2da Actividad de la unidad II

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo. Lara
Plano Numérico
Autor: Jean Álvarez 23.850.826
Sección: 0102
Prof: Mary de cols

2. Distancia entre dos puntos
El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a
partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre
ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas (x2 – x1).
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2)
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7, 5) y P 2 (4, 1)

3. Punto Medio
es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos
de un segmento.
Ejemplo:
Calcular el punto medio del segmento del eje cartesiano. (6,13) ; (-2.5)
Ecuaciones y trazado de circuferencia
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo que llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto P (X,Y) de la circunferencia satisface: d(C,P) = r
donde la distancia se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener
la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
Por tanto, la ecuación de la
circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:

4. la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado
por
Ejemplo
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de
la rectas x+3y+3=0, x+y+1=0, y su radio es igual a 5.
Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas dadas, la solución del sistema de
ecuaciones corresponde al centro de la circunferencia
2 Sustituimos y en la forma ordinaria

5. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la
ecuación , y que pasa por el punto .
Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Elementos de la parábola
Foco
 Es el punto fijo F.
 Directriz
 Es la recta fija D.
 Parámetro
 Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
 Eje
 Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
 Vértice
 Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
 Radio vector
 Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
Ejemplo
2x2
+ 8x - y + 8 =0
Encontrar Vertice, foco y graficar
2x2
+ 8x = y-8
Lo dividimos entre dos para que x2
quede con coeficiente 1
x2
+ 4x = y/2 – 4
Completamos el trinomio cuadrado perfecto
x2
+ 4x + 4 = y/2 – 4 + 4
Factorizamos
(x+2)2
½ y

6. Entonces tenemos que se cumple la ecuación de la parábola
(x-h)2
= 4P (y-k)
(x+2)2
Se multiplica por -1 para cambiar los signos
(x-2)2
= ½ (y – 0)
4P= ½  4P/4 = ½ / 4 = 1/8
P= 1/8
Tenemos que el vértice es: (-2,0) y el foco es: (-2, 1/8)
Grafica

7. Elipses
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
Calcular y graficar
Obtener ecuación canónica
Eje mayor
Obtenemos el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
Eje menor
Entonces el valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

8. Y con éste, localizar los focos
Excentricidad
La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor
Gráfica
Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
Elementos de la hipérbola:
 1 Focos: Son los puntos fijos y .
 2Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos.

9.  3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .
 4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
 5Vértices: Los puntos y son los puntos de intersección de la hipérbola con el
eje focal.
 6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los
focos: y .
 7Distancia focal: Es el segmento de longitud .
 8Eje mayor: Es el segmento de longitud .
 9Eje menor: Es el segmento de longitud .
 Los puntos y se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio .
 10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
 11Asintotas: Son las rectas de ecuaciones:
 12Relación entre los semiejes:
Ejemplo
Encontrar vértices, focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad y graficar la
hipérbola
la primera hipérbola expresamos su ecuación en la forma reducida dividiendo ambos lados
por
de la ecuación se obtienen los valores de y el centro

10. y
Calculamos el valor de
El eje real es horizontal y la hipérbola tiene centro en el origen, por lo que las coordenadas
de los vértices son
Las coordenadas de los focos son
La excentricidad es
Gráfica