En esta presentación aprenderás el método de Regula Falsi o método de la Falsa posición de forma teórica y práctica. Realizaremos un desarrollo donde obtendremos el método de forma natural y aprenderemos a utilizarlo en un caso concreto.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Resolución numérica de ecuaciones
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Resolución numérica de ecuaciones
CONTENIDO DE ESTE VÍDEO TUTORIAL
- Introducción.
- Método de bisección.
- Error cometido
- Ejemplo
Vídeo 1 de 4: Método de Bisección
Vídeo 2 de 4: Método de Regula Falsi o Falsa posición
- Introducción.
- Método de Regula Falsi o Falsa posición.
- Ejemplo
Vídeo 3 de 4: Método de Newton Raphson
- Introducción.
- Método de Newton Raphson
- Error cometido.
- Ejemplo
Vídeo 4 de 4: Método de la secante
- Introducción.
- Método de la secante
- Ejemplo
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Método de Regula-Falsi
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Método de Regula-Falsi
Introducción
Dada una función f(x), se pretende hallar la solución de la ecuación f(x)=0.
El método de Bisección, está basado en el Teorema de Bolzano.
Teorema de Bolzano
Sea f:[a,b] →R, una función continua en [a,b]
De forma que f toma distinto signo en los extremos, es decir:
f(a)<0 y f(b)>0
ó
f(a)>0 y f(b)<0
(Esta condición se escribirá a partir de ahora f(a)f(b)<0)
Entonces existe un valor c del intervalo (a,b) en el cual f(c)=0
En otras palabras, c es una solución de la ecuación f(x)=0
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Método de Regula-Falsi
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Método de Regula-Falsi
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El método de Regula – Falsi es una mejora del método de Bisección, basado en el
Teorema de Bolzano como vimos en el vídeo 1.
Se pretende calcular la solución de una ecuación de la forma f(x)=0, donde f es
una función continua en [a,b] con f(a)f(b)<0
Se halla la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b, f(b))
Método de Regula-Falsi o Falsa posición

4. Vídeo tutorial FdeT:
Método de Regula-Falsi
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Y una vez hallada se aproxima la solución r, por el valor que se obtiene de cortar esa
recta con el eje OX, es decir, el valor que se obtiene al hacer y=0.
La recta que pasa por (a,f(a)) y (b,f(b)) tiene como vector director
Usando ese vector director y el punto (a,f(a)), obtenemos la ecuación de la
recta que viene dada por:
( )
( ) ( )
x a y f a
b a f b f a
− −
=
− −
( , ( )) ( , ( )) ( , ( ) ( ))v b f b a f a b a f b f a= − = − −
r

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Método de Regula-Falsi
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Calculamos el punto de corte de esa recta con el eje OX, es decir cuando y=0, y en
ese caso obtengo el valor de m.
( )
( ) ( )
x a f a
b a f b f a
− −
=
− −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b a f a b a f a
x a x
f b f a f b f a
− −
= − → =
− −
Y el valor obtenido es el valor de m, así:
( ) ( )
( ) ( )
b a f a
m
f b f a
−
=
−

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Método de Regula-Falsi
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Método de Regula-Falsi
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El método consistiría en realizar iteraciones del procedimiento dado, es decir:
1.- Llamamos a0=a, b0=b de tal forma que f(a0)f(b0)<0
2.- Para n=0,1,2,3,…
( ) ( )
( ) ( )
n n n n
n
n n
a f b b f a
m
f b f a
−
=
−
Si f(an)f(mn)<0 tomo an+1=an y bn+1=mn
Si f(mn)f(bn)<0 tomo an+1=mn y bn+1=bn

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Método de Regula-Falsi
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Ventajas de este método frente a Bisección
-Este método converge más rápidamente a la solución.
-Un extremo suele permanecer fijo.
-El otro extremo converge a la raíz.
Inconvenientes de este método frente a Bisección
-No hay una fórmula para acotar el orden como ocurría con el método de
bisección.
-Para estimar el error debemos hacerlo con dos aproximaciones consecutivas
del mismo, es decir |mn+1-mn|

8. Vídeo tutorial FdeT:
Método de Regula-Falsi
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Ejemplo
Resuelve e-x
-x=0, con un error menor que 0,005
En este ejemplo f(x)=e-x
-x, es continua en el conjunto de los números reales.
Para encontrar una solución debemos encontrar primero los valores de a y b, de
forma que f(a)f(b)<0.
f(0)=1>0
f(1)=-0.63212…<0
Ya tenemos los valores con los que comenzaremos a realizar el método.
Comenzaremos con a0=0, b0=1

9. Vídeo tutorial FdeT:
Método de Regula-Falsi
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1.- a0=0, b0=1 f(a0)=1 f(b0)=-0,63212…
0 0 0 0
0
0 0
0
( ) ( ) 0 (1) 1 (0)
0,53629
( ) ( ) (1) (0)
( ) (0,53629) 0,0486243
a f b b f a f f
m
f b f a f f
f m f
− −
= = =
− −
= =
Al ser f(m0)>0, se tiene que f(m0)f(b0)<0, y por tanto a1=m0, b1=b0.
2.- a1=0,53629 , b1=1 f(0,53629)=0,0486243 f(b1)= - 0,63212…
Al ser f(m1)<0, se tiene que f(a1)f(m1)<0, y por tanto a2=a1, b2=m1.
1 1 1 1
1
1 1
1
( ) ( ) 0,53629 (1) 1 (0,53629)
0,5694119
( ) ( ) (1) (0,53629)
( ) (0,5694119) 0,00355378
a f b b f a f f
m
f b f a f f
f m f
− −
= = =
− −
= = −

10. Vídeo tutorial FdeT:
Método de Regula-Falsi
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Antes de continuar estimamos el error cometido, para ello calculamos
|m1-m0|=|0,5694119-0,53629|=0,033
El error todavía es mayor que 0,005 que es lo que pide el ejercicio, por lo que
tenemos que realizar más iteraciones del método.
3.- a2=a1=0,53629 f(a2)= 0,0486243
b2=m1=0,5694119 f(b2)=-0,00355378
2 2 2 2
2
2 2
( ) ( ) 0,53629 (0,5694119) 0,5694119 (0,53629)
0,567156011
( ) ( ) (0,5694119) (0,53629)
a f b b f a f f
m
f b f a f f
− −
= = =
− −

11. Vídeo tutorial FdeT:
Método de Regula-Falsi
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Calculamos la estimación del error cometido.
|m2-m1|=|0,567156011-0,5694119|=0,002255
Observemos que la estimación del error es inferior a 0,005 por lo que la
aproximación m2=0,567156011 es una aproximación de la solución con un error
inferior a 0,005.
Nótese que la solución exacta de esta ecuación es 0,567143… con lo que
podemos observar la precisión que se obtiene con este método en el tercer
paso.

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Método de Regula-Falsi
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Resumen:
•Hemos recordado el Teorema de Bolzano, mediante el cual podemos localizar un
intervalo que contiene a una raíz de la ecuación f(x)=0.
•Hemos obtenido el método de Regula-Falsi o método de Falsa posición utilizando
una mejora del método de bisección.
•Como el método de Regula-Falsi no nos permite hallar un cálculo del error
cometido, hemos comentado que la forma de aproximar el error es mediante dos
aproximaciones consecutivas de la raíz.
•Hemos comparado este método con el método de bisección, visto en el primer
vídeo de esta sección.
•Hemos concluido la presentación con un ejemplo práctico de cómo se utiliza este
mátodo.