Este documento presenta un problema de optimización en el que se busca maximizar el área de un jardín rectangular que debe ser cercado con 60 metros de alambre. Se modela matemáticamente como una función cuadrática, se deriva la función para encontrar el vértice y así el máximo área, el cual resulta ser 450 metros cuadrados con dimensiones de 15 metros de ancho. Finalmente, se grafica la función cuadrática.
1. Taller de
optimización
Elkin David Chamat Moreno
Jhosuer Chaverra Palacios
Luis Enrique Ibarguen Mosquera
Samuel Palacios Garrido
Hernan David Mena Rios
4. Optimizar una función consiste en encontrar sus
valores máximos y mínimos, esto significa que hay
que encontrar los valores en el dominio de la función
para los cuales se alcanza el máximo y mínimo en el
codominio . El proceso de optimización hace parte de
una de las aplicaciones más importante de la
derivada. Para lo cual es útil tener a la mano las
derivadas mas comunes y utilizadas.
Introducción
7. Una persona dispone de 60 metros de tela de
alambre para cercar un jardin de forma
rectangular que colinda con una casa, por lo que
sólo se requiere cercar tres lados. Halla las
dimensiones del jardin de manera que su área
sea máxima.
Sugerencia: Dibuja un rectángulo con las
condiones del problema. Llama “x” al ancho “y”
al largo del rectangulo. Por geometría se sabe
que el perimetro del rectangulo es igual a dos
veces el ancho más el largo, pues un lado
colinda con la casa. Despeja “y” en términos de
“x” y sustituyela en el área del rectángulo.
Problema
10. Solución
1) Dibujar el rectángulo con las condiciones del
problema. Donde “x” sea el ancho y “y” el largo
Cas
a
2) Hallar las dimensiones del jardín
de manera que su área sea
máxima, recordemos que el
perímetro de un rectángulo es
igual a dos veces el ancho más
el largo (perímetro = 2x+y)
X X
Y
11. Solución
3) El perímetro será (2x+Y=60) > los 60 equivalen
a los 60 metros de la tela de alambre.
Área = b*h
Teniendo en cuenta (2x+y=60) procedemos a
despejar “y” para que nos quede y=60-2x
Calculamos el área (ancho*largo)
A=x(60-2x)
A=60x − 2𝑥2
4) Usamos la formula del vértice, para hallar el
área máxima.
vx=
−𝑏
2𝑎
Reemplazamos (60x- 2𝑥2
) donde el primer valor
que es llamado “a” será el que tenga mayor
exponente en este caso es el -2 con exponente
2:
