FULL EJERCICIOS

1. ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS
Mecánica para Ingenieros
2 - 1

2. Contenido
6 - 2
Introducción
Definición de una armadura
Armaduras Simples
Analisis de armaduras por el
metodo de nodos
Nodos bajo condiciones
especiales de carga
Armaduras espaciales
Sample Problem 6.1
Analisis de armaduras por el
método de secciones
Armaduras formadas por
varias armaduras simples
Sample Problem 6.3
Análisis de un armazón
Armazones que dejan de ser
rígidos cuando se separan
de sus soportes
Sample Problem 6.4
Máquinas

3. Introducción
6 - 3
• Para el equilibrio de estructuras formadas por varias
partes conectadas, tanto las fuerzas internas como las
fuerzas externas serán consideradas.
• En la interacción entre partes conectadas, la Tercera ley
de Newton establece que las fuerzas de acción y
reacción entre cuerpos en contacto tienen la misma
magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.
• En nuestro curso consideraremos tres tipos de estructuras:
a)Armazones: contienen por lo menos un elemento sujeto a
varias fuerzas, esto es, un elemento sobre el cual actúan tres
o más fuerzas
b)Armaduras: son elementos sujetos a dos fuerzas, esto es,
elementos sobre los cuales actúan dos fuerzas iguales y
opuestas que están dirigidas a lo largo del elemento.
c)Máquinas: Estructuras que contienen partes en
movimiento, diseñadas para transmitir y modificar fuerzas.

4. Definición de una armadura
6 - 4
• Una armadura consta de elementos rectos que se
conectan en nodos. Ningún elemento continúa más
allá de un nodo.
• Muchas estructuras están hechas a partir de varias
armaduras unidas entre sí para formar una armadura
espacial. Las armaduras soportan aquellas cargas
que actúan en su plano, por lo que pueden ser
tratadas como estructuras bidimensionales.
• Los pesos de los elementos de la armadura los
cargan los nodos, aplicándose la mitad del peso de
cada elemento a cada uno de los nodos a los que
éste se conecta.

5. Definición de una armadura
6 - 5
• Aunque los elementos estén unidos por medio de
conexiones remachadas o soldadas, es común
suponer que están conectados por medio de pernos.
• Se supone que las únicas fuerzas que actúan sobre
un elemento de la armadura son una sola fuerza en
cada uno de los extremos del elemento. Entonces,
cada elemento puede tratarse como sometido a la
acción de dos fuerzas.
• Sobre un elemento individual pueden actuar dos
tipos de fuerzas, las fuerzas que tienden a estirar al
elemento y éste está en tensión; y las fuerzas que
tienden a comprimir al elemento y el mismo está en
compresión.

6. Definición de una armadura
6 - 6
Los elementos de una armadura, por lo general, son
delgados y sólo pueden soportar cargas laterales
pequeñas; por eso todas las cargas deben estar aplicadas
en los nodos y no sobre los elementos.

7. 6 - 7
Tipos de armadura

8. Armaduras simples
6 - 8
• Una armadura rígida no debe
colapsar ante la aplicación de una
carga.
• Una armadura simple esta construida
por la adición sucesiva de dos
elementos unidos a dos nodos ya
existentes y que se unen entre si en un
nuevo nodo teniendo una configuración
triangular.
• En una armadura simple se cumple que:
m = 2n - 3
Donde:
m : Numero total de elementos
n : Número de nodos.

9. Análisis de armaduras mediante el método
de nodos
6 - 9
• Para iniciar el análisis, debemos desmembrar la
armadura y crear un diagrama de cuerpo libre
para cada miembro y perno.
• Cada miembro esta sometido a la acción de dos
fuerzas, las cuales tienen la misma magnitud,
línea de acción, y sentido opuesto.
• Por la 3ra ley de Newton, se cumple que las
fuerzas ejercidas por un elemento sobre los
dos pernos a los cuales se conecta deben
deben ser iguales y opuestas.
• Como las líneas de acción de las fuerzas
internas son conocidas, el análisis se reduce a
calcular las fuerzas en los elementos que la
constituyen y a determinar si dichos elementos
está en tensión o en compresión.

10. Análisis de armaduras mediante el método
de nodos
6 - 10
• Las condiciones de equilibrio sobre los
pasadores proporcionan 2n ecuaciones y 2n
incógnitas. Para una armadura simple, se
cumple que 2n = m + 3. Por lo que el sistema
puede resolver “m+3” incógnitas.
• Las condiciones de equilibrio para la
totalidad de la armadura proporcionan 3
ecuaciones adicionales que no son
independientes de las ecuaciones de las
uniones.

11. Análisis de armaduras mediante el método
de nodos
6 - 11

12. Nodos bajo condiciones especiales de carga
6 - 12
• Las Fuerzas de los elementos que se cruzan
en sentidos opuestos en dos líneas rectas en
un nodo son iguales.
• Las fuerzas en dos elementos opuestos
deben ser iguales. Cuando una carga externa
está alineado con un tercer elemento, este
debe ser igual a la carga (incluso si esta es
cero).

13. Nodos bajo condiciones especiales de carga
6 - 13
• Las fuerzas en dos miembros
conectados en una articulación son
iguales si los miembros están
alineados y cero en caso contrario.
• La identificación de nodos bajo
condiciones especiales de carga
simplifica el análisis de la armadura.
• A pesar de que los elementos de
fuerza cero de la no soportan ninguna
carga bajo las condiciones mostradas,
podrían soportar alguna si se
cambiaran las condiciones de carga,
por lo que no pueden eliminarse.

14. Armaduras espaciales
6 - 14
• Una armadura espacial básica consiste de 6
elementos conectados con 4 nodos formando un
tetraedro.
• Una armadura espacial simple se puede extender
si se añaden 3 nuevos miembros y un nodo al
mismo tiempo.
• El Equilibrio para toda la armadura proporciona 6
ecuaciones adicionales que no son independientes
de las ecuaciones conjuntos.
• En una armadura espacil simple, m = 3n - 6
Donde m es el número de miembros y n es el
número de nodos.
• Las condiciones de equilibrio para los nodos
generan 3n ecuaciones. Para una armadura simple
3n = m + 6 y las ecuaciones se pueden resolver
para “m” miembros y 6 reacciones de apoyo

15. Ejemplo
6 - 15
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza en cada
elemento de la armadura que se muestra en la figura. Establezca si
los elementos están en tensión o en compresión.

16. Sample Problem 6.1
6 - 16
Utilizando el método de nodos,
determinar la fuerza en cada miembro
de la armadura.
SOLUCION:
• Based on a free-body diagram of the
entire truss, solve the 3 equilibrium
equations for the reactions at E and C.
• Joint A is subjected to only two unknown
member forces. Determine these from the
joint equilibrium requirements.
• In succession, determine unknown
member forces at joints D, B, and E from
joint equilibrium requirements.
• All member forces and support reactions
are known at joint C. However, the joint
equilibrium requirements may be applied
to check the results.

17. Sample Problem 6.1
6 - 17
SOLUTION:
• Based on a free-body diagram of the entire truss,
solve the 3 equilibrium equations for the reactions
at E and C.
       
ft
6
ft
12
lb
1000
ft
24
lb
2000
0
E
MC






 lb
000
,
10
E
 
 x
x C
F 0 0

x
C
 



 y
y C
F lb
10,000
lb
1000
-
lb
2000
0

 lb
7000
y
C

18. Sample Problem 6.1
6 - 18
• Joint A is subjected to only two unknown
member forces. Determine these from the
joint equilibrium requirements.
5
3
4
lb
2000 AD
AB F
F


C
F
T
F
AD
AB
lb
2500
lb
1500


• There are now only two unknown member
forces at joint D.
  DA
DE
DA
DB
F
F
F
F
5
3
2


C
F
T
F
DE
DB
lb
3000
lb
2500



19. Sample Problem 6.1
6 - 19
• There are now only two unknown member
forces at joint B. Assume both are in tension.
 
lb
3750
2500
1000
0 5
4
5
4








BE
BE
y
F
F
F
C
FBE lb
3750

   
lb
5250
3750
2500
1500
0 5
3
5
3








BC
BC
x
F
F
F
T
FBC lb
5250

• There is one unknown member force at joint
E. Assume the member is in tension.
 
lb
8750
3750
3000
0 5
3
5
3







EC
EC
x
F
F
F
C
FEC lb
8750


20. Sample Problem 6.1
6 - 20
• All member forces and support reactions are
known at joint C. However, the joint equilibrium
requirements may be applied to check the results.
   
   
checks
0
8750
7000
checks
0
8750
5250
5
4
5
3










y
x
F
F

21. Análisis de armaduras por el método de
secciones
6 - 21
• Cuando solo se desea calcular la fuerza de
uno o algunos del miembros, el método de
las secciones es el más apropiado.
• Por ejemplo, para determinar la fuerza en el
miembro BD, debemos pasar una sección a
través de la armadura como se muestra en la
figura y crear un diagrama de cuerpo libre
para el lado izquierdo de la misma.
• Con los tres miembros cortados por la
sección, podemos aplicar las ecuaciones de
equilibrio para determinar la fuerza de los
elementos desconocidos incluyendo a FBD.

22. Sample Problem
6 - 22
Determine la fuerza en los elementos EF y GI de la armadura mostrada en
la figura.

23. Sample Problem 6.3
6 - 23
Determine the force in members FH,
GH, and GI.
SOLUTION:
• Take the entire truss as a free body.
Apply the conditions for static equilib-
rium to solve for the reactions at A and L.
• Pass a section through members FH,
GH, and GI and take the right-hand
section as a free body.
• Apply the conditions for static
equilibrium to determine the desired
member forces.

24. Sample Problem 6.3
6 - 24
SOLUTION:
• Take the entire truss as a free body.
Apply the conditions for static equilib-
rium to solve for the reactions at A and L.
        
       



















kN
5
.
12
kN
20
0
kN
5
.
7
m
25
kN
1
m
25
kN
1
m
20
kN
6
m
15
kN
6
m
10
kN
6
m
5
0
A
A
L
F
L
L
M
y
A

25. Sample Problem 6.3
6 - 25
• Pass a section through members FH, GH, and GI
and take the right-hand section as a free body.
       
kN
13
.
13
0
m
33
.
5
m
5
kN
1
m
10
kN
7.50
0







GI
GI
H
F
F
M
• Apply the conditions for static equilibrium to
determine the desired member forces.
T
FGI kN
13
.
13


26. Sample Problem 6.3
6 - 26
        
  
kN
82
.
13
0
m
8
cos
m
5
kN
1
m
10
kN
1
m
15
kN
7.5
0
07
.
28
5333
.
0
m
15
m
8
tan













FH
FH
G
F
F
M
GL
FG



C
FFH kN
82
.
13

 
        
kN
371
.
1
0
m
10
cos
m
5
kN
1
m
10
kN
1
0
15
.
43
9375
.
0
m
8
m
5
tan
3
2












GH
GH
L
F
F
M
HI
GI



C
FGH kN
371
.
1


27. Ejemplo
6 - 27
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza en cada
elemento de la armadura que se muestra en la figura. Establezca si
los elementos están en tensión o en compresión.

28. Ejemplo
6 - 28
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza en cada
elemento de la armadura que se muestra en la figura. Establezca si
los elementos están en tensión o en compresión.

29. Sample Problem 6.3
6 - 29
Determine la fuerza en los elementos BD y DE de la armadura mostrada en
la figura.

30. Armaduras formadas por varias armaduras
simples
6 - 30
• Las armaduras compuestas son
estáticamente determinadas, rígidas, y
completamente restringidas si:
3
2 
 n
m
• La armadura contiene un miembro
redundante y es estáticamente
indeterminado si:
3
2 
 n
m
• Una condición necesaria pero no
suficiente para que una armadura
compuesta sea estáticamente
determinada, rígida y
completamente restringida es:
n
r
m 2


No rígido Rígido
3
2 
 n
m
• Una reacción adicional puede ser
necesaria para volverla rígida.
4
2 
 n
m

31. Análisis de Armazones
6 - 31
• Los Armazones y las máquinas son estructuras que
contienen elementos sometidos a la acción de varias
fuerzas. Los armazones están diseñados para soportar
cargas y son usualmente estacionarios. Las máquinas están
diseñadas para transmitir y modificar fuerzas, estas pueden
o no ser estacionarias y siempre tendrán partes móviles.
• Con el fin de determinar las fuerzas internas que
mantienen unidas a las diversas partes del armazón, éste se
debe desmembrar y dibujar un diagrama de cuerpo libre
para cada una de las partes que la constituyen
• Las fuerzas que actúan en cada uno de los extremos de un
elemento deben tener la misma magnitud, la misma línea
de acción y sentidos opuestos

32. Análisis de Armazones
6 - 32
• Las fuerzas entre componentes conectados son iguales,
tienen la misma línea de acción, y el sentido opuesto.
• Las fuerzas sobre los elementos sometidos a la acción
de varias fuerzas tienen magnitud y línea de acción
desconocida. Estos deben estar representados con dos
componentes desconocidos.

33. Armazones que dejan de ser rígidos cuando se separan de sus soportes
6 - 33
• Algunos armazones pueden colapsar si se les
extrae uno de sus soportes. Estos armazones no
pueden ser tratados como cuerpos rígidos.
• El DCL del armazón completo indica cuatro
componentes de la fuerza desconocida que no se
pueden determinar a partir de las tres condiciones
de equilibrio.
• En ese caso, el armazón debe ser considerado como
dos cuerpos rígidos distintos, pero relacionados.
• Con reacciones iguales y opuestas en el punto de
contacto entre los miembros, los dos DCL indican
6 componentes de fuerza desconocidas.
• Las condiciones de equilibrio para los dos cuerpos
rígidos ofrecen 6 ecuaciones independientes

34. Máquinas
6 - 34
• Las máquinas son estructuras diseñadas para
transmitir y modificar fuerzas. Su principal
objetivo es transformar fuerzas de entrada en
las fuerzas de salida.
• Dada la magnitud de entrada P, se debe
determinar la magnitud de salida Q.
• Se debe crear un DCL de la máquina
completa, incluyendo la reacción que ejerce
el alambre.
• La máquina es una estructura no rígida.
Utilice uno de los componentes como un
cuerpo libre.
• Tomando momentos sobre A,
P
b
a
Q
bQ
aP
M A 



 0

35. Sample Problem 6.4
6 - 35
•En el armazón que se muestra en la
figura, los elementos ACE y BCD
están conectados por medio de un
perno en C y por el eslabón DE.
•Para la condición de carga mostrada,
determine la fuerza en el eslabón DE y
las componentes de la fuerza ejercida
por los elementos BCD en C.
SOLUTION:
• Create a free-body diagram for the
complete frame and solve for the support
reactions.
• Define a free-body diagram for member
BCD. The force exerted by the link DE
has a known line of action but unknown
magnitude. It is determined by summing
moments about C.
• With the force on the link DE known, the
sum of forces in the x and y directions
may be used to find the force
components at C.
• With member ACE as a free-body,
check the solution by summing
moments about A.

36. Sample Problem 6.4
6 - 36
SOLUTION:
• Create a free-body diagram for the complete frame
and solve for the support reactions.
N
480
0 


 y
y A
F 
 N
480
y
A
    
mm
160
mm
100
N
480
0 B
M A 





 N
300
B
x
x A
B
F 


 0 

 N
300
x
A


 
07
.
28
tan 150
80
1

Note:

37. Sample Problem 6.4
6 - 37
• Define a free-body diagram for member
BCD. The force exerted by the link DE has a
known line of action but unknown
magnitude. It is determined by summing
moments about C.
        
N
561
mm
100
N
480
mm
0
6
N
300
mm
250
sin
0







DE
DE
C
F
F
M 
C
FDE N
561

• Sum of forces in the x and y directions may be used to find the force
components at C.
  N
300
cos
N
561
0
N
300
cos
0











x
DE
x
x
C
F
C
F
N
795


x
C
  N
480
sin
N
561
0
N
480
sin
0











y
DE
y
y
C
F
C
F
N
216

y
C

38. Sample Problem 6.4
6 - 38
• With member ACE as a free-body, check
the solution by summing moments about A.
       
         0
mm
220
795
mm
100
sin
561
mm
300
cos
561
mm
220
mm
100
sin
mm
300
cos














 x
DE
DE
A C
F
F
M
(checks)

39. 6 - 39
EJERCICIO
La prensa que se muestra en la figura se utiliza para grabar un sello
pequeño en E. Si se sabe que P 250 N, determine a) la componente
vertical de la fuerza ejercida sobre el sello y b) la reacción en A.

40. 6 - 40
EJERCICIO
Determine las componentes de las fuerzas que actúan sobre
cada elemento del armazón que se muestra en la figura.

41. 6 - 41
EJERCICIO
Una fuerza horizontal de 600 lb se aplica sobre el perno A del armazón
mostrado en la figura; determine las fuerzas que actúan sobre los dos
elementos verticales del armazón.

42. 6 - 42
EJERCICIO
Para el armazón y la carga mostrados en la figura, determine las
componentes de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento ABE.

43. 6 - 43
EJERCICIO
Un par M de 1.5 kN·m de magnitud se aplica en la manivela del
sistema motriz mostrado en la figura. Para cada una de las dos
posiciones mostradas, determine la fuerza P necesaria para mantener el
equilibrio del sistema.