El documento define la circunferencia como el lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto central. Explica los elementos de la circunferencia (centro, radio, diámetro, cuerda, tangente) y presenta la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen. Además, introduce la ecuación ordinaria y general de la circunferencia.

1. Circunferencia
Definición, elementos y ecuación canónica

2. Circunferencia
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos en el plano P(x,y) equidistantes de un punto fijo
llamado centro.
Los elementos de le circunferencia son:
• Centro: es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
• Radio: es el segmento comprendido entre el punto fijo llamado centro y cualquier punto de la circunferencia.
• Diámetro: es un segmento comprendido entre dos puntos de la circunferencia que pasa por el centro de ella (dos
radios).
• Cuerda: es el segmento comprendido entre dos puntos de la circunferencia.
• Tangente: es la línea recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
Para obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, se toma una circunferencia donde el radio es
igual a (r) y donde este se forma por un punto O(0,0) y un punto P(x,y). Utilizando la formula de distancia entre dos
puntos tenemos:
OP=r = (𝑥 − 0)!+(𝑦 − 0)!
𝑟 = 𝑥! + 𝑦!
𝒓𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
Esta expresión se conoce como ecuación canónica de la circunferencia

4. Ejercicios
• Encuentra la ecuación de las circunferencias con centro en el origen cuyas longitudes se
señalan a continuación.
1. Diámetro de 12 m
2. Radio de 18 𝑚
3. Radio de 12 cm
• Calcula el radio de las circunferencias con las siguientes ecuaciones.
4. 𝑥!
+ 𝑦!
− 32 = 0
5. 𝑥!
+ 𝑦!
− 15 = 0
6. 𝑥! + 𝑦! − 64 = 0
7. 𝑥! + 𝑦! = 15
• Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen que pasa por los
siguientes puntos.
8. (8,4)
9. (-5,-4)
10. (-3,6)

5. Ecuación ordinaria y general
En la figura se observa que P(x,y) es un punto cualquiera de la circunferencia y C(h,k) es el centro.
Por el teorema de Pitágoras podemos deducir que los catetos están formados por los lados (x-h) y
(y-k) y la hipotenusa es el radio (r), por lo tanto tenemos:
(𝑥 − ℎ)!+(𝑦 − 𝑘)!= 𝑟!
Lo anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia, con centro (h,k) y radio (r).
Al desarrollar los productos notables se obtiene:
𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ! + 𝑦! − 2𝑘𝑦 + 𝑘! = 𝑟!
Se iguala a cero y se reordenan los términos:
𝑥! + 𝑦! − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ! + 𝑘! − 𝑟! = 0
Después se agrupan términos:
D=-2h E=-2k F=ℎ! + 𝑘! − 𝑟!
Se sustituyen las equivalencias:
𝑥! + 𝑦! + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
A esta ecuación se le llama forma general o ecuación general de la circunferencia.

7. Ejercicios
• Encuentra la ecuación ordinaria y general de la circunferencia con los datos
proporcionados.
1. Centro (5,-3) y radio= 20
2. Centro (-3,5) y circunferencia que pasa por el punto (-5,-1)
3. Extremos de uno de sus diámetros: A(1,-4), B(6,3)
4. Extremos de sus diámetros: C(-4,5), D(2,-3)
• Calcula el centro y radio de las circunferencias a partir de su ecuación.
5. (𝑥 − 2)!
+(𝑦 + 3)!
−38 = 0
6. (𝑥 −
!
"
)!
+(𝑦 −
#
"
)!
−100 = 0
7. (𝑥 − 2)!
+(𝑦 − 4)!
= 19
8. (𝑥 +
"
$
)!+(𝑦 +
%
$
)!= 75

8. Reducción de la ecuación general a la
ecuación ordinaria.
Existen dos métodos para obtener el centro y el radio de una circunferencia a partir de su
ecuación general.
El primero consiste en completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP)
• A partir de la ecuación general 𝑥!
+ 𝑦!
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, se separan los términos y
se reorganizan en tres expresiones:
𝑥!
+ 𝐷𝑥 + 𝑦!
+𝐸𝑦 = −𝐹
• Se completa el TCP en la expresión con x y en la expresión con y. los dos términos que
completan la expresión se agregan al termino independiente.
𝑥!
+ 𝐷𝑥 + (
𝐷
2
)!
+𝑦!
+ 𝐸𝑦 + (
𝐸
2
)!
= −𝐹 + (
𝐷
2
)!
+(
𝐸
2
)!
Se factorizan las expresiones del primer miembro y se realizan las operaciones en el
segundo.
(𝒙 +
𝑫
𝟐
)𝟐+(𝒚 +
𝑬
𝟐
)𝟐=
𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭
𝟒

10. El segundo método para encontrar el centro y el radio de una
circunferencia a partir de la ecuación general es utilizar las siguientes
formulas:
• Para encontrar el centro
𝐶 −
0
1
, −
2
1
• Para obtener el radio
𝑟 =
𝐷1 + 𝐸1 − 4𝐹
2

12. Ejercicios
• Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias.
1. 𝑥! + 𝑦! + 5𝑦 − 1 = 0
2. 𝑥! + 𝑦! − 6𝑥 − 8𝑦 + 25 = 0
3. 𝑥! + 𝑦! + 14𝑥 − 8𝑦 + 40 = 0
4. 𝑥! + 𝑦! − 6𝑥 + 88𝑦 + 20 = 0
5. 4𝑥! + 4𝑦! − 4𝑥 + 12𝑦 − 6 = 0
• Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro fuera del origen
dados los siguientes datos.
6. Centro (-2,4), radio igual a 5.
7. Centro (-3,-2), radio igual a 2.
8. Diámetro cuyos extremos son (2,3) y (-5,-6).
9. Centro (-1,-3), radio que pasa por el punto (-2,-5).
10. Centro (2,1), diámetro igual a
"
#!
.