Límites derivadas e integrales y análisis matemático.pptx
1. Límites y continuidad
Podríamos empezar diciendo que los límites son importantes en el
cálculo, pero afirmar tal cosa sería infravalorar largamente su auténtica
importancia. Sin límites el cálculo sencillamente no existiría. Cualquier
noción del cálculo es un límite en uno u otro sentido.
¿Qué es la velocidad instantánea? Es el límite de las
velocidades medias.
¿Qué es la pendiente de una curva? Es el límite de las
pendientes de las rectas secantes.
¿Qué es la longitud de una curva? Es el límite de la longitud
de los caminos poligonales.
¿Qué es la suma de una serie infinita? Es el límite de las
sumas finitas.
¿Qué es el área de una región limitada por curvas? Es el
límite de la suma de las áreas de las regiones delimitadas por
segmentos de rectas poligonales.
2. Empezamos con un número c y una función f definida cerca de c
aunque no necesariamente en el mismo c. El número L es el límite
de f cuando x se aproxima a c, y se escribe
Idea intuitiva del límite
si y sólo si los valores de la función f(x) se aproximan (tienden) a L
cuando x se aproxima a c.
3. Consideremos la función:
3.41
2. 1
3.0401
2.01
3.004001
2.001
3.00040001
2.0001
2.99960001
1.9999
2.996001
1.999
2.9601
1.99
2.61
1.9
f(x)
x
Cuando x se aproxima a 2, tanto por
la izquierda como por la derecha,
tomando valores menores o mayores
que 2, f(x) se aproxima, es decir,
tiende cada vez más a 3.
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1
4. Consideremos la función:
Esta función no está definida en x = 1; sin embargo vamos a
estudiar su comportamiento en los alrededores de x = 1.
Límites laterales
5. También podemos hablar de límites infinitos y límites en el infinito.
Si una función f(x) crece indefinidamente cuando el valor de la variable x tiende a a, se
dice que su límite es infinito (+∞, si el crecimiento es en sentido positivo, y –∞, si lo
es en sentido negativo).
Análogamente, también es posible definir límites de una función cuando el valor de x
tiende a +∞ o a –∞.
6. En el lenguaje coloquial, decir que algo es “continuo” equivale a
decir que transcurre sin interrupción y sin cambios abruptos. En el
lenguaje matemático, la palabra “continuo” tiene, en gran parte, el
mismo significado.
Continuidad
La idea básica es la siguiente: supongamos dados una función
f y un número c. Se calculan (cuando sea posible) los valores:
y se comparan los resultados. La función f es continua en c
si y sólo si estos dos valores coinciden:
7. • f está definida en c
• existe,
•
OBSERVACIÓN: Recordar que en la definición de “límite de f en
c” no exigimos que f esté definida en el propio c. Por el contrario,
la definición de “continuidad en c” requiere que f esté definida en c.
Así, de acuerdo con esta definición, una función f es continua en un
punto si y sólo si:
Se dice que una función f es discontinua en c si no es continua en
ese punto.
8. Si el dominio de f contiene un intervalo (c − p , c + p), p > 0 (de
manera que f esté definida en c), entonces f sólo puede dejar de ser
continua en c por una de las dos razones siguientes:
1.
Discontinuidad evitable
Discontinuidad de salto
Discontinuidad infinita
2.
9. En el cálculo de límites, se dice que hay una indeterminación cuando
el límite de la función no se obtiene directamente de los límites de las
funciones que la componen.
Indeterminaciones
Las indeterminaciones son:
En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo
expresiones equivalentes a las iniciales, se puede resolver la
indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el
uso de otras herramientas más potentes.
10. Para calcular el límite de una función suelen aplicarse las propiedades generales
de los límites. Sin embargo, a veces aparecen indeterminaciones que es preciso
resolver.
Cálculo de límites
Infinito entre infinito: si se trata de funciones polinómicas, se divide el numerador y el
denominador por el término de mayor grado. Si las funciones presentan radicales, se
multiplican el denominador y el numerador por el conjugado de la expresión que contiene el
radical.
Cero entre cero: si se trata de funciones polinómicas, se factorizan el numerador y el
denominador y se simplifican los polinomios iguales resultantes. En funciones con radicales,
se multiplican el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que contiene
el radical.
Cero por infinito: si f(x) tiende a 0, y g(x) tiende a infinito, la expresión f(x)⋅g(x) se
puede sustituir por f(x)/(1/g(x)), que es del tipo 0/0. También podemos sustituir f(x)⋅g(xx)
por g(x) /(1/f(x)) que es una indeterminación del tipo infinito entre infinito.
Infinito menos infinito: si se trata de una diferencia de funciones, se realiza la
operación de manera que se obtenga una expresión como cociente de funciones, para después
calcular el límite. Si aparecen radicales, se multiplica y se divide por la expresión conjugada
de la que contiene el radical.
11. Cálculo de límites
Uno elevado a infinito: se resuelve transformando la expresión en una potencia del
número e, teniendo en cuenta que:
Infinito elevado a cero: teniendo en cuenta que el logaritmo de un límite es el límite del
logaritmo,
Cero elevado a cero: teniendo en cuenta que el logaritmo de un límite es el límite del
logaritmo,
Si f(x) tiende a 1 cuando x tiende a c (real o infinito) y g(x) tiende a infinito cuando x tiende
a c, entonces:
12. Infinitésimos
Se llama infinitésimo a toda función cuyo límite en un punto dado es cero. El concepto de
infinitésimo, entendido intuitivamente como algo de módulo infinitamente pequeño, es de
gran utilidad en el cálculo de límites.
Infinitésimos equivalentes: si u(x) es un infinitésimo cuando x tiende a c, entonces:
Importante: El producto de un infinitésimo por una función acotada es también un
infinitésimo.
13.
14. Entonces: ¿Qué es una
derivada?
Es la recta tangente que permite calcular la velocidad de un punto o la
pendiente de la recta tangente en un punto exacto de una función.
Si f(x) es una función, su derivada es:
݀
݀ݔ
݂ ݔ
݂′ ݔ
Se simboliza:
Si y = f(x) es una función, su derivada se simboliza: es:
݀ݕ
݀ݔ
ݕ′
15.
16.
17. 2) Si f(x) = ax → f'(x) = a, porque
Ejemplos:
a) f(x) = 5x
f'(x) = 5
𝑓 𝑥 =ax → f′ 𝑥 = 1.ax1−1
=a
b) f(x) = ½ x
f'(x) = ½
c) f(x) = -8x
f'(x) = -8
d) 𝑓 𝑥 = 6𝑥
f′ 𝑥 = 6
3) Si f(x) = a → f'(x) = 0
a) f(x) = -15
f'(x) = 0
𝑓 𝑥 =
3
5
f′ 𝑥 = 0
b) 𝑓 𝑥 =
3
−27
f′ 𝑥 = 0
c) 𝑓 𝑥 = 79
f′ 𝑥 = 0
d)
Ejemplos:
18. 4) Derivada de la suma y resta. Si 𝑓 𝑥 =g 𝑥 ± ℎ 𝑥 → f′ 𝑥 =g′ 𝑥 ± h′ 𝑥
Ejemplos:
a) f(x) = 3x2 +5x
f'(x) = 6x +5
y=5𝑥4
− 2 𝑥3 +
1
2
𝑥2
− 3
y′=20𝑥3
− 3 𝑥+x
b)
5) Derivada del producto. Si f(x) = g(x).h(x) f'(x) =g'(x)h(x)+g(x)h'(x)
→
a) f(x) = 3x5(-2x7+8x5-x)
f'(x) = 15x4(-2x7+8x5-x)+ 3x5(-14x6+40x4-1)
f'(x) = -30x11+120x9-15x5-42x11+120x9-3x5
f'(x) = -72x11+240x9-18x5
b) f(x) = (x3-5) (4x2+2x)
f'(x) = 3x2(4x2+2x)+(x3-5)(8x+2)
f'(x) = 12x4+6x3+8x3 +2x3-40x-10
f'(x) = 12x4+16x3-40x-10
Ejemplos:
20. 5) Regla de la cadena: Se resuelven las derivadas desde afuera hacia
adentro. Si f(x) = g(h(x)) f'(x) = g'(x)°h'(x).
→
Ejemplos:
a) ݂ ݔ = 3ݔ2
− 5ݔ 3
f′ ݔ = 3 3ݔ2
− 5ݔ 2
∙ 6ݔ − 15 𝑥2
b)
=ݕ 3ݔ2 − ݔ 3 → =ݕ 3ݔ2
− ݔ
3
2
ݕ′=
3
2
3ݔ2 − ݔ
1
2 ∙ 6ݔ − 1
݂′ ݔ =?
ݕ′=?
21. Una tabla de distintas derivadas que te van a servir en el futuro:
22.
23. Integrales: Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I
sí G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
Ejemplo: la función es una primitiva de f(x) = x3 porque
F'(x) = x3. También la función es una primitiva de f(x)
en cualquier intervalo del eje real.
𝐹 ݔ =
𝑥4
4
𝐹 ݔ =
𝑥4
4
+ 2
24. Las primitivas se diferencian en una constante
Derivando
Integrando
25. Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k R
La derivada de una constante por una
función es el producto de la constante
por la derivada de la función.
II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x)
La derivada de una suma (resta) de dos
funciones es la suma (resta) de las deri-
vadas de cada una de ellas.
Propiedades de la integral indefinida
I
k f(x) dx = k
f(x) dx con k R
Las constantes pueden salir y entrar fuera del
signo de la integral indefinida.
II
[ f(x) g(x)] dx =
f(x) dx
g(x) dx
La integral indefinida de una suma (resta) de
dos funciones es la suma (resta) de las inte-
grales indefinidas.
26. Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés
proporciona primitivas e integrales indefinidas.
1.-
xa
dx =
xa+1
a+1
+ C, si a -1, a R
2.-
1
x dx = ln x + C
3.-
ex
dx = ex
+ C
4.- ∫ax
= ln
x
a
a + C, si a>0, a 1
5.-
sen x dx = – cos x + C
6.-
cos x dx = sen x + C
7.-
2
1
1
dx arcsen x C
x
8.-
2
1
arctg
1
dx x C
x
34. Integración por partes
Si f y g son dos funciones con derivadas continuas se tiene:
𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación
abreviada que se obtiene poniendo: u = f(x), dv = g'(x)dx, v = g(x) y
du = f'(x)dx, entonces
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Consejos:
1. Llamar g' a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para
g', llamar entonces g' a aquella que haga que sea mas cómoda
que
𝑓 ′𝑔
𝑓𝑔′
35. Integración por partes: Ejemplos
1. 𝑓 𝑥2
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑒𝑥
− 2
𝑥𝑒𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶
𝑥2 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2 𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑥2 − 2𝑥 + 2 + 𝐶
u =x2 du = 2xdx
dv = exdx v = ex
u =x du = dx
dv = exdx v = ex
2. 𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
u = sen(lnx) du = cos(lnx)(1/x)dx
dv = dx v = x
u = cos((lnx) du = -sen(lnx)(1/x)dx
dv = dx v = x
𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
Despejando la integral buscada, tenemos:
𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶
36. Integración por partes: Ejemplos
1. 𝑥2
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑒𝑥
− 2 𝑥𝑒𝑥
𝑑𝑥 + 𝑐
𝑥2
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑒𝑥
− 2 𝑥𝑒𝑥
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
𝑥2
− 2𝑥 + 2 + 𝐶
u =x2 du = 2xdx
dv = exdx v = ex
u =x du = dx
dv = exdx v = ex
2. 𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
u = sen(lnx) du = cos(lnx)(1/x)dx
dv = dx v = x
u = cos((lnx) du = -sen(lnx)(1/x)dx
dv = dx v = x
𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
Despejando la integral buscada, tenemos:
𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶
37. Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable, se tiene:
(Fog)'(x) = F'[g(x)]g'(x) = f[g(x)]g'(x)
Que con la notación de integrales se escribe:
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶
Si se escribe u = g(x), entonces du = g'(x)dx. Con esta sustitución se
tiene:
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶
38. Integración por sustitución: Ejemplos I
Para calcular una integral por cambio de variable:
Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una
integral inmediata.
Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial
mediante: du = g'(x) dx
Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
1
𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑢𝑒𝑢 𝑒𝑢
𝑑𝑢 =
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑙𝑛𝑢 + 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶
cambio de variable: u = lnx du = dx/x dx = xdu = eudu
→ →
