conteenido de la parabola y sus elementos

1. 2° año de Bachillerato Técnico V. Contador
Prof. Gabriel Anzora
La Parábola
UNIDAD 3 SECCIONES CÓNICAS

2. La Parábola
Con centro en el
origen
Ecuaciones y elementos
UNIDAD 3 SECCIONES CÓNICAS

3. Parábola vertical
Ecuaciones 𝑥2
= 4𝑝𝑦 𝑦 =
1
4𝑝
𝑥2
Vértice (0 , 0)
Foco (0, p)
Directriz y = -p
Eje de simetría x=0
Lado recto LR = |4p|
Si p>0 la parábola es cóncava hacia arriba
Si p<0 la parábola es cóncava hacia abajo
Parábola vertical con centro en el origen abierta hacia arriba o abierta hacia abajo.
Parábola abierta
HACIA ARRIBA
Parábola abierta
HACIA ABAJO

4. Parábola horizontal
Ecuaciones 𝑦2
= 4𝑝𝑥 𝑥 =
1
4𝑝
𝑦2
Vértice (0 , 0)
Foco (p, 0)
Directriz x = -p
Eje de simetría y=0
Lado recto LR = |4p|
Si p>0 la parábola es cóncava hacia la derecha
Si p<0 la parábola es cóncava hacia la izquierda
Parábola horizontal con centro en el origen abierta hacia la derecha o abierta hacia la izquierda.
Parábola abierta
HACIA LA DERECHA
Parábola abierta
HACIA LA IZQUIERDA

5. Ejemplos:
Ejemplo 1. Encuentra los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es y² -
4x = 0
Ejemplo 2. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje "x" pasa
por el punto A(3, 6). determinar la ecuación de la parábola, y la de todos sus elementos.
Ejemplo 3. Determine los elementos de la parábola que tiene por ecuación x² = 16y
Ejemplo 4. Determina la ecuación de la parábola con foco (0,6) y parámetro p=6
Ejemplo 5. Obtenga la ecuación de la parábola con la directriz y=5 y el foco (0,5)
Ejemplo 6. Dada la parábola 𝑦 =
1
16
𝑥2
determina su foco, vértice y directriz

6. La Parábola
Con desplazamientos
Ecuaciones y elementos

7. Desplazamientos de la parábola
Desplazamientos
horizontales
Afectan a x, así:
f(x-h) desplaza h unidades
a la derecha la gráfica de f .
f(x+h) desplaza h unidades
a la izquierda la gráfica de f
Desplazamientos
verticales
Afectan a y, así:
f(x)+k, desplaza k unidades
hacia arriba la gráfica de f .
f(x)-k, desplaza k unidades
hacia abajo la gráfica de f .

8. Ejemplos:
Ejemplo 1. Desplaza 8 unidades a la derecha de la gráfica de 𝑦 =
1
16
𝑥2
Ejemplo 2. Desplaza 10 unidades hacia arriba de la gráfica de 𝑦 =
1
16
𝑥2
Ejemplo 3. Determine el foco y vértice de la parábola 𝑦 = −
1
8
𝑥 + 5 2
− 4

9. Parábola vertical
Ecuaciones (𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘) 𝑦 − 𝑘 =
1
4𝑝
(𝑥 − ℎ)2
Vértice (h , k)
Foco (h, k + p)
Directriz y = k - p
Eje de simetría x=h
Lado recto LR = |4p|
Si p>0 la parábola es cóncava hacia arriba
Si p<0 la parábola es cóncava hacia abajo
Parábola vertical con centro fuera del origen abierta hacia arriba o abierta hacia abajo.
Parábola abierta
HACIA ARRIBA
Parábola abierta
HACIA ABAJO

10. Parábola horizontal
Ecuaciones (𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ) (𝑥 − ℎ) =
1
4𝑝
(𝑦 − 𝑘)2
Vértice (h, k)
Foco (h + p, k)
Directriz x = h - p
Eje de simetría y=k
Lado recto LR = |4p|
Si p>0 la parábola es cóncava hacia la derecha
Si p<0 la parábola es cóncava hacia la izquierda
Parábola horizontal con centro fuera del origen abierta hacia la derecha o abierta hacia la
izquierda.
Parábola abierta
HACIA LA DERECHA
Parábola abierta
HACIA LA IZQUIERDA

11. Ejemplos:
Ejemplo 1. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los
puntos (-5, 2) y (-1, 2) respectivamente.
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el
punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.
Ejemplo 3. Determine el parámetro, el vértice, el foco y la directriz de la parábola 𝑦 =
2 𝑥 − 6 2
+ 1
Ejemplo 4:

12. La Parábola
Ecuación General

13. Ecuación General de la Parábola
Desarrolle las operaciones indicadas en la ecuación de la parábola
𝑦 = 2 𝑥 − 6 2 + 1
La ecuación General de la Parábola tiene la forma:
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪𝒚 + 𝑫 = 𝟎
Ejemplo: Determina la ecuación general de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-5, 2) y (-
1, 2) respectivamente.