Ecuaciones Diferenciales Con Variacion De Parametros
Ed Variacion De Parametros
1. E. D. lineales por el método de coeficientes indeterminados.E. D. lineales por variación de parámetros
2. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Este método se aplica a E.D. lineales, con coeficientes constantes, no homogéneos. Sea L(D)y = f(x) una E.D. lineal, no homogénea, de coeficientes Constantes y de orden n. Si f(x) tiene una de las siguientes formas: a) f(x) = k, k constante b) f(x) = polinomio en x c) f(x) = exponencial de la forma e ax d) f(x) = cos ßx; f(x) = sen ßx e) f(x) = a sumas finitas de productos _nitos de las expresiones anteriores, es posible encontrar un operador L1(D) que anule a f(x) y si esto sucede, entonces aplicamos L1 (D) a la ecuación diferencial original, es decir: L1 (D)L(D)y = L1(D)f(x) = 0
3. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Por lo tanto la expresión anterior es una E.D. lineal, homogénea de coeficientes constantes, le aplicamos a esta ecuación el método de las homogéneas y hallamos su solución general, de esta solución general descartamos la parte correspondiente a la homogénea asociada a la E.D. original, la parte restante corresponde a la solución particular que estamos buscando.
4. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Ilustremos esto con un ejemplo. Ejemplo 20. Hallar la solución particular y la solución general de la E.D. y´´ + 25y = 20 sen 5x. Solución: El anulador de sen 5x: D2 + 25 = L1(D) Aplicamos este anulador a ambos lados de la E.D. original: Y´´ + 25y = 20 sen 5x L1(D)(y00 + 25y) = L1(D)(20 sen 5x) (D2 + 25)(y´´ + 25y) = (D2 + 25)(20 sen 5x) (D2 + 25)2y = 0 Ecuación característica: (m2 + 25)2 = 0 cuyas raíces son m = ±5i con multiplicidad 2 y por lo tanto Alfa = 0 y Beta = 5; en consecuencia la solución General es: y = C1 cos 5x + C2 sen 5x + C3 x cos 5x + C4x sen 5x La ecuación diferencial homogénea asociada es: (D2 + 25)y = 0 y su ecuación característica es: m2 + 25 = 0; o sea que m =± 5i (con alfa = 0 y beta = 5) y su solución es: y = C1 cos 5x + C2 sen 5x;
5. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS y por tanto en descartamos esta expresión y nos queda la forma de la Solución particular: y = C3x cos 5x + C4x sen 5x = yp Como aparecen las constantes C3 y C4, las hallamos de la siguiente manera: derivamos dos veces yp y la sustituimos en la E.D. original: y´ p = C3(-5x sen 5x + cos 5x) + C4(5x cos 5x + sen 5x) y´´ p = C3(-25x cos 5x- 5 sen 5x - 5 sen 5x) + +C4(-25x sen 5x + 5 cos 5x + 5 cos 5x) = C3(-25x cos 5x - 10 sen 5x) + +C4(-25x sen 5x + 10 cos 5x) y´´ p + 25yp = 20 sen 5x C3(-25x cos 5x - 10 sen 5x) + C4(-25x sen 5x + 10 cos 5x) + + 25(C3x cos 5x + C4x sen 5x) = 20 sen 5x
6. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Análisis de coeficientes: en x cos 5x : -25C3 + 25C3 = 0 en sen 5x : -10C3 = 20 ) C3 = -2 en x sen 5x : -25C4 + 25C4 = 0 en cos 5x : 10C4 = 0 ) C4 = 0 Por lo tanto la solución particular es yp = -2x cos 5x y la solución general es: y = yh + yp = = C1 cos 5x + C2 sen 5x + C3x cos 5x = C1 cos 5x + C2 sen 5x - 2x cos 5x
7. E. D. lineales por variación de parámetros Sea: a2(x)y´´+ a1(x)y´+ a0(x) = h(x) con a2(x); a1(x); a0(x), continuas en I y a2(x) 6= 0 en I. La escribimos en forma canónica: y´´+ p(x)y´ + g(x)y = f(x) Donde: p(x) = a1(x) g(x)= a0(x) y f(x)= h(x) a2(x) a2(x) a2(x)
8. E. D. lineales por variación de parámetros Suponemos que y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada, es decir: y´´ 1 + p(x)y´1 + g(x)y1 = 0 y´´ 2 + p(x)y´2 + g(x)y2 = 0 y yh = C1y1 + C2y2 Variemos los parámetros C1 y C2, es decir, yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) = u1y1 + u2y2 y hallemos u1 y u2 de tal manera que yp sea solución de la E.D. Luego y´p = u´1y1 + u1y´1 + u´2y2 + y´2 u2 Supongamos (en aras de disminuir el trabajo operativo): u´1y1 + u´2y2 = 0; (primera condición).
9. E. D. lineales por variación de parámetros Luego, y´p = u1y´1 + u2y´2 y´´ p = u´1y´1 + u1y´´ 1 + u´2y´2 + u2y´´ 2 Sustituyendo en la ecuación diferencial: y´´ p + p (x)y´p + g (x)yp = f(x) u´1y´1 + u1y´´ 1 + u´2y´2 + u2y´´ 2 + p (x) [u1y´1 + u2y´2] + g (x) [u1y1 + u2y2] = f (x) u1 [y´´ 1 + p (x)y´1 + g (x)y1] + u2 [y´´ 2 + p (x)y´2 + g (x)y2] + u´1y´1 + u´2y´2 = f (x) Luego, U´1y´1 + u´2y´2 = f (x) En resumen, y1u´1 + y2u´2 = 0 (primera condición) y´1 u´1 + y´2 u´2 = f (x) (segunda condición) que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: u´1 y u´2.
10. E. D. lineales por variación de parámetros Por la regla de Cramer: o y2 u´1 = f(x) y´2 = y2 f (x) y1 y2 W(y1; y2) y´1 y´2 y1 0 u´2= y´1 f(x)0 = y1f(x) y1 y2 W(y1; y2) y´1 y´2
11. E. D. lineales por variación de parámetros Donde W(y1; y2) 6= 0, ya que y1 y y2 son dos soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada. Para conseguir u1 y u2, integramos (no es necesario constantes de integración, porque?) a u´1 y u02 respectivamente. Luego, la yp = u1y1 + u2y2, y la solución general es: y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2 Pasos para resolver la E.D. (en forma canónica): y´´ + p(x)y´ + g(x)y = f(x
12. E. D. lineales por variación de parámetros 1. Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada: y´´ + p(x)y´ + g(x)y = 0 2. Hallamos W(y1; y2) 3. Hallamos u´1 = - y2f(x) u´2 = y1f(x) W(y1;y2) ; W(y1;y2) 4. Integramos u1 = S u´1 dx y u2 = Su´2 dx 5. La solución particular yp = u1y1 + u2y2 6. La solución general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y