PPT-3°y4° - ACT 3-SOLUCION

1. Actividad 3: Representamos una función cuadrática al
determinar el área máxima para realizar
actividades físicas
3°y4° grado: Matemática
Un reto
más!!
Conservamos nuestra salud y el ambiente con responsabilidad
Del 30 de
agosto al
17 de
setiembre

2. ¡Hola! En la actividad anterior, hemos planteado la
estructura del plan para la mejora de la salud física en
familia, a partir de la necesidad de realizar actividad física.
En esta actividad, utilizaremos la función cuadrática para
determinar el área máxima en el que podemos realizar
nuestras actividades físicas. A partir de ello, plantearemos
conclusiones sobre la utilidad de la función cuadrática para
determinar los espacios en los que podemos realizar
actividades físicas en beneficio de nuestra vida saludable,
para luego considerarlas en nuestro plan integral

3. Leemos y reflexionamos en familia a partir de la
siguiente información
Una forma de aumentar los niveles de oxígeno en la sangre Nuestros
niveles de oxígeno en la sangre jamás habían resultado tan
importantes como hasta ahora. ¿Tenía que haber una pandemia para
aceptar que esa dificultad al respirar mientras caminamos no es
normal? Ahora que somos más conscientes de su importancia, ¿cómo
podemos aumentar estos niveles de oxígeno en la sangre? Los
especialistas nos recomiendan realizar ejercicios de forma regular,
como los aeróbicos, correr, bailar o cardio, ya que aceleran la
respiración y la hacen más profunda. Esto aumenta la cantidad de
oxígeno en la sangre, lo que induce a que el corazón lata con mayor
velocidad y aumente el flujo sanguíneo hacia los músculos y de regreso
a los pulmones. A partir de la lectura, respondemos las siguientes
interrogantes:
1. ¿Qué actividades físicas serían las más recomendables para nuestra
familia?
2. 2. ¿Cuál será el espacio adecuado para realizar nuestras actividades
físicas?

4. Reconocemos un problema muy vinculado a
la realidad
Identificamos los datos y relaciones que
están presentes en la situación
María, después de escuchar la información, decide adecuar un
espacio contiguo a su casa para cuidar su salud, realizando
ejercicios físicos y mejorar los niveles de oxígeno en la sangre.
Ella considera que la superficie debe tener forma rectangular, la
cual delimitará con 20 m de cuerda. Sabiendo que solo debe
colocar la cuerda sobre tres lados, ya que el cuarto limita con
su casa, ¿cuáles serán las dimensiones de la superficie
destinada para hacer ejercicios si debe tener la máxima área?
¿Cuál será el área de dicho espacio? ¿Qué tipos de ejercicios
podría realizar en el espacio delimitado por la cuerda?
1. Hagamos una lista de datos que se encuentran en la
situación.
2. ¿Qué nos pide responder la situación?
3. Establecemos relaciones entre los datos y las condiciones
de la situación, a fin de encontrar la solución al problema.
• Cuerda de 20m de largo
• Con la cuerda se formará el perímetro de una superficie rectangular,
donde la cuerda cubrirá tres lados, el cuarto lado será delimitado por
la pared de la casa.
¿cuáles serán las dimensiones de la superficie destinada para hacer
ejercicios si debe tener la máxima área? ¿Cuál será el área de dicho
espacio? ¿Qué tipos de ejercicios podría realizar en el espacio delimitado
por la cuerda?
Tres lados del rectángulo deben estar cubiertos por la
cuerda, es decir estos tres lados deben sumar 20m,
de tal modo que el área debe ser lo máximo posible.

5. 4. Realizamos la representación gráfica de la situación, en
tu cuaderno
Hacemos suposiciones o experimentamos
1. Ahora vamos a suponer posibles medias que tendrían los
lados del rectángulo. Debemos tener en cuenta que la
longitud de la cuerda siempre debe ser 20 m.
PARED
2. ¿Qué valores asignarías a los lados del rectángulo?
¿Cuánto sería su área? Organizamos los valores que
suponemos y completamos la siguiente tabla:
ANCHO(X) en m 1 2
LARGO(m) 18 16
Total de la
cuerda(m)
20 20
Área del
rectángulo(𝑚2
)
18 42
32 50
48 42
48
5
12
3 4 7
6
14 10 8 6
20
20 20 20 20
Observamos la tabla y respondemos:
• ¿Qué valores varían? ¿Qué valor es fijo?
• ¿Qué expresión algebraica nos permite obtener
toda la longitud de la cuerda?
Asignaría valores enteros: El ancho desde 1; 2; 3; etc y
dejaría para el largo el resto de metros que sobra de la
cuerda.
Los valores que varían son el ancho; el largo y el área.
El valor fijo es la longitud total de la cuerda
𝐿 = 2 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 + 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

6. • ¿El área máxima del rectángulo se encuentra en la
tabla?
• ¿Qué medidas tienen los lados del rectángulo
para que su área sea la máxima?
Tomemos en cuenta que:
El perímetro de un rectángulo es igual en la suma de las
medidas de los 4 lados. En este caso, solo se sumarán
tres lados del rectángulo. Asimismo, el área de un
rectángulo se obtiene multiplicando la medida del largo
por la medida del ancho
Realizamos la formulación matemática
1. ¿Qué expresión algebraica te permitirá calcular el área del
rectángulo?
El área máxima si se encuentra en la tabla, esta es
de 50 metros cuadrados.
Para que el rectángulo tenga una máxima área de
50 metros cuadrados, su ancho debe ser 5 m y su
largo 10 m.
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥(20 − 2𝑥)

7. 2. Empleamos la expresión algebraica que nos permita
obtener la medida de la cuerda y la expresión del área.
Luego, planteamos un nuevo modelo que nos permita
resolver el problema. ¿Cuál es la expresión algebraica que
nos permite resolver el problema?
3. ¿Qué nombre recibe esta expresión matemática?
4. ¿Qué magnitudes intervienen en la función? ¿Qué
magnitud es la variable dependiente y la independiente?
5. Describe las características de la expresión.
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 2𝑥 + (20 − 2𝑥)
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥(20 − 2𝑥)
Para resolver el problema, la expresión algebraica
sería:
𝑓(𝑥) = 𝑥(20 − 2𝑥)
Recibe el nombre de función cuadrática.
Interviene dos magnitudes: El área: f(x) y el ancho del
rectángulo: x
El área en la variable dependiente f(x); y el ancho es la
variable independiente (x).
𝑓(𝑥) = 𝑥(20 − 2𝑥)
𝒇 𝒙 = −2𝒙2
+ 20𝒙
Es la expresión de una función cuadrática; su gráfica es una
parábola. A la función de la forma f(x) = ax2
+ bx + c ;
completando cuadrados podemos darle la forma siguiente:
f(x) = 𝒂 𝒙 + 𝒉 𝟐
+ 𝒌 ; 𝒂 ≠ 𝟎
Donde:
 Vértice de la parábola: (-h; k)

8. Validamos la solución:
1. Asignamos nuevos valores a la medida del ancho y la
reemplazaremos en la expresión de la función cuadrática,
para ver si se puede obtener una mayor área del
rectángulo. Probaremos con algunos valores decimales e
iremos completando la tabla:
2. A partir de los resultados obtenidos, ¿cuánto es el área
máxima del rectángulo?
3. ¿Podemos decir que nuestro modelo es útil para
calcular el área de otros rectángulos donde varía el
perímetro?, ¿por qué?
4. Utilizamos GeoGebra para representar
gráficamente la función cuadrática, empleando el
modelo obtenido en la fase de la formulación
matemática. ¿Cuál es el punto máximo? ¿Qué forma
tiene la gráfica?
5. Para culminar, resolvemos las actividades del
Cuaderno de trabajo de Matemática.
ANCHO(X) en m 4,5 4,6
LARGO(m) 11,0 10,8
Total de la
cuerda(m)
20 20
Área del
rectángulo(𝑚2
)
49,5 49,82
49,68 49,98
49,92 49,98
50,0
4,9
10,4
4,7 4,8 5,1
5,0
10,6 10,2 10,0 9,8
20
20 20 20 20
El área máxima del rectángulo es 50 metros cuadrados.
Nuestro modelo sí es útil para calcular situaciones
similares.

9. Evaluamos nuestros avances
Ahora, nos autoevaluamos para
reconocer nuestros avances y lo que
requerimos mejorar. Coloca una “X” de
acuerdo con lo que consideres. Luego,
escribe las acciones que tomarás para
mejorar tu aprendizaje.
Criterios de evaluación
Lo logré
Estoy en
proceso
de
lograrlo
¿Qué puedo
hacer para
mejorar mis
aprendizajes?
Establecí relaciones entre datos, valores desconocidos y variación
entre magnitudes y las transformé a funciones cuadráticas.
Evalué si la expresión algebraica que planteo representa las
condiciones del problema, como los datos, términos desconocidos
o variación entre dos magnitudes.
Expresé con representaciones gráficas, tabulares y con lenguaje
algebraico mi comprensión sobre comportamiento gráfico de una
función cuadrática.
Expresé con representaciones gráficas los valores máximos,
mínimos e interceptos, su eje de simetría, vértice y orientación, para
interpretar su solución en relación a la situación
Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.
Seleccioné y combiné estrategias, métodos, recursos y
procedimientos más convenientes para representar funciones
cuadráticas, según las condiciones del problema.
Planteé afirmaciones sobre las relaciones de cambio que se observa
entre las variables de la función cuadrática. Justifiqué o descarté la
validez de mis afirmaciones mediante propiedades o razonamiento
inductivo y deductivo.

10. PROBLEMA 1: Un granjero cercará un campo rectangular,
como se muestra en la figura, pero no será necesario cercar
a lo largo del río. Si se sabe que el perímetro que se cercará
es de 3400 m, expresa el área del campo en función del
ancho “x” de este.
a. A(x) = 3400x – 2x2
b. A(x) = 2x2 + 3400
c. A(x) = 3400x2
d. A(x) = x2 + 3400
PROBLEMA 2: Enrique y su familia elaborarán tarjetas con
mensajes amigables para repartirlas entre sus familiares y vecinos.
Irán adornadas con cinta en tres lados, como muestra la figura,
destinando 60 cm de cinta para cada tarjeta.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de la tarjeta si se desea
maximizar su área?
¿Cuál será el área máxima?
a) Las dimensiones de las tarjetas deben ser de 15 cm por 30 cm
y el área máxima debe ser de 450 𝑐𝑚2
b) Las dimensiones de las tarjetas deben ser de 20 cm por 20 cm
y el área máxima debe ser de 400 𝑐𝑚2
c) Las dimensiones de las tarjetas deben ser de 25 cm por 20 cm
y el área máxima debe ser de 500 𝑐𝑚2
d) Las dimensiones de las tarjetas deben ser de 18 cm por 20 cm
y el área máxima debe ser de 360 𝑐𝑚2