Tema: Cónicas, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares

1. “Santiago Mariño”
Conicas, Ecuaciones parametricas y
Coordenadas polares
Iván Lovera CI:27275224

2. Teorema
Es un enunciado que puede ser demostrado como verdadero
mediante operaciones matemáticas y argumentos lógicos.
En matemática, un teorema es una proposición teórica,
enunciado o fórmula que incorpora una verdad, axioma o
postulado que es comprobada por otros conjuntos de teorías
o fórmulas. Un teorema también es una regla o ley que se
expresa en forma de ecuaciones y / o fórmulas matemáticas.
En lógica, un teorema es una proposición deducida por
premisas y asunciones de un sistema siendo ideas o
creencias generalmente aceptadas como verdaderas.

3. Elipse
Son aquellas formas geométricas que están formadas
por curvas planas resultantes de la intersección entre
una forma cónica y un plano. La elipse no es un círculo si
no que se compone de dos trazos perpendiculares entre
sí de los cuales uno es mayor y otro menor (por lo
general el trazo vertical es el menor ya que la elipse
suele ser más extensa horizontal que verticalmente). La
conjunción de estos dos trazos es el centro de la elipse y
con ellos se forma el eje central de la elipse.
Una de las características de la elipse es que si
trazamos dos puntos cualquiera en alguno de los dos
trazos mencionados, la unión de los mismos en el
perímetro de la elipse siempre forma una figura cónica o
triangular. Dependiendo de donde se tracen estos
puntos, las líneas podrán ser mayores o menores o
incluso iguales si son trazadas a similar distancia del
perímetro. En algunos casos, las elipses pueden ser la
proyección de la perspectiva de los círculos.

4. Teorema
La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el
eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a
es
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que
las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la
ecuación de la elipse es
Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje
menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2.
También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es
=, y la excentricidad e está dada por la fórmula e

5. Propiedades de la elipse
•La tangente a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 en cualquier punto
P1(x1,y1) de la curva tiene por ecuación b2x1x+a2y1y=a2b2
•
•Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse
b2x2+a2y2=a2b2 son y.
•
•La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es
bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese
punto.

6. Parábola
parábola es un término que proviene del latín parabŏla y que
tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el
ámbito de la matemática, la parábola es el espacio
geométrico de los puntos de un plano que tienen
equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar
se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a la
generatriz y que disecciona un cono circular.
La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse
en fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una
fuente o el movimiento de un balón o pelota que es
impulsado por un jugador de básquetbol: “Manu Ginóbili
lanzó con una gran parábola para evitar a su defensor y logró
encestar”.

7. Teoremas
1: La ecuación de una parábola de vértice en el origen y el eje X,
es:
En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x
= - p.
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola
se abre hacia la izquierda. Si el eje de una parábola coincide con el
eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:
En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y
= - p. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola
se abre hacia abajo. En cada caso, la longitud del lado recto está
dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término
de primer grado.

8. 2: La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje x,
es de la forma: (y – k)² = 4p (x – h)
Siendo |p| la longitud del segmento del eje
comprendido entre el foco y el vértice.
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la
parábola se abre hacia la izquierda.
Si el vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es
de la forma:(x – h)² = 4p (y – k)
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la
parábola se abre hacia abajo.

9. Propiedades:
La parábola se puede considerar como una elipse, uno de
cuyos vértices se encuentra en el infinito, así como el
centro de la curva. Partiendo de esta consideración,
comprobaremos que las propiedades enunciadas para la
elipse, se cumplen igualmente en la parábola. La
circunferencia principal Cp, pasará por el vértice V de la
curva, y dado que el centro de la curva se encuentra en el
infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta
perpendicular al eje en el vértice V. La circunferencia
principal, se define como el lugar geométrico de los pies de
las perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las
tangentes (t) de la parábola.

10. hipérbola
Es aquella curva plana y simétrica respecto de dos planos
perpendiculares entre sí, mientras que la distancia en
relación a dos puntos o focos resulta constante.
O sea, la hipérbola es una sección cónica, una curva abierta
de dos ramas que se podrá obtener al cortar un cono recto
por un plano oblicuo al eje que impone simetría; y con un
ángulo más pequeño que el de la generatriz respecto del eje
de revolución.
Cabe destacar que se trata del lugar geométrico de los
puntos de un plano, siendo el valor absoluto de sus
distancias a dos puntos fijos, los focos, igual a la distancia
entre los vértices, la cual resulta ser una constante positiva.

11. Teorema de Dandelin
Teniendo nuestra superficie cónica sabemos como obtener una
hipérbola.
Aquí tenemos Las intersecciones del plano con las generatrices
que nos dan los puntos A y B, los vértices. Cambien tenemos dos
esferas tangentes al plano en los puntos F1 y F2 que son los focos,
y a la superficie cónica formando las circunferencias tangentes(que
pasan por T1y T2 una y por T3 y T4 la otra), cuyos planos al
extenderlos cortan el plano de corte y nos dan las directrices d1 y
d2.

12. Ahora en esta imagen podemos tomar la generatriz de la superficie
cónica que pasa por un punto P.
Esta corta a la esfera superior en un punto A y a la esfera inferior
en un punto B. Es evidente que sea cual sea el punto P, tenemos
siempre la relación |PB – PA| =AB = Cte. os puntos A y F1 son
puntos de la esfera superior, el segmento PA esta en la generatriz
así que es tangente a dicha esfera y el segmento PF1 también lo
es pues esta en el plano de corte y la esfera es tangente al plano.
Así pues PA y PF1 son segmentos de tangente a la esfera
trazados desde un mismo punto por lo que PA = PF1 Lo mismo
tenemos para los puntos B y F2,, el segmento PB es parte de la
generatriz por lo tanto es tangente a la esfera inferior y el
segmento PF2 se encuentra en el plano de corte por lo que
también es tangente a la esfera, siendo dos segmentos de
tangente a la esfera trazados desde el mismo punto tenemos que:
PB = PF2, Por un lado teníamos que: |PB – PA| =AB = Cte. Y por
el otro obtuvimos que: PA = PF1 y PB = PF2, por lo tanto el
resultado es: |PF1 – PF2| = Cte.

13. Propiedades
La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define
como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de
distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a
2a = AB, la longitud del eje real. Tiene dos ejes perpendiculares
que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor
AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se
representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos
comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia
focal se representa por 2c. Entre a, b y c existe la relación c2 = a2
+ b2. La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo
tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la
curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición
se verifica: r - r' = 2a.

14. Enlaces de youtube cónicas
Parábola: https://www.youtube.com/watch?v=gPkF2g0D8FU
Elipse: https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg
Hipérbola:
https://www.youtube.com/watch?v=ORQ_XfVXA2Q

15. Curva Plana
es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o
cerrada. La representación gráfica de una función real de
una variable real es una curva plana. Una curva
geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el
conjunto de puntos que representan las distintas posiciones
ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término
curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que
excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que
cambian continuamente de dirección, pero de forma suave.

16. Eliminación del Parámetro
Dada una curva en su representación paramétrica, a veces,
resulta conveniente expresarla en su forma rectangular o polar,
para esto, será necesario eliminar el parámetro t.
Desafortunadamente no existe un método único para eliminar el
parámetro t y tendremos que aplicar alguno de los vistos en
álgebra o aplicar identidades trigonométricas que hagan posible
su eliminación
Ejemplo

18. Curva suave
Una curva C representada por x = f (t) y y = g(t) es un
intervalo I, se dice que es suave si f ' g' son continuas en el
intervalo y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente
en los puntos terminales del intervalo. Es suave a trozos si
es suave en subintervalos del intervalo I.
Enlaces de youtube
curva plana
https://www.youtube.com/watch?v=OWGLtaOXppQ
Ecuaciones parametricas
https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo