1. Institución Educativa Fray Plácido
Modalidad Empresarial
“Educación para el Trabajo, la Ciencia y el Desarrollo Personal”
Área: Matemáticas Grado: Once
Tiempo asignado: 30 Docente: Rocío Zambrano
COMPETENCIA BÁSICA
Utilizo el concepto de límite para determinar la
existencia del mismo.
Aplico las formulas o procesos necesarios para quitar
la indeterminación del límiteen las funciones que se
puede.
Analizo el concepto de derivada e identifico la formula
correspondiente para derivar una función.
Soluciono problema a través de la derivada.
1. PROPÓSITOS
 AFECTIVO
 Valorar las relaciones existentes entre vecindad,límites
y derivadas.
 COGNITIVO
 Aprender el concepto de límite y derivada de funciones.
 EXPRESIVO, crear y desarrollarproblemas de límites,
minimización y maximización de áreas.
2. ENSEÑANZAS
 Límites y continuidad
 Definición
 Limites laterales.
 Propiedades de los límites
 Calculo de límites
 Límite de funciones indeterminadas.
 Limites infinito y limites en el infinito.
 CONTINUIDAD
 Funciones continuas.
 Continuidad en un punto
 Continuidad en un intervalo.
 Discontinuidad
 Discontinuidad evitable
 Discontinuidad no evitable.
 DERIVADAS
 Variación de una función
 Variación media de una función
 Velocidad media
 Variación instantánea
 Velocidad instantánea
 La recta secante
 Pendiente de una recta tangente.
 Derivada de una función
 Derivada de una función en un punto, en un intervalo.
 Regla de derivación
 Derivadas de las diferentes funciones.
 Aplicación de las derivadas
3. EVALUACIÓN
 DESEMPEÑOS
 Utilizo el concepto de límites para determinar la
existencia del mismo a través de los límites laterales.
 Soluciono la indeterminada de los límites ensayando
diferentes procesos.
 Analizo la continuidad o discontinuidad en las funciones
dadas y determino el carácter de removible o esencial.
 Derivo las funciones dadas y soluciono problemas de
aplicación de derivadas.
TIPOS DE RESPUESTAS: tendremos varias opciones de
respuesta; como:
Respuesta de proceso donde verificaremos avances en el
proceso y hacemos correcciones de los posibles errores en
los que podemos caer.
Respuesta expositiva: Donde el estudiante selecciona todas
las herramientas para evidencias su competencia.
Respuesta tipo I de cuatro opciones con única respuesta.
 OTRAS CONDICIONES:
Se utilizara en el desarrollo de clase lluvia de ideas,
exposiciones, videos de aplicación, las guías, el internet,
diapositivas.
B. FASE COGNITIVA
Complementa tus sistemas alternativos con el repaso de los
casos de: factorización, productos notables, utilización de la
fórmula de ecuaciones de segundo grado, conjugado de una
expresión (racionalización grado noveno).
Consulta el significado de: limite, continuidad, aproximación,
vecindad, infinitésimos, derivada. Consigna en tu cuaderno de
teoría.
C.FASE EXPRESIVA
 ALGORITMO PARA DESARROLLAR PROBLEMAS.
 Reemplazo directamente y soluciono con la formula
indicada, para hallar el límite
 Si no se puede ensayar, otros procedimientos para llegar a
la respuesta, dependiendo de las características de la
expresión.
MODELACIÓN
LÍMITES INDETERMINADOS
 En ocasiones cuando se evalúan los límites de funciones
racionales se encuentran valores no determinados, como son
0, ∞0
, ∞, -∞. Cuando esto ocurre es posible
0 ∞
4. DIDÁCTICA
A. FASE AFECTIVA
A1
A2
A3
A4
Las teorías de límites, continuidad y derivadas se ven reflejadas en lo
social, laboral, productivo y afectivo de todo ser humano
Les permitirá vivir en
armonía con la
naturaleza y la
sociedad
Conocerá los
conceptos y las formas
de quitar
indeterminaciones
con el ensayo de
diferentes procesos
que le serían muy
útiles en el diario
vivir..
La aplicabilidad de las
teorías en el contexto,
valida la importancia
de las matemáticas
para mejorar la
calidad de vida y
estructurar el cerebro
para lograr seres
humanos
competentes
Se orienta la
importancia de las
teorías en los videos
de aplicación a
diferentes
contextos.

2. Factorizar o racionalizar la expresión inicial para encontrar una
equivalente en la que sea posible calcular el límite.
 Para resolver la indeterminación L, calculamos los límites
0
laterales, si son iguales la función tiene por límite
+∞ 0 -∞ y son diferentes la función no tiene límite.
Ejemplo
Calcular los siguientes límites:
a. lim x + 7x + 10 b. lim x - 2
x + 5 x – 4
Solución
a. lím x2
+ 7x + 10
x +5
Si remplazamos x por -5, se obtiene la indeterminación 0, por
0
tanto debemos factorizar para poder calcular el límite.
lim x2
+7x+10 = lim (x+5) (x+2) = lim (x+2) = -5+2 = -3
x + 5 x + 5
lim x – 2
x - 4
Si remplazamos x por 4, vemos que se obtiene la
indeterminación 0, por tanto debemos racionalizar, para
eliminarla. 0
lim x – 2 = lim ( x – 2) ( x – 2) = limx – 4 =
x – 4 (x – 4) ( x + 2) (x – 4) ( x + 2)
lim 1 = 1 =
x + 2 2 + 2
En ocasiones no se puede eliminar la indeterminación y entonces
el límite no existe.
Algebraicas
Función Derivada Función Derivada
y=a, a R y,
= 0 y= u . v y,
= u,
v + uv,
y= ax y,
= a y= a, a R
u
y,
= -av,
v2
y= axn
y,
= anxn-1
y= u
v
y,
= u,
v – uv,
v2
y=f+g y,
= f ,
+ g,
y= x y,
= 1
2 x
y= Un
y,
= unn-1
u,
Exponenciales y logaritmos
Función Derivada Función Derivada
y=ln x y,
= 1
x
y= eu
y,
= u,
eu
y=ln u y,
= u,
u
y= au
y,
= u,
au
lna
y= ex
y,
= ex
y=uv
y,
= uv
v,
ln u + v u,
u
Trigonométricas
Función Derivada Función Derivada
y= sen x y,
= cos x y= cot x y,
= -csc2
x
y= sen u y,
= u,
cos u y= cot u y,
= u,
csc2
u
y= cos x y,
= - sen x y= sec x y,
= sec x tan x
y= cos u y,
= -u,
senu y= sec u y,
= u,
sec u tan u
y= tan x y,
= sec2
x y= csc x y,
= -csc x cot x
y= tan u y,
= u,
sec2
u y= csc u y,
= -u,
csc u cot u,
La modelaciónestá en el libro introducción al cálculo de editorial
Santillana pág., 90 – 200.
ALGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS
Si f y g son dos funciones que son continuas en el número a,
entonces:
 f + g es continua en a.
 f – g es continua en a.
 f x g es continua en a.
 f es continua en a, suponiendo que g(a) ≠ 0.
Ejemplo
Sea f(x)= x+3y g(x) = 2x2
. Prueba que f + g es continua en 2.
Solución
Como f y g son continuas en 2, basta probar que f+g es
continua.
(f + g)(x) = (x+3) + (2x2
) = 2x2
+ x + 3
Probemos que (f + g)(x) es continua en 2.
(f + g)(2) = 13
(i) f(2) = 13 (ii) lim (2x2
+ x + 3) = 13
(iii) lim (f + g) = (f + g)
Por tanto f + g es continua en 2.
Continuidad de composición de funciones
Silim g(x) = b y si la función f es continua en b,
lim (f o g)(x) = f (b) si y sólo si lim f(g(x)) = f(lim g(x))
En particular si g es continua en c y f es continua en g(c)
entonces la composición f o g es continua en c.
Ejemplo
Prueba que h(x) = [x2
– 3x + 6] es continua para todo número
real.
Solución
Sea f(x) = [x] y g(x) = x2
– 3x + 6. Estas dos funciones f y g
son continuas para todo número real, así que también lo será su
composición.
h(x) = f(x)) = [x2
– 3x + 6]
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
 Se dice que una función es continua en un intervalo abierto
si y sólo si es continua en todo número de dicho intervalo.
Una función f es continua a la derecha del número a si y sólo si
se cumple:
i) f(a) existe. ii) lim f(x) existe
iii) lim f(x) = f(a)
Una función f es continua a la izquierda del número a si y sólo si
se cumple:
i) f(a) existe ii) lim f(x) existe.
iii) lim f(x) = f(a)
x- -5 x- -4
x- -5
x- -5 x- -5 x- -5
x- -4
x- -4 x- -4 x- -4
x- -4
x- -2
x- -2
x- -2
x- -2 x- -2 x- -2
x- -2
x- -2
x- -2
x- -2

3.  Una función cuyo dominio incluye el intervalo semiabierto
por la derecha [a, b) se dio que es continua en [a, b) si y
solo si es continua en el intervalo (a, b) y se continua
derecha de a.
 Una función cuyo dominio incluye el intervalo semiabierto
por la izquierda (a, b] se dio que es continua en (a, b] si y
solo si es continua en el intervalo (a, b) y se continua a
izquierda de b.
 Una función cuyo dominio incluye el intervalo cerrado [a, b]
si dice que es continua de [a, b] si y sólo si es continua en
el intervalo (a, b) y continua a la derecha de a y a la
izquierda de b.
Ejemplo
Dada la función f definida por:
F(x) = 2 – x
a. Determinar el dominio de f.
b. Determinar si f es continua o descontinua en el intervalo (-
8, -5].
Solución
a. Dom f= {x R x ≤ 2}
b. La función f incluye al intervalo (-8, -5] en su dominio y
además
lim f(x) = 2 + 5 = 7 = f(-5)
por tanto f es continua en (-8, -5].
DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Si f(x) = sen x entonces f(x) = cos x
Si f(x) = cos x entonces f(x) = -sen x
Si f(x) = tan x entonces f(x) = sec2
x
Si f(x) = cot x entonces f(x) = -csc2
x
Si f(x) = sec x entonces f(x) = sec x tan x
Si f(x) = csc x entonces f(x) = -csc x cot x
Ejemplo
Determina la derivada de g(x) = (2 tan 3x) (5 sen2
x).
Solución
Como g(x) es un producto de funciones, tenemos:
g(x) =(2 tan 3x) (5 sen2
x) + (2 tan 3x) (5 sen2
x) =
(2 sec2
3x) (3) (5 sen2
x) + (2 tan 3x) (10 sen x) (cos x) =
(30 sec2
3x) (sen2
x) + (20 tan 3x) (sen x cos x) =
10 sen x (3 sec2
3x sen x + 2 tan 3x cos x)
Ejemplo
Probar que si f(x) = sen x entonces f(x) = cos x
F(x) = limsen (x + Δx) – senx =
Δx
limsen x cosΔx + senΔx cos x – sen x =
Δx
limsen x (cosΔx + 1) + senΔx cos x =
Δx
limsen x lim (cosΔx - 1) + limsenΔx limcos x =
Δx Δx
Sen x x 0 + 1 cos x = cos x
Luego f(x) = cos x
Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
Derivadas de las funciones exponenciales
La derivada de una función exponencial es igual a la misma
función por el logaritmo neperiano de la base.
Si f(x) = ax
, con a > 0, entonces f (x) = ax
in a.
Si v es una función de xy f(x) = y = eu
dv
dx
Derivada de las funciones exponenciales
Si f(x) = loga x1 f(x) = 1 loga e donde e es la base de los
x
Logaritmos neperianos.
Si f(x) = ln x, f(x) 1
x
Si f(x) = loga u(x), f(x) = 1 loga e x u (x).
u(x)
Si f(x) = ln u(x), f(x) = u1
(x)
u(x)
Propiedades de los logaritmos
 Si y = loga x entonces ay
=x, o, x = alog
a
x
, para todo x > 0
 Loga a= 1
 Loga 1 = 0
 ln e = 1
 ln 1 = 0
 loga (u.w) = loga u + loga w
 loga u = loga u - loga w
w
 Loga un
= n loga u, n R
Las tres últimas propiedades se cumplen igual para logaritmos
neperianos.
Ejemplo
Calcula la derivada de y = 5x
ln (x + 1).
Solución
Aplicamos la fórmula para calcular la derivada del producto de
funciones:
Sea f(x) = 5x
y g(x) = (x + 1), entonces F(x) = 5x
ln 5 y g(x) =
1
X + 1
y1
(x)=f(x)xg(x)+f(x)x g(x) = 5x
ln 5 x ln (x + 1) + 5x
1
x + 1
y1
(x) = 5x
ln (x + 1) ln 5 + 5x
x + 1
Máximos y mínimos
Sea c un punto del dominio s de f.
Decimos que tiene un valor máximo
relativo en c, si existe un intervalo
(a, b) que contenga c, en el cual f
está definida tal que f(c) ≥ f(x) para
todo x del intervalo. Análogamente, f
tiene un valor mínimo relativo en c,
si existe un intervalo (a, b) que
contenga a c, en el cual f está
definida tal que f(c) ≤ f(x) para todo
x del intervalo.
Se dice que f(c) es el valor máximo absoluto de la función f si c
está en el dominio de f y si f (c) ≥ f(x) para todos los valores de
x en el dominio
Se dice que f(c) es el valor máximo absoluto de la función f si c
está en el dominio de f y si f(c) ≥ f(x) para todos los valores de
x en el dominio de f. análogamente, se dice que f(c) es el valor
mínimo absoluto de la función f si c está en el dominio de f y si
f(c) ≤ f(x) para todos los valores de x en el dominio de f.
Si la función f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo se
dice que tiene un extremo relativo.
Criterios de la primera derivada
x- -2
x- -0
x- -0
x- -0
x- -0 x- -0 x- -0 x- -0

4.  Los puntos x para los cuales o f(x) no existe, se llaman
puntos críticos.
 Sea f una función continua en el intervalo (a, b),
tal que c (a, b) y supóngase que f existe en todos los
puntos de (a, b).
 Si f(x) > 0 para todo x (a, c) y si f(x) < 0 para todo
x (c, b), entonces f tiene valor máximo relativo en c.
 Si f(x) < 0 para todo x (a, c) y si f(x) > 0 para todo
X (c, d), entonces f tiene valor mínimo relativo en c.
 Si f1
(x) no varía en c, f(c) no es ni mínimo, ni máximo.
Ejemplo
Dada f(x) = x2
– 6x2
+ 9x 1, encontrar los extremos relativos de
f, aplicando el criterio de la primera derivada. Determina los
mínimos y máximos relativos si existen los intervalos en los
cuales f es creciente y/o decreciente.
Solución
 determinemos f1
, f1
(x) = 3x2
– 12x + 9
 Encontremos los puntos críticos, es decir los x para los
cuales f(x) = 0 o en donde f(x) no existe.
F(x) = 3x2
– 12x + 9
3x2
– 12x + 9 = 0
3(x2
– 4x + 3) = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
Por lo cual tenemos que los puntos críticos son x = 3 y x = 1
Veamos cómo se comporta la función f y f1
para valores
cercanos a estos números.
Trazo de gráficas
Una aplicación de las derivadas en las matemáticas se da en el
trazado de gráficas de una función f.
Pasos para graficar una función utilizando las derivadas
Sea f la función a graficar.
1. Derivamos f.
2. Hallamos los puntos críticos, puntos donde f1
(x) = 0 o
puntos donde f1
(x) no existe.
3. Utilizando f1
(x) determinamos si f es creciente o
decreciente.
4. Determinamos f2
(x)
5. Determinamos los puntos en los cuales se da un máximo o
un mínimo.
6. Hallamos los puntos de inflexión.
7. Determinamos los intervalos para los cuales f2
> 0 y f2
< 0 y
así vemos donde f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia
abajo.
8. graficamos
Ejemplo
Traza la gráfica de la función
y = f(x) = x3
– 3x2
+ 2.
Solución
1. Primera derivada: f(x) = 3x2
– 6x
2. Hallamos f(x) = 0 o f(x) donde no exista 3x2
– 6x = 0, 3x (x-2) = 0 donde x = 0 y x =2.
3. Intervalos donde la función f es creciente o decreciente:
f1
> 0 f creciente 3x-
f1
< 0 f decreciente x – 2 -
+
-
+
+
+ 0 -2 +
La función f crece en (-∞, 0) y (2, ∞) y decrece en (0, 2).
4. Segunda derivada: f1
8x) = 6x – 6
5. Máximos y mínimos: los puntos críticos se dan en x = 0 y x
= 2 (numeral 2).
F2
(0) = -6 y f2
(2) = 6, entonces en el punto (0, 2) se da
un máximo relativo y en (2, -2) se da un mínimo relativo.
6. Puntos de inflexión: 6x -6 = 0 de donde x = 1, por tanto el
punto (1, 0) es un punto de inflexión.
7. Concavidad: 6x -6 > 0 para x > 1 y 6x – 6 < 0 para x < 1,
por tanto es cóncava hacia arriba en el intervalo (1, ∞) y
cóncava hacia abajo en el intervalo (-∞, 1).
8. Graficar
Problemas de máximos y mínimos
Ejemplo 1
Un granjero va a cercar un campo rectangular que limite con
una carretera y va a utilizar dos clases de material de alambre,
el que coloca paralelo a la avenida cuesta $1.800 el metro y el
que va perpendicular a la carretera a $1.200 el metro.
Determina las dimensiones del campo de mayor área posible, si
el granjero sólo tiene $32.000 para invertir en el alambre.
Solución
Sea x la longitud de un lado perpendicular a la carretera y y la
longitud del lado paralelo a la carretera. Por tanto, el área del
campo se define como A = x y (ecuación 1).
De acuerdo con los costos del
material, para los lados que son
perpendiculares, se gastan
$1.200x por cada uno y para los
lados paralelos a la carretera
$1.800y por cada uno. El costo
total se describe mediante la
expresión:
1.200x + 1.200x + 1.800y =
32.000 (ecuación 2).
Para poder calcular el área
máxima, debemos despejar A =
xy en términos de una sola
variable, por ejemplo y en la ecuación 2 y la sustituimos en la
ecuación 1.
1.200x + 1.200x + 1.800y = 32.000 y = 32.000 – 2.400x
1.800
y = 160 – 12x
9
Sustituyendo:
A(x) = xy = x 160 – 12x = 160 x – 4 x2
, por tanto
9 9 3
A(x) = 160 x – 4 x2
9 3
A1
(x) = -8 x + 160
3 9
Para encontrar los números críticos hacemos A1
(x) = 0, por
tanto -8 x + 160 = 0
3 9
tiene que x = 20 = 6,67 m; aproximadamente.
6
Además se tiene que A2
(x) = -8, por tanto A2
20 < 0,
3 6
Por tanto en x = 20 hay un máximo relativo.

5. 6
Sustituyendo en y = 160 – 12x, se tiene que y = 40
9 3
Respuesta: las dimensiones del rectángulo con mayor área
posible que puede ser cercado con $32.000 bajo las condiciones
dadas, son 20 m de ancho y 40 de largo.
3 3
SIMULACIÓN
1. Dada la función signo sgn(x) =
a. Determina si sgn es una función contínua en todos los
reales.
b. Determina si g(x) = sgn (x) es continua o discontinua
evitable.
c. Determina intervalos para los cuales sgn es continua.
2. Luis Angulo es propietario de varios buses intermedios y
buses ejecutivosde servicio urbano en Bogotá. La ganancia
que obtiene en cada bus intermedio es de 200 pesos por
pasajero, mientras que es de $300 por pasajero en daca
bus ejecutivo
La tarifa diurna para un bus intermedio es de $400 y la
tarifa nocturna es de $450, mientras que la tarifa diurna de
un bus ejecutivo es de $450, mientras que la tarifa diurna
de un bus ejecutivo es de $450 y la tarifa nocturna es de
$500.
a. ¿De qué dependen las ganancias mensuales de Luis Angulo?
b. Escribe una función que represente la ganancia mensual de
Luis por cada uno de sus buses ejecutivos.
c. Escribe una función que represente la ganancia mensual de
Luis por cada uno de sus buses intermedios.
d. Determina si las funciones que obtuviste son continuas.
Justifica tu respuesta.
3. Las siguientes gráficas corresponden a ciertas funciones.
a. Determina el dominio y el rango de cada una.
b. Determina las asíntotas verticales.
c. Determina si son funciones continuas en los reales. En caso
que no lo sean, determina intervalos de continuidad.
4. Las siguientes son las gráficas de dos funciones f y g:
a. Determina si las funciones f y g son continuas en todos los
reales. Justifica tu respuesta.
b. Traza la gráfica de 3g(x) y determina si es continua.
c. Si r(x) =
 Traza la gráfica de r.
 Determina si r es continua, discontinua evitable o
discontinua no evitable.
5. Describe el proceso que se sigue para obtener los siguientes
limites, si existen:
a. Lim x2
– 16 b. limxh + h2
x2
+ 5h
x – 4 h
6. Si f(x) = 3x2
– 2 calcula:
a. F(x + h) b. f(x + h) – f(x)
c. lim f(x+ h) – f(x)
h
1. Una partícula se mueve a través de una curva recorriendo
un espacio dado por s(t) = -4t2
– 2t + 40, en donde s se da
en milímetros y t en segundos.
a. ¿qué altura máxima alcanza?
b. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar dicha altura?
c. Realiza el bosquejo de la curva que describe el
desplazamiento de la partícula.
d. Determina la función de la velocidad instantánea.
e. Determina la velocidad instantánea que lleva en el cuarto
segundo.
2. Una pelota es lanzada verticalmente sin velocidad inicial y
se desplaza según la expresión s(t) = t(5 – t), donde s es la
altura en metros sobre el punto de partida y t es el tiempo
en segundos.
a. Encuentra la velocidad de la pelota después de 2 segundos
b. Encuentra la altura máxima que alcanza la pelota
c. Si la velocidad inicial fuera de 30 m/s, ¿cuál sería la
velocidad de la pelota después de 2 segundos de ser
lanzada?
3. Examinando sólo la gráfica y teniendo en cuenta que la
derivada de una función en un punto representa la
pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto,
contesta las preguntas.
a. ¿en qué puntos de la función, la derivada es cero? ¿qué se
puede afirmar de la recta tangente a la curva en este
punto?
b. ¿En qué intervalos la función f es positiva?
c. ¿En qué intervalos la función f es negativa?
4. Explica el significado de cada igualdad:
a. f 1 = 3 c. f (-1) = 10
2 4
b. f (0) = 0 d. f(5) = 0
5. Las siguientes funciones f representan las derivadas de
ciertas funciones. Relaciona dos funciones f para que se
cumpla que f es su respectiva derivada.
a. Si f(x) = 0 dos posibles funciones f son
f(x) = ______________ y f(x) = _________________.
b. Si f(x) = 3x2
dos posibles funciones f son
F(x) = ______________ y f(x) = _________________.
c. Si f(x) = cos x dos posibles funciones f son
F(x) = ______________ y f(x) = _________________.
d. Si f(x) = 2x - 5 dos posibles funciones f son
F(x) = ______________ y f(x) = _________________.
e. Si f(x) = 5x2
+ 3x2
- 6 dos posibles funciones f son
5
F(x) = ______________ y f(x) = _________________.
-1 si x < 0
0 si x = 0
1 si x > 0
g(x) – f(x) si x < 0
f(x) – g(x) si x ≥ 0
x- -2x- -2
x- -2

6. f. Si f(x) = x2
+ x dos posibles funciones f son
F(x) = ______________ y f(x) = _________________.
6. Un cuerpo se desplaza a lo largo de una línea recta de
acuerdo con la función posición s(t) = 8 – t3
, donde s
denota la distancia recorrida en metros por el cuerpo
desde el origen a los t segundos. Determina:
a. Un bosquejo de la gráfica de la curva que describe el
desplazamiento del cuerpo.
b. La velocidad instantánea a los t segundos.
c. La velocidad instantánea a los t segundos.
d. La aceleración instantánea a los t segundos.
e. La aceleración instantánea a los 8 segundos.
f. Después de que hayan transcurrido 5 segundos se puede
afirmar que la posición del cuerpo es ______________, su
velocidad instantánea es _________ y su aceleración
instantánea es _____________.
7. Plantea una función cuya recta tangente a la curva en el
punto 1 sea paralela al eje x.
8. Determina si la función f(x) = x es derivable en 0. Justifica
tu respuesta.
9. Plantea un problema donde se pida calcular velocidad
media, velocidad instantánea y aceleración instantánea.
Responde las preguntas 1 y 2 sabiendo que f es una función
cuadrática que tiene como raíces a -1 y 3.
1. Si la ordenada en el origen de f es positiva, en ningún caso
se puede afirmar que:
a. La función f se creciente para el intervalo (-∞; -1).
b. La función f corta al eje x en los puntos (-1, 0) y (3, 0).
c. La función f tiene un máximo en x=1.
d. La función f tiene un mínimo en (0, 0).
2. Entonces la ecuación que relaciona a y con x está dada por:
a. X + y = 5
b. –x2
+ 5 = y
c. –x2
+ y2
– 3 = 5
d. –x2
+ 2x + 3 = y
3. Si f está definida por f(x) = x2
– x – 2, podemos afirmar que
f:
a. Decrece en el intervalo (2, ∞) y crece en el intervalo (-1, 2)
b. Decrece en el intervalo (-1, 2) y crece en el intervalo (2, ∞)
c. Decrece en (-∞, 0) y crece en (0, ∞).
d. Corta al eje en los puntos -1 y 2.
4. Si f es una función lineal, entonces:
I. f es una constante.
II. f, donde m es la pendiente de la recta de f.
a. sólo la opción 1 es verdadera.
b. Sólo la opción 2 es verdadera.
c. Ninguna de las dos es verdadera.
d. Ambas son verdaderas.
5. Se desea construir una caja rectangular abierta a partir de
una pieza de cartón de 8 pulgadas de ancho y 15 pulgadas
de largo. Doblando un cuadrado en cada esquina y los lados
hacia arriba, tal que el volumen sea máximo. Por tanto las
dimensiones de largo, ancho y alto son:
a. 35, 15, 5 c. 2, 15, 35.
3 3 3 3 3 3
b. 35, 5, 14, d. 28, 6, 8
3 3 3 3 3 3
Responde las preguntas 6 y 7 utilizando la siguiente
información:
Una compañía determinó que los ingresos totalmente son una
función del precio cobrado por su producto, por tanto la función
de ingresos totales es:
p = f(p) = -25p2
+ 875p, donde p es el precio.
6. Halla el precio p que permite obtener ingresos máximos
totales.
7. Halla el máximo ingreso total que obtiene la compañía.
8. La segunda derivada de toda función cúbica es:
a. Una función cuadrática
b. Una función lineal.
c. Una función constante.
d. No se puede determinar
9. El valor aproximado del aumento en el área de una bomba
de jabón cuando su radio aumenta en 0,025 pulgadas es:
a. 2,865 al r = 3.
b. 1,815 si r = 3
c. 2,815 si r = 6.
d. 1,65 si r = 4.
10. Si f y g son dos funciones tales que f(x) = g(x) para todo x0
si f(x) = (x + 2) entonces g puede ser la función:
a. G(x) = (x + 5) (x – 3)
b. G(x) = (x – 3) (x + 5)
c. G(x) = (x + 4) (x + 5)
SIMULACIÓN
Talleres en grupo que se entregarán en fotocopias más las
actividades del libro mencionado y se desarrollaran en clase
EJERCITACIÓN: Desarrollar las prácticas de la unidades 3,
4,5 y 6 del libro “Introducción al cálculo” Ed. Santillana
(Esta en biblioteca). Resolver dos numerales de cada punto.
5. RECURSOS: La guía conceptual, los libros de biblioteca,
sala de informática, internet, videos.
El docente del área, el grupo de trabajo en equipo, los demás
grupos, el profesor virtual, el padre de familia.
6. GLOSARIO:Toda palabra que no se conozca el significado
entrara a formar parte del glosario al finalizar, esta será una
actividad del estudiante que corresponde a las
competencias laborales.
7. WEBGRAFIA.
 http://www.matemagia.com/
Matemagia juegos, test de lógica y matemáticas recreativas.
 http://www.mitareanet.com/mates1.htm
Ayuda en matemáticas, álgebra, cálculo diferencial, cálculo
integral, ecuaciones diferenciales, diccionario.
 http://www.terra.es/personal/iftjft/home.htm
Cálculo diferenciales ordinarias. Historia de las matemáticas.
Descripción, teoría y problemas de álgebra. Análisis.
Aritmética y geometría. Biografías e historia de las
categorías.
 http://www.juegosdelogica.com/portal.htm
Directorio de juegos de lógica e ingenio, acertijos, magia y
matemáticas recreativas.
 http://www.xtec.es/-jcorder1/entreten.htm
Entretenimientos. Juegos matemáticos. En este apartado
agrupan una serie de ocurrencias y retos matemáticas.
 http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/
Selecciona un tema. Fórmulas y tablas. Aritmética. Algebra.
Trigonometría. Geometría analítica. Cálculo. Estadística.
Economía. Física. Matemática.
 http://www.euler.us.es/-libros/
El legado de los matemáticos de Euclides a Newton.
 http://www.cimat.mx/
Centro de investigación de matemáticas.