En esta presentación aprenderás a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo integral en un ejemplo concreto. Utilizaremos este Teorema para calcular un límite utilizando también la regla de L´Hôpital.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Aplicar el Teorema fundamental del Cálculo.
• Aplicar correctamente la regla de L´Hôpital.
• Calcular el polinomio de Taylor para aproximar una función.

2. ENUNCIADO
Sea la función F: ℝ → ℝ definida por
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑒−𝑡2
𝑑𝑡
a) Calcula razonadamente la derivada de F(x).
b) Calcula
lim
𝑥→0
𝐹 𝑥 − 𝑥
𝑥2
c) Calcula una aproximación de F(1/2) mediante 𝑃4
1
2
, siendo 𝑃4(𝑥) el polinomio de Taylor
de orden 4 de F en x=0.
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3. a) Calcula razonadamente la derivada de F.
Para calcular la derivada de F, basta con observar que la función
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥2
Es una función continua en los números reales, por lo que aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene
que la función
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Es una función derivable, y además su derivada vale:
𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥2
∀𝑥 ∈ ℝ
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4. b) Calcula
lim
𝑥→0
𝐹 𝑥 − 𝑥
𝑥2
Como F(0)=0, al sustituir x=0 en este límite, nos aparece la indeterminación
0
0
.
Como hemos visto en el apartado anterior la función F(x) es derivable, por tanto el numerador y el denominador
de esta fracción son funciones derivables por lo que se puede aplicar la regla de L´Hôpital.
Si la aplicamos se tiene:
lim
𝑥→0
𝐹 𝑥 − 𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
𝑒−𝑥2
− 1
2𝑥
De nuevo nos aparece de nuevo la indeterminación
0
0
, por lo que aplicamos de nuevo la regla de L´Hôpital, y nos
queda:
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5. lim
𝑥→0
𝐹 𝑥 − 𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
𝑒−𝑥2
− 1
2𝑥
= lim
𝑥→0
(−2𝑥)𝑒−𝑥2
2
= 0
Por tanto llegamos a que:
lim
𝑥→0
𝐹 𝑥 − 𝑥
𝑥2
= 0
c) Calcula una aproximación de 𝐹(
1
2
) mediante 𝑃4(
1
2
), siendo 𝑃4(𝑥) el polinomio de Taylor de orden 4 de F(x).
En primer lugar vamos a hallar el polinomio de Taylor de orden 4, de la función F(x).
Recordamos que:
𝑃4 𝑥 = 𝐹 0 +
𝐹´ 0
1!
𝑥 − 0 +
𝐹´´ 0
2!
𝑥 − 0 2 +
𝐹´´´(0)
3!
𝑥 − 0 3 +
𝐹4)
4!
𝑥 − 0 4
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6. Calculamos en primer lugar las derivadas sucesivas de F en el punto x=0.
𝐹´ 𝑥 = 𝑒−𝑥2
𝐹´´ 𝑥 = −2𝑥𝑒−𝑥2
𝐹´´´ 𝑥 = (−2 + 4𝑥2
)𝑒−𝑥2
𝐹4) 𝑥 = 12𝑥 − 8𝑥3 𝑒−𝑥2
𝐹´ 0 = 1
𝐹´´ 0 = 0
𝐹´´´ 0 = −2
𝐹4) 0 = 0
Recordamos que F(0)=0. De esta forma si sustituimos estos valores en la expresión del polinomio de Taylor se
tiene:
𝑃4 𝑥 = 0 +
1
1
𝑥 +
0
2
𝑥2 +
−2
6
𝑥3 +
0
24
𝑥4
Por lo tanto tenemos que:
𝑃4 𝑥 = 𝑥 −
1
3
𝑥3
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7. Ahora para hallar la aproximación de F(1/2), basta con sustituir:
𝑃4
1
2
=
1
2
−
1
3
1
8
=
11
24
Por lo tanto:
𝐹
1
2
=
0
1
2
𝑒−𝑡2
𝑑𝑡 ≈ 𝑃4
1
2
=
11
24
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