1. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma
como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún
modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser
un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
1.-Un conjunto P tiene “n» elementos y un conjunto Q que tiene “2n»
elementos, origina 992 subconjuntos más que P. ¿Cuántos subconjuntos
tiene el complemento de P, si se sabe que “P n Q» tiene 3 elementos y que
el complemento de Q tiene 64 subconjuntos?
Solución:
Por datos: n(P) = n; n(Q) = 2n
También: subc. Q – subc. P = 992
22n
– 2n
= 992
2n
(2n
– 1) = 32 (31) = 25
(25
- 1)
Entonces n es igual a 5
Se tiene ahora que: n(P) = 5 y n(Q) = 10
2. Además:
Q′= 64 = 26
Entonces, n(Q’) =6
Luego:
Vemos que: n(P’) = 11
Por lo tanto: P’ tiene 211
= 2048 subconjuntos.
En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos definir a un conjunto, por ser un
concepto primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección
desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre
que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les
llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos.
Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto
se les mete entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}).
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo
un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto
podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a
fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a
baloncesto, etc.
3. Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección
son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y
el elemento absorbente de la intersección y del producto cartesiano. El conjunto
universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.
Ejemplos
En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar
cómo es de forma gráfica, a continuación, pondré también algunos ejemplos prácticos:
1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A= {1,2,3} y B= {4,5,6} sería el conjunto C=
{1,2,3,4,5,6}, esto es: {1,2,3} ∪ {4,5,6} = {1,2,3,4,5,6}
2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al
baloncesto serían las personas que juegan al fútbol o baloncesto.
Calcula:
A U B = {3,4,5,6,7,8,9}
A ∩ B = {6,7}
A-B = {3,4,5}
4. B-A= {8,9}
A’ = {8,9}
B’ = {3,4,5}
A ∩ B = {3,4,5,8,9}
Los números reales son todos aquellos valores numéricos que se
encuentran contenidos en una recta real, desde el infinito negativo hasta el
positivo. Es el conjunto de números que resulta de la unión de los
números racionales e irracionales, que al mismo tiempo se clasifican en
subconjuntos como los naturales y enteros. A este conjunto se lo representa
con la letra "R". Estos números son empleados en las matemáticas para
todo tipo de cálculos y mediciones, asociados al mismo tiempo con otras
ramas de la ciencia que precisan de ellos para un mejor entendimiento.
1)
Solución:
5. La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre
dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien
menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada
con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas
diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor
número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es
mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes
1) 3 (2 x-1) >4 +5 (x-1)
Solución:
3 (2 x-1) >4 +5 (x-1)
6x-3 > 4+5x-5
6x-3 > -1+5x
6x-5x > -1 +3
X > 2
6. El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado
valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico
dado y realizar las operaciones indicadas.
Calcular el valor numérico de:
a(a+b) -b(a-b) cuando a= 2 y b= -3
Solución:
2(2-3) + 3(2+3) = 2(-1) + 3(5) = -2 + 15 = 13
Valor Absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de
las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más
allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de
la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
7. Ejercicio de Valor Absoluto
Demostrar la propiedad siguiente:
Solución:
escribimos el valor absoluto en función del signo:
Por tanto, podemos escribir la igualdad de 4 formas posibles:
Es decir, x= -y, o bien , x = y .
Desigualdades con Valor Absoluto
8. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con
una variable dentro.
La desigualdad significa que la distancia entre y es menor que
Así, y El conjunto solución es
Ejercicio de Desigualdades con Valor Absoluto
Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
De ambas formas obtenemos la misma solución:
