En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de programación lineal. Calcularemos las restricciones que aparecen en un problema de programación lineal así como la función objetivo. Hallaremos la región factible y finalmente resolveremos el problema.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: programación lineal
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Resolver un problema de programación lineal.
- Calcular los vértices de la región factible.
- Optimizar la función objetivo.

2. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: programación lineal
ENUNCIADO:
Un fabricante elabora dos tipos de anillos a base de oro y plata. Cada anillo del primer tipo
precisa 4 g de oro y 2 de plata, mientras que cada uno del segundo necesita 3 g de oro y 1 de
plata. Sabiendo que dispone de 48 g de oro y 20 de plata y que los precios de venta de cada
tipo de anillo son 150 euros el primero y 100 euros el segundo, ¿cuántos anillos de cada tipo
tendría que producir para obtener los ingresos máximos? ¿A cuánto ascenderían estos
ingresos?

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PROBLEMA RESUELTO: programación lineal
En primer lugar vamos a realizar una tabla que nos aclare un poco la situación
Por lo tanto tenemos las restricciones:
4𝑥 + 3𝑦 ≤ 48
2𝑥 + 𝑦 ≤ 20
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Anillo tipo I Anillo tipo II Restricciones
x y 𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Oro (g) 4 3 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 48
Plata (g) 2 1 2𝑥 + 𝑦 ≤ 20
Ingresos 150 100

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La función objetivo será la función que nos define los ingresos, esto es:
𝐹 𝑥, 𝑦 = 150𝑥 + 100𝑦
Esta es la función que hay que maximizar.
A continuación vamos a representar gráficamente el recinto que nos delimitan las restricciones.
3𝑥 + 4𝑦 = 48
2𝑥 + 𝑦 = 20

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Por lo tanto la región factible está determinada por el polígono ABCD.
El teorema fundamental de la programación lineal afirma que cuando la región factible es convexa y acotada, sus extremos
absolutos (máximo y mínimo) se encuentran en los vértices de la misma.
En el caso de que dos vértices tengan el mismo valor mínimo (o máximo) será solución del problema todo el segmento que
los une.
Por lo tanto vamos a calcular los vértices A, B, C y D. Para ello resolveremos los sistemas de ecuaciones que se forman.
• Calculo A. En este caso A es el origen de coordenadas. A=(0,0)
• Calculo B.
B se obtiene como la intersección de la recta 2𝑥 + 𝑦 = 20 con la recta y=0
2𝑥 + 𝑦 = 20
𝑦 = 0
𝑥 = 10
𝑦 = 0
Por lo tanto B=(10,0)

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• Calculo C. Para ello resuelvo el sistema de ecuaciones:
4𝑥 + 3𝑦 = 48
3𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 = 6
𝑦 = 8
Por lo tanto 𝐶 = 6,8
• Calculo D.
4𝑥 + 3𝑦 = 48
𝑥 = 0
𝑥 = 0
𝑦 = 16
Por lo tanto 𝐷 = (0,20)
De esta forma tenemos ya calculados los vértices de la región factible:
𝐴(0,0) 𝐵(10,0) 𝐶(6,8) 𝐷(0,16)

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Como hemos comentado anteriormente, la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo en los vértices, por lo que
tenemos que hallar el valor de la función objetivo en estos puntos:
• 𝐹 𝐴 = 𝐹 0,0 = 150 0 + 100 0 = 0
• 𝐹 𝐵 = 𝐹 10,0 = 150 10 + 100 0 = 1500
• 𝐹 𝐶 = 𝐹 6,8 = 150 6 + 100 8 = 1700
• 𝐹 𝐷 = 𝐹 0,16 = 150 0 + 100 16 = 1600
Por lo tanto F alcanza el máximo en el punto C.
Para que los beneficios sean máximos tiene que producir 6 anillos de tipo I y 8 anillos de tipo II. Ésta producción le daría
unos beneficios de 1700 €