En esta presentación de FdeT, aprenderás a resolver un problema de optimización. Calcularemos la ecuación que liga las dos variables que intervienen en el problema y obrendremos la función a optimizar. Finalmente resolveremos el problema de optimziación.

1. En este vídeo vas a aprender a resolver un problema de
optimización.
Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: Optimización
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Problemas resueltos: optimización
Enunciado:
Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado
del camino cuesta 80 euros el metro y la de los restantes lados a 10 euros el metro.
Calcula el área del mayor campo que puede cercarse con 28800 euros.

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En primer lugar debemos realizar un dibujo del problema
Notaremos por x a la medida de los lados que hay paralelos al camino y por y a la
medida de los lados que hay perpendiculares al camino.
El problema nos dice que el coste de la valla es de 80 euros el metro para el lado del
camino y de 10 euros el metro para los demás, esto se traduce en la siguiente ecuación:
camino
y
x

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80𝑥 + 10𝑥 + 2 10𝑦 = 28800
Es decir, si simplificamos se tiene:
90𝑥 + 20𝑦 = 28800
O equivalentemente, si dividimos por 10
9𝑥 + 2𝑦 = 2880
Por otro lado nos indican que tenemos que calcular las dimensiones de la finca de
mayor área que podemos cercar.
Al tratarse de un rectángulo, el área viene dada por A=xy
Esta área tiene que ser máxima.
Por tanto tenemos que maximizar la función A=xy, sujeta a la condición
9𝑥 + 2𝑦 = 2880

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Despejamos y de la condición anterior y se tiene:
𝑦 =
2880 − 9𝑥
2
Ahora sustituimos y en la expresión que debemos maximizar, y nos queda:
𝑓 𝑥 = 𝑥
2880 − 9𝑥
2
=
2880𝑥 − 9𝑥2
2
Esta es la función que debemos maximizar.
Derivamos para hallar los puntos críticos:
𝑓´ 𝑥 =
2880 − 18𝑥
2
= 1440 − 9𝑥

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Buscamos los ceros de la derivada, por lo tanto tenemos que resolver:
1440 − 9𝑥 = 0 𝑥 = 160
Este es el candidato a máximo o mínimo.
Para saber si se trata de un máximo o un mínimo podemos hacerlo de dos formas:
Forma 1:
Hacemos la segunda derivada y sustituimos el punto.
Si ocurre que f´´(160) >0, se trata de un mínimo, si por el contrario f´´(160)<0 se trata
de un máximo.
En nuestro caso
𝑓´´ 𝑥 = −9
Por lo tanto 𝑓´´ 160 = −9 < 0, por lo que x=160 es un máximo.

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Forma 2:
Estudiamos los signos de la primera derivada:
Por tanto
f es creciente en −∞, 160
f es decreciente en 160, +∞
f tiene un máximo relativo en x=160.
160 Signo 𝑓´(𝑥)
+ -

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Observamos que de ambas formas obtenemos que f alcanza un máximo relativo en
x=160.
Para x=160, el valor de y es: y =
2880−9𝑥
2
, al sustituir el valor de x, se tiene que y=720.
Por tanto el campo de mayor área que podemos cercar con un valor de 28800 euros es
aquel campo rectangular cuyo lado del camino mide 160 metros y el lado perpendicular
al camino mide 720 metros.
El área máxima que podemos cercar será de
Á𝑟𝑒𝑎 = 160 ∙ 720 = 115200𝑚2
camino
720 m
160 m
115200𝑚2