1. Propuesta Solucionario 3
Ing. Electrónica
*
David Steven Hoyos - Andrés Fermín Mella
Integración por partes Pag 17
1)
e2y
y e2y dy dv = e2y dy v =
2
u=y du = dy
2y
e 1
y − e2y dy
2 2
y e2y 1 e2y
− +c
2 2 2
y e2y e2y
− +c
2 4
3)
sen 3y
y cos 3y dy dv = cos 3y dy v =
3
u=y du = dy
y sen 3y 1
− sen 3y dy
3 3
y sen 3y 1 cos 3y
− − +c
3 3 3
y sen 3y cos 3y
+ +c
3 9
4)
y4
y 3 ln y dy dv = y 3 dy v =
4
1
u = ln y du = dy
y
y4 1 1
ln y − y 4 dy
4 4 y
4
y 1
ln y − y 3 dy
4 4
y4 1 y4
ln y − +c
4 4 4
y4 y4
ln y − +c
4 16
* David Steven Hoyos Gil - Andres Fermín Mella
1

2. 5)
arctan y dy dv = dy v=y
1
u = arctan y du = dy
1 + y2
y dw
y arctan y − dy w = 1 + y2 dw = 2y dy → ydy =
1 + y2 2
1
y arctan y − w−1 dw
2
1
y arctan y − (ln w) + c
2
1
y arctan y − ln 1 + y 2 + c
2
8)
√ √ 2 3
t t + 3 dt dv = t + 3 dt v = (t + 3) 2
3
u=t du = dt
2 3 2 3
t (t + 3) 2 − (t + 3) 2 dt
3 3
2 3 2 2 5
t (t + 3) 2 − (t + 3) 2 + c
3 3 5
2 3 4 5
t (t + 3) 2 − (t + 3) 2 + c
3 15
12)
√ √ 1
sec−1 t dt w= t dw = √ dt ⇒ 2wdw = dt
2 t
1
sec−1 w 2wdw u = sec−1 w du = √ dw
w w2 − 1
dv = 2w dw v = w2
w2
w2 sec−1 w − √ dw
w w2 − 1
w dr
w2 sec−1 w − √ 2 dw r = w2 − 1 dr = 2w dw ⇒ = w dw
w −1 2
1 1
w2 sec−1 w − √ dr
2 r
1 1
w2 sec−1 w − r− 2 dr
2
2 −1 1 1
w sec w − 2r 2 + c
√ 2√
t sec−1 t − t − 1 + c

3. 13)
√ √ 1
tan−1 t dt w= t dw = √ dt ⇒ dt = 2w dw
2 t
1
tan−1 w 2w dw u = tan−1 w du = dw
1 + w2
dv = 2w dw v = w2
w2
w2 tan−1 w − dw
1 + w2
Se aplica el algoritmo de la división a la fracción impropia.
1
w2 tan−1 w − 1− dw
1 + w2
1
w2 tan−1 w − dw + dw
1 + w2
w2 tan−1 w − w + tan−1 w + c
√ √ √
t tan−1 t − t + tan−1 t + c
16)
ln t 1
√ dt u = ln t du =
dt
t t t
1 2
dv = √ v = − √
t t t
2 1
− √ (ln t) + 2 √ dt
t t t
2 2
− √ (ln t) + 2 − √ + c
t t
2 4
− √ (ln t) − √ + c
t t
Esperamos que esta primera parte haya sido lo sucientemente clara, cualquier duda
la pueden preguntar en el blog.
Ahora continuaremos con las demostraciones.

4. 1)
Pruebe que:
tn et dt = tn et − n tn−1 et dt
Como sabemos que: u dv = uv − v du
Hacemos: u = tn du = ntn−1 dt
dv = et dt v = et
reemplazamos y listo:
tn et dt = tn et − n tn−1 et dt
4)
tn cos t dt = tn sen t − n tn−1 sen t
Hacemos: u = tn du = ntn−1 dt
dv = cos t dt v = sen t
tn cos t dt = tn sen t − n tn−1 sen t
Ahora seguimos con las integrales trigonométricas.
2)
t t 1
tan2 dt u = 2 du = dt ⇒ dt = 2du
2 2
2 tan2 u du
2 sec2 u − 1 du
2 sec2 u du − 2 du
2 tan u − 2u
t t
2 tan − 2
2 2
t
2 tan − t
2

5. 3)
cot 4t dt
cos 4t
dt u = sen 4t du = 4 cos 4t dt
sen 4t
1 1
du
4 u
1
(ln u) + c
4
ln sen 4t
+c
4
6)
sen4 r dr
2
sen2 r dr
2
1 − cos 2r
dr
2
1
(1 − cos 2r)2 dr
4
1
1 − 2 cos 2r + cos2 2r dr
4
1
r − sen 2r + cos2 2r dr
4
1 1
r − sen 2r + 1 + cos 4r dr
4 2
1 1 sen 4r
r − sen 2r + r+ +c
4 2 4
1 r sen 4r
r − sen 2r + + +c
4 2 8
1 3r sen 4r
− sen 2r + + +c
4 2 8
3r sen 2r sen 4r
− + +c
8 4 32
7)
sen3 x cos3 x dx
sen3 x cos2 x cos x dx
sen3 x 1 − sen2 x cos x dx u = sen x du = cos x dx
u3 1 − u2 du
u3 − u5 du
u4 u6
+ +c
4 6
sen4 x sen6 x
+ +c
4 6

6. 10)
3
sen 2 t cos3 t dt
3
sen 2 t cos2 t cos t dt
3
sen 2 t 1 − sen2 t cos t dt u = sen x du = cos x dx
3
u 2 1 − u2 du
2 5 2 9
sen 2 t − sen 2 t + c
5 9
13)
tan θ sec4 θ dθ
tan θ sec θ sec3 θ dθ u = sec θ du = sec θ tan θ dθ
u3 du
u4
+c
4
sec4 θ
+c
4
14)
cot3 t csc2 t dt u = cot t du = − csc2 t dt
− u3 du
u4
− +c
4
cot4 t
− +c
4
15)
sec4 t
dt
tan2 t
1
cos4 t
sen2 t
dt
cos2 t
2
cos t
dt
sen2 t cos4 t
1
2 t cos2 t
dt
sen
csc2 t sec2 t dt
cot2 t + 1 tan2 t + 1 dt
1 + cot2 t + tan2 t + 1 dt

7. 2 + cot2 t + tan2 t dt
2t + csc2 t − 1 dt + sec2 t − 1 dt
2t − cot t − t + tan t − t
tan t − cot t + c
23)
sen 2t sen 4t dt
Luego de unas comprobaciones concluimos que: (La explicación esta en el libro)
1
sen α sen β = (cos (α − β) − cos(α + β))
2
1
cos (4t − 2t) − cos (4t + 2t) dt
2
1
cos 2t − cos 6t dt
2
1 sen 2t sen 6t
− +c
2 2 6
sen 2t sen 6t
− +c
4 12
24)
cotn t dt
Esta integral la simplicaremos lo más que podemos, sin embargo, si alguien tiene una
mejor propuesta por favor publiquela en el blog.
cosn t 1 n senn−1 t cos t
dt u= senn t
du = − dt
senn t sen2n t
dv = cosn t dt v = cosn t dt
1 ( cosn t dt) senn−1 t cos t
cosn t dt + n dt
senn t sen2n t
Cualquier duda o comentario por favor mandarlo a los correos: davidhoyosgil2008@gmail.com
andresfmella@gmail.com