Parábola

1. LA PARÁBOLA
DOCENTE: SAÚL ANTONIO CORTÉS DURÁN
INGENIERO CIVIL

2. RECORDEMOS QUE…….
La circunferencia, la parábola, elipse e hipérbola son llamadas cónicas porque se pueden
obtener haciendo cortes en un cono circular recto doble con un plano

3. DEFINICIÓN DE LA PARÁBOLA
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que
equidistan de un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.
𝑃𝐹 = 𝑃𝐷
ELEMENTOS
V: VÉRTICE
F: FOCO
𝐷𝐷 =DIRECTRIZ
LR: LADO RECTO, LR = |4p|
p: PARÁMETRO
(DISTANCIA DEL VÉRTICE
AL FOCO O A LA DIRECTRIZ)

4. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON ORIGEN EN EL
CENTRO Y FOCO F(p,0)
Es también conocida como parábola horizontal. Sea una parábola con vértice en el origen,
foco F (p, 0) donde p es el parámetro y su directriz x=-p. Se toma un punto P(x, y) que
cumpla con la condición de que la distancia al foco y a la directriz se la misma, es decir:
𝑃𝐹 = 𝑃𝐷
Donde,
𝑃𝐹 = (𝑥 − 𝑝)2+(𝑦 − 0)2
𝑃𝐷 = 𝑥 + 𝑝
(𝑥 − 𝑝)2+(𝑦 − 0)2= 𝑥 + 𝑝
(𝑥 − 𝑝)2+(𝑦)2
2
= 𝑥 + 𝑝 2
(𝑥 − 𝑝)2
+(𝑦)2
= 𝑥2
+ 2𝑝𝑥 + 𝑝2
𝑥2
− 2𝑝𝑥 + 𝑝2
+ 𝑦2
= 𝑥2
+ 2𝑝𝑥 + 𝑝2
𝑥2
− 𝑥2
+𝑦2
−2𝑝𝑥 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2
− 𝑝2
= 0
𝑦2
− 4𝑝𝑥 = 0

5. ELEMENTOS Y ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON
VÉRTICE EN EL ORIGEN F(p,0).
Su foco está sobre el eje X y son cóncavas hacia la derecha o a la izquierda.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑪𝒂𝒏ó𝒏𝒊𝒄𝒂
𝑦2 = 4𝑝𝑥
𝐹𝑜𝑐𝑜 = 𝐹(𝑝, 0)
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐷𝐷 : 𝑥 = −𝑝
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒: 𝑦 = 0
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
CONCAVIDAD:
 Si p>0, entonces la parábola abre hacia la
derecha.
 Si p<0, entonces la parábola abre hacia la
izquierda.

6. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON ORIGEN EN EL
CENTRO Y FOCO F(0,p)
Es también conocida como parábola vertical. Si el foco está sobre el eje Y, F(0,p) donde p
es el parámetro y su directriz la recta y = -p y vértice en el origen, al aplicar la definición el
resultado es el siguiente:
𝑃𝐹 = 𝑃𝐷
Donde,
𝑃𝐹 = (𝑦 − 𝑝)2+(𝑥 − 0)2
𝑃𝐷 = 𝑦 + 𝑝
(𝑦 − 𝑝)2+(𝑥 − 0)2= 𝑦 + 𝑝
(𝑦 − 𝑝)2+(𝑥)2
2
= 𝑦 + 𝑝 2
(𝑦 − 𝑝)2
+(𝑥)2
= 𝑦2
+ 2𝑝𝑦 + 𝑝2
𝑦2
− 2𝑝𝑦 + 𝑝2
+ 𝑥2
= 𝑦2
+ 2𝑝𝑦 + 𝑝2
𝑦2
− 𝑦2
+𝑥2
−2𝑝𝑦 − 2𝑝𝑦 + 𝑝2
− 𝑝2
= 0
𝑥2
− 4𝑝y = 0

7. ELEMENTOS Y ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON
VÉRTICE EN EL ORIGEN F(0,p).
Su foco está sobre el eje X y son cóncavas hacia la derecha o a la izquierda.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑪𝒂𝒏ó𝒏𝒊𝒄𝒂
𝑥2 = 4𝑝𝑦
𝐹𝑜𝑐𝑜 = 𝐹(0, 𝑝)
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐷𝐷 : 𝑦 = −𝑝
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒: 𝑥 = 0
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
CONCAVIDAD:
 Si p>0, entonces la parábola abre hacia arriba.
 Si p<0, entonces la parábola abre hacia abajo.

8. EJEMPLO N°01

9. EJEMPLO N°02