunidad escolar pondrá
un interés especial en las áreas de oportunidad que deben abordarse y concretar con
éxito el desarrollo de los aprendizajes clave en los alumnos.
• La escuela al centro del sistema educativo. La escuela, como unidad básica de
organización del sistema educativo, es primordial en este eje, pues debe enfocar-
se en alcanzar el máximo desarrollo de todos los estudiantes. Se plantea también
una escuela que deja de lado la organización vertical para convertirse en un centro de
desarrollo horizontal en el que cabe toda la comunidad escolar.
Al trabajar de manera
colaborativa, los es-
tudiantes aprenden a
comunicar y argumentar
sus puntos de vista, a
escuchar ideas distintas
y a negociar. Lo que les
permite ampliar su co-
nocimiento y desarrollar
habilidades sociales.
IV Recursos Didácticos para el Profesor
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• Formación y desarrollo profesional docente. El Modelo Educativo describe al docen-
te como un profesional centrado en el aprendizaje de los alumnos, capaz de generar
y mantener ambientes de aprendizaje incluyentes, comprometido con la mejora
constante de su práctica y preparado para adaptar el currículo a las necesidades de
su contexto.
• Inclusión y equidad. Estos principios son básicos para eliminar del sistema educativo
las barreras para el acceso, la participación, la permanencia, el egreso y el aprendizaje
de todos los estudiantes, y para que estos cuenten con oportunidades efectivas para el
aprendizaje sin importar su contexto social y cultural.
Estos principios deben verse reflejados en la adaptación del espacio físico para facilitar
la movilidad de todos los miembros de la comunidad educativa; en la adecuación cu-
rricular que los profesores deben realizar para atender las necesidades educativas de
todos sus alumnos y en la transformación del aula en un espacio de convivencia armó-
nica que abone a la cultura de la diversidad.
• La gobernanza del sistema educativo. En este último eje se definen los mecanis-
mos institucionales para una gobernanza efectiva y la participación de los actores y
los sectores de la sociedad que intervienen en el proceso educativo, así como la coor-
dinación que existe entre ellos: el gobierno federal, las autoridades educativas locales,
el sindicato, las escuelas, los docentes, los padres de familia, la sociedad civil y el
Poder Legislativo.
Con los ejes anteriores se busca que todos los alumnos reciban una educación flexible a
sus necesidades, de calidad, integral e inclusiva que los prepare para vivir en la sociedad
del siglo XXI.
La escuela debe con-
vertirse en un espacio
incluyente donde se
respete la diversidad y
se garantice el acceso y
permanencia de todos
los estudiantes.
Recursos Didácticos para el Profesor V
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Principios pedagógicos
En el Modelo Educativo 2017 se reconoce que los docentes tienen una función esencial
en el aprendizaje de los niños y los adolescentes, y que su papel en el aula es la de un
mediador que contribuye a la construcción de ambientes que favorezcan que sus alumnos
convivan de manera armónica y alcancen los aprendizajes esperados para cada asigna-
tura, área o ámbito.
Con el propósito de que los profesores puedan cumplir plenamente con su papel en las
aulas al implementar los nuevos programas, en el documento Aprendizajes clave para la
educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica se proponen
catorce principios pedagógicos que se enumeran a continuación:
4
Conocer los intereses
de los estudiantes.
5
Estimular la motiva-
ción intrínseca del
alumno.
6
Reconocer la natu-
raleza social del
conocimiento.
1
Poner al estudiante
y su aprendizaje en
el centro del proceso
educativo.
2
Tener en cuenta los
saberes previos del
estudiante.
3
Ofrecer acompaña-
miento al aprendizaje.
VI Recursos Didácticos para el Profesor
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Además de lo anterior, para promover el aprendizaje debe existir un espacio determinado
con un conjunto de factores que favorezcan la interacción social e influyan de manera
positiva en la construcción de conocimientos y en el desarrollo de habilidades, actitudes y
valores.
13
Apreciar la diversidad
como fuente de rique-
za para el aprendizaje.
14
Usar la disciplina
como apoyo al
aprendizaje.
10
Valorar el aprendizaje
informal.
7
Propiciar el aprendi-
zaje situado.
8
Entender la evalua-
ción como un proce-
so relacionado con
la planeación del
aprendizaje.
9
Modelar el
aprendizaje.
11
Promover la
interdisciplina.
12
Favorecer la cultura
del aprendizaje.
Recursos Didácticos para el Profesor VII
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Mapa curricular
Aprendizajes clave para el desarrollo integral
Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desa-
rrollo integral de los estudiantes, pues, en conjunto, serán las herramientas para un pleno
desarrollo de vida.
En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en tres
componentes curriculares de la educación básica, que se describen a continuación:
1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Matemático
y Exploración y Comprensión del Mundo Natural y Social.
2. Áreas de Desarrollo personal y social. Que incluyen específicamente Artes, Educación
Socioemocional y Educación Física.
3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación académi-
ca, potenciar el desarrollo personal y social, fomentar nuevos contenidos relevantes y
conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.
Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad y que sean
aptos para identificar sus debilidades y sus fortalezas y reconozcan como iguales en digni-
dad y en derechos a todos los seres humanos.
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Proyectos
Conocimientos
regionales
“Componentes curriculares de
la educación básica”, tomado del
Acuerdo 20/11/19 publicado en 2019
en el Diario Oficial de la Federación.
VIII Recursos Didácticos para el Profesor
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A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.
La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de Formación Pensamiento
Matemático y pertenece al componente Formación académica.
* Definición a cargo de la escuela con base en los lineamientos expedidos por la SEP
Componente curricular
Nivel educativo
Secundaria
Grado escolar
Campos
y
asignaturas
1º 2º 3º
Lengua Materna (Español)
Lengua Extranjera (Inglés)
Matemáticas
Ciencias:
Biología Física Química
Geografía
Historia
Formación Cívica y Ética
Tecnología
Áreas
Artes
Tutoría y Educación Socioemocional
Educación Física
Ámbitos
Ampliar la formación académica
Potenciar el desarrollo personal y social
Nuevos contenidos relevantes
Conocimientos regionales
Proyectos de impacto social
Profundización
FORMACIÓN
ACADÉMICA
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Recursos Didácticos para el Profesor IX
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La evaluación
La evaluación, aunque siempre se ubica como un satélite dependiente del aprendizaje,
debe verse como parte importante del proceso; es decir, debe considerarse como un factor
indispensable en la construcción de conocimientos.
De acuerdo con lo anterior, la propuesta que se proyecta en el Modelo Educativo deja muy
marcada la idea de que la evaluación ayuda en la planeación de la enseñanza, ya que con
los resultados de esta se obtiene la base para hallar la zona de desarrollo próximo de los
alumnos y, con ello, plantear opciones que permitan a cada estudiante aprender y progre-
sar desde donde está.
La evaluación también puede ayudar a medir si las condiciones pedagógicas son óptimas
o deben adaptarse para conseguir mejores resultados. Además, por supuesto, la evalua-
ción ayuda a identificar si se lograron los aprendizajes esperados.
En este sentido, la evaluación del aprendizaje tiene en cuenta tres variables: las situaciones
didácticas, las actividades del alumno y los contenidos. Por tanto, debe considerarse como
un paso elemental del proceso pedagógico, por lo que no tiene un carácter exclusivamente
conclusivo o sumativo. Por el contrario, busca conocer cómo los estudiantes organizan su
pensamiento y usan sus aprendizajes en contextos determinados. Además, contribuye a
la autorregulación cognitiva, pues realimenta al educando con argumentos claros y cons-
tructivos sobre su desempeño.
Para diseñar y aplicar una evaluación se sugiere considerar lo siguiente:
• Delimitar el aprendizaje que se evaluará, incluyendo las actitudes y las habilidades de
los estudiantes.
• Establecer los criterios para la evaluación (aprendizajes esperados).
• Recabar varios instrumentos durante el proceso de aprendizaje, como pruebas escri-
tas, exposiciones orales, listas de cotejo, rúbricas, etcétera.
• Registrar lo evaluado con base en la información recopilada de los diferentes instrumentos.
• Analizar, realimentar, ajustar currículo o enfoque y modificar el proceso de enseñanza
para mejorar los resultados obtenidos en el aprendizaje de los escolares.
La evaluación de los aprendizajes es determinante para la buena gestión del currículo, es-
pecialmente porque permite saber en qué medida los alumnos logran el dominio de los
aprendizajes establecidos para cada grado y nivel educativo.
Para que la evaluación cumpla su papel como parte del proceso de aprendizaje, se debe
realizar en tres momentos específicos:
Evaluación diagnóstica. Se aplica en el comienzo del ciclo escolar y de cada secuencia
didáctica para hacer un balance de las habilidades, las actitudes y los saberes de los edu-
candos. Este es el punto de partida en el proceso de aprendizaje y es recomendable apro-
vecharlo para identificar las necesidades de los estudiantes.
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Evaluación formativa. Se realiza durante el desarrollo de la secuencia didáctica con el
propósito de observar los avances de los aprendizajes esperados e identificar dificultades
y aspectos que cada estudiante requiere fortalecer. La evaluación formativa fortalece la
responsabilidad de los educandos en sus procesos de aprendizaje, ya que la reflexión les
ayuda a comprender si están aprendiendo y cómo lo están logrando.
Esta evaluación también favorece la toma de conciencia de las estrategias de aprendizaje y
ayuda al maestro a encontrar pistas para construir modelos de acción personal y técnicas
para la resolución de problemas (argumentar de manera informada, analizar situaciones); así
como generar instrumentos para enmendar el rezago académico.
Evaluación sumativa. Se realiza en el cierre de cada secuencia didáctica y al final del
trimestre con el propósito de observar el desempeño de cada alumno. Sirve para tomar
decisiones sobre la manera de apoyar a los escolares en la siguiente etapa y aporta
elementos para asignar una calificación.
Una vez planteados los tres momentos de evaluación, se debe buscar con qué instrumento
evaluar. Entre las herramientas más comunes encontramos las siguientes:
• Autoevaluación: Es un proceso metacognitivo en el que el alumno evalúa su desempe-
ño para descubrir el acierto con la finalidad de repetirlo, y el error con el fin de evitarlo y
aprender de él.
• Coevaluación. Es el proceso en el que los estudiantes se evalúan entre ellos. Se centra
en los aspectos favorables, con el objetivo de desarrollar el pensamiento crítico de los
escolares y una actitud abierta y de escucha hacia las observaciones de los demás.
• Rúbricas. Son una matriz de valoración, es decir, una lista de criterios e indicadores que
permite valorar el logro de los aprendizajes esperados y de temas particulares. Son un
apoyo para que el docente dé seguimiento y registre el progreso de cada alumno o de
todo el grupo en relación con los niveles de desempeño esperados.
• Exámenes. Estos deben puntualizar
los aspectos que se van a evaluar. Por
ejemplo, una prueba de opción múlti-
ple explora los aprendizajes de carácter
conceptual, así como algunas habilida-
des cognitivas y la toma de postura ante
dilemas morales.
En conclusión, aunque con frecuencia
hemos centrado la evaluación en otorgar
una calificación al alumno, el nuevo enfo-
que brinda un panorama en el que todos
los participantes, instrumentos y momen-
tos de la evaluación son igual de impor-
tantes, pues ayudan a la construcción de
aprendizajes.
Mediante la autoeva-
luación los alumnos
reconocen su nivel de
logro y sus áreas de
oportunidad respecto de
los aprendizajes espera-
dos, lo que les permite
plantear estrategias para
mejorar su desempeño.
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Dosificación
190 días de clase
Trimestre 1
Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro delalumno
1 Evaluación diagnóstica
2
Determina y usa los
criterios de divisibilidad y
los números primos.
1. Divisibilidad entre
2, 5 y 10
1. Resuelve problemas para formular el criterio de divisibilidad
entre 2.
2. Resuelve problemas para formularelcriterio de divisibilidad
entre 5 y 10.
3. Usa criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10 en la resolución
de problemas.
20 a 25
3
3, 4 y 6
1. Resuelve problemas para formular los criterios de
divisibilidad entre 3 y 6.
2. Resuelve problemas para formular el criterio de divisibilidad
entre 4.
3. Usa criterios de divisibilidad entre 3, 4 y 6 en la resolución
de problemas.
26 a 31
3. Números primos
y números
compuestos
1. Caracteriza números primos.
2. Caracteriza a los números compuestos.
32 a 35
4
Usa técnicas para
determinar el mcm y el
MCD.
4. mcm y MCD
1. Emplea los números primos para hallar el mínimo común
múltiplo (mcm).
2. Emplea los números primos para hallar el Máximo Común
Divisor (MCD).
3. Calcula el mcm y el MCD de diferentes números.
36 a 41
5
5. mcm y MCD
en contextos
continuos y
discretos
1. Resuelve problemas utilizando el mcm y el MCD en
contextos continuos.
2. Resuelve problemas utilizando el mcm y el MCD en
contextos discretos.
42 a 45
Uso de la tecnología 46 y 47
6
Usa técnicas para
determinar el mcm y el
MCD.
6. Generalización
de propiedades
algebraicas
1. Usa literales para generalizar la suma de números
naturales consecutivos.
2. Generaliza criterios de divisibilidad mediante sumas de
números naturales consecutivos.
48 a 51
7
Formula expresiones
de segundo grado
para representar
propiedades del área de
figuras geométricas y
verifica la equivalencia
de expresiones, tanto
algebraica como
geométricamente.
7. Expresiones
algebraicas de
áreas
1. Resuelve problemas que permitan producir expresiones
equivalentes al área de una composición geométrica.
equivalentes al área de una composición geométrica.
3. Resuelve expresiones que permitan producir expresiones
equivalentes a su solución. Resalta la importancia de la
verificación algebraica.
equivalentes dada una composición geométrica o
viceversa.
52 a 59
8
8. Equivalencia en las
fórmulas del área
(triángulo y rombo)
1. Establece la equivalencia de las fórmulas para el cálculo
del área de figuras geométricas como el triángulo y el
rombo. Usa la jerarquía de las operaciones.
del área de figuras geométricas como el trapecio. Usa la
jerarquía de operaciones.
del área de polígonos regulares. Usa la jerarquía de las
operaciones.
60 a 65
XII Recursos Didácticos para el Profesor
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Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro delalumno
9
Construye polígonos
semejantes. Determina y
usa criterios de semejanza
de triángulos.
9. Semejanza
1. Construye el concepto de semejanza en geometría.
2. Construye polígonos regulares semejantes.
3. Construye polígonos regulares semejantes.
4. Construye polígonos irregulares semejantes.
5. Construye polígonos irregulares.
66 a 75
10
10. Semejanza de
triángulos
1. Construye e identifica triángulos semejantes I.
2. Construye e identifica triángulos semejantes II.
3. Formula los criterios de semejanza de triángulos.
4. Identifica y usa, en la resolución de problemas, la
semejanza de triángulos para el cálculo de distancias.
76 a 83
11
Compara la tendencia
central (media, mediana y
moda) y dispersión (rango
y desviación media) de dos
conjuntos de datos.
11. Medidas de
tendencia central y
de dispersión
1. Resuelve problemas que impliquen interpretar las medidas
de tendencia central de un conjunto de datos, resaltando
el papel de la media aritmética como representante del
conjunto de datos.
2. Resuelve problemas que impliquen interpretar las medidas
de tendencia central de un conjunto de datos, resaltando
el papel de la media aritmética como representante del
conjunto de datos.
3. Resuelves problemas que impliquen el análisis de las
medidas de dispersión, en particular, el rango de un
conjunto de datos.
4. Resuelve problemas que impliquen el análisis de las
medidas de dispersión, en particular, la desviación media
de un conjunto de datos.
medidas de dispersión en particular, la desviación media
de un conjunto de datos.
86 a 95
12
12. Tendencia central
y dispersión en
conjuntos de datos
medidas de dispersión dados dos conjuntos de datos.
medidas de tendencia central dados dos conjuntos de
datos.
medidas de dispersión dados dos conjuntos de datos e
interpreta las medidas de tendencia central.
96 a 101
13
¿Cómo lo hicimos? 102 y 103
Evaluación del trimestre 1
Recursos Didácticos para el Profesor XIII
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Trimestre 2
Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro delalumno
14
Resuelve problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones cuadráticas.
13. Formulación
de ecuaciones
cuadráticas
1. Formula ecuaciones cuadráticas.
2. Formula ecuaciones cuadráticas del tipo Ax2
1 C = 0.
3. Formula ecuaciones cuadráticas de segundo grado.
4. Formula ecuaciones cuadráticas incompletas.
106 a 113
15
14. Resolución de
ecuaciones
cuadráticas
incompletas, por
ensayo y error.
1. Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas, por ensayo
y error.
2. Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas aplicando
el método por ensayo y error.
3. Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por el
método gráfico.
4. Resuelve ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.
5. Resuelve ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.
114 a 123
16
Analiza y compara
diversos tipos de
variación a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que
resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de otros
contextos.
15. Interpretar
funciones de
llenado de
recipientes
1. Interpreta cualitativamente diferentes tipos de funciones a través
de su representación gráfica (llenado de recipientes).
de su representación gráfica (de movimientos, trayectos, etc.).
de su representación gráfica.
124 a 129
17
16. Diversos tipos de
funciones “sin
fórmula”
1. Interpreta y analiza gráficas que representan diversos tipos de
funciones. Infiere la situación que representan (escalonadas, sin
fórmula).
2. Interpreta y analiza gráficas que representan diversos tipos
de funciones. Infiere sobre la situación que representan
(escalonadas, sin fórmula).
funciones. Infiere sobre la situación que representan (formadas
por secciones rectas y curvas).
funciones. Infiere y anticipa sobre la situación que representan
(formadas por secciones rectas y curvas).
130 a 137
18
Analiza y compara
diversos tipos de
resultan de modelar
contextos.
17. Gráficas basadas
en datos
tabulados
1. Construye gráficas de variación lineal o afines, considerando
datos tabulados. Completa tablas de datos.
2. Construye gráficas de variación lineal o afines considerando los
datos tabulados y completa tablas de datos.
3. Construye gráficas que corresponden a funciones formadas por
secciones rectas y curvas.
4. Construye gráficas que corresponden a funciones escalonadas o
sin fórmula.
140 a 147
19
Diferencia las
expresiones algebraicas
de las funciones y de las
ecuaciones.
18. Diferencia
entre expresión
algebraica,
funciones y
ecuaciones
1. Diferencia entre expresiones algebraicas, funciones y
ecuaciones.
2. Diferencia entre expresiones algebraicas, funciones y
ecuaciones.
148 a 151
Formula, justifica y usa el
teorema de Pitágoras.
19. Teorema de
Pitágoras
1. Justifica numéricamente el teorema de Pitágoras.
2. Justifica geométricamente el teorema de Pitágoras.
3. Aplica lo aprendido sobre el teorema de Pitágoras e investiga
diferentes maneras de demostrarlo.
152 a 157
20
20. Uso del teorema
de Pitágoras
1. Resuelve problemas donde se use el teorema de Pitágoras
como una propiedad del triángulo rectángulo.
2. Resuelves problemas donde se use el teorema de Pitágoras
para calcular distancias o longitudes.
3. Resuelve problemas donde se use el teorema de Pitágoras en
diversos contextos.
4. Resuelve problemas donde se use el teorema de Pitágoras.
158 a 165
XIV Recursos Didácticos para el Profesor
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Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro delalumno
21
Resuelve problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
21. Razones
trigonomé-
tricas
1. Formula la razón trigonométrica seno en la resolución de
problemas.
2. Formula la razón trigonométrica coseno en la resolución de
problemas.
3. Formula la razón trigonométrica tangente en la resolución de
problemas.
166 a 171
22
22. Cálculo de las
razones seno,
coseno
y tangente
1. Usa, en la resolución de problemas que involucran triángulos
rectángulos, las razones trigonométricas: sen, cos y tan.
2. Calcula las razones trigonométricas sen, cos y tan.
3. Profundiza en el cálculo de las razones trigonométricas.
172 a 177
23
Compara la tendencia
central(media, mediana
y moda) y dispersión
(rango y desviación
media) de dos
conjuntos de datos.
23. Dispersiones
iguales y
medias
diferentes
1. Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos
para identificar sus dispersiones (iguales o muy cercanas) y las
medidas de tendencia central (medias o medianas respectivas
muy diferentes).
2. Analiza situaciones de comparación de conjuntos de datos en
los que sus dispersiones son iguales o muy cercanas, pero las
medias o medianas respectivas muy diferentes.
3. Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos en
lo que sus dispersiones son iguales o muy cercanas, pero las
medias o medianas respectivas muy diferentes.
180 a 185
24
24. Dispersiones
muy diferentes
y medias
iguales
(resolución)
1. Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos para
identificar sus dispersiones (muy diferentes) y las medidas de
tendencia central (las medias o medianas respectivas son iguales
o muy cercanas).
2. Analiza situaciones de comparación de conjuntos de datos en
lo que sus dispersiones son muy diferentes, pero las medias o
medianas respectivas iguales o muy cercanas.
3. Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos en
lo que sus dispersiones son muy diferentes, pero las medias o
medianas respectivas iguales o muy cercanas.
186 a 191
Calcula la probabilidad
de ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
25. Distinguir
eventos
singulares
1. Distingue eventos singulares y no singulares en situaciones de
probabilidad.
2. Define y entiende que un evento no singular ocurre cuando el
resultado es uno de sus elementos.
192 a 195
25
26. Probabilidad
de eventos
no singulares
(definición
clásica)
1. Resuelve problemas que impliquen calcular la probabilidad de
eventos no singulares usando la definición clásica.
eventos no singulares usando el enfoque frecuencial.
eventos no singulares usando la definición clásica o el enfoque
frecuencial.
196 a 201
Recursos Didácticos para el Profesor XV
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Trimestre 3
Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro delalumno
26
Resuelve problemas
27. Ecuaciones
cuadráticas de
la forma
x(ax 1 1) = 0
1. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas de la
forma x(ax 1 1) = 0 mediante factorización.
forma (ax 1 b)2
= 0 mediante factorización.
forma (ax 2 b)2
= 0 mediante factorización.
206 a 211
27
28. Ecuaciones
cuadráticas:
fórmula general
1. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas con la
fórmula general.
2. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas en las
cuales sea necesario analizar el discriminante.
3. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas en las
cuales se aplique el discriminante.
212 a 217
28
29. Formulación
y solución de
ecuaciones
cuadráticas
1. Resuelve problemas que impliquen la formulación y
solución de ecuaciones cuadráticas mediante diversos
procedimientos.
2. Resuelves problemas que impliquen la formulación y
solución de ecuaciones cuadráticas mediante diversos
procedimientos.
218 a 221
29
Analiza y compara
diversos tipos de
resultan de modelar
contextos.
30. Construcción
de gráficas
cuadráticas
1. Construye gráficas de variación cuadrática considerando
datos tabulados.
2. Construye gráficas de variación cuadrática considerando
datos tabulados.
3. Construye gráficas de variación cuadrática a partir de
completar tablas.
4. Construye gráficas asociadas a funciones cuadráticas.
222 a 229
30
31. Funciones
cuadráticas
1. Resuelve situaciones que se modelen con funciones
cuadráticas de la forma: y 5 ax2
; y 5 ax2
1 c.
2. Usa funciones cuadráticas de la forma y 5 ax2
1 bx 1 c,
y del tipo y 5 a(x 2 d)2
, para anticipar resultados o para
caracterizar este tipo de variación.
3. Caracteriza gráficas que representan funciones
cuadráticas. Identifica su simetría, la ubicación delvértice y
la existencia de un máximo y un mínimo.
230 a 235
31
32. Representaciones
de variación
cuadrática
1. Resuelve problemas de variación cuadrática que permitan
relacionar la representación gráfica y la expresión
algebraica correspondiente.
2. Construye gráficas asociadas a funciones cuadráticas.
3. Resuelve problemas de variación cuadrática que
permiten relacionar la representación algebraica con la
representación gráfica correspondiente y/o construirla.
236 a 241
XVI Recursos Didácticos para el Profesor
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Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro delalumno
32
Resuelve problemas
coseno y tangente.
33. Razones
trigonométricas y
su relación con el
ángulo
1. Analiza, haciendo uso de la semejanza de triángulos, que
elvalor de las razones trigonométricas depende del ángulo
en cuestión.
2. Calcula los valores: seno, coseno y tangente de ángulos
notables (0º, 30º, 60º).
3. Calcula los valores faltantes del seno, coseno y tangente
de ángulos notables (45º y 90º).
244 a 249
33
34. Razones
trigonométricas y
ángulos menores
o iguales que 90º
1. Analiza los valores posibles que pueden tener el seno,
coseno y la tangente de un ángulo menor o igual que 90º.
2. Resuelve problemas empleando ángulos notables
menores o iguales que 90º y razones trigonométricas.
250 a 253
34
35. Teodolito: cálculo
de distancias
1. Diseña un teodolito casero para calcular distancias reales
empleando razones trigonométricas.
2. Usa el teodolito casero para calcular distancias reales
empleando razones trigonométricas.
3. Usa las razones trigonométricas para el cálculo de
distancias inaccesibles.
254 a 259
35
Calcula la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes.
36. Eventos
mutuamente
excluyentes
1. Define y da ejemplos de eventos mutuamente excluyentes
en diferentes situaciones aleatorias.
2. Calcula la probabilidad de la unión de dos eventos
mutuamente excluyentes mediante la regla de la suma.
3. Resuelve problemas que impliquen calcular la probabilidad
de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
260 a 265
36
Evaluación final
Recursos Didácticos para el Profesor XVII
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Evaluacióndiagnóstica
Nombre:
Grupo: Número de lista:
1. Anota en cada paréntesis una “V” si la afirmación es verdadera o una “F” si es falsa.
( ) Cuando se multiplica un número por cinco, el resultado siempre termina en cero.
( ) Cualquier número par se puede dividir exactamente entre dos.
( ) El producto de (15)(15) es igual al producto de (25)(25).
( ) Si el valor de x es 23, entonces el valor de x2
es 29.
( ) En un triángulo rectángulo, dos de sus ángulos son agudos.
2. Encierra las cantidades que pueden repartirse entre dos personas en partes iguales.
a) ¿Qué regularidad encuentras en los números que marcaste?
3. Contesta.
a) ¿Qué números mayores que 37 y menores que 52 se pueden dividir exactamente entre 5?
b) ¿Cuáles son los números mayores que 383 y menores que 412 que pueden dividirse exactamente
entre 5?
c) Escribe seis números mayores que 1 000 y menores que 2 000 que puedan dividirse exactamente
entre 5.
d) ¿Qué regularidad encuentras en los números que escribiste?
4. Alan trabaja haciendo paquetes de lechugas. Pone 2 lechugas en los paquetes chicos y 5 en los grandes.
En una caja hay 345 lechugas, en otra 280 y en la tercera, 412.
a) ¿Cuántas lechugas tiene la caja con la que puede hacer cualquier tamaño de paquete sin que le sobre
alguna?
372 915 601 248
1 509
1 110 585
3 006 814
94 817
XVIII Recursos Didácticos para el Profesor
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5. Observa las medidas de los lados del cuadrado.
i. Subraya las formas de expresar la medida del perímetro.
A) P 5 n 1 n 1 n 1 n
B) P 5 4 1 n
C) P 5 (n) (n) (n) (n)
D) P 5 4n
ii. Subraya la fórmula que representa la medida del área.
A) A 5 n 1 n B) A 5 nn C) A 5 n 1 n D) A 5 nn
6. Analiza las medidas de los lados del rectángulo.
a) Escribe una forma de expresar la medida del perímetro del rectángulo.
b) Anota una manera de expresar la medida del área del rectángulo.
c) Si las medidas de los lados se expresan en centímetros y x 5 5...
i. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo?
ii. ¿Cuánto mide el área?
d) Si las medidas de los lados se expresan en metros y x = 10...
i. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo?
ii. ¿Cuánto mide el área?
n
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x 3
Recursos Didácticos para el Profesor XIX
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7. Escribe en cada paréntesis la letra de la respuesta correcta de acuerdo con el siguiente conjunto de datos:
13, 21, 17, 18, 16, 24, 19, 16, 17.
( ) ¿Cuál es la media?
A) 16 B) 17 C) 17.8 D) 18.1
( ) ¿Cuál es la moda?
A) 16 y 17 B) 16 C) 17 D) 17 y 18
( ) ¿Cuál es la mediana?
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19
( ) ¿Cuál es el rango?
A) 14 B) 13 C) 12 D) 11
( ) ¿Cuál es la desviación media?
A) 2.45 B) 2.32 C) 1.91 D) 1.83
8. Encierra todos los rectángulos cuyos lados sean proporcionales a los lados del rectángulo azul.
9. Analiza el triángulo rectángulo.
a) ¿Qué letra tiene el lado mayor?
b) ¿A qué ángulo se opone el lado mayor: al recto o a un agudo?

c) ¿Estas condiciones se presentan en cualquier triángulo rec-
tángulo?
c
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a
XX Recursos Didácticos para el Profesor
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10. La gráfica muestra la altura (h), en metros, que alcanza una pelota al ser lanzada desde el suelo en rela-
ción con el tiempo (t), en segundos, que dura su recorrido hasta volver a caer. Analiza la gráfica y subraya
la respuesta correcta.
i. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
A) 10 m B) 15 m C) 25 m D) 26 m
ii. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima?
A) 2 s B) 2.5 s C) 3 s D) 3.5 s
iii. ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?
A) 0 s B) 2.5 s C) 5 s D) 6 s
11. La gráfica muestra la posición de un cuerpo que se deja caer desde una altura de 300 metros del suelo en
relación con el tiempo transcurrido.
a) Aproximadamente, ¿cuánto tiempo tarda en caer al suelo?
b) Al pasar la mitad del tiempo que tarda en caer al suelo, ¿el cuerpo ha recorrido la mitad de la altura a la
que se dejó caer?
c) ¿Es constante la distancia recorrida por el cuerpo en relación con el tiempo transcurrido?
100
5
10
15
20
25
200
300
400
0
0
2
1
4
2
6
3 4 5 6
8 10
t (s)
t (s)
y (m)
h (m)
Recursos Didácticos para el Profesor XXI
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12. Completa la tabla con la medida del área de los círculos cuyo radio se indica. Luego traza la gráfica y con-
testa. Considera el valor de π 5 3.14.
Radio (r)
cm
Área (A)
cm2
1
2
3
4
13. Relaciona cada enunciado con la ecuación que la representa.
( )
Si un número se multiplica por sí mismo y al resul-
tado se le aumentan 10 unidades se obtiene 90.
A) xx 2 10 5 90
( )
Al producto de un número por sí mismo se le res-
tan 10 unidades y se obtiene 90.
B) x2
2 10 5 90
( )
Si un número es elevado al cuadrado y al resultado
se le quitan 10 unidades resulta 90.
C) xx 1 10 5 90
14. Calcula la medida de los lados de cada cuadrado.
i. Medida del lado 5 ii. Medida del lado 5 iii. Medida del lado 5
a) ¿Qué hiciste para determinar la medida de los lados de los cuadrados anteriores?
10
1
0 2 3 4 5
20
30
40
50
A 5 121 cm2
A 5 6.25 dm2
A 5
1
4
de m2
XXII Recursos Didácticos para el Profesor
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15. Resuelve las situaciones. Cada una tiene dos soluciones diferentes.
a) Alba multiplicó un número por sí mismo. Luego, al resultado le aumentó 5 y obtuvo 30.
• ¿Qué números multiplicó por sí mismos?
b) Renata elevó un número al cuadrado. Luego, al resultado le restó 10. De esta manera obtuvo 90.
• ¿Qué números pudo haber elevado al cuadrado?
c) Salvador obtuvo el doble del cuadrado de un número cuyo resultado es 450.
• ¿De qué números obtuvo el doble de su cuadrado?
16. Alba, Carolina, Carlos y Emmanuel sacan una bola al azar de una urna, como la que se muestra.
• Alba gana si la esfera tiene una vocal.
• Carolina gana si la esfera tiene una letra de la palabra “paz”.
• Carlos gana si la esfera tiene una letra de la palabra “peces”.
• Emmanuel gana si la esfera tiene una letra de la palabra “mundo”.
Contesta.
a) ¿Con cuántos resultados posibles gana Carolina?
b) ¿Con cuántos resultados posibles gana Emmanuel?
c) ¿Quién o quiénes tienen más posibilidades de ganar?
d) ¿Quién no tiene posibilidades de ganar?
e) ¿Quién gana si sale la esfera con la letra “A”?
f) ¿Quién gana si sale la esfera con la letra “Z”?
Z
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Evaluacióndeltrimestre1
Nombre:
1. Escribe en cada paréntesis la letra de la respuesta correcta.
( ) ¿Qué número es divisible entre 2, 3, 4 y 5?
A) 1 530 B) 1 545 C) 1 560 D) 1 575
( ) ¿Es el número de divisores que tiene un número primo?
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0
( ) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 90, 45 y 135?
A) 90 B) 135 C) 170 D) 270
( ) ¿Cuál es el máximo común divisor de 90, 45 y 270?
A) 15 B) 30 C) 45 D) 90
( ) ¿Cuál expresión representa la suma de tres números consecutivos?
A) 3x 1 3 B) 3x 1 2 C) 3x 1 1 D) 3x
( ) ¿Cuál expresión representa el área de toda la figura?
A) x2
17x 1 49
B) 2x2
1 14x 1 49
C) x2
1 14x 1 49
D) 2x2
1 28x 1 49
( ) ¿Cuál expresión es equivalente a x(x 2 3)?
A) x2
2 3x B) 2x 2 3x C) x2
2 3 D) 2x 2 3
( ) En dos rectángulos semejantes, ¿cuáles de sus elementos correspondientes son iguales?
A) Bases B) Alturas C) Lados D) Ángulos
( ) En dos triángulos semejantes un lado del primero mide 7 cm y el lado correspondiente en el segundo
triángulo mide 5 cm. ¿Cuánto mide el lado del segundo triángulo que le corresponde al que mide 4 cm
en el primero?
A) 2.85 cm B) 3 cm C) 5.5 cm D) 6 cm
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XXIV Recursos Didácticos para el Profesor
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( ) ¿En qué opción se muestran las medidas de tendencia central y de dispersión de los datos: 3, 6, 2, 8,
9, 12, 6, 7, 4, 8?
A) Media: 6.5
Mediana: 6.5
Moda: 6 y 8
Rango: 10
Desv. media: 2.3
B) Media: 6
Mediana: 6.5
Moda: 6
Rango: 12
Desv. media: 3.2
C) Media: 6
Mediana: 6.5
Moda: 8
Rango: 8
Desv. media: 2.3
D) Media: 6.5
Mediana: 6
Moda: 6 y 8
Rango: 10
Desv. media: 2.3
2. Raúl vende tacos en una fábrica. Para organizar sus ventas hace paquetes, cada uno con 2, 3, 4, 5 o 6
tacos. El lunes hizo 890 tacos; el martes, 1 360; el miércoles, 920; el jueves hizo 1 075 tacos y el
viernes, 1 440.
a) ¿Qué día hizo una cantidad de tacos con la que podía hacer cualquiera de los paquetes sin que le so-
brara ningún taco?
3. Jorge y sus tres primos integran una banda musical. Jorge toca la guitarra en periodos de 12 tiempos,
Antonio toca la batería en 8 tiempos, Alan toca el bajo en 6 tiempos y Emmanuel toca el saxofón en 16
tiempos.
a) Si todos inician al mismo tiempo, ¿en cuántos tiempos sus periodos volverán a iniciar juntos?
4. Cristina hace piezas cuadradas que se usan como bases para envolver regalos. Ella las corta de láminas
de fibracel que miden 1.32 m de largo y 1.08 m de ancho.
a) ¿Cuánto deben medir las piezas para que sean del mayor tamaño posible y sin desperdiciar material?
b) ¿Cuántas piezas obtendrá de una lámina?
5. Escribe dos expresiones que representen el área de la siguiente figura.
n
n
3
5
Área 5 Área 5
Recursos Didácticos para el Profesor XXV
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n

6. Anota tres expresiones que representen el área de la siguiente figura.
7. Traza dos polígonos semejantes al pentágono anaranjado que cumplan las siguientes condiciones.
a) Uno, en el que sus lados midan la mitad que los lados del pentágono original.
b) Otro, de manera que la medida de los lados se multiplique por
3
2
.
Área 5
Área 5
Área 5
a) Si x 5 7, ¿cuánto mide el área de toda la figura?

x
x
x 4
XXVI Recursos Didácticos para el Profesor
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8. Traza un triángulo semejante al siguiente con razón de semejanza
3
2
. Utiliza el menor número de
mediciones.
a) ¿Qué medidas utilizaste?
9. La maqueta de un proyecto de construcción de una unidad habitacional mide 1.5 m de largo y 90 cm de
ancho.
a) Si el largo del terreno de ese proyecto mide 275 m, ¿cuánto mide el ancho del terreno?
10. Una persona que mide 1.70 m de altura proyecta una sombra de 5 m a la misma hora que una antena pro-
yecta una sombra de 42.5 m.
a) ¿Cuál es la altura de la antena?
11. En las tablas se muestran los registros de inasistencias de dos grupos con el mismo número de alumnos,
de 20 días.
Grupo A
2 4 0 1 3 2 2 3 4 1
1 2 4 0 0 1 0 3 1 2
Grupo B
3 2 0 2 1 0 0 1 2 3
2 1 0 0 1 2 1 2 3 2
Completa la tabla.
Grupo Media Moda Mediana Rango Desviación media
A
B
a) ¿Qué grupo tiene mejor registro de asistencia? ¿Por qué?
Recursos Didácticos para el Profesor XXVII
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n

Nombre:
( ) El área de un círculo mide 78.5 cm2
. ¿Qué ecuación permite calcular la medida del radio (r) de ese
círculo?
A) πr 5 78.5 B)
πr
2
5 78.5 C) πr2
5 78.5 D) 2πr 5 78.5
( ) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 5x2
5 180?
A) 0 y 6 B) 6 y 26 C) 26 y 0 D) 6 y 21
( ) Un recipiente, como el que se muestra, se llena con un flujo constante de agua. ¿Qué gráfica muestra
el nivel del líquido en el recipiente en función del tiempo transcurrido?
( ) ¿En qué opción se muestra una función?
A) x2
2 25x 1 1 C) V 5 πr2
h
B) (x 12) (x 2 1) 5 12 D) x2
5 2x 2 1
( ) ¿En qué opción se presenta la razón coseno para el ángulo J?
A)
j
k
C)
k
j
B)
l
k
D)
k
l
Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo
Nivel
Nivel
Nivel
Nivel
J
K
l
L
j
k
A) B) C) D)
XXVIII Recursos Didácticos para el Profesor
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2. César tiene un terreno formado por tres cuadrados y un rectángulo, según la distribución que se muestra. El
área de todo el terreno es de 380 m2
.
a) Escribe la ecuación que modela esta situación:
b) Resuelve la ecuación y anota la medida de los lados que forman parte del terreno:
3. Para la ecuación 2x2
5 18.
a) Escribe la función asociada a la ecuación y 5
b) Completa la tabla y traza la gráfica correspondiente.
x y
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
c) ¿Qué números solucionan la ecuación?
x
17
m
2
Recursos Didácticos para el Profesor XXIX
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4. En la gráfica se muestra el recorrido de un elevador. Analízala y contesta.
a) ¿En qué piso se inició el recorrido que se muestra?

b) ¿En qué pisos no se detuvo el elevador?

c) ¿En qué pisos tardó el mismo tiempo en retomar su recorrido?

d) ¿En qué piso tardó más tiempo en retomar su recorrido?

5. Traza la gráfica que representa la siguiente situación.
En una evaluación se asigna el resultado de acuerdo con la escala que se muestra:
Aciertos Resultado
Hasta 15 A
16 a 25 B
26 a 35 C
36 a 45 D
Más de 45 E
6. Para reforzar un edificio se colocan vigas metálicas como diagonales de los rectángulos que forman la es-
tructura. Esas vigas se sueldan, como se muestra en la imagen.
a) ¿De qué medida deben ser las vigas?
8
7
6
5
4
3
2
1
PB
Tiempo
Piso
S1
S2
4 m
7.5 m
XXX Recursos Didácticos para el Profesor
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7. Toma las medidas de los lados del siguiente triángulo rectángulo y calcula el valor de las razones trigono-
métricas que se indican.
sen A 5 5 sen C 5 5
cos A 5 5 cos C 5 5
tan A 5 5 tan C 5 5
8. Cuatro cables tensores sostienen una antena a un metro del punto más alto de esta. Los cables, que miden
35 m, forman con el suelo un ángulo de 65º. ¿Cuánto mide la antena?
9. Un hexágono regular mide 12 cm por lado.
a) ¿Cuál es la medida de la apotema?
b) ¿Cuánto mide el área?
10. Se midió el tiempo de retraso con que se entregaron algunos paquetes en tres empresas de envíos. En la
tabla se muestran los resultados, en horas de retraso, de acuerdo con el horario pactado para la entrega.
Empresa Tiempo de retraso en la entrega (horas)
A 0.5 2 1.5 1.25 4.5 3 2 2.25 3 2.5
B 2 0.75 1.5 3 2 3 3.25 2 2.25 3
C 0 3 3.5 0 1 1.25 2.5 5 4 3.25
a) ¿Qué empresa es más eficiente en sus compromisos de tiempo de entrega? ¿Por qué?
11. Jorge y Ana hacen tarjetas iguales, excepto por el número natural que ponen en ellas. Numeran las tarjetas
del 20 al 40 y las colocan en una caja. Luego, sacan una tarjeta al azar. Jorge gana si el número en la tarjeta
es par y Ana gana si es impar.
a) Los eventos con que ganan Jorge y Ana, ¿son singulares o no singulares? ¿Por qué?
b) ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar? ¿Por qué?
A
B C
Recursos Didácticos para el Profesor XXXI
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Nombre:
( ) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x(4x 1 1) 5 0?
A)
1
4
y 2
1
4
B) 0 y 2
1
4
C) 0 y
1
4
D) 24 y 2
1
4
( ) En la ecuación cuadrática x2
1 5x 1 9 5 0, ¿cuál es el valor del discriminante?
A) 25 B) 0 C) 211 D) 236
( ) Javier encontró que el valor del discriminante de una ecuación cuadrática es cero. De acuerdo con lo
anterior, ¿cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación que analizó Javier?
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0
( ) ¿En qué opción se propone una afirmación verdadera
para la función cuya gráfica se muestra?
A) Su vértice está en el punto (1, 24).
B) Su eje de simetría es la recta x 5 21.
C) El valor mínimo de la función es 23.
D) El valor máximo de la función es 3.
( ) ¿En qué opción se muestran los valores correctos de las
funciones trigonométricas para el ángulo de 90º?
A) sen 90º 5 0; cos 90º 5 ∞; tan 90º 5 1
B) sen 90º 5 0; cos 90º 5 1; tan 90º 5 ∞
C) sen 90º 5 1; cos 90º 5 ∞; tan 90º 5 0
D) sen 90º 5 1; cos 90º 5 0; tan 90º 5 ∞
Se lanza un dado de doce caras numeradas del 1 al 12
y se definen los siguientes eventos.
Evento A: Se obtiene un múltiplo de 3.
Evento B: Se obtiene un número divisible entre 2.
Evento C: Se obtiene un número primo.
Evento D: Se obtiene un número impar.
( ) ¿Cuáles de estos eventos son mutuamente excluyentes?
A) Eventos A y C B) Eventos B y D C) Eventos C y B D) Eventos D y A
0
1
21
22
23
24
25
2
3
4
5
21
22
23
24
25 1 2 3 4 5
y
x
XXXII Recursos Didácticos para el Profesor
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2. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a) x2
1 7
1
2
x 2 4 5 0 b) 8x2
1 2x 2 1 5 0
3. La diferencia de dos números enteros es 9 y la suma de sus cuadrados es 221. ¿Cuáles son esos números?
4. El doble del cuadrado de un número menos veintiocho veces ese mismo número es igual a cero. ¿De qué
número o números se trata?
5. Haz lo que se pide para la función y 5 x2
1 4x.
a) Completa la tabla y traza la gráfica correspondiente.
x y
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
Recursos Didácticos para el Profesor XXXIII
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6. Completa la tabla, traza la gráfica y anota la expresión algebraica que representa la siguiente situación.
“El área de un cuadrado es aumentado en un centímetro cuadrado”.
a) b) Gráfica
Medida del lado del
cuadrado en
centímetros (x)
Medida del área del
cuadrado en centíme-
tros cuadrados (y)
1
2
3
4
5
6
c) Expresión algebraica: y 5
7. Calcula las medidas que se piden de cada triángulo rectángulo.
a) Medida del lado DE:
b) Medida del ángulo D:
c) sen 30º 5
d) cos 30º 5
e) tan 30º 5
f) sen 60º 5
g) cos 60º 5
h) tan 60º 5
i) Medida del ángulo L:
j) Medida del lado LM:
k) Medida del lado MK:
l) sen 72º 5
m) cos 72º 5
n) tan 72º 5
o) sen 18º 5
p) cos 18º 5
q) tan 18º 5
30º
72º
73 cm
D
K
L
E F
M
21 cm
55 cm
XXXIV Recursos Didácticos para el Profesor
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8. Damián trazó un triángulo equilátero de 10 cm por lado. ¿Cuánto mide la altura del triángulo que trazó?
9. Para calcular la altura de una torre, Laura se coloca a 72 m de distancia y observa la parte más alta de esa
construcción con un ángulo de elevación del teodolito de 35º. Si la altura a la que se encuentra el teodolito
es de 1.58 m, ¿cuál es la altura de la torre?
10. Luisa y Carlos lanzan dados como los que se muestran, suman los puntos obtenidos en ambos dados
y definen los siguientes eventos.
Evento A: Se obtiene un número menor que 4.
Evento B: Se obtiene un número mayor que 3 y menor que 8.
Evento C: Se obtiene un número mayor que 7 y menor que 11.
Evento D: Se obtiene 11 o 12.
Luisa gana si ocurre el evento A o el evento C y Carlos gana si ocurre el evento B o el evento D.
a) Completa la tabla con los posibles resultados de la suma.
Puntos en el dado anaranjado
1 2 3 4 5 6
Puntos
en
el
dado
amarillo
1 2 3
2 3
3
4
5
6
b) Anota la probabilidad de que ocurra cada evento:
P (A) 5
1
4
P (B) 5
1
4
P (C) 5
1
4
P (D) 5
1
4
c) ¿Quién tiene mayores probabilidades de ganar? ¿Por qué afirmas lo anterior?
Recursos Didácticos para el Profesor XXXV
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n

Respuestas
Evaluación diagnóstica
1. F; V; V; F; V
2.
a) Son números pares.
3. a) 40, 45 y 50
b) 385, 390, 395, 400, 405 y 410
c) R. M. 1 050, 1 225, 1 350, 1 555, 1 600, 1 800,
1 850.
d) Terminan en 0 o 5.
4. a) 280
5. i. A) P 5 n 1 n 1 n 1 n
D) P 5 4n
ii. B) A 5 nn
6. a) Perímetro 5 x 1 3 1 x 1 x 1 3 1 x
b) Área 5 (x 1 3) x
c) i. 26 cm
ii. 40 cm2
d) i. 46 m
ii. 130 m2
7. C; A; B; D; B
8.
9. a) a
b) Al ángulo recto.
c) Sí.
10. i. C) 25 m
ii. B) 2.5 s
iii. C) 5 s
11. a) 8 s
b) No
c) No
12.
Radio (r)
cm
Área (A)
cm2
1 3.14
2 12.56
3 28.26
4 50.24
372 248
1 110
3 006
814 94
XXXVI Recursos Didácticos para el Profesor
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14. i. Medida del lado 5 11 cm
ii. Medida del lado 5
1
2 m
iii. Medida del lado 5 2.5 dm
a) R. M. Buscar un número que multiplicado
por sí mismo dé como resultado el área o
calcular la raíz cuadrada del área.
15. a) • 5 y 2 5
b) • 10 y 2 10
c) • 15 y 2 15
13. ( C ) Si un número se
multiplica por sí
mismo y lue-
go, al resultado
se le aumentan
10 unidades se
obtiene 90.
(A)Alproductodeun
número por sí
mismo se le res-
tan 10 unidades
y se obtiene 90.
( B ) Si un número es
elevado al cua-
drado y luego,
al resultado se
le quitan 10 uni-
dades resulta
90.
A) xx 2 10 5 90
B) x2
2 10 5 90
C) xx 1 10 5 90
10
1
0 2 3 4 5
20
30
40
50
A (cm2
)
r (cm)
16. a) 2
b) 4
c) Alba y Emmanuel
d) Carlos
e) Alba y Carolina
f) Carolina
1. C; B; D; C; A; C; A; D; A; A
2. a) El viernes
3. a) En 48 tiempos
4. a) 12 cm por lado
b) 99
5. Área 5 (n 1 5) (n 1 3)
Área 5 n2
1 8n 1 15
6. Área 5 x2
1 4x 1 x2
2 + 4x
2
Área 5 x2
1 6x 1 x2
2
Área 5 3x2
2 1 6x
a) 115.5
7.
Recursos Didácticos para el Profesor XXXVII
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8.
a) R. M. 9 cm, 7.5 cm y 5 cm (Cualquiera que re-
fiera a alguno de los criterios de semejanza de
triángulos).
9. a) 165 m
10. a) 14.45 m
11.
a) B. ¿Por qué? Todas sus medidas de tendencia
central y de dispersión son menores en cuanto
a la inasistencia.
1. C; B; D; C; B
2. a) 3x2
1 17 5 380
b)
3x2
1 17 5 380
3x2
5 380 2 17 5 363
x2
5
363
3
5 121
x 5 √ 121 5 11
La medida de cada lado de los cuadrados del
terreno cuadrado mide 11 m y del rectángulo,
11 m por 1.55 m.
Grupo Media Moda Mediana Rango
Desviación
media
A 1.8 1 y 2 2 4 1.12
B 1.4 2 1.5 3 0.9
3. a) y 5
b)
c) –3 y 3
4. a) En la planta baja
b) 1, 4, 5, 7 y S1
c) 2, 6 y 8
d) En el 3
y
x
x y
–4 14
–3 0
–2 –10
–1 –16
0 –18
1 –16
2 –10
3 0
4 14
2x2
2 18
15
210
10
0
210
220
10
5
XXXVIII Recursos Didácticos para el Profesor
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5.
6. a) 8.5 m
7. sen A 5
7.2
5 0.83 sen C 5
7.2
5 0.55
cos A 5
7.2
5 0.55 cos C 5
7.2
5 0.83
tan A 5
4
5 1.5 tan C 5
6
5 0.66
8. 32.72 m
9. a) 10.4 cm
b) 374.4 cm2
10.
a) La empresa B ¿Por qué? Aunque la media de
las tres empresas es muy parecida, la desvia-
ción media de la empresa B, es menor que la
de las otras dos.
11.
a) No singulares ¿Por qué? Cada evento tiene
varios resultados posibles.
b) Jorge, porque su probabilidad de ganar es
mayor que la de Ana. Jorge tiene
11
21
de
probabilidades de ganar y Ana,
10
21
.
1. B; C; C; A; D; B
2. a. 8 y2
1
2
b.
1
4
y2
1
2
3. x 2 y 5 9

x2
1 y2
5 211
Los números son 25 y 14.
4. 2x2
2 28x 5 0
Los números son 0 y 14.
5. a)
A
20 40 60 80 100
B
C
D
E
Aciertos
Resultado
6
6
6
4
4
4
x y
–6 12
–5 5
–4 0
–3 –3
–2 –4
–1 –3
0 0
1 5
2 12
3 21
4 32
5 45
6 60
22
22
24
2
4
y
x
0 2 4
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Recursos Didácticos para el Profesor XXXIX
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6. a)
Medida del lado del
tros (x)
Medida del área del
tros cuadrados (y)
1 2
2 5
3 10
4 17
5 26
6 37
b)
c) y 5 x2
11
7. a) Medida del lado DE: 48 cm
b) Medida del ángulo D: 60º
c) sen 30º 5 0.6575
d) cos 30º 5 0.7543
e) tan 30º 5 0.8727
f) sen 60º 5 0.7534
g) cos 60º 5 0.6575
h) tan 60º 5 1.1458
i) Medida del ángulo L: 18º
j) Medida del lado LM: 19.97 cm
k) Medida del lado MK: 6.5 cm
l) sen 72º 5 0.9509
m) cos 72º 5 0.3095
n) tan 72º 5 3.072
o) sen 18º 5 0.3095
p) cos 18º 5 0.9509
q) tan 18º 5 0.3254
8. 8.66 cm
9. 51.99 m
10. a)
Puntos en el dado anaranjado
1 2 3 4 5 6
Puntos
en
el
dado
amarillo
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
b) P (A) 5
3
36
P (B) 5
18
36
P (C) 5
12
36
P (D) 5
3
36
c) Carlos. Porque su probabilidad de ganar es
de
21
36
mientras que la de Luisa es de
15
36
.
y
x
1
0 2 3 4 5
Medidas de lado (cm)
Medida
del
área
aumentada
en
1
cm
2
6 7 8 9 10
8
7
6
5
4
3
2
1
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
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39
40
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Solucionariodellibro
Trimestre 1
Secuencia didáctica 3
Página 33
3. a) R. M. Porque el 1 solamente tiene un divisor
y la definición indica que los números primos
tienen dos divisores.
¿Cómo vamos?
• Porque los números ya no tienen más factores en
común.
Página 34
3. a) 287 es divisible entre 7 y 4 891 es divisible
entre 67; por tanto, ambos números son
compuestos.
Página 37
¿Qué estamos aprendiendo?
3. a) Descomponemos cada número en factores
primos, luego multiplicamos todos los facto-
res primos comunes con mayor repetición
con los factores primos no comunes. Así
obtenemos el mínimo común múltiplo de
ambos números.
Página 38
1. d) No, ya que algunos números son primos y
el único divisor en común es el 1.
Página 39
3. a) Escribir cada número en factores primos y
luego multiplicar los factores primos que son
comunes a los involucrados para obtener el
máximo común divisor de ambos números.
Página 41
¿Qué aprendimos?
2. • MCD = 100 3 3 5 300
4 800 3 900 6 600 100
48 39 66 3
16 13 22 2
8 13 11 8
1 13 11 13
1 11 11
1
• MCD = 2 3 2 3 3 3 5 3 5 5 300
4 800 3 900 6 600 2
2 400 1 950 3 300 2
1 200 975 1 650 2
600 975 825 2
300 975 825 2
150 975 825 2
75 975 825 3
25 325 275 5
5 65 55 5
1 13 11 11
13 1 13
1
Para calcular el mcm y el MCD se pueden usar
números más grandes con el fin de factorizar las
cifras siempre y cuando se sigan las reglas al
tomar los números que deben multiplicarse. En
el caso del MCD se deben multiplicar solo las
cifras que coincidan en la factorización de todos
los números, y en el caso del mcm se toman to-
dos los factores.
Recursos Didácticos para el Profesor XLI
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Página 42
¿Qué sabemos?
1.
250 200 2
125 100 2
125 50 2
125 25 5
25 5 5
5 1 5
1
mcm 5 2 3 2 3 2 3 5 3 5 3 5 5 1000
R. M. Si la persona 1 se detiene cada 150 m y la
persona 2 se detiene cada 100 m se obtiene:
150 100 2
75 50 2
75 25 5
15 5 5
3 1 3
1
mcm 5 2 3 2 3 5 3 5 3 3 5 300
Coincidirán en las marcas de 300 m, 600 m
y 900. Por tanto, debe haber 13 personas para
tomar los signos vitales en las marcas de 100 m,
150 m, 200 m, 300 m, 400 m, 450 m, 500 m,
600 m, 700 m, 750 m, 800 m, 900 m y 1 000 m.
Página 43
1. a) El MCD, ya que se debe dividir cada terreno en
parcelas lo más grandes posible y debe ser
el mismo número de parcelas. Es decir, se
debe encontrar un número que divida a 45 y
63, y además ese número debe ser el más
grande posible.
Uso de la tecnología
Página 46
2. Los números 2, 3 y 5 no dividen a 367 porque el
dígito de las unidades es distinto de un número
par, de 5 y de cero; además, la suma de sus dígi-
tos no es múltiplo de 3. Los números 2 y 3 dividen
a 234 porque el dígito de las unidades es par y la
suma de sus dígitos es múltiplo de 3. El número 5
divide a 345 porque su último dígito de izquierda
a derecha es 5.
Página 47
4. d) R. M. Como la descomposición de 234 5 2 3
32
3 13 y la de 345 5 3 3 5 3 23 y elúnico factor
común de b y c es 3, entonces elegimos aquel con
la potencia más grande y todos los factores primos,
de cada número, que no se repiten. Así, mcm(367,
234, 345) 5 367 3 2 3 32
3 13 3 5 3 23.
Página 50
2. a) R. M. La expresión 3a 1 3 está formada por
la suma de los términos 3a y 3. Ambos térmi-
nos son múltiplos de 3.
Página 53
1.
• La suma de las áreas es x2
1 4x 1 4x 1 16.
Simplificando términos se tiene que x2
1 8x
+ 16. Este resultado es igual a la expresión
obtenida al multiplicar (x 1 4)(x 1 4).
Página 54
1. R. M. Procedimiento 1.
Sumar las áreas de las figuras que la forman:
w2
1 25 1 5w 1 5w 5 w2
1 25 1 10w
Procedimiento 2.
Multiplicar la base por la altura:
(w 1 5) (w 1 5) 5 w2
1 5w 1 5w 1 25
5 w2
+ 10w 1 25
XLII Recursos Didácticos para el Profesor
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v.
x (x 2 2) 5 2.5 (2.5 2 2) 5 1.25
x2
2 2x 5 (2.5)2
2 2 (2.5) 5 1.25
Página 60
2.
Expresión 1:
mn
2
5
(3.5) (6)
2
5
21
2
5 10.5
Expresión 1: n 3
m
2
5 3.5 3
6
2
5 3.5 3 3
5 10.5
Expresión 1: m 3
n
2
5 6 3
3.5
2
5 6 3 1.75
5 10.5
Página 61
1.
Página 59
¿Qué aprendimos?
i. x(x 1 1) 5 2(2 1 1) 5 6
x2
1 x 5 (2)2
1 2 5 6
ii.
(x)(x) 5 (2)(2) 5 4
x2
5 (2)2
5 4
iii.
x2
1 10x 1 25 5 (2.5)2
1 10(2.5) 1 25
5 56.25
(x 1 5)(x 1 5) 5 (2.5 1 5)(2.5 1 5) 5 56.25
iv.
x (x 1 6) 5 41 (41 6) 5 40
x2
1 6x 5 (4)2
1 6(4) 5 40
5
x
x
x 6
e) R. M. La expresión
xy
2
se puede descompo-
ner, siguiendo las reglas para las operaciones
con fracciones, en
x 3 y
1 3 2
5
x
1
3
y
2
5 x 3
y
2
.
De la misma forma se tiene que
x 3 y
1 3 2
5
y
1
3
x
2
5 y 3
x
2
.
f) R. M.
xy
2
5
(3) (7)
2
5 10.5
n 5 3.5
m 5 6
7
3
x
2
1
x
Página 57
¿Cómo vamos?
h) R. M. y 5 1; y2
5 1; x 5 1.5; x2
5 2.25;
xy 5 1.5
i) x2
1 2xy 1 y2
5 (1.5)2
1 2(1)(1.5) + (1)2
5 6.25
j) Sí. Por que la expresión algebraica
describe el área del rectángulo de mane-
ra correcta.
Recursos Didácticos para el Profesor XLIII
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¿Qué aprendimos?
1. e) R. M. Si es equivalente, ya que al sustituir los
valores de x y y, se obtiene el mismo resulta-
do. El primer factor representa el área de cada
triángulo en que está dividida la figura y el se-
gundo factor, el total de partes.
2.
a) R. M. Sí y 5 4 y f 5 6, el área del hexágono es
6 3 f 3 y
2
5
(6) 3 (6) 3 (4)
2
5 72.
Sí b 5 5, el área del cuadrado es
b2
5 52
5 25.
Página 69
3. c) R. M. Repitiendo el procedimiento para cada
lado que tenga el polígono se conseguirá
trazar segmentos que correspondan a los
lados de un nuevo polígono. Los ángulos
formados entre estos lados serán iguales a
los del polígono original y los lados también
mantendrán una relación de proporcionalidad.
d) R. M. Variando el tamaño del arco se pueden
construir diferentes tamaños de segmentos
que corresponden a los lados del polígono que
se quiera trazar y, por tanto, se pueden obte-
ner lados semejantes.
Página 76
1. e) R. M.
Paso 1. Elegir la medida que tendrán los lados
del triángulo.
Paso 2. Trazar el segmento AB, que será la
base del triángulo.
Paso 3. Abrir el compás de A a B y con la pun-
ta en A colocar una marca hasta donde llega
el compás.
Paso 4. Con la medida que tiene el compás,
colocar la punta en B y poner una marca hasta
donde llega el compás, de manera que se cor-
te con la marca que se hizo en el paso 3. Esta
intersección se llamará C.
Paso 5. Unir el vértice A con el vértice C.
Paso 6. Unir el vértice B con el vértice C.
Página 78
1. R. M.
Paso 1. Trazar un segmento de recta de 3 cm para
que sea la base del triángulo. A este segmento se
le llamará AB.
Paso 2. Abrir el compás del tamaño que tendrán
los lados restantes, que será de 5 cm.
Paso 3. Apoyar el compás en A y trazar un círculo.
Paso 4. Apoyar el compás en B y trazar un círculo.
Paso 5. Marcar el punto donde se intersecan las
circunferencias trazadas. Este punto se llamará C.
Paso 6. Unir con una recta el punto C con A y el
punto C con B.
Página 83
¿Qué aprendimos?
2. R. M. Los problemas que se pueden resolver con
esta herramienta siempre se resuelven plantean-
do una igualdad entre dos razones del tipo
a
e
5
b
f
, por lo que para resolverla es necesario
conocer tres de los cuatro valores que están impli-
cados en la igualdad.
Página 85
2. a) El triángulo que forman los puntos AEDes-
lizador se vuelve más grande o más peque-
ño, depende de si se desplaza hacia arriba o
hacia abajo.
b) Una relación de semejanza, por el crite-
rio AA. El ángulo que se forma en el vérti-
ce A es el mismo para ambos triángulos y,
como los segmentos BC y EDeslizador son
paralelos, los ángulos B y E son iguales. Si
Deslizador coincide con C, hay una relación
de congruencia.
XLIV Recursos Didácticos para el Profesor
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Página 86
1. c) 1567 1 2345 1 1780 1 2340 1 3450 1
2450 1 1005 5 14937
Media 5
14937
7
5 2133.85
Página 88
1. d) Para conocer la suma de los 5 números
calculamos 5 3 7.3 5 36.5. A esta cantidad
sumamos los números que se añadieron:
36.5 1 4.5 1 8.5 5 49.5. Calculamos ahora
la media del nuevo conjunto:
49.5
7
5 7.
Página 90
1. a) v. R. M. El entrenador puede saber si todos los
jugadores pueden hacer una barrera de
tamaño uniforme para bloquear un tiro a
la portería.
c) vi. R. M. Sabersi elgrupo mantienevelocidades
constantes o semejantes o si algunos alum-
nos son mucho mejores que otros para correr.
Página 91
¿Cómo vamos?
2. c) i. $2500,$2800,$2900,$3500,$3900,
$4 500, $5 000, $5 400, $6 000,
$7 000, $10 500, $10 900, $11 000,
$12 000, $12 400, $13 500
Página 93
2. c) R. M. Que en promedio, la diferencia entre las
estaturas y el promedio de estas es cero, es
decir, que en promedio no hay diferencia entre
las estaturas.
Página 95
¿Qué aprendimos?
4. e) R. M. Que los datos están poco dispersos.
Página 97
1. b) R. M. No se puede saber, ya que el promedio,
por ser igual, no ayuda a diferenciar a los
alumnos.
2. c) En el de niños, pues su desviación media es de
7.4, mientras en las niñas es de 5.48.
Página 98
2. a) La X de ambas tiendas y la Z de la tienda 1.
f)
Tienda Media Mediana Moda
Datos más
parecidos
1 $12 000 $12 500 $12 500
Mediana
y moda
2 $12 833 $11 500 $11 500
Mediana
y moda
Página 99
¿Cómo vamos?
2. Tomando como base el análisis de las sucursa-
les A y B se tiene que:
Tienda Venta total Media Moda Mediana
C 136 19.42 No hay 21
D 302 43.14 20 30
La tienda D muestra mejores resultados que la
tienda C.
Trimestre 2
Página 121
1. c) A: (21, 4); (4, 4)
B: (22, 6); (1, 6)
C: (23, 27); (3, 27)
Recursos Didácticos para el Profesor XLV
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d)
x2
2 3x 5 4
(21)2
2 3(21) 5 4 (4)2
2 3(4) 5 4
1 1 3 5 4 16 2 12 5 4
4 5 4 4 5 4
Sí se cumple la igualdad. Las coordenadas
son soluciones de la ecuación.
e) Sí. Para todas las gráficas, las coordenadas
cumplen con la igualdad.
Página 133
3. h) Los intervalos de crecimiento indican que la
temperatura aumenta y los intervalos de de-
crecimiento, que la temperatura desciende.
Página 139
5. a) La Secretaría de Movilidad de la Ciudad de
México definió las nuevas tarifas que deberán utili-
zar los taxis a través de la aplicación móvil“Mi taxi”.
Banderazo: $13.10
Cada 250 metros o 45 segundos, $1.30 adicional.
minuto por 20. Por ejemplo, en el minuto 5
hay 5 3 20 5 100 litros. Después se forman
las parejas de minutos y litros y se grafican
en el plano cartesiano.
b) Los minutos, pues depende de la cantidad de
agua que se vierta al depósito.
c) Litros de agua, ya que a partir de la cantidad
de agua que se vierta será el tiempo que se
emplee.
d) Donde se interpoló; en la coordenada
(11.5, 230).
Página 147
2. a) R. M. La gráfica está formada por secciones
rectas discontinuas.
b) R. M. Puede buscar en el eje horizontal 7.3 y
ver que el valor en la gráfica que le correspon-
de es 7.
¿Qué aprendimos?
1. b) Se puede observar en la gráfica que a 0.85 km
le corresponde el valor de $9.54.
Página 149
3. b) Lasexpresionesnopresentanalgunarelación
con otra cantidad, a diferencia de las repre-
sentaciones de los recuadros en las cuales
hay una relación de igualdad.
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
Promedio
Calificaciones
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Distancia recorrida (km)
Tarifa
($)
Página 143
2. a) R. M.Paracalcularloslitroscorrespondien-
tes a cada minuto se multiplica el número de
XLVI Recursos Didácticos para el Profesor
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6. Al colocar el teodolito en línea recta con el ob-
jeto del cual queremos saber el ángulo, el hilo
se recorrerá en el transportador indicando el án-
gulo α de inclinación del teodolito. Para saber el
ángulo de inclinación del objeto que queremos
conocer, debemos realizar la resta 90 2 α.
Página 157
¿Qué aprendimos?
1. Notas de investigación 1.
Consideremos el siguiente cuadrado de lado N,
entonces el área del cuadrado es N2
:
Colocando un cuadrado de lado c como se
muestra en la imagen, se obtienen las siguientes
divisiones:
Las áreas de los triángulos con lados a, b y c
están dadas por
ab
2
, por tanto, se tiene que
N2
5 c2
1 4(
ab
2
).
Es decir, el área del cuadrado azul es igual al área
del cuadrado rojo más el área de los 4 triangulos
formados por los lados a, b y c.
También se cumple que N 5 a 1 b, lo que implica
que N2
5 (a 1 b)2
ya que N2
5 c2
1 4(
ab
2
) se tie-
ne que (a 1 b)2
5 c2
1 2ab.
Desarrollando (a 1 b)2
5 (a 1 b) (a 1 b) y susti-
tuyendo en la expresión anterior se tiene:
(a 1 b)2
5 c2
1 4(
ab
2
);
(a 1 b)2
5 c2
1 2ab;
a2
1 2ab + b2
5 c2
1 2ab;
a2
1 b2
5 c2
1 2ab – 2ab;
a2
1 b2
5 c2
Notas de investigación 2.
Consideremos un triángulo rectángulo cuya hipo-
tenusa sea c como el de la figura. Y formemos un
cuadrado de área c2
usando dicho triángulo de la
siguiente forma:
Con esta figura se pueden armar los siguientes
dos rectángulos:
Que se pueden reorganizar en dos cuadrados; con
áreas b2
y a2
:
Por tanto, el cuadrado de área c2
equivale a los
dos cuadrados de áreas b2
y a2
, es decir se cumple
que c2
5 b2
1 a2
.
N
b
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
a
a
c
c
a
b
a
N2
c
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1
1
4
3
3
2
2
c
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Recursos Didácticos para el Profesor XLVII
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Notas de investigación 3.
Se puede elaborar el siguiente rompecabezas y
comprobar que las piezas caben perfectamente
en el cuadrado blanco. Con esto comprobaríamos
que el cuadrado de área c2
equivale a la suma de
las áreas a2
y b2
.
Página 160
1. f) Contando cuántos cuadros mide cada área y
cada lado respectivamente.
2. b) Calcular la cantidad de cuadros que mide
el cateto y luego, multiplicarla por sí misma.
Página 161
¿Cómo vamos?
1. c) Elevar al cuadrado cada una de las medidas
de los catetos 122
5 144, 352
5 1225. Sumar
ambos cuadrados y posteriormente obtener
la raíz cuadrada:
144 1 1225 5 1369. √1369 5 37 cm.
362
51296 y 852
57225, restar al cuadra-
do de la hipotenusa el cuadrado del cateto y
posteriormente obtener la raíz cuadrada.
7225 2 1296 5 5929. √(5929) 577 cm
282
5 784 y 532
5 2809, restar al cuadra-
do de la hipotenusa el cuadrado del cateto y
posteriormente obtener la raíz cuadrada.
2809 2 784 5 2025. √(2025) 5 45 cm
Página 163
¿Cómo vamos?
1. Primero se debe obtener la altura del papalote:
√452
2 302
5 √(2025 2 900) 5 33.5
Se le suma la altura de la chica:
33.5 1 1.6 5 35.1 m.
Página 166
2. a) Sí, porque hay un ángulo recto, por tanto, los
otros dos ángulos son agudos. Es decir, el
lado opuesto al ángulo recto siempre será
mayor que cualquiera de los dos lados
opuestos a los ángulos agudos.
Página 171
¿Qué aprendimos?
2. θ 5 19.79º , β 5 41.98º y α 5 32.62º
Página 177
6. Al colocar el teodolito en línea recta con el objeto
del cual queremos saber el ángulo, el hilo se re-
correrá en el transportador indicando el ángulo α
de inclinación del teodolito. Para saber el ángulo
de inclinación del objeto que queremos conocer,
debemos realizar la resta 90 2α.
a
b
c
XLVIII Recursos Didácticos para el Profesor
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Página 179
2. a) R. M. La medida delcateto opuesto alángulo t
también se acerca a 0 y el cateto adyacente se
aproxima a 1. Y cuando el ángulo t se acerca a
90°, el cateto adyacente se aproxima a 0 y el
cateto opuesto a 1.
Página 187
1. a)
iii. La del conjunto A no tiene niños menores
de 12 años. Hay 5 personas menores de
20 años y en su mayoría hay adultos. La
del conjunto B tiene niños de entre 1 y 11
años. Tiene 4 adolescentes y el resto de la
población son adultos.
b)
ii. R. M. Al conocer la desviación media de
ganancias se puede saber en qué tien-
da hace falta personal o en qué días se
debe tener apoyo eventual para cubrir la
demanda de atención a clientes.
Página 188
1. b) El tiempo en que se atiende a los clientes de
la escuela X es mayor en comparación con el
tiempo en que se atienden a los clientes de la
escuela Y.
Página 189
¿Cómo vamos?
2. d) Muestraquétanfrecuentessonlosacciden-
tes. En la empresa A significa que son muy
esporádicos, mientras que en la B, refle-
ja que los accidentes ocurren con mayor
frecuencia.
f) En el problema de la página anterior estas
desviaciones significan la diferencia de tiem-
pos de espera mientras que en el segundo
caso la desviación media indica qué tan es-
porádicos son los accidentes.
Página 190
1. h) R. M. Para la institución 1
$1 400 $1 300 $1 200 $1 200 $1 300
$1 200 $1 500 $1 300 $1 400 $1 500
Dx 5 2 854
Página 193
1. • Yaquenohaycartasrepetidas,nopuedehaber
resultados iguales. Las reglas para acumular
puntos no permiten que haya dos ganadores
o dos perdedores.
Página 195
¿Qué aprendimos?
3. R. M
Eventos no singulares Posible respuesta
Meses que se inician con J Julio y junio
Números primos impares 3, 5, 7…
Letras vocales a, e, i, o, u
Múltiplos de 4 menores a 13 4, 8, 12
Tener una calificación
aprobatoria.
6, 7, 8, 9, 10
Eventos singulares Posible respuesta
Mes que se inicia con E Enero
Números primos pares 2
Mes con 28 días en total Febrero
Múltiplos de 3 y de 4
menores a 15.
12
Calificación no aprobatoria 5
Recursos Didácticos para el Profesor XLIX
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Trimestre 3
Página 206
2. f) R.M.Enambasaparecendosx,peroenelinciso
e la variable se encuentra elevada al cuadrado.
g) x(3x 11) 5 3x2
1 x
4(3(4) 1 1) 5 3(4)2
1 4
52 5 52
Página 209
3.
Cuadrado 1
Medida del área: (x 1 1) (x 1 1) o (x 1 1)2
Cuadrado 2
Cuadrado 3
Cuadrado 4
b)
Cuadrado 1: (x 1 1) (x 1 1) / (x 1 1) 5 0; x 5 1
Cuadrado 2: (x 1 2) (x 1 2) / (x 1 2) 5 0; x 5 2
Cuadrado 3: (x 1 3) (x 1 3) / (x 1 3) 5 0; x 5 3
Cuadrado 4: (x 1 4) (x 1 4) / (x 1 4) 5 0; x 5 4
Página 216
2.
i. D 5 (9)2
2 4(2)(10) 5 81 2 80 5 1 . 0; tiene
dos soluciones.
ii. D 5 (5)2
2 4(1)(64) 5 25 2 256
5 2231 , 0; no tiene soluciones.
iii. D 5 (–5)2
2 4(3)(1) 5 25 2 12 5 13 . 0;
tiene dos soluciones.
iv. D 5 (3)2
2 4(21)(28) 5 9 2 32 5 –23 , 0;
no tiene soluciones.
v. D 5 (5)2
2 4(2)(212) 5 25 1 96 5 121 . 0;
tiene dos soluciones.
vi. D 5 (21)2
2 4(3)(1) 5 1 2 12 5 211 , 0; no
tiene soluciones.
Página 228
1. b)
i. y 5 x2
1 7 ii. y 5 20.1x2
1 7
x y x y
23 16 23 9.1
22 11 22 8.6
21 8 21 7.9
0 7 0 7
1 8 1 5.9
2 11 2 4.6
3 16 3 3.1
iii. y 5–0.1x2
2 x 1 7 iv. y 5–0.2x2
1 2
x y x y
23 6.1 23 0.2
22 6.6 22 1.2
21 6.9 21 1.9
0 7 0 2
1 6.9 1 1.9
2 6.6 2 1.2
3 6.1 3 0.2
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Página 235
¿Qué aprendimos?
1. a)
b)
Página 241
¿Qué aprendimos?
2. La ecuación es 3x2
y la gráfica es:
Página 243
2.
c) R. M. Al variar el punto a de 220 a 21, la grá-
fica de la ecuación cuadrática se abre hacia
abajo, y conforme va aumentando el valor
de a, hasta llegar a 21, la gráfica se vuel-
ve más ancha. Cuando el punto varía de 1 a
20, la gráfica se abre hacia arriba y confor-
me el valor de a aumenta, la gráfica empieza
a cerrarse.
5.
a) GeoGebra permite construir gráficas de una
variedad de funciones; analizar su compor-
tamiento y, a través de su forma, sus carac-
terísticas. Permite ingresar ecuaciones y
coordenadas directamente y tiene la capaci-
dad de operar con variables vinculadas a nú-
meros, vectores y puntos. Ofrece múltiples
comandos propios del cálculo para identificar
puntos singulares de una función, como raíces
o extremos.
b) Los deslizadores nos permiten analizar el
comportamiento de la gráfica y establecer un
parámetro a lo que se desea analizar de ella.
Una de sus desventajas puede ser la canti-
dad de parámetros que se deben usar.
Página 261
1.
b) Sí, porque los números pares son divisores
de 6 y los números nones son números pri-
mos en este caso. Por tanto, se pueden pre-
sentar empates.
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4
22
22
8
6
4
2
0 2 4
22
24
y
x
100
200
300
400
500
1
0 2 3 4
Tamaño de las bolsas
5 6 7 8 9 10 11 12 13
Cantidad
de
tela
cm
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Formatodeplaneación
Secuencia didáctica
Trimestre: Eje temático: Aprendizaje esperado:
Tema:
Duración: Número de sesiones:
Periodo: del al de
Desarrollo de la secuencia didáctica
Sesión Actividades
Páginas del libro del
alumno
LII Recursos Didácticos para el Profesor
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En Matemáticas 3 de la serie Espacios
Creativos encontrarás problemas diversos y diseñarás
estrategias para resolverlos, comprenderás conceptos
matemáticos, adquirirás destreza en el manejo de las
técnicas y en el uso de la tecnología, evaluarás tus
procedimientos y argumentarás y comunicarás
tus resultados.
A lo largo del libro hallarás oportunidades para trabajar
con tus compañeros en la búsqueda de soluciones, lo que
te permitirá contrastar ideas, enriquecer tu aprendizaje
y convertir tu salón de clases en un espacio de quehacer
creativo y de convivencia armónica.
Lo anterior te llevará a desarrollar habilidades que
te permitirán usar herramientas matemáticas para
enfrentar retos cada vez más complejos, analizar
situaciones y tomar decisiones en contextos diversos.
Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
SE Forros Alumno
Mate 3_CONALI_2020.indd
1
SE Forros Alumno
Mate 3_CONALI_2020.indd
1
1/3/21 13:10
1/3/21 13:10
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 de la serie Espacios
Creativos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta
obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
© 2021 Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
D. R. © 2021 por EDITORIAL SANTILLANA, S.A. de C.V.
Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,
alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México
ISBN:
Primera edición:
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 802
Impreso en México/Printed in Mexico
fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo
de la Dirección General de Contenidos.
• Fotografía de portada: Abraham Solís Saldaña
• Ilustración: Ismael Segura Posadas
• Fotografía: Shutterstock, Gettyimages
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Te damos la bienvenida
a tu libro de Matemáticas
de tercer grado de secundaria.
Esta obra fue diseñada para ti,
con situaciones y problemas
que convertirán e
el
l e
es
st
tu
ud
di
io
o de
Matemáticas en un espacio
de construcción de conocimientos
y desarrollo de procedimientos y
técnicas que te
permitirán
analizar fenómenos,
interpretar información,
encontrar patrones y
resolver problemas.
Los diversos
contenidos y actividades
que encontrarás en este libro
te permitirán plantear estrategias
de solución, justificar y validar
resultados, y trabajar de manera
colaborativa.
Matemáticas 3 3
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MATEMÁTICAS
En este libro desarrollarás
habilidades para analizar,
reflexionar, argumentar y resolver
problemas matemáticos, así como
distintas situaciones cotidianas.
Uno de los objetivos de este
material es que reconozcas cómo
las matemáticas nos permiten
comprender y explicar diversos
fenómenos físicos y sociales.
Número, álgebra y variación
• Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los
números primos.
• Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.
• Resolverás problemas mediante la formulación y solución
algebraica de ecuaciones cuadráticas.
• Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir
de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que
resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de
otros contextos.
• Formularás expresiones de segundo grado para representar
propiedades del área de figuras geométricas y verificarás
la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como
geométricamente.
• Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones
y de las ecuaciones.
Forma, espacio y medida
• Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás
criterios de semejanza de triángulos.
• Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.
• Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas
seno, coseno y tangente.
Análisis de datos
• Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y
dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.
• Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes.
Lo que estudiarás en Matemáticas a lo largo
de la educación básica se organiza en tres ejes
temáticos, que agrupan a los aprendizajes
esperados que construirás en el grado, como
se muestra a continuación.
Los telescopios espaciales se llaman así porque están
en órbita y funcionan como observatorios. Debido a su
posición y potencia, permiten obtener imágenes nítidas
del espacio y de cuerpos celestes.
Reúnete con compañeros a los que les guste la
astronomía e investiguen cómo funcionan los telescopios
y, si les es posible, construyan un telescopio casero.
El telescopio es un instrumento óptico
que permite observar objetos lejanos
con más detalle que a simple vista. Es
una herramienta fundamental en la
astronomía, ya que a través de él se
pueden observar detalles de estrellas
y planetas.
4 Matemáticas 3
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En este trimestre resolverás diversos problemas que te llevarán a formular los criterios de
divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 6 y 10. Profundizarás en el estudio de los números, lo que te
permitirá diferenciar los números primos de los números compuestos.
Calcularás el mcm (mínimo común múltiplo) y el MCD (máximo común divisor). Generalizarás
propiedades y las expresarás de forma algebraica.
Avanzarás en el estudio del álgebra que iniciaste en grados anteriores, lo que te permitirá
representar las propiedades del área de figuras geométricas con expresiones de segundo
grado y a verificar la equivalencia de estas expresiones geométrica y algebraicamente.
Construirás polígonos semejantes y determinarás y usarás los criterios de semejanza de triángulos.
Aplicarás lo que has aprendido en grados anteriores sobre medidas de tendencia central (media,
mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) para resolver problemas.
En la siguiente tabla se describe lo que aprenderás cada trimestre.
Formularás y solucionarás ecuaciones cuadráticas mediante factorización y la fórmula general.
Analizarás y compararás diversos tipos de variación, a partir de su representación tabular, gráfica
y algebraica, que modelan fenómenos de la física y otros contextos.
Aplicarás tus conocimientos sobre las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para
resolver distintos problemas; por ejemplo, para calcular distancias inaccesibles. Calcularás la
probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
En este trimestre formularás ecuaciones cuadráticas y las solucionarás mediante dos métodos:
por ensayo y error y el método gráfico. Interpretarás y analizarás gráficas que representan
distintos tipos de funciones y construirás gráficas a partir de datos dados en tablas. Continuarás
profundizando en el estudio del álgebra y diferenciarás las expresiones algebraicas de las
funciones y de las ecuaciones.
Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras para resolver problemas. Además,
lo demostrarás algebraica y geométricamente. También tendrás un primer acercamiento con
la trigonometría. Formularás y usarás las razones trigonométricas seno, coseno y tangente
para resolver problemas.
Avanzarás en el estudio de la estadística y compararás las medidas de tendencia central (media,
moda y mediana) y dispersión (rango y desviación media) en dos conjuntos de datos. También
profundizarás en el estudio de la probabilidad y distinguirás eventos singulares de no singulares.
Calcularás la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.
Trimestre
1
Trimestre
3
Trimestre
2
Matemáticas 3 5
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Trimestre uno 18
Aprendizajes esperados Contenidos Secuencias didácticas Páginas
Determinarás y usarás
los criterios de divisibilidad
y los números primos.
Formularás y usarás los criterios
de divisibilidad entre 2, 5 y 10.
2, 5 y 10
20 a 25
Formularás y usarás los criterios
de divisibilidad entre 3, 4 y 6.
3, 4 y 6
26 a 31
Distinguirás números primos
de números compuestos.
3. Números primos y
números compuestos
32 a 35
Usarás técnicas para
determinar el mcm
y el MCD.
Calcularás el mcm y el MCD y usarás
estas nociones en la resolución
de problemas.
4. mcm y MCD 36 a 41
Calcularás el mcm y el MCD. Usarás
estas nociones en la resolución de
problemas en contextos continuos
y discretos.
5. mcm y MCD en
contextos continuos
y discretos
42 a 45
Usarás técnicas para
determinar el mcm
y el MCD.
Generalizarás propiedades
y expresiones algebraicas.
6. Generalización de
propiedades algebraicas
48 a 51
Formularás expresiones
de segundo grado para
representar propiedades
del área de figuras
geométricas y verificarás
la equivalencia de
expresiones, tanto
algebraica como
geométricamente.
Resolverás problemas que
permitan profundizar en el estudio
de la equivalencia de expresiones
algebraicas I.
7. Expresiones algebraicas
de áreas
52 a 59
Resolverás problemas que
permitan profundizar en el estudio
de la equivalencia de expresiones
algebraicas II.
8. Equivalencia en
las fórmulas del área
(triángulo y rombo)
60 a 65
Construirás polígonos
semejantes. Determinarás
y usarás criterios de
semejanza de triángulos.
Resolverás problemas que impliquen
la identificación y construcción de
polígonos semejantes.
9. Semejanza 66 a 75
Formularás los criterios de semejanza
de triángulos. Identificarás y usarás,
en la resolución de problemas, la
semejanza de triángulos para el cálculo
de distancias.
10.Semejanza de
triángulos
76 a 83
6 Matemáticas 3
3 10
Presentación Estructura de tu libro
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Compararás la tendencia
y desviación media) de
dos conjuntos de datos.
interpretar las medidas de tendencia
central y de dispersión dado un
conjunto de datos.
11. Medidas de tendencia
central y de dispersión
86 a 95
interpretar las medidas de tendencia
central y de dispersión dado un
conjunto de datos.
12.Tendencia central y
dispersión en conjuntos
de datos
96 a 101
Trimestre dos 104
Resolverás problemas
Resolverás problemas que impliquen la
formulación de ecuaciones cuadráticas.
13.Formulación de
ecuaciones cuadráticas
106 a 113
formulación de ecuaciones cuadráticas.
14. Resolución de
ecuaciones cuadráticas
incompletas, por
ensayo y error
114 a 123
Analizarás y compararás
diversos tipos de
gráfica y algebraica,
que resultan de modelar
contextos.
comparar diversos tipos de funciones
como el llenado de recipientes,
trayectos u otras.
15.Interpretar funciones de
llenado de recipientes
124 a 129
comparar diversos tipos de funciones
“sin fórmula”, escalonadas u otras.
16.Diversos tipos de
funciones “sin fórmula”
130 a 137
Construirás e interpretarás datos de
gráficas a partir de valores de las
funciones dadas en tablas.
17. Gráficas basadas en
datos tabulados
140 a 147
Diferenciarás las
expresiones algebraicas
de las funciones y de las
ecuaciones.
Diferenciarás entre expresiones
algebraicas, funciones y ecuaciones.
18.Diferencia entre
expresión algebraica,
funciones y ecuaciones
148 a 151
Formularás, justificarás
y usarás el teorema de
Pitágoras.
Formularás y justificarás el teorema
de Pitágoras.
19.Teorema de Pitágoras 152 a 157
Usarás el teorema de
Pitágoras al resolver problemas.
20.Uso del teorema
de Pitágoras
158 a 165
Matemáticas 3 7
¿Cómo aprenderemos?
14
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coseno y tangente.
Formularás, en la resolución
de problemas que involucran
triángulos rectángulos, las razones
trigonométricas: seno, coseno y
tangente.
21.Razones
trigonométricas
166 a 171
Usarás, en la resolución de problemas
que involucran triángulos rectángulos,
las razones trigonométricas: seno,
coseno y tangente.
22.Cálculo de las razones
seno, coseno y tangente
172 a 179
Compararás la tendencia
y desviación media) de
dos conjuntos de datos.
Resolverás problemas de comparación
de conjuntos de datos en los que
sus dispersiones son iguales o muy
cercanas, pero las medias o medianas
respectivas muy diferentes.
23.Dispersiones iguales y
medias diferentes
180 a 185
Resolverás problemas de comparación
de conjuntos de datos en los que sus
dispersiones son muy diferentes, pero
las medias o medianas respectivas
iguales o muy cercanas.
24.Dispersiones muy
diferentes y medias
iguales (resolución)
186 a 191
Calcularás la probabilidad
de ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
Distinguirás y caracterizarás eventos
singulares y no singulares en
situaciones de probabilidad.
25.Distinguir eventos
singulares
192 a 195
Calcularás eventos singulares y no
singulares utilizando la definición
clásica o el enfoque frecuencial.
26.Probabilidad de
eventos no singulares
(definición clásica)
196 a 201
Trimestre tres 204
formulación y solución de ecuaciones
cuadráticas mediante la factorización.
27.Ecuaciones cuadráticas
de la forma
x(ax 1 1) 5 0
206 a 211
formulación y solución de ecuaciones
cuadráticas con la fórmula general.
28.Ecuaciones
cuadráticas: fórmula
general
212 a 217
8 Matemáticas 3
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