En esta presentación de FdeT aprenderás a demostrar que un determinado conjunto es un espacio vectorial paso a paso. Así como a demostrar la independencia lineal de un conjunto de vectores y a calcular el subespacio complementario de uno dado.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: Espacios vectoriales
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Estudiar si un determinado conjunto forma un subespacio vectorial.
- Decidir si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente.
- Calcular una base de un subespacio vectorial.
- Ampliar una base de un subespacio vectorial para que sea base de un espacio vectorial.
- Encontrar el subespacio complementario de un subespacio dado.

2. Enunciado:
Sea 𝑃3 el espacio vectorial de los polinomios de una variable de grado inferior o igual a 3 con coeficientes en ℝ
Se pide:
a) Probar que el conjunto F= {𝑝 ∈ 𝑃3: 𝑝 1 = 𝑝´ 1 = 0} (donde 𝑝´ denota la derivada del polinomio p) es un subespacio
vectorial de 𝑃3 y calcular su dimensión
b) Estudiar si los polinomios 𝑝1 = (𝑥 − 1)2 y 𝑝2 = 𝑥(𝑥 − 1)2 son linealmente independientes, y calcula una base de F.
c) Encuentra los polinomios necesarios para ampliar la base de F hallada en el apartado anterior y formar una base de 𝑃3.
d) Determina un subespacio vectorial complementario E de F en 𝑃3.
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3. a) Probar que el conjunto F= {𝑝 ∈ 𝑃3: 𝑝 1 = 𝑝´ 1 = 0} (donde 𝑝´ denota la derivada del polinomio p) es un subespacio
vectorial de 𝑃3 y calcular su dimensión
Recordemos que para que F sea un subespacio vectorial de 𝑃3, (recordemos que el cuerpo es 𝐾 = ℝ) es suficiente con
probar:
∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃3, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝑃3
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4. a) Probar que el conjunto F= {𝑝 ∈ 𝑃3: 𝑝 1 = 𝑝´ 1 = 0} (donde 𝑝´ denota la derivada del polinomio p) es un subespacio
vectorial de 𝑃3 y calcular su dimensión
Recordemos que para que F sea un subespacio vectorial de 𝑃3, (recordemos que el cuerpo es 𝐾 = ℝ) es suficiente con
probar:
∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝐹
Sean 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹, y sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Consideramos la combinación lineal 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞
• 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝑃3 ya que 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹 ⊆ 𝑃3 y éste es un espacio vectorial.
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5. a) Probar que el conjunto F= {𝑝 ∈ 𝑃3: 𝑝 1 = 𝑝´ 1 = 0} (donde 𝑝´ denota la derivada del polinomio p) es un subespacio
vectorial de 𝑃3 y calcular su dimensión
Recordemos que para que F sea un subespacio vectorial de 𝑃3, (recordemos que el cuerpo es 𝐾 = ℝ) es suficiente con
probar:
∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝐹
Sean 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹, y sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Consideramos la combinación lineal 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞
• 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝑃3 ya que 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹 ⊆ 𝑃3 y éste es un espacio vectorial.
• 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 1 = 𝑎𝑝 1 − 𝑏𝑞 1 = 𝑎 · 0 − 𝑏 · 0 = 0
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Como 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹 ⇒ 𝑝 1 = 𝑞 1 = 0

6. a) Probar que el conjunto F= {𝑝 ∈ 𝑃3: 𝑝 1 = 𝑝´ 1 = 0} (donde 𝑝´ denota la derivada del polinomio p) es un subespacio
vectorial de 𝑃3 y calcular su dimensión
Recordemos que para que F sea un subespacio vectorial de 𝑃3, (recordemos que el cuerpo es 𝐾 = ℝ) es suficiente con
probar:
∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝐹
Sean 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹, y sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Consideramos la combinación lineal 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞
• 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝑃3 ya que 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹 ⊆ 𝑃3 y éste es un espacio vectorial.
• 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 1 = 𝑎𝑝 1 − 𝑏𝑞 1 = 𝑎 · 0 − 𝑏 · 0 = 0
• 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ´ 1 = 𝑎𝑝´ − 𝑏𝑞´ 1 = 𝑎𝑝´ 1 − 𝑏𝑞´ 1 = 𝑎 · 0 − 𝑏 · 0 = 0
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Como 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐹 ⇒ 𝑝´ 1 = 𝑞´ 1 = 0

7. Por lo tanto 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝐹, y en consecuencia 𝐹 es un subespacio vectorial de 𝑃3.
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8. Por lo tanto 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 ∈ 𝐹, y en consecuencia 𝐹 es un subespacio vectorial de 𝑃3.
Vamos a calcular a continuación la dimensión de F, para ello en primer lugar observamos que:
𝐹 = 𝑝 ∈ 𝑃3: 𝑝 1 = 𝑝´ 1 = 0
Por lo tanto si 𝑝 ∈ 𝐹, se cumple que:
• El grado de p es menor o igual que 3.
• 𝑝 1 = 0
• 𝑝´ 1 = 0
En consecuencia si 𝑝 ∈ 𝐹, con 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑, entonces tenemos que:
• 𝑝 1 = 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0
• 𝑝´ 1 = 0 ⇒ 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0
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9. Resolviendo el sistema:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0
De la segunda ecuación obtenemos que:
𝑐 = −3𝑎 − 2𝑏
Despejando d en la primera ecuación y sustituyendo la expresión anterior tenemos que:
𝑑 = −𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = −𝑎 − 𝑏 − −3𝑎 − 2𝑏 = 2𝑎 + 𝑏
Por tanto tenemos que:
𝑐 = −3𝑎 − 2𝑏
𝑑 = 2𝑎 + 𝑏
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10. Por lo tanto:
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ −3𝑎 − 2𝑏 𝑥 + 2𝑎 + 𝑏
Agrupando términos y sacando factor común a y b se llega a:
𝑝 𝑥 = 𝑎 𝑥3
− 3𝑥 + 2 + 𝑏(𝑥2
− 2𝑥 + 1)
Si denotamos por:
𝑝1 𝑥 = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
𝑝2 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 1
Tenemos que:
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11. 1. 𝑝1, 𝑝2 ∈ 𝐹
• 𝑝1 1 = 𝑝2 1 = 0
• 𝑝´1 1 = 𝑝´2 1 = 0
2. 𝑝1, 𝑝2 son un sistema de generadores de F.
Este hecho está probado en el razonamiento anterior, ya que si 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 es un polinomio cualquiera, hemos probado que
existen valores 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, tales que 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑝1 𝑥 + 𝑏𝑝2(𝑥).
2. 𝑝1, 𝑝2 son linealmente independientes.
Supongamos que existen dos números reales 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, tales que:
𝑎𝑝1 + 𝑏𝑝2 = 0
Entonces tenemos que:
𝑎 𝑥3 − 3𝑥 + 2 + 𝑏 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + −3𝑎 − 2𝑏 𝑥 + 2𝑎 + 𝑏 = 0
Como 1, 𝑥, 𝑥2
, 𝑥3
es una base del espacio vectorial 𝑃3, tenemos que 𝑎 = 0, 𝑏 = 0
En consecuencia hemos demostrado que 𝑝1, 𝑝2 son linealmente independientes.
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12. Por lo tanto tenemos que 𝑝1, 𝑝2 forma una base del subespacio vectorial F. En consecuencia tenemos que:
dim(𝐹) = 2
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13. Por lo tanto tenemos que 𝑝1, 𝑝2 forma una base del subespacio vectorial F. En consecuencia tenemos que:
dim(𝐹) = 2
b) Estudiar si los polinomios 𝑝1 = (𝑥 − 1)2 y 𝑝2 = 𝑥(𝑥 − 1)2 son linealmente independientes, y calcula una base de F.
Observemos que 𝑝1, 𝑝2 ∈ 𝐹, ya que cumplen
• 𝑝1 1 = 𝑝2 1 = 0
• 𝑝´1 1 = 𝑝´2 1 = 0
Para estudiar si son linealmente independientes consideramos 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, tales que:
𝑎𝑝1 + 𝑏𝑝2 = 0
Si son linealmente independientes, se cumplirá que: 𝑎 = 𝑏 = 0
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14. 𝑎(𝑥 − 1)2
+𝑏𝑥(𝑥 − 1)2
= 0
Desarrollando la expresión anterior llegamos a:
𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏𝑥3 − 2𝑏𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 𝑏𝑥3 + 𝑎 − 2𝑏 𝑥2 + −2𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 = 0
Como 1, 𝑥, 𝑥2
, 𝑥3
es una base del espacio vectorial 𝑃3, tenemos que 𝑎 = 0, 𝑏 = 0
Por lo tanto queda demostrado que 𝑝1, 𝑝2 es linealmente independiente en F.
En el apartado anterior hemos comprobado que dim 𝐹 = 2, por lo tanto
𝑝1, 𝑝2 es una base de F
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15. c) Encuentra los polinomios necesarios para ampliar la base de F hallada en el apartado anterior y formar una base de 𝑃3.
Sabemos que 𝑑𝑖𝑚 𝑃3 = 4, por lo que necesitamos encontrar dos vectores para ampliar la base de F
(𝑥 − 1)2, 𝑥(𝑥 − 1)2
Ampliamos la base de F con los vectores 1, 𝑥
Es decir consideramos el conjunto de vectores:
(𝑥 − 1)2
, 𝑥(𝑥 − 1)2
, 1, 𝑥
Veamos que son linealmente independientes:
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, tales que 𝑎(𝑥 − 1)2+𝑏𝑥(𝑥 − 1)2+𝑐 + 𝑑𝑥 = 0
Tenemos que probar que 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0
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16. 𝑎(𝑥 − 1)2
+𝑏𝑥(𝑥 − 1)2
+𝑐 + 𝑑𝑥 = 0 𝑏𝑥3
+ 𝑎 − 2𝑏 𝑥2
+ −2𝑎 + 𝑏 + 𝑑 𝑥 + −𝑎 + 𝑐 = 0
Como 1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3 es una base del espacio vectorial 𝑃3, tenemos que
𝑏 = 0
𝑎 − 2𝑏 = 0
−2𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = 0
−𝑎 + 𝑐 = 0
De donde resolviendo el sistema deducimos que:
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0
Por lo tanto llegamos a la conclusión que (𝑥 − 1)2
, 𝑥(𝑥 − 1)2
, 1, 𝑥 son linealmente independientes y como el número de
elementos coincide con la dimensión del espacio, se tiene que forman una base de 𝑃3.
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17. d) Determina un subespacio vectorial complementario E de F en 𝑃3.
Como hemos ampliado la base de F, el subespacio complementario de F tendrá como base los elementos que le hemos
añadido a la base de F para formar una base del espacio vectorial 𝑃3.
Es decir el subespacio complementario E de F tiene como base
1, 𝑥
O dicho de otra forma, E es el subespacio de 𝑃3, formado por los polinomios de grado menor o igual que 1, es decir 𝑃1.
FIN
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