Ecuación de la circunferencia en su forma canónica, ordinaria y general

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA

2. CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una línea curva
cerrada cuyos puntos están todos a la
misma distancia de un punto fijo llamado
centro

3. LA CIRCUNFERENCIA
• La circunferencia es el lugar geométrico de
todos los puntos P(x,y) del plano que se
encuentran a una misma distancia r (radio) de
un punto fijo dado C(h,k) Llamado centro de la
circunferencia Las coordenadas del centro se
designan por C(h,k) y corresponden a un
punto cualquiera del plano.

4. r

5. Ecuación Canónica de la Circunferencia
Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia
C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para
determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x“
x 2 + y 2 = r 2 (ec. canónica)

6. Ejemplo:
• Hallar la ecuación de
la circunferencia cuyo
centro es el origen y
con radio r = 3
• x ² + y ² = 3²
• x ² + y ² = 9

7. Ecuación ordinaria de la circunferencia
Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de
la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de
"y" correspondiente a un valor de "x“
(x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2 (ec. ordinaria)

8. Ejemplo:
• Hallar la ecuación de la
circunferencia cuyo
centro es (2,6) y con
radio r = 3
• (x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2
• (x − 2) 2 + (y − 6) 2 = 32
• (x − 2) 2 + (y − 6) 2 = 9

9. Ecuación General de la Circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir
su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma
general de la ecuación de la circunferencia, así:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
(ec. general de la circunferencia)

10. Ejemplo:
• Hallar la ecuación general de la
circunferencia con centro C(2;6) y
radio r = 4
• (x - 2)² + (y - 6)² = 4²
• x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
• x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
• x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
• x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
• D = -4 , E = -12 , F = +24

11. OBSERVACIONES:
a) La cantidad D² + E² - 4F, es un número real que puede ser positivo, cero
o negativo.
b) Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se
cumple que:
c) Si D2 + E2 – 4F > 0 (condición del radio) el radio de la circunferencia
toma un valor real y la ecuación representa una circunferencia:
d) Si D2 + E2 – 4F > 0, el radio toma el valor cero (r = 0) y la ecuación representa al
punto centro −
𝐷
2
, −
𝐸
2
e) Si D2 + E2 – 4F< 0, no existe un valor real del radio, y por consiguiente , no existe
circunferencia real.