En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver problemas utilizando derivadas. Aprenderás a utilizar la regla de L´Hôpital.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: analisis
CONTENIDO DE ESTE VÍDEO TUTORIAL
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En este vídeo vas a aprender a:
• Calcular límites usando la regla de L´hôpital.
• Hallar la derivada de una función mediante la derivación
logarítmica.
• Estudiar la continuidad y derivabilidad de una función
definida a trozos.
• Calcular la ecuación de la recta tangente de una función.

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Problemas resueltos: analisis
Enunciado:
Sea la función f: −
𝜋
2
,
𝜋
2
→ ℝ definida por
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 ≠ 0
𝑎 𝑥 = 0
Se pide:
a) El valor de a para que f sea contínua.
b) Hallar si existe la derivada de f(x) ∀𝑥 ∈ −
𝜋
2
,
𝜋
2
c) La ecuación de la recta tangente, si existe en x=0.

3. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: analisis
a) Para estudiar la continuidad de la función, en primer lugar hay que observar que
la función es continua en todo su dominio salvo en el punto x=0, ya que se trata
de una composición de funciones continuas y el denominador del exponente no
se anula en el intervalo de definición salvo en el punto x=0.
Por tanto debemos estudiar el punto x=0.
Para que f sea continua en x=0, bastará con comprobar que:
𝑓 0 = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)
• 𝑓 0 = 𝑎
• lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
Observamos que:
lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1∞(𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

4. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: analisis
Por tanto para resolverlo utilizaremos el criterio del 1∞
. Recordamos el criterio:
lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑒 𝐿
lim
𝑥→0
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 𝐿
Por lo tanto haremos este último límite:
lim
𝑥→0
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
0
0
Indeterminación
Aplicamos la regla de L´Hôpital en este último límite y nos queda:
lim
𝑥→0
−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 0
Por lo tanto tenemos que:
lim
𝑥→0
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0

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Problemas resueltos: analisis
En consecuencia:
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑒0
= 1
Por tanto para que sea continua la función en x=0, tiene que ocurrir que:
𝑓 0 = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) a = 1
b) Hallar, si existe, la derivada de f(x) en −
𝜋
2
,
𝜋
2
.
Para calcular la derivada de f(x) en −
𝜋
2
,
𝜋
2
− {0}, tenemos que derivar la expresión:
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥

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Problemas resueltos: analisis
Para derivar esta expresión tenemos que utilizar la técnica conocida como derivación
logarítmica.
Tomamos logaritmos en la expresión anterior, esto es:
𝑙𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
Y a continuación utilizamos las propiedades de los logaritmos para llegar a la
expresión:
ln 𝑓 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥
Ahora derivamos ambas expresiones, y se tiene:
𝑓´(𝑥)
𝑓(𝑥)
=
−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
ln 𝑐𝑜𝑠𝑥 +
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥

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Problemas resueltos: analisis
Ahora simplificamos la expresión:
𝑓´(𝑥)
𝑓(𝑥)
=
−𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
Y ahora despejamos 𝑓´(𝑥)
𝑓´(𝑥) = 𝑓(𝑥)
−𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
Por lo tanto tenemos:
𝑓´(𝑥) =
−𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥

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Tenemos que estudiar a continuación la derivada de la función en el punto x=0, para ello
tenemos que estudiar:
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1
𝑥
Si sustituimos x=0 en la función obtenemos la indeterminación
0
0
, por tanto podemos
aplicar la regla de L´Hôpital. (Obsérvese que la derivada del numerador ya está calculada
anteriormente), por lo tanto:
lim
𝑥→0
−𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
= lim
𝑥→0
−𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
Ahora observemos que:
lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1

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Por tanto podemos centrarnos en el cálculo de:
lim
𝑥→0
−𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
De nuevo si sustituimos x=0 en este límite nos sale la indeterminación
0
0
, por lo que
podemos aplicar de nuevo la regla de L´Hôpital, y nos quedaría:
lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
− 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3 𝑥
Y simplificando se llega a:
lim
𝑥→0
2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
=
−1
2

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Por lo tanto se tiene que:
lim
𝑥→0
−𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
Y en consecuencia
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1
𝑥
=
−1
2
Por lo tanto tenemos que f es derivable en x=0,y además:
𝑓´ 0 = −
1
2

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c) Finalmente nos preguntan por la ecuación de la recta tangente en x=0.
La ecuación de la recta tangente en el punto x=0, viene determinada por:
𝑦 − 𝑓 0 = 𝑓´(0)(𝑥 − 0)
Como ya hemos calculado en el apartado anterior 𝑓´ 0 = −
1
2
, y 𝑓 0 = 1
Por tanto si sustituimos tenemos:
𝑦 − 1 = −
1
2
𝑥 − 0
Es decir la ecuación de la recta tangente viene dada por:
𝑦 = 1 −
1
2
𝑥