divisibilidad propiedades básicas

1. I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
51
DIVISIBILIDAD

 D
DI
IV
VI
IS
SI
IÓ
ÓN
N
Si un número A se puede dividir
exactamente entre otro B se dice que: “A es
divisible por B”. Ejemplo:
¿Entre qué números se puede dividir
exactamente 24 aparte del 1?
24 2 24 3 24 4 24 6
24 12 24 8 24 6 24 4
0 0 0 0
24 8 24 12 24 24
24 3 24 3 24 1
0 0 0
24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
¿Entre que números es divisible 16?
16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____
Porque:
16 16 16 16
0
Se llama múltiplo de un número al
____________ de dicho número por
____________ número natural.
¿Cuáles son los múltiplos de 8?
8 x 1 = 8
8 x 2 =
8 x =
8 x =
8 x =
 N
NO
OT
TA
A:
 La unidad es divisor de todo número
entero
 el cero es múltiplo de todos los Z+
Textualmente
se tiene
Notación
Simbólica
“A es múltiplo
de B”
A =

B
O
OB
BS
SE
ER
RV
VA
AC
CI
IÓ
ÓN
N:
Los términos divisible y múltiplo están
siempre asociados.
64 8

 C
CR
RI
IT
TE
ER
RI
IO
OS
S D
DE
E D
DI
IV
VI
IS
SI
IB
BI
IL
LI
ID
DA
AD
D
I
I.
. D
DI
IV
VI
IS
SI
IB
BI
IL
LI
ID
DA
AD
D P
PO
OR
R 2
2

 D
Di
iv
vi
is
si
ib
bi
il
li
id
da
ad
d p
po
or
r 2
2 =
= (
(2
21
1
)
)
Calcula el residuo de las siguientes
divisiones:
47  2 = _______ resto ________
24  2 = _______ resto ________
320  2 = _______ resto ________
Un número es divisible por 2 si termina en
_____________ o en número
_________
Ejm:
46 es divisible por 2
46 es múltiplo de 2
46 =

2
87 no es divisible por 2 porque resta
_______________
87 se puede dividir entre 2 con resto
_______________
87 es múltiplo de 2 con resto
_______________
87 =

2 + resto

2. I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
52
59 _______ divisible por 2 porque resta
___________
59 =

2 +
63 ________ divisible por 2 porque resta
____________
63 =

2 +

 D
Di
iv
vi
is
si
ib
bi
il
li
id
da
ad
d p
po
or
r 4
4 =
= (
(2
2 2
2
)
)
Un número es divisible por 4 si sus _____
últimas ________ son ___________ o
múltiplo de ___________.
Ejm:
¿ 84
4
abc es divisible por 4?
Si, porque: 84 es múltiplo de 4

4
484
abc 
¿231 25 es divisible por 4?
No, porque 25 no es múltiplo de 4
25 =

4 con resto _____
23125 =

4 con resto _____
23125 =

4 + _____

 D
Di
iv
vi
is
si
ib
bi
il
li
id
da
ad
d p
po
or
r 8
8 =
= (
(2
2 3
3
)
)
Es divisible por 8 cuando sus _________
últimas cifras son ____________ o
múltiplo de _______________
¿ 128
ab
35
ab
48 es divisible por 8?
Si, porque 128  8 = __________, residuo
_________
¿36894 211 es divisible por 8?
______, porque 211  8 = _______ resto
________
36894211 =

8 + _______
I
II
I.
. D
DI
IV
VI
IS
SI
IB
BI
IL
LI
ID
DA
AD
D P
PO
OR
R 5
5n
n

 D
Di
iv
vi
is
si
ib
bi
il
li
id
da
ad
d p
po
or
r 5
5 =
= (
(5
51
1
)
)
¿En qué cifra debe terminar un número
para que sea divisible por 5?
Veamos:
120  5 resto ____________
241  5 resto ____________
482  5 resto ____________
633  5 resto ____________
684  5 resto ____________
905  5 resto ____________
Para que un número sea divisible por 5 su
última _________ debe ser _________ o
_____________
120 =

5
241 =

5 + 1
633 =

5 +
684 =

5 +
482 =

5 +
905 =

5 +

 D
Di
iv
vi
is
si
ib
bi
il
li
id
da
ad
d p
po
or
r 2
25
5 =
= (
( 5
5 2
2
)
)
Un número es divisible por 25 cuando sus
_______________ cifras son ________
o múltiplos de ___________. Ejem:
00
abc es divisible por 25 porque sus 2
últimas cifras son ___________
¿48575 es divisible por 25?
________ porque 75 ________ múltiplo
de 25.
¿Cuál es el resto en:

25
28
abc
48  + resto?
Rpta.: _____________
=

3. I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
53
¿Cuándo un número será divisible por
125 = 53
?
Rpta.: _____________
I
II
II
I.
. D
DI
IV
VI
IS
SI
IB
BI
IL
LI
ID
DA
AD
D P
PO
OR
R 3
3 Y
Y 9
9
 Un número es divisible por 3 si la ______
de sus ________ es ___________ de 3.
Ejm:
¿48651 es divisible por 3?
Solución:
4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24
24 es múltiplo de 3
48651 es divisible por 3
48651 =

3
¿352164 es divisible por 3?
3 + 5 + 2 + 1 + 6 + 4 =
______ múltiplo de 3
352164 __________ divisible por 3.
¿368851 es divisible por 3?
No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31
31  3 = ______ resto _____
31 =

3 +
368851 =

3 +
 Un número es divisible por 9 si la
__________ de sus ________ es
________ de 9.
Ejm:
¿4329918 es divisible por 9?
Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36
36  9 = 4
4329918 =

9
¿72652 es divisible por 9?
No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22
22  9 = ______ resto ______
22 =

9 +
72652 =

9 +
I
IV
V.
. D
DI
IV
VI
IS
SI
IB
BI
IL
LI
ID
DA
AD
D P
PO
OR
R 1
11
1
¿84436 es divisible por 11?
¿Cómo saberlo?
PASO 1.-
Empezando por la cifra de la derecha (6) se
suman de manera intercalada las cifras.
8 4 4 3 6
6 + 4 + 8
PASO 2.-
A este resultado se le resta la suma de las
cifras que quedaron.
8 4 4 3 6
= (6 + 4 + 8) – (4 + 3)
= 18 – 7 = 11 =

11
 84436 es divisible por 11
Si el resultado fuera cero también será
divisible por 11.
¿51030507 es divisible por 11?
5 1 0 3 0 5 0 7
(7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5)
16 – 5 = 11 =

11
 51030507 es divisible por 11
1. Completar en los espacios en blanco
adecuadamente
 Si un número termina en cero o cifra par
entonces será siempre divisible por _____
=
=
E
Ej
je
er
rc
ci
ic
ci
io
os
s
d
de
e
A
Ap
pl
li
ic
ca
ac
ci
ió
ón
n

4. I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
54
 Si un número termina en cero o cifra 5
entonces será siempre divisible por _____
2. Relacione ambas columnas:
I. 4125 ( )

2
II. 81423 ( )

3
III. 26132 ( )

5
3. Colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
 El número 46
ab es divisible por 4 ( )
 El número 96735 es divisible por 11 ( )
 El número 25
ab es divisible por 25 ( )
4. Hallar “a”, si:
8
25
a
483 


a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
5. Hallar “a”, si:
2
9
a
36482
a 


a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
6. Hallar el valor de “a” si:

3
6
a
7  y

5
bca
4 
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar el valor de “a” si:

11
a
3
b  y

5
b
4 
a) 7 b) 5 c) 9
d) 8 e) 0
8. Si:

5
b
43
b 
Calcular el residuo de dividir: b
437 entre 9.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Si:

11
a
864 
Calcular el residuo de dividir: 8
dba entre 4.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
10. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 300?
a) 30 b) 33 c) 34
d) 37 e) 38
E
Ev
va
al
lu
ua
ac
ci
ió
ón
n
1. Completar en los espacios en blanco
adecuadamente:
 Si las dos últimas cifras de un número son
ceros o múltiplos de 4 entonces el número
es siempre divisible por _____________
 Si la suma de cifras de un número es
múltiplo de 9 entonces el número es
siempre divisible por _____________
2. Relacione ambas columnas:
I. 1724 ( )

3
II. 5027 ( )

4
III. 61602 ( )

11
3. Colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
 El número 4624 es divisible por 25. ( )
 El número 65
ab es divisible por 4. ( )
 El número 63851 es divisible por 11. ( )
4. Hallar “a” si:

25
a
387  + 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 7 e) 8
5. Hallar “a” si:

9
a
8672
a  + 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Hallar “a” si:

9
3
a
8 

25
5
a
78 
a) 5 b) 2 c) 7
d) 0 e) 6
7. Hallar el valor de “b” si:

9
a
2
b 

8
a
63
aa 
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 5
8. Si:

4
a
431 
¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”?
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
9. Si:

11
7
a
64 
Calcular el residuo de dividir: a
8
db entre 4.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
10. Calcular “b”
86325 =

9 + b
a) 0 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8