En esta presentación de FdeT aprenderás a estudiar si un determinado conjunto forma o no una topología. Aprenderás los axiomas que debe cumplir un conjunto para que sea una topología.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: Topología básica
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Estudiar si una determinada aplicación define una distancia.
- Comparar dos topologías definidas sobre un mismo espacio.

2. Enunciado:
Se considera el conjunto de los números reales:
a) Demostrar que la aplicación 𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1} define una distancia en ℝ.
b) Comparar la topología generada por la distancia del apartado anterior, con la topología usual de ℝ.
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3. a) Tenemos que probar que la aplicación:
𝑑: ℝ2 → ℝ
Definida por 𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1} define una distancia en los números reales.
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4. a) Tenemos que probar que la aplicación:
𝑑: ℝ2 → ℝ
Definida por 𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1} define una distancia en los números reales.
En primer lugar vamos a recordar el concepto de distancia.
Una distancia d, sobre un conjunto X, es una aplicación:
𝑑: 𝑋2 → 𝑅
Que cumple:
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5. a) Tenemos que probar que la aplicación:
𝑑: ℝ2 → ℝ
Definida por 𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1} define una distancia en los números reales.
En primer lugar vamos a recordar el concepto de distancia.
Una distancia d, sobre un conjunto X, es una aplicación:
𝑑: 𝑋2 → 𝑅
Que cumple:
1. 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , y además 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦
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6. a) Tenemos que probar que la aplicación:
𝑑: ℝ2 → ℝ
Definida por 𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1} define una distancia en los números reales.
En primer lugar vamos a recordar el concepto de distancia.
Una distancia d, sobre un conjunto X, es una aplicación:
𝑑: 𝑋2 → 𝑅
Que cumple:
1. 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , y además 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦
2. 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
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7. a) Tenemos que probar que la aplicación:
𝑑: ℝ2 → ℝ
Definida por 𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1} define una distancia en los números reales.
En primer lugar vamos a recordar el concepto de distancia.
Una distancia d, sobre un conjunto X, es una aplicación:
𝑑: 𝑋2 → 𝑅
Que cumple:
1. 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , y además 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦
2. 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
3. Desigualdad triangular:
𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋
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8. Por lo tanto para comprobar que la aplicación que nos propone el enunciado es una distancia sobre el conjunto de los
números reales, bastará con comprobar que se cumplen las tres afirmaciones indicadas.
1. 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , y además 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1} ≥ 0
Además se tiene que:
• Si 𝑥 = 𝑦, entonces obviamente 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 = 0, y por lo tanto 𝑑 𝑥, 𝑦 = min 𝑥 − 𝑦 , 1 = min 0,1 = 0
• Si 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0, entonces tenemos que
min 𝑥 − 𝑦 , 1 = 0 ⇒ 𝑥 − 𝑦 = 0
De donde deducimos que 𝑥 = 𝑦
En consecuencia: 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦
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9. 2. 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
Como se tiene que
𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥
Entonces es fácil deducir que:
min 𝑥 − 𝑦 , 1 = min{ 𝑦 − 𝑥 , 1}
De donde concluimos que:
𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥)
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10. 3. 𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
Para probar esta afirmación, como la distancia viene definida como el mínimo de dos valores, debemos de distinguir dos
casos:
• Si ocurre que 𝑥 − 𝑧 > 1 ó 𝑧 − 𝑦 > 1
En este caso
𝑑 𝑥, 𝑧 = min 𝑥 − 𝑧 , 1 = 1
𝑑 𝑧, 𝑦 = min 𝑧 − 𝑦 , 1 = 1
Como 𝑑 𝑥, 𝑦 = min 𝑥 − 𝑦 , 1 < 1
Entonces se cumple que:
𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦
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11. • Si 𝑥 − 𝑧 < 1 y 𝑧 − 𝑦 < 1
Entonces
𝑑 𝑥, 𝑧 = min 𝑥 − 𝑧 , 1 = |𝑥 − 𝑧|
𝑑 𝑧, 𝑦 = min 𝑧 − 𝑦 , 1 = |𝑧 − 𝑦|
Entonces utilizando la desigualdad triangular para el valor absoluto tenemos que:
𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦 = 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧, 𝑦)
Es decir:
𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦 ≥ 𝑥 − 𝑦 ≥ min 𝑥 − 𝑦 , 1 = 𝑑(𝑥, 𝑦)
En consecuencia, hemos probado que:
𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
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12. Por lo tanto hemos demostrado que la aplicación definida en el ejercicio cumple las tres condiciones para ser una distancia.
De esta forma la aplicación
𝑑 𝑥, 𝑦 = min{ 𝑥 − 𝑦 , 1}
Es una distancia sobre el conjunto de los números reales.
b) Comparar la topología generada por la distancia d del apartado anterior, con la topología usual de ℝ
Vamos a denotar en primer lugar por 𝑇𝑑 a la topología generada por la distancia d, y por 𝑇𝑢 a la topología usual en ℝ
Vamos a estudiar las bolas en ambas topologías.
• En la topología usual, la bola de centro 𝑎 ∈ ℝ y radio 𝜀, viene determinada por:
𝐵 𝑎, 𝜀 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 − 𝑎 < 𝜀 = 𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀
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13. • En la topología definida por la distancia anterior d, la bola de centro 𝑎 ∈ ℝ y radio 𝜀, viene determinada por:
𝐵 𝑑 𝑎, 𝜀 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑑(𝑥, 𝑎) < 𝜀 = {𝑥 ∈ ℝ; min 𝑥 − 𝑎 , 1 < 𝜀}
Observemos que como
 Si 𝜀 > 1, 𝐵 𝑑 𝑎, 𝜀 = 𝑥 ∈ ℝ; min 𝑥 − 𝑎 , 1 < 𝜀 = ℝ
 Si 𝜀 < 1, 𝐵 𝑑 𝑎, 𝜀 = 𝑥 ∈ ℝ; min 𝑥 − 𝑎 , 1 < 𝜀 = 𝐵(𝑥, 𝜖)
En ambos casos se trata de un abierto con la topología usual, de donde se deduce que:
𝑇𝑑 ⊆ 𝑇𝑢
Veamos a continuación que también se cumple la otra inclusión:
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14. Dado un número real 𝑥 ∈ ℝ, y 𝜀 > 0, consideramos la bola de centro x y radio 𝜀 en la topología usual, esto es:
𝐵(𝑥, 𝜀)
Si consideramos ε´ = min{𝜀, 1}
Entonces
𝐵 𝑑(𝑥, 𝜀´) ⊆ 𝐵(𝑥, 𝜀)
Ya que si 𝑑 𝑥, 𝑦 < 1, entonces 𝑑 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦|. En consecuencia la topología generada por la métrica d, es más fina que
la usual.
𝑇𝑑 ⊆ 𝑇𝑢
De las dos inclusiones probadas se deduce que la topología generada por la métrica d, coincide con la topología usual.
𝑇𝑑 = 𝑇𝑢
FIN
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