Parabola 08-11-2021 (1)

Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, pueden obtenerse cuando
con un plano se hace un corte a un cono circular recto de doble rama. Al va-
riar la posición del plano, obtenemos una circunferencia, una elipse, una pa-
rábola o una hipérbola, como se ilustra en la figura 1.
Figura 1
(a) Circunferencia (b) Elipse (c) Parábola (d) Hipérbola
Se obtienen cónicas degeneradas si el plano corta el cono en sólo un
punto o a lo largo de una o dos rectas que se encuentren en el cono. Las sec-
ciones cónicas fueron estudiadas ampliamente por los antiguos griegos, quie-
nes descubrieron propiedades que hacen posible que expresemos sus
definiciones en términos de puntos y rectas, como lo hacemos en nuestra ex-
posición.
De nuestro trabajo en la sección 3.6, si a 0, la gráfica de y ax2 bx
c es una parábola con un eje vertical. A continuación expresamos una de-
finición general de una parábola y deducimos ecuaciones para parábolas que
tienen un eje vertical o un eje horizontal.
l
816 C A P Í T U L O 11 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
11.1
Parábolas
Definición de una parábola Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes
de un punto fijo F (el foco) y una recta fija l (la directriz) que está en el
plano.
Supondremos que F no está en l, porque esto resultaría en una recta. Si P
es un punto del plano y es el punto en l determinado por una recta que pasa
P
Swokowski_11A_3R.qxd 15/1/09 5:06 PM Page 816

por P que es perpendicular a l (vea figura 2), entonces, por la definición ante-
rior, P está en la parábola si y sólo si las distancias y son igua-
les. El eje de la parábola es la recta que pasa por F que es perpendicular a la
directriz. El vértice de la parábola es el punto V sobre el eje situado a media
distancia entre F y l. El vértice es el punto en la parábola más cercano a la di-
rectriz.
Para obtener una ecuación sencilla para una parábola, coloque el eje y a
lo largo del eje de la parábola, con el origen en el vértice V, como se ve en la
figura 3. En este caso, el foco F tiene coordenadas (0, p) para algún número
real p 0 y la ecuación de la directriz es y p. (La figura muestra el caso
p
0.) Por la fórmula de la distancia, un punto P(x, y) está en la gráfica de la
parábola si y sólo si , es decir, si
Elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos:
Una ecuación equivalente para la parábola es
Hemos demostrado que las coordenadas de todo punto (x, y) sobre la pa-
rábola satisfacen x2 4py. Inversamente, si (x, y) es una solución de x2 4py,
entonces al invertir los pasos previos vemos que el punto (x, y) está sobre la
parábola.
Si p
0, la parábola abre hacia arriba, como en la figura 3. Si p 0, la
parábola abre hacia abajo. La gráfica es simétrica con respecto al eje y, porque
la sustitución de –x por x no cambia la ecuación x2 4py.
Si intercambiamos los papeles de x y y, obtenemos
o bien, lo que es igual,
Ésta es la ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco F(p, 0) y
abre a la derecha si p
0 o a la izquierda si p 0. La ecuación de la direc-
triz es x p.
Por comodidad nos referimos a “la parábola x2 4py” (o y2 4px) en
lugar de “la parábola con ecuación x2 4py” (o y2 4px).
La tabla siguiente resume nuestra exposición.
x
1
4p
y2
.
y2
4px
y
1
4p
x2
.
x2
4py
x2
y2
2py p2
y2
2py p2
x2
y p2
y p2
2x 02
y p2
2x x2
y p2
.
dP, P
dP, F
dP, P
dP, F
11 .1 P a r á b o l a s 817
Figura 2
P
V
Eje
Directriz
F
P
l
Figura 3
P(x, y)
V
P(x, p)
y p
F(0, p)
x2 4py
y
x

Vemos de la tabla que para cualquier número real a diferente de cero, la
gráfica de la ecuación estándar y ax2 o x ay2 es una parábola con vértice
V(0, 0). Además, a 1 (4p) o, lo que es equivalente, , donde
es la distancia entre el foco F y el vértice V. Para hallar la directriz l, recuerde
que l está también a una distancia de V.
E J E M P L O 1 Hallar el foco y directriz de una parábola
Encuentre el foco y directriz de la parábola y trace su gráfica.
SOLUC IÓN La ecuación tiene la forma , con . Al igual que en
la tabla anterior, y por tanto
p
1
4a

1
4
1
6

1

4
6

3
2
.
a 14p
a
1
6
y ax2
y
1
6 x2
p
p
p 14a

Parábolas con vértice V(0, 0)
Ecuación, foco, directriz Gráfica para p 0 Gráfica para p 0
o
Foco:
Directriz:
o
Foco:
Directriz: x p
F p, 0
x
1
4p
y2
y2
4px
y p
F0, p
y
1
4p
x2
x2
4py
y
x
F
V
p
p
y
x
F
V
y
x
F
V
p p
y
x
F V

Así, la parábola abre hacia abajo y tiene foco , como se ilustra en la
figura 4. La directriz es la recta horizontal , que es una distancia arriba
de V, como se muestra en la figura. L
E J E M P L O 2 Hallar una ecuación de la parábola que satisfaga
condiciones prescritas
(a) Encuentre la ecuación de la parábola que tenga vértice en el origen, abra
a la derecha y pase por el punto P(7, 3).
(b) Encuentre el foco de la parábola
SOLUC IÓN
(a) La parábola está trazada en la figura 5. Una ecuación de una parábola con
vértice en el origen, que abre a la derecha, tiene la forma x ay2 para cual-
quier número a. Si P(7, 3) está sobre la gráfica, entonces podemos sustituir
7 por x y 3 por y para hallar a:
o
En consecuencia, la ecuación para la parábola es .
(b) El foco está a una distancia p a la derecha del vértice. Como , te-
nemos
Por tanto, el foco tiene coordenadas . L
Si tomamos una ecuación estándar de una parábola (de la forma x2 4py)
y sustituimos x con x h y y con y k, entonces
(∗)
De nuestra discusión de traslaciones en la sección 3.5, reconocemos que la
gráfica de la segunda ecuación puede obtenerse de la gráfica de la primera
ecuación al desplazarla h unidades a la derecha y k unidades hacia arriba, con
ello moviendo el vértice de (0, 0) a (h, k). Si elevamos al cuadrado el lado iz-
quierdo de (∗) y simplificamos, tendremos una ecuación de la forma y ax2
bx c, donde a, b y c son números reales.
Del mismo modo, si empezamos con (y k)2 4p(x h), se puede es-
cribir en la forma x ay2 by c. En la tabla siguiente, V(h, k) ha sido co-
locado en el primer cuadrante, pero la información dada en la columna de la
extrema izquierda se cumple cualquiera que sea la posición de V.
x2
4py se convierte en x h2
4py k.
9
28 , 0
p
1
4a

1
47
9

9
28
.
a
7
9
x
7
9 y2
a
7
9
7 a32
,
3
2
y
3
2
F0,
3
2
11 .1 P a r á b o l a s 819
Figura 4
y
x
y w
F0, w
y Zx2
Figura 5
y
x
P(7, 3)

E J E M P L O 3 Trazar una parábola con un eje horizontal
Trace la gráfica de 2x y2 8y 22.
SOLUC IÓN La ecuación puede escribirse en la forma mostrada en la se-
gunda fila de la tabla anterior, x ay2 by c, de modo que vemos de la
tabla que la gráfica es una parábola con un eje horizontal. Primero escribimos
la ecuación dada como
y luego completamos el cuadrado al sumar a ambos lados:
y 42
2x 3
y2
8y 16 2x 6
1
2 82
16
y2
8y 2x 22
Parábolas con vértice V(h, k)
Ecuación, foco, directriz Gráfica para p 0 Gráfica para p 0
o
donde
Foco:
Directriz:
o
donde
Foco:
Directriz: x h p
Fh p, k
p
1
4a
x ay2
by c,
y k2
4px h
y k p
Fh, k p
p
1
4a
y ax2
bx c,
x h2
4p y k y
x
F p
V(h, k)
p
y
x
F
V(h, k)
y
x
F
p
V(h, k)
p
y
x
F
V(h, k)

Al consultar la última gráfica, vemos que h 3, k 4 y 4p 2 o bien, lo
que es equivalente, . Esto nos da lo siguiente.
La parábola está trazada en la figura 6. L
E J E M P L O 4 Hallar una ecuación de una parábola dados su vértice
y directriz
Una parábola tiene vértice V(4, 2) y directriz y 5. Exprese la ecuación de
la parábola en la forma .
SOLUC IÓN El vértice y directriz se muestran en la figura 7. Las líneas inte-
rrumpidas indican una posible posición para la parábola. La última tabla mues-
tra que una ecuación de la parábola es
con h 4 y k 2 y con p igual a 3 negativo, porque V está 3 unidades de-
bajo de la directriz. Esto nos da
La última ecuación puede expresarse en la forma y ax2 bx c, como
sigue:
L
Una propiedad importante está asociada con una recta tangente a la pará-
bola. (Una recta tangente a una parábola es una recta que tiene exactamente
un punto en común con la parábola pero no la cruza.) Suponga que l es la recta
tangente en un punto P(x1, y1) sobre la gráfica de y2 4px y sea F el foco.
Como en la figura 8, denotemos con a el ángulo entre l y el segmento de recta
FP y denotemos con b el ángulo entre l y la semirrecta horizontal indicada con
punto extremo P. Se puede demostrar que a b. Esta propiedad reflexiva
tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo, la forma del espejo de un faro se
obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje. Esta superficie tridi-
mensional resultante se dice estar generada por la parábola y se llama para-
boloide. El foco del paraboloide es el mismo que el foco de la parábola
generadora. Si una fuente de luz se coloca en F, entonces, por una ley de fí-
sica (el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia), un haz de luz se
reflejará a lo largo de una recta paralela al eje (vea la figura 9(a)). El mismo
principio se usa en la construcción de espejos para telescopios u hornos sola-
res, un haz de luz dirigido hacia el espejo parabólico y paralelo al eje se refle-
y
1
12 x2

2
3 x
2
3
12y x2
8x 8
x2
8x 16 12y 24
x 42
12 y 2.
x h2
4p y k,
y ax2
bx c
La directriz es x h p 3
1
2 , o bien x
5
2 .
El foco es Fh p, k F3
1
2 , 4, o bien F7
2 , 4.
El vértice Vh, k es V3, 4.
p
1
2
11 .1 P a r á b o l a s 821
Figura 6
y
x
2x y2
8y 22
V(3, 4) Fr, 4
Figura 7
y
x
y 5
V(4, 2)
Figura 8
F(p, 0)
y2 4px
y
x
b
a
P(x1, y1)
l
Q

jará en el foco (vea la figura 9(b)). Las antenas para sistemas de radar, te-
lescopios de radio y micrófonos de campo que se emplean en juegos de fútbol
también hacen uso de esta propiedad.
E J E M P L O 5 Localizar el foco de una antena satelital de TV
El interior de una antena satelital de TV es un disco con forma de un para-
boloide (finito) que tiene 12 pies de diámetro y 2 pies de profundidad,
como se muestra en la figura 10. Encuentre la distancia del centro del disco al
foco.
Figura 10 Figura 11
SOLUC IÓN La parábola generadora está trazada en un plano xy en la figura
11, donde hemos tomado el vértice de la parábola en el origen y su eje a lo
largo del eje x. Una ecuación de la parábola es y2 4px, donde p es la distan-
cia requerida del centro del disco al foco. Como el punto (2, 6) está en la pa-
rábola, obtenemos
L
En el siguiente ejemplo usamos una aplicación gráfica para trazar la gráfica de
una parábola con eje horizontal
E J E M P L O 6 Graficar semiparábolas
Grafique x y2 2y 4.
SOLUC IÓN La gráfica es una parábola con eje horizontal. Como y no es una
función de x, de la ecuación despejaremos y y obtendremos dos ecuaciones (en
forma muy semejante a como hicimos con circunferencia en el ejemplo 11 de
la sección 3.2). Empezamos por despejar y de la ecuación equivalente
y2
2y 4 x 0
62
4p 2, o bien p
36
8 4.5 ft.
y
x
(2, 6)
12
2
Figura 9
(a) Espejo de un reflector
Fuente de luz
Rayos de luz
(b) Espejo de telescopio
Ocular
Rayos de luz

en términos de x usando la fórmula cuadrática, con a 1, b 2 y c
4 x:
fórmula cuadrática
simplificar
factorizar ; simplificar
La última ecuación, , representa la mitad superior de la
parábola y la mitad inferior .
Observe que y 1 es el eje de la parábola.
A continuación, hacemos las asignaciones
Ahora graficamos Y1 y Y2 para obtener una imagen semejante a la figura 12.
L
Y1 1 2x 5 y Y2 1 2x 5.
y 1 2x 5
y 1 2x 5
y 1 2x 5
24
1 2x 5

2 220 4x
2
y
2 222
414 x
21
11 .1 P a r á b o l a s 823
Figura 12
[6, 6] por [5, 3]
11.1 E j e r c i c i o s
Ejer. 1-12: Hallar el vértice, foco y directriz de la parábola.
Trace su gráfica, mostrando el foco y la directriz.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ejer. 13-18: Hallar una ecuación para la parábola mostrada
en la figura.
13 14
y
x
F
V
y
x
V F
y2
4y 2x 4 0
x2
20y 10
y2
14y 4x 45 0
y x2
4x 2
y 12
12x 2
y 22

1
4 x 3
x 32

1
2 y 1
x 22
8 y 1
x2
3y
2y2
3x
20x y2
8y x2

15 16
17 18
Ejer. 19-30: Encuentre la ecuación de la parábola que satis-
faga las condiciones dadas.
19 Foco , directriz
20 Foco , directriz
21 Foco , directriz
22 Foco , directriz
23 Vértice , directriz
24 Vértice , directriz
25 Vértice foco
26 Vértice , foco
27 Vértice en el origen, simétrica con el eje y y que pasa por el
punto (2, 3)
28 Vértice en el origen, simétrica con el eje y y que pasa por el
punto (6, 3)
29 Vértice V(3, 5), eje paralelo al eje x y que pasa por el
punto (5, 9)
30 Vértice V(3, 2), eje paralelo al eje x e intersección en 1 con
el eje y.
Ejer. 31-34: Encuentre la ecuación para el conjunto de pun-
tos en un plano xy que sean equidistantes del punto P y la
recta l.
31 ; l: 32 ; l:
33 ; l: 34 ; l:
Ejer. 35-38: Encuentre la ecuación para la mitad indicada de
la parábola.
35 Mitad inferior de (y 1)2 x 3
36 Mitad superior de (y 2)2 x 4
37 Mitad derecha de (x 1)2 y 4
38 Mitad izquierda de (x 3)2 y 2
Ejer. 39-40: Encuentre la ecuación para la parábola que
tiene un eje vertical y pasa por los puntos dados.
39 , ,
40 , ,
Ejer. 41-42: Encuentre la ecuación para la parábola que
tiene un eje horizontal y pasa por los puntos dados.
41 , ,
42 , ,
43 Espejo de telescopio El espejo para un telescopio reflector
tiene la forma de un paraboloide (finito) de 8 pulgadas de
diámetro y 1 pulgada de profundidad. ¿A qué distancia del
centro del espejo se colectará la luz entrante?
Ejercicio 43
R12, 1
Q6, 2
P2, 1
R5, 1
Q11, 2
P1, 1
R2, 14
Q1, 7
P3, 1
R1, 6
Q2, 3
P2, 5
y 4
P5, 2
x 2
P6, 3
x 1
P7, 0
y 3
P0, 5
F1, 0
V1, 2
F4, 0
V1, 0
y 5
V2, 3
x 2
V3, 5
y 1
F3, 2
y 2
F6, 4
y 4
F0, 4
x 2
F2, 0
y
x
F(2, 1)
x 3
y
x
F(3, 2)
y 1
P
V
(3, 2)
y
x
V(2, 3)
P(2, 2)
y
x

11 .1 P a r á b o l a s 825
44 Disco de antena El disco de una antena satelital tiene la
forma de un paraboloide que mide 10 pies de diámetro en el
extremo abierto y tiene 3 pies de profundidad. ¿A qué dis-
tancia del centro del disco debe colocarse el receptor para
recibir la máxima intensidad de ondas de sonido?
45 Reflector de un proyector El reflector de un proyector eléc-
trico tiene la forma de un paraboloide, con la fuente de luz
en el foco. Si el reflector mide 3 pies de diámetro en la aber-
tura y 1 pie de profundidad, ¿dónde está el foco?
46 Espejo de una linterna El espejo de una linterna tiene la
forma de un paraboloide de 4 pulgadas de diámetro y de
pulgada de profundidad, como se ve en la figura. ¿Dónde
debe colocarse el foco para que los rayos de luz emitidos
sean paralelos al eje del paraboloide?
Ejercicio 46
47 Disco receptor Un disco receptor de sonido, que se emplea
en eventos deportivos al aire libre, está construido en forma
de paraboloide con su foco a 5 pulgadas del vértice. Deter-
mine el ancho del disco si la profundidad ha de ser de 2 pies.
48 Disco receptor Trabaje el ejercicio 47 si el receptor está a 9
pulgadas del vértice.
49 Reflector parabólico
(a) La longitud focal del paraboloide (finito) de la figura es
la distancia p entre su vértice y foco. Exprese p en tér-
minos de r y h.
(b) Un reflector se va a construir con una longitud focal de
10 pies y una profundidad de 5 pies. Encuentre el radio
del reflector.
Ejercicio 49
50 Parábolas confocales La parábola y 4p(x p) tiene su
foco en el origen y su eje a lo largo del eje x. Al asignar di-
ferentes valores a p, obtenemos una familia de parábolas
confocales, como se ve en la figura. Estas familias se pre-
sentan en el estudio de la electricidad y el magnetismo. De-
muestre que hay exactamente dos parábolas en la familia
que pasan por un punto dado P(x1, y1) si y1 0.
Ejercicio 50
51 Radiotelescopio de Jodrell Bank Un radiotelescopio tiene la
forma de un paraboloide de revolución, con longitud focal p
y diámetro de base 2a. De cálculo, el área superficial S dis-
ponible para recolectar ondas de radio es
Uno de los radiotelescopios más grandes, situado en Jodrell
Bank, Cheshire, Inglaterra, tiene diámetro de 250 pies y lon-
gitud focal de 75 pies. Calcule S a los mil pies cuadrados
más cercanos.
52 Trayectoria de satélite Un satélite se desplazará en una tra-
yectoria parabólica cercana a un planeta, su velocidad v en
metros por segundo satisface la ecuación ,
donde r es la distancia en metros entre el satélite y el centro
del planeta y k es una constante positiva. El planeta estará si-
tuado en el foco de la parábola y el satélite pasará una vez
por el planeta. Suponga que un satélite está diseñado para
seguir una trayectoria parabólica y pasará a no más de
58,000 millas de Marte, como se ve en la figura de la página
siguiente.
v 22kr
S
8p2
3 1
a2
4p23/2
1.
y
x
h
r
3
4

Parabola 08-11-2021 (1)

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