Regiones de comportamiento atípico de billares caóticos

Regiones de comportamiento
at´ıpico en billares caóticos
In memoriam
M. en C. Jorge Alejandro Hernández Tahuilán
2010

Jorge Alejandro Hernández Tahuilán (1983–2010)
Conoc´ı a Jorge por primera vez en agosto de 2008, cuando tomó un curso que
di en el Posgrado en Ciencias F´ısicas sobre Herramientas Computacionales. Al final
del curso, los asistentes tuvieron que hacer un proyecto computacional, y Jorge me
pidió que lo encaminara. Le suger´ı que simulara unos modelos tipo billar en dos
dimensiones, lo cual logró con mucho éxito, al producir unas simulaciones bonitas
con visualizaciones en tiempo real.
Fue hasta marzo de 2009 cuando Jorge se me acercó para discutir la posibilidad
de trabajar en su tesis de maestr´ıa conmigo. Le suger´ı varios proyectos posibles,
pero estábamos de acuerdo en que retomara su código para simular billares, para
extenderlo a tres dimensiones, el cual quedó muy bien, y permitió entender de manera
intuitiva ciertas propiedades de estos billares.
El proyecto se fue desarrollando durante el siguiente año, incluyendo discusiones
con investigadores internacionales, y culminó en un art´ıculo de investigación. Éste se
escribió en colaboración con un investigador húngaro, y se envió para su publicación
en la revista internacional Nonlinearity en junio de 2010. Jorge produjo todas las
figuras para el art´ıculo, que también forma parte de su tesis.
En su trabajo de tesis, Jorge aplicó un método computacional, llamado “Dinámica
Ponderada de Liapunov”, a los modelos tipo billar. Se trata de una manera de
encontrar tipos de comportamientos especiales –at´ıpicos, como indica el t´ıtulo– en
estos sistemas. Aparentemente no se hab´ıa aplicado a estos sistemas anteriormente.
Jorge extendió el método a este caso, y lo aplicó a distintos billares en dos y tres
dimensiones, en particular para buscar regiones de estabilidad en los sistemas que
son principalmente caóticos. El método resulta ser poderoso, y planeábamos escribir
otro art´ıculo sobre estos resultados.
Jorge ten´ıa contemplado seguir con el programa del doctorado en f´ısica en el
mismo posgrado de la UNAM, y yo estaba ansioso por seguir trabajando con él en el
desarrollo del proyecto.
Jorge fue siempre un excelente estudiante, trabajador y dedicado, as´ı como un ser
humano culto, educado y humilde, y con un sentido de humor agradable. Fue una
experiencia muy grata trabajar de manera cercana con él.
Lo extrañaremos siempre.
David P. Sanders, diciembre de 2010
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Agradecimientos
Agradezco al Dr. David Philip Sanders por su valiosa gu´ıa y por la paciencia que
me tuvo a lo largo de este trabajo.
A la UNAM por haberme brindado la oportunidad de seguir con mis estudios.
A los miembros de mi comité tutoral por sus sugerencias y correcciones para
este trabajo, que fueron de gran importancia al mostrarme aspectos que no hab´ıa
considerado.
A todas las personas que directa o indirectamente me han apoyado a lo largo de
estos últimos años, a mi familia, y por supuesto a todos mis amigos. Mi trabajo es
también su trabajo.
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Índice general
I Antecedentes 1
1. Definiciones 3
1.1. Modelos tipo billar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Medidas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Transformaciones ergódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Transformaciones mezclantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Ejemplos de billares en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7. Modelos mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1. Gases de part´ıculas en interacción . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2. Gases de esferas duras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.3. Gas de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Exponentes de Liapunov 17
2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Hiperbolicidad y región de Pesin . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Lema del seguimiento (Shadowing lemma) . . . . . . . . . 21
2.2. Estimación numérica del espectro de Liapunov . . . . . . . . . . . 22
2.2.1. Algoritmo de Benettin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Estimación numérica del espectro de Liapunov para billares 26
2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1. Evolución del máximo exponente de Liapunov con el número
de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Billares en 2 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3. Billar en 3 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Dinámica ponderada de Liapunov 37
3.1. Idea del método de LWD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Detalles del método de LWD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Mapeo estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1. LWD aplicado al mapeo estándar . . . . . . . . . . . . . . 42
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II Resultados 45
4. LWD para billares 47
4.1. Posibles perturbaciones de la dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. LWD en billares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Ejemplos del LWD en billares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4. Alcances del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1. Billar estadio redondeado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2. Ruido vs. tamaño de las islas encontradas . . . . . . . . . . 54
4.4.3. Reducción progresiva del ruido . . . . . . . . . . . . . . . 56
5. LWD en un billar tridimensional 61
5.1. El estadio cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2. LWD en el estadio cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3. Subvariedades invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4. Estabilidad de las órbitas periódicas encontradas . . . . . . . . . . . 66
6. Conclusiones 69
A. Código de las simulaciones 71
B. Estadio redondeado 73
B.1. Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.2. Ecuaciones de la geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


Índice de figuras
1.1. Ejemplo de un billar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Billar en un c´ırculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Billar en una elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Billar en menos de medio c´ırculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Billar de Sinai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Billar en un estadio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Billar en un hongo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8. Billar en una pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9. Gas de Lorentz y un fluido periódico. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Evolución de los vectores ortonormales iniciales. . . . . . . . . . . 24
2.2. Ortogonalización de Gram–Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Efecto de la transformación discreta en los vectores tangentes. . . . 28
2.4. Evolución del máximo exponente de Liapunov con el número de
colisiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Espectro de Liapunov de varios billares. . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6. Un billar en 3 dimensiones y su espectro de Liapunov. . . . . . . . . 34
2.7. Máximo exponente de Liapunov del billar de la figura 2.6(a). . . . . 35
3.1. Rotor pateado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Espacio fase del mapeo estándar para diferentes valores de k. . . . . 42
3.3. LWD aplicado al mapeo estándar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4. LWD aplicado al mapeo estándar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1. Posibles perturbaciones de la dinámica de los billares. . . . . . . . . 48
4.2. LWD aplicado al billar de hongo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3. LWD aplicado al estadio de Bunimovich. . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4. Una órbita periódica parabólica en el estadio. . . . . . . . . . . . . 51
4.5. LWD aplicado al billar de menos de medio c´ırculo. . . . . . . . . . 52
4.6. LWD aplicado a un estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.7. Espacio de colisiones de un estadio redondeado con islas minúsculas. 55
4.8. LWD aplicado a un estadio redondeado con islas minúsculas. . . . . 55
4.9. LWD con reducción progresiva del ruido aplicado al mapeo estándar. 57
4.10. LWD con reducción progresiva del ruido aplicado al mapeo estándar. 57


4.11. LWD con reducción progresiva del ruido aplicado al estadio re-
dondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1. Estadio cil´ındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2. Proyección en el plano del estadio cil´ındrico. . . . . . . . . . . . . 62
5.3. LWD aplicado al estadio cil´ındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4. LWD aplicado al estadio cil´ındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5. Una trayectoria de la subvariedad invariante de la figura 5.4. . . . . 65
5.6. Otro tipo de trayectorias encontradas con el LWD en el estadio
cil´ındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.7. Una órbita periódica y cómo cambia su estabilidad. . . . . . . . . . 67
5.8. Una órbita periódica y cómo cambia su estabilidad. . . . . . . . . . 68
B.1. El parámetro b del estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B.2. El parámetro c del estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B.3. Espacios de colisiones para b = 0.6 y diferentes valores de c. . . . . 75
B.4. Dependencia de las islas el´ıpticas en los parámetros b y c. . . . . . . 76
B.5. Geometr´ıa del estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


Introducción
Los modelos de billares constituyen una importante clase de sistemas dinámicos
que han sido ampliamente estudiados. Su importancia radica en que estos modelos
simples pueden capturar toda la complejidad de los sistemas Hamiltonianos, desde
la integrabilidad hasta el movimiento caótico, e incluso pueden extenderse al caso
no-hamiltoniano. Algunos de estos sistemas presentan un fuerte comportamiento
caótico, al grado de que pueden ser considerados entre los mejores ejemplos de
caos determinista. Estos objetos requieren para su estudio formal arduas aplicaciones
de la teor´ıa de la medida; sin embargo, manipular estos sistemas y cambiar sus
propiedades para llevar a cabo distintos experimentos numéricos es muy fácil, pues
sus propiedades dinámicas dependen sólo de la geometr´ıa de la mesa de billar. El
gran avance que ha tenido el estudio de los billares en los últimos tiempos se debe en
gran parte a la posibilidad de llevar a cabo estos cálculos numéricos.
Los modelos tipo billar pertenecen a la selecta clase de sistemas donde se
pueden obtener resultados rigurosos, como demostrar que la hipótesis ergódica se
cumple. El modelo más simple de sistema hamiltoniano en que se han probado
diversas manifestaciones de la no integrabilidad es el sistema de esferas duras.
Éste consiste de part´ıculas sin rotación que chocan elásticamente entre s´ı en una
región del espacio. Un gas puede ser descrito, de una manera muy simplista, por este
modelo. La dinámica de los sistemas de esferas duras es equivalente a la de un billar
en una dimensión mayor, y, por lo tanto, deber´ıa cumplirse la hipótesis ergódica para
estos sistemas. Tuvo que pasar casi un siglo para que esta hipótesis propuesta por
Boltzmann fuera demostrada por Sinai, en el caso más reducido de un gas de dos
discos.
Los billares pueden pensarse como un sistema mecánico muy idealizado, pero
esta equivalencia también es válida para algunos sistemas electromagnéticos y
cuánticos. Eso los ha hecho cobrar recientemente aún más importancia, pues es
posible llevar a cabo experimentos que reproducen sus equivalentes cuánticos, e
incluso es posible comparar la influencia de imperfecciones mecánicas de billares
electromagnéticos en cavidades resonantes superconductoras con respecto a los
sistemas idealizados [1].


Resumen
En esta tesis se implementaron y estudiaron dos maneras estrechamente rela-
cionadas de caracterizar la dinámica de los modelos tipo billar. La primera es el
cálculo del espectro de Liapunov, y la otra es la adaptación del método Dinámica
Ponderada de Liapunov (del inglés Lyapunov-Weighted Dynamics, ó LWD), que
sirve para encontrar trayectorias raras en el sistema estudiado, permitiendo encontrar
regiones de estabilidad o inestabilidad según se requiera.
El texto se divide en dos partes: en la primera se dan los antecedentes del presente
trabajo. En el primer cap´ıtulo se exponen las definiciones de los modelos tipo billar
y algunos conceptos elementales. El segundo cap´ıtulo continúa con los conceptos
relacionados con los exponentes de Liapunov, se exponen los detalles para calcular
éstos para los billares, y se calcula el espectro de Liapunov para algunas mesas. En el
cap´ıtulo tercero se expone el método de LWD, y se ejemplifica aplicándolo al mapeo
estándar.
La segunda parte contiene los resultados nuevos. En el cap´ıtulo cuarto se estudia
la manera de adaptar el LWD a los billares. En ese cap´ıtulo se muestran varios
ejemplos y se discuten los alcances del método. Finalmente, en el cap´ıtulo quinto
se aplica este método a un billar tres-dimensional y se analizan los resultados.


Cap´ıtulo 1
Definiciones
Los sistemas que se estudiarán en esta tesis toman el nombre del juego de billar,
donde algunas bolas son golpeadas con un taco para mandarlas a las buchacas. Y
aunque estos modelos sólo toman en cuenta una bola de billar puntual, que no gira
y que viaja en l´ınea recta, la dinámica resultante es muy rica, pues al cambiar la
geometr´ıa de la región en la que se mueven se pueden obtener sistemas que ilustran
muchas de las propiedades de los sistemas dinámicos hamiltonianos.
1.1. Modelos tipo billar
Un modelo tipo billar [2] es un sistema dinámico que describe a una part´ıcula
puntual moviéndose en una región fija y chocando con los bordes de ésta. Los
modelos tipo billar serán llamados simplemente billares. La part´ıcula se mueve, sin
la influencia de ninguna fuerza, en una región Q, de dimensión d, abierta y acotada,
de Rd
ó Td
. La frontera ∂Q = Λ está compuesta en general por un número finito de
subvariedades suaves Ck
, de dimensión (d − 1), denotadas por {Λ1, . . . , Λs}, de tal
forma que ∂Q = Λ = Λ1 ∪ · · · ∪ Λs. Llamaremos a la región Q la mesa del billar y
a la frontera ∂Q la orilla de la mesa de billar.
La part´ıcula tiene posición q ∈ Q y velocidad v ∈ Rd
. Mientras no choque con
la orilla de la mesa, la dependencia temporal de su posición y su velocidad está dada
por
˙q = v y ˙v = 0 . (1.1)
Dado que estamos interesados en billares de una sola part´ıcula, la magnitud de
la velocidad no es importante, por lo que fijaremos v = 1. Podemos también
tomar como unitaria la masa de la part´ıcula, por lo que su momento coincide con
su velocidad. Al hacer eso, las ecuaciones (1.1) son las ecuaciones de movimiento
correspondientes a la hamiltoniana H(p, q) = p 2
/2. El dominio Q es llamado el
espacio de configuración, y el espacio fase del sistema está dado por M = Q×S d−1
,
donde S d−1
es la esfera unitaria de dimensión (d − 1) de los vectores velocidad.
3

4 Cap´ıtulo 1. Definiciones
Figura 1.1: Ejemplo de un billar.
Cuando q ∈ ∂Q, la part´ıcula choca con la orilla del billar y la velocidad de la
part´ıcula cambia discontinuamente, siguiendo las leyes de la reflexión elástica, es
decir, el ángulo de incidencia con la normal es el mismo que el de reflexión. Por
lo tanto, el vector velocidad de salida vf estará relacionado con el vector velocidad
incidente vi como
vf = vi − 2(vi · n)n . (1.2)
Aqu´ı, n = n(q) es el vector normal unitario de la frontera ∂Q en el punto q.
La normal n(q) no está definida en la intersección de las variedades que
conforman ∂Q, por lo que la ecuación (1.2) no se puede ocupar. El conjunto Λ∗
=
∂Λ1 ∪ · · · ∪ ∂Λs de los extremos de las fronteras es llamado el conjunto singular
de ∂Q. En Λ∗
la normal no puede ser un´ıvocamente definida, por lo que la reflexión
no estará generalmente definida. As´ı que cuando la part´ıcula choca en un punto de
Λ∗
, ésta dejará de existir. Los puntos de Λ∗
juegan en estos modelos el papel de las
buchacas en el juego del billar. Toda trayectoria que no pase por el conjunto singular
Λ∗
está bien definida para tiempos −∞ < t < ∞. Las trayectorias que en algún
momento tf llegan a un punto del conjunto singular están definidas para −∞ < t < tf ;
de igual forma, las trayectorias que en el pasado ti llegan a algún punto del conjunto
singular están definidas sólo para ti < t < ∞. En la siguiente sección veremos cuál
es la importancia de este conjunto singular, cuando hablemos de la medida invariante
de los billares.

1.2. Medidas invariantes 5
1.2. Medidas invariantes
La dinámica del billar induce un flujo Φt
en el espacio fase M, donde t ∈ R es el
tiempo [2]. El flujo Φt
preserva en M la medida
dµ = cµ dq dv , cµ :=
1
|Q| · |S d−1|
, (1.3)
donde dq y dv son las medidas de Lebesgue en Q y S d−1
, respectivamente, cµ es un
factor de normalización, y |Q| y |S d−1
| son los volúmenes respectivos.
Es común en la teor´ıa ergódica reducir el estudio de flujos a transformaciones
construyendo una sección transversal. Para el flujo Φt
, una hipersuperficie natural en
M, de dimensión 2d − 2, se construye utilizando la frontera de la mesa:
M := {x = (q, v) ∈ M : q ∈ ∂Q, v · n(q) ≥ 0}. (1.4)
Esta subvariedad de M consiste de todas las velocidades salientes resultantes de la
reflexión en ∂Q. Cualquier trayectoria del flujo Φt
cruza M cada vez que se refleja en
∂Q. Esto define la transformación de primer retorno
T : M → M (1.5)
por T x := Φτ(x)
x, donde τ(x) := min{t > 0 : Φt
x ∈ M}. La transformación T es
frecuentemente llamada transformación del billar o transformación de colisión. Esta
transformación no está definida en q ∈ ∂Q si q ∈ S0, donde S 0 = {(q, v) ∈ M : q ∈
Λ∗
} ∪ {(q, v) ∈ M : v · n(q) = 0}. Esto es, la transformación de primer retorno no
está definida si q pertenece al conjunto singular Λ∗
o si la velocidad es perpendicular
a la normal, pues en ese caso la velocidad no cambiar´ıa y ser´ıa como si no hubiera
colisión. La transformación del billar T preserva la medida
dν = cν (v · n(r)) dr dv , cν :=
1
|∂Q| · |S d−1|
. (1.6)
Existen conjuntos M ⊂ M y M ⊂ M de medida total, esto es µ(M ) = 1 y
ν(M ) = 1, para los cuales Φt
y Tk
están definidos para todos t ∈ R y k ∈ Z, es
decir, el flujo Φt
y la transformación de primer retorno Tk
están definidos para casi
cualquier condición inicial [3]. Que alguna propiedad se cumpla para casi todo punto
en M o M, quiere decir que la propiedad puede no cumplirse en un conjunto de
medida cero, que puede ser el conjunto singular Λ∗
o S 0.
El sistema dinámico (M, µ, Φt
) tiene una propiedad llamada involución o invari-
anza temporal: para cada x = (q, v) ∈ M , se tiene que el punto I(x) = (q, −v) ∈ M
satisface
Φt
(I(x)) = I(Φ−t
x) (1.7)
para todo t ∈ R. Por lo tanto, la involución I anticonmuta con el flujo Φt
, es decir,
Φt
◦I = I◦Φ−t
y preserva la medida µ. La transformación de primer retorno T también
admite una involución I1 : M → M, definida por (q, vi) → (q, vf ), utilizando la
notación de la ecuación (1.2). La involución I1 anticonmuta con T, es decir, Tk
◦ I1 =
I1 ◦ T−k
para toda k ∈ R, y preserva la media ν.

1.3. Transformaciones ergódicas
Decimos que un conjunto A ⊂ M es invariante bajo la transformación T, o A
es T-invariante, si T−1
(A) = A. Decimos que una transformación T que preserva la
medida µ de un espacio de probabilidad es ergódica si cada conjunto T-invariante
tiene medida 0 ó 1, esto es, si T−1
(A) = A implica que µ(A) = 0 ó 1.
Una definición equivalente de ergodicidad para espacios medibles es la que se
conoce en mecánica estad´ıstica como la hipótesis ergódica de Boltzmann, que afirma
que los promedios espaciales y los promedios temporales coinciden en el l´ımite de
los tiempos muy largos, y que se puede escribir como
l´ım
n→∞
1
n
n−1
j=0
f(T j
(x)) =
M
f(y)dµ(y) . (1.8)
Demostrar que las definiciones anteriores son equivalentes requiere usar el Teorema
de Birkhoff–Khinchin, que garantiza que la media temporal de f,
˜f := l´ım
n→∞
1
n
n−1
j=0
f(T j
(x)) , (1.9)
existe y es T-invariante1
.
Otra propiedad equivalente a la ergodicidad es que para cada A, B ⊂ M tenemos
que
l´ım
n→∞
1
n
n−1
m=0
µ(T−m
(A) ∩ B) = µ(A)µ(B) . (1.10)
Esta propiedad es muy importante, pues nos permitirá comparar las diferencias
entre la ergodicidad y el siguiente tipo de transformaciones que estudiaremos: las
mezclantes.
1.4. Transformaciones mezclantes
Una transformación T de un espacio de probabilidad en s´ı mismo que preserva la
medida se denomina mezclante si para cada A, B ⊂ M se cumple
l´ım
n→∞
µ(T−n
(A) ∩ B) = µ(A) µ(B) . (1.11)
Si comparamos con la ecuación (1.10), se ve que una transformación mezclante es
aquella donde el l´ımite de µ(T−m
(A) ∩ B) existe cuando m → ∞ y su valor es igual a
µ(A) µ(B).
1
La demostración de esta equivalencia y de los teoremas anteriores puede encontrarse en [2].

1.5. Caos 7
Se puede demostrar que toda transformación mezclante es ergódica. Para hacerlo,
basta tomar un conjunto A que sea T-invariante y en la definición anterior hacer
B = A. Obtenemos que µ(A) = µ2
(A). Esto sólo deja dos posibilidades: µ(A) = 0
ó 1, por lo que T es ergódica. Sin embargo, no se cumple lo contrario, es decir, no
toda transformación ergódica es mezclante. Para ver eso, tomamos el ejemplo de las
rotaciones Rw del c´ırculo por un ángulo wπ; ningún conjunto permanece invariante
salvo el conjunto total, por lo que es una transformación ergódica. Si tomamos Rw
con w < 1/2 y dos arcos A y B de longitud πw, es fácil ver que si R−n
w A ∩ B ∅,
entonces R−n−1
w A ∩ B = ∅, por lo que no se cumple (1.11). Por tanto, la propiedad de
mezclado es una propiedad más fuerte que la ergodicidad.
Existe otro tipo de transformaciones mezclantes. Decimos que una transforma-
ción T : M → M es topológicamente mezclante si dados dos subconjuntos abiertos
U, V ⊂ M, existe un entero N ∈ N tal que
T−n
(U) ∩ V ∅ (1.12)
para todo n ≥ N. Esta definición de mezclado es más intuitiva: significa que la
evolución del sistema es tal que cualquier abierto de M se traslapará con cualquier
otro abierto arbitrario. La propiedad de mezclado se puede interpretar como sigue:
para dos conjuntos disjuntos de condiciones iniciales, la probabilidad de encontrar
puntos pertenecientes a uno de ellos en el otro crece y se hace homogénea para
tiempos grandes, aunque en un principio hayan estado separados.
Existen transformaciones con propiedades más fuertes aún: transformaciones
K-mezclantes y las que satisfacen la propiedad de Bernoulli (son equivalentes a
un corrimiento de Bernoulli). Si una transformación es K-mezclante entonces es
mezclante, y a su vez Bernoulli implica K-mezclante. Por esto la propiedad de
Bernoulli es el más alto grado de estocasticidad en términos de la teor´ıa ergódica,
e implica todas las otras.
1.5. Caos
El concepto de caos es muy delicado, debido a que no existe una definición única.
Sin embargo, mencionar la palabra caos trae inmediatamente algo a la mente: falta
de orden o de capacidad de predicción. Si un sistema es ergódico o mezclante podr´ıa
pensarse que existe caos, pero esto no siempre sucede, ni con la ergodicidad ni con
el mezclado. Por ejemplo, regresemos a las rotaciones en un c´ırculo con un ángulo
irracional. Éstas son ergódicas, pero este sistema no es caótico –de hecho es bastante
simple– por lo que se hace evidente que necesitamos más restricciones para obtener
el caos.
La propiedad faltante para obtener un comportamiento caótico es la alta sensibil-
idad a condiciones iniciales. Alta sensibilidad a condiciones iniciales quiere decir
que aun condiciones iniciales arbitrariamente cercanas, tendrán comportamientos

completamente distintos en el futuro. Una manera de cuantificar esta propiedad es
con los exponentes de Liapunov, que serán estudiados en el cap´ıtulo siguiente.
No existe una definición matemática de caos aceptada por toda la comunidad,
por lo que aqu´ı enunciaremos una de las muchas que hay[4]: se dice que un sistema
dinámico es caótico si cumple por lo menos con estas dos propiedades:
Tiene alta sensibilidad a condiciones iniciales.
Es topológicamente mezclante.
Estas dos últimas propiedades son necesarias para tener caos –no basta tener
sensibilidad a condiciones iniciales. Como ejemplo tomaremos al sistema que
consiste en doblar repetidamente un valor inicial. Este sistema tiene sensibilidad a
condiciones iniciales, pues todo par de valores cercanos eventualmente se separarán
tanto como uno quiera con el tiempo, de manera exponencial. Es evidente también
que en este sistema tampoco hay caos. La caracter´ıstica faltante en este sistema es el
mezclado topológico.
A veces [5] se agrega otro requisito para llamar a un sistema caótico:
Las órbitas periódicas forman un conjunto denso.
Un subconjunto U ⊂ M es denso si todo punto de M puede ser bien aproximado
por puntos de U, es decir, dentro cualquier vecindad alrededor del punto x ∈ M,
existen puntos de U. Desde el punto de vista de la medida las órbitas periódicas son
irrelevantes, pues su medida es nula y parecen no significar nada. Sin embargo, son
realmente importantes, pues son sencillas y se puede calcular su estabilidad y otras
cantidades con mucha exactitud, e incluso se puede aproximar arbitrariamente bien
cualquier trayectoria con órbitas periódicas.
1.6. Ejemplos de billares en dos dimensiones
Para fijar ideas, se mostrarán a continuación ejemplos de mesas de billar básicas,
que han sido ampliamente estudiadas. Hay que decir que el caso más estudiado es el
caso de mesas en 2 dimensiones. Aunque existen varios resultados para las mesas en
dimensiones superiores, continúan siendo un tema muy activo de investigación.
En vez de estudiar el flujo del billar Φt
, estudiaremos la transformación de primer
retorno T : M → M, con M definida en (1.4). Esta subvariedad consiste de todos
los puntos de la frontera del billar que tienen velocidades salientes. Para localizar
puntos en esa variedad, podr´ıamos usar las coordenadas cartesianas de la posición
y la velocidad, pero como veremos a continuación, hay un sistema de coordenadas
mucho más práctico. En todas las mesas de billar 2-dimensionales, la velocidad antes
y después de la colisión queda determinada si especificamos la velocidad tangencial
a la frontera de la mesa (que no cambia después de la colisión). Para determinar
el punto de colisión utilizaremos la longitud de arco de la frontera de la mesa

1.6. Ejemplos de billares en dos dimensiones 9
∂Q, medida desde algún punto arbitrario. As´ı, toda colisión queda completamente
determinada por dos números: la velocidad tangencial y la longitud de arco. Éstas son
las llamadas coordenadas de Birkhoff de M. Definimos el espacio de colisiones [3]
como el espacio de todas las colisiones, que tiene coordenadas velocidad tangencial
y longitud de arco. Este espacio es un cilindro, ya que la coordenada longitud de
arco es una coordenada periódica. El espacio de colisiones es el espacio fase de
la transformación de primer retorno T, y es muy útil, pues permite visualizarse
fácilmente. Pero no es el espacio fase total del flujo Φt
, sino sólo una sección de
Poincaré.
Billar circular y billar el´ıptico
El billar circular es uno de los más sencillos. En la figura 1.2(a) se pueden
observar un par de trayectorias distintas dentro de este billar. Si el coseno inverso
de la velocidad tangencial en el punto de choque es entero módulo π, entonces la
órbita será cerrada y tendrá forma de un pol´ıgono regular; si es racional módulo π,
entonces las órbitas también serán cerradas pero serán pol´ıgonos estrellados. Las
cáusticas2
de todas las órbitas serán c´ırculos concéntricos de radio R(1 − |vt|).
En todos los billares con reflexión especular se conserva la energ´ıa, y en el billar
circular se conserva además el momento angular, o lo que es lo mismo, la velocidad
tangencial en la colisión. Esto se puede ver fácilmente, ya que el vector normal es un
vector radial en todo punto. El billar circular corresponde a la clase de los sistemas
Hamiltonianos integrables, es decir, tiene tantas integrales de movimiento como
grados de libertad. Por lo tanto, su espacio fase está foliado por variedades invariantes
bajo el flujo Hamiltoniano Φt
(o bajo la transformación de primer retorno T). En la
figura 1.2(b) se muestra su espacio de colisiones y se observa dicha foliación.
El billar el´ıptico tiene una estructura más rica, a pesar de ser también integrable,
como se ve en la figura 1.3. Si las trayectorias pasan por el segmento que une los
focos, luego de reflejarse en ∂Q cruzarán este segmento otra vez. Un ejemplo de
este tipo de trayectorias se muestra en amarillo en la figura 1.3(a). Las cáusticas de
estas trayectorias son hipérbolas confocales con la elipse. En el espacio de colisiones
1.3(b), estas trayectorias corresponden a las curvas cerradas de la figura. Las demás
trayectorias nunca pasarán por el segmento que une a los focos. Un ejemplo de este
tipo de trayectorias se muestra en azul en la figura 1.3(a). Sus cáusticas son elipses
confocales e interiores a la elipse del billar. Una trayectoria que pase por un foco
de la elipse se reflejará en ∂Q y pasará por el otro foco, regresando al foco inicial
después de otra colisión [2]. Estas trayectorias forman la separatriz en M, que separa
los 2 comportamientos diferentes, y está dibujada en rojo en la figura 1.3(b).
2
Una cáustica es una envolvente de la trayectoria.

Figura 1.2: Billar en un c´ırculo.
Figura 1.3: Billar en una elipse.
Billar de menos de medio c´ırculo
En la parte superior de la figura 1.4(a) se muestra un billar de menos de medio
c´ırculo, es decir, perturbamos un billar de medio c´ırculo desplazando la l´ınea media
una distancia de su posición central. En la parte inferior de la figura 1.4(a)
se muestran dos trayectorias en este billar. Este sistema perturbado deja de ser
integrable. El momento angular deja de ser una integral de movimiento y la foliación
del espacio fase desaparece y se obtiene un espacio fase mezclado, como se muestra
en el espacio de colisiones, figura 1.4(b). Se discutirá más a fondo el espacio fase de

1.6. Ejemplos de billares en dos dimensiones 11
este sistema en la sección 2.1.1.
Figura 1.4: Billar en menos de medio c´ırculo, con = 0,1.
Figura 1.5: Billar de Sinai.
Billar de Sinai
El billar de Sinai consiste en un obstáculo circular dentro de un cuadrado o un
toro, como se muestra en la figura 1.5(a), donde se ha dibujado una trayectoria en

azul. La dinámica de este sistema es totalmente opuesta a la del c´ırculo o a la de la
elipse: es ergódica, mezclante y caótica; ver la figura 1.5(b). La forma de producir
el caos en este sistema se debe a la curva dispersora (disco) en el billar. Una manera
de pensar esto consiste en tomar en cuenta que al chocar con el c´ırculo, trayectorias
paralelas se separan cada vez más.
Figura 1.6: Billar en un estadio.
Estadio de Bunimovich
Es posible modificar la mesa de billar circular o la el´ıptica para obtener un sistema
dinámico con comportamiento caótico. Una manera de hacer esto es romper al c´ırculo
en dos, separar las mitades en la dirección perpendicular al diámetro común, y unir
los arcos con l´ıneas rectas. Leonid Bunimovich fue el primero en estudiar esta mesa
en los años 1970s [6]. Descubrió que el billar en el estadio tiene alta sensibilidad
a condiciones iniciales y que la transformación del billar es ergódica, mezclante e
isomorfa a un corrimiento de Bernoulli.
El estudio de este billar fue muy importante, pues se pensaba que para tener
divergencia exponencial de condiciones iniciales era necesario tener fronteras disper-
soras, como el disco en el billar de Sinai. Bunimovich mostró que es posible obtener
este tipo de comportamiento con fronteras focalizantes, mediante el mecanismo de
desfocalización de frentes convergentes [6].
Billar del hongo
El billar del hongo está constituido por un semic´ırculo y una pata rectangular,
como se muestra en la figura 1.7(a). Hay dos casos extremos de este billar: (a) no

1.7. Modelos mecánicos 13
Figura 1.7: Billar en un hongo.
hay pata, por lo que el billar es un semic´ırculo y es completamente integrable, y (b)
la pata es tan ancha como el semic´ırculo, por lo que el billar es un semiestadio y, por
lo tanto, completamente caótico. Sin embargo, entre esos dos extremos, se presenta
un fenómeno raro: el espacio fase se divide completamente en dos regiones, una
integrable, correspondiente a las trayectorias que nunca dejan el semic´ırculo, y otra
región correspondiente a las trayectorias que en algún momento entran a la pata.
1.7. Modelos mecánicos
Una de las razones para estudiar a los billares es que algunos sistemas f´ısicos son
equivalentes a un billar de cierta geometr´ıa. A continuación se mencionarán algunos
de estos sistemas.
1.7.1. Gases de part´ıculas en interacción
Part´ıculas en una dimensión
Consideremos un sistema de dos part´ıculas de masas m1 y m2 que se mueven
en el intervalo unitario 0 ≤ x ≤ 1. Las part´ıculas se mueven sin la influencia de
ninguna fuerza y chocan elásticamente entre ellas y con las paredes del intervalo en
x = 0 ó x = 1. Denotamos por x1 ≤ x2 las posiciones de las part´ıculas, y por u1,
u2 a sus velocidades. Cuando las part´ıculas chocan con los extremos del intervalo, su
velocidad simplemente se invierte; cuando chocan entre ellas, se preserva el momento
lineal total m1u1 + m2u2 y la energ´ıa cinética total (m1u2
1 + m2u2
2)/2. Sean uk, vk
las velocidades antes y después del choque de la k-ésima part´ıcula. Entonces, la

Figura 1.8: Billar en una pirámide.
velocidad final se escribe en términos de las velocidades iniciales como:
v1 =
u1(m1 − m2) + 2m2u2
m1 + m2
, v2 =
u2(m2 − m1) + 2m1u1
m1 + m2
. (1.13)
Para mostrar que este sistema es equivalente a un billar, introducimos las variables
qi = xi
√
mi , vi = ˙qi = ui
√
mi (1.14)
para i = 1, 2. El estado de este sistema queda especificado por un punto q = (q1, q2) ∈
R2
y por una velocidad v = (v1, v2). El espacio de configuración del sistema es el
triángulo rectángulo
Q = q = (q1, q2) : 0 ≤
q1
√
m1
≤
q2
√
m2
≤ 1 (1.15)
que se muestra en la figura 1.8.
La trayectoria del sistema en Q es gobernada por (1.1) y (1.2). Mientras las
part´ıculas no chocan se mueven en l´ınea recta. Cuando chocan con las paredes,
invierten su velocidad como en una colisión elástica. La parte no evidente es mostrar
que las colisiones entre las part´ıculas corresponden a colisiones especulares en la
hipotenusa del triángulo Q. Para mostrar esto sólo tenemos que escribir la normal a
la hipotenusa n = 1√
m1+m2
(−
√
m1,
√
m2) y utilizar (1.2) para obtener
vf = vi − 2(vi · n)n = v1 + 2
(−m2v1 +
√
m1m2v2)
m1 + m2
, v2 − 2
(
√
m1m2v1 − m1v2)
m1 + m2
.
Al sustituir (1.14), obtenemos
vf =
u1(m1 − m2) + 2m2u2
m1 + m2
,
u2(m2 − m1) + 2m1u1
m1 + m2
, (1.16)

1.7. Modelos mecánicos 15
que corresponde a (1.13). Por lo tanto, la trayectoria del sistema en Q es gobernada
por las reglas del billar y ambos sistemas son equivalentes.
Podemos generalizar este modelo a un número n de part´ıculas con masas
m1, . . . , mn en el mismo intervalo. El espacio de configuración de este sistema será,
utilizando la notación de (1.14), una pirámide recta en Rn
:
Q = q = (q1, . . . , qn) : 0 ≤
q1
√
m1
≤ · · · ≤
qn
√
mn
≤ 1 . (1.17)
La trayectoria del sistema en Q también es gobernada por las reglas del billar,
por lo que el estudio del modelo mecánico de n part´ıculas en el intervalo puede ser
reducido al estudio de la dinámica de un billar en un n-s´ımplex o pirámide Q en Rn
.
1.7.2. Gases de esferas duras
Un modelo simplificado de un gas ser´ıa tomar esferas moviéndose en alguna
región acotada del espacio y chocando entre ellas. Por simplicidad supondremos
que las esferas tienen el mismo radio r y la misma masa m. Las bolas chocan
elásticamente entre s´ı, por lo que se conserva la energ´ıa cinética. Una colisión de
bolas duras con centros en q1 y q2 sólo puede ocurrir si |q1 − q2| = 2r2
.
Este modelo se puede reducir a un billar en un espacio de alta dimensión. Para
hacer esto, necesitamos definir la geometr´ıa de la mesa y probar que los choques
entre las esferas corresponden a reflexiones especulares en la superficie de la mesa
del billar. Este último es muy parecido a cómo se hizo en el modelo anterior, por lo
que lo omitimos. Para definir la mesa, denotamos la posición del centro de la i-ésima
esfera por qi = (q1
i , q2
i , q3
i ) y su velocidad por vi = (v1
i , v2
i , v3
i ). El estado del sistema
queda descrito si especificamos q y v dados por
q = (q1
1, q2
1, q3
1, q1
2, . . . , q2
n, q3
n) ∈ R3n
, v = (v1
1, v2
1, v3
1, v1
2, . . . , v2
n, v3
n) ∈ R3n
.
Debido a que las bolas son duras y no pueden encimarse, las regiones donde
(q1
i − q1
j)2
+ (q2
i − q2
j)2
+ (q3
i − q3
j)2
< (2r)2
para 1 ≤ i ≤ j ≤ n no son accesibles al
sistema. Denotamos a estas regiones Cij, las cuales corresponden a configuraciones
prohibidas del sistema, por lo que no están dentro de la mesa del billar. El conjunto
singular de Λ∗
contiene todas las intersecciones de las superficies cil´ındricas Cij.
Tales intersecciones corresponden a las colisiones de tres o más bolas. El resultado
de tales colisiones no está definido. Si R es la región donde se mueven las bolas, el
espacio de configuración del sistema es Q = Rn
i j Cij. As´ı, el estudio mecánico
de las n bolas se reduce al estudio de la dinámica de billar en el dominio Q.
1.7.3. Gas de Lorentz
El gas de Lorentz fue introducido por Hendrik Lorentz en 1905 para estudiar los
electrones en un metal. Consiste en una part´ıcula moviéndose entre esferas duras fijas

Figura 1.9: Gas de Lorentz y un fluido periódico. Figura tomada de [7].
en el espacio. La part´ıcula móvil representa a los electrones y las bolas juegan el papel
de las moléculas del metal. Las bolas son del mismo radio r y pueden ser colocadas
aleatoriamente o de forma periódica. La part´ıcula choca con las bolas elásticamente.
Si las bolas fijas están colocadas en una malla regular, el gas de Lorentz se dice
periódico. Uno puede colocar en lugar de esferas poliedros u otros objetos. Este
modelo también es equivalente a un fluido periódico de dos discos por celda unitaria
en un enrejado como el de la figura 1.9. Si miramos desde el centro de algún disco,
y miramos el movimiento del otro disco, la dinámica será equivalente a una part´ıcula
puntual chocando con un disco de radio igual a la suma de los radios de los discos
originales.
Para reducir este modelo a un billar, se debe buscar un dominio fundamental
D, cuyas traslaciones paralelas puedan cubrir todo el espacio. En la figura 1.9
se muestran las traslaciones paralelas del dominio fundamental D separadas por
l´ıneas punteadas. El movimiento de la part´ıcula puede ser proyectado al dominio
fundamental D y obtener un billar en D con condiciones periódicas a la frontera, es
decir, en un toro Td
. El dominio Q del billar se obtiene removiendo los obstáculos
del toro.

Cap´ıtulo 2
Exponentes de Liapunov
Una de las principales herramientas en el estudio de los sistemas dinámicos
son los exponentes caracter´ısticos de Liapunov; éstos miden la estabilidad o
inestabilidad de las trayectorias del sistema bajo perturbaciones pequeñas, o lo que
es lo mismo, la sensibilidad a las condiciones iniciales. En este cap´ıtulo se dará su
definición y se expondrá la manera de calcularlos para los billares.
2.1. Definición
Consideremos un sistema dinámico diferenciable
˙Γ = F(Γ) , (2.1)
donde Γ es un vector del espacio fase del sistema, que tiene dimensión L. Al integrar
este conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas obtenemos la evolución temporal
del sistema, el llamado flujo en el espacio fase, dado por
Γ(t) = Φt
(Γ(0)) (2.2)
donde Γ(t) es la solución al tiempo t.
Tomemos una trayectoria de referencia, Γ(t), y una trayectoria perturbada
Γs(t) conectada con Γ(t) por una curva parametrizada con parámetro s tal que
l´ıms→0 Γs(t) = Γ(t). El vector tangente asociado es
δΓ(t) = l´ım
s→0
Γs(t) − Γ(t)
s
. (2.3)
Su ecuación de movimiento se obtiene linealizando (2.1):
˙δΓ = D(Γ) · δΓ, (2.4)
donde D(Γ) := ∂F(Γ)/∂Γ es la matriz jacobiana del sistema. Para sistemas caóticos,
la perturbación (2.3) crece exponencialmente, lo que motiva la definición de los
17

18 Cap´ıtulo 2. Exponentes de Liapunov
exponentes de Liapunov de una trayectoria con condiciones iniciales δΓ(0) como
λ(Γ(0), δΓ(0)) := l´ım
t→∞
1
t
log
|δΓ(t)|
|δΓ(0)|
. (2.5)
Para mapeos discretos, T : M → M, la definición de los exponentes de Liapunov
es
λ(x, δx) := l´ım
n→∞
1
n
log |DxTn
(δx)| , (2.6)
donde x ∈ M y δx es un vector tangente definido de manera similar a (2.3).
La tasa de separación puede ser diferente para diferentes vectores tangentes (2.3)
iniciales. Eso da origen al llamado espectro de Liapunov (EL) del sistema, que
es el conjunto de L exponentes {λi}. Geométricamente, los exponentes de Liapunov
pueden ser interpretados como la tasa de crecimiento exponencial promedio de los
ejes principales de una elipse infinitesimal que rodea al punto del espacio fase y que
evoluciona de acuerdo a la ecuación (2.1). As´ı los exponentes de Liapunov describen
la contracción y el estiramiento del flujo en el espacio fase.
La existencia de todos los exponentes de Liapunov está garantizada por el
teorema de Oseledets [3]:
Teorema de Oseledets. Si se cumple que M
log+
||DxT|| dν(x) < ∞ y también
que M
log+
||DxT−1
|| dν(x) < ∞, donde log+
s := max(log s, 0), entonces existe un
subconjunto H ∈ M, denso e invariante bajo T, con ν(H) = 1, tal que para x ∈ H
existe una descomposición invariante bajo DT del espacio tangente,
TxM = E(1)
x ⊕ · · · ⊕ E(m)
x , (2.7)
con alguna m = m(x), tal que para todo vector v ∈ E(i)
x diferente de cero, existe el
l´ımite
l´ım
t→∞
1
t
log
|δΓ(t)|
|δΓ(0)|
= λ(i)
x , (2.8)
donde λ(1)
x > · · · > λ(m)
x .
El teorema de Oseledets implica que el espacio tangente en el punto x puede ser
descompuesto en subespacios de dimensión menor E( j)
x , y los λ( j)
x existen y además
son iguales en cada E(j)
x . Los puntos x ∈ M donde no se puede hacer esto tienen
medida cero. Los valores de λ(j)
x son llamados los exponentes de Liapunov del flujo en
el punto x y kj = dim E(j)
x son sus multiplicidades. Los exponentes de Liapunov están

2.1. Definición 19
definidos en cada punto x donde la descomposición (2.7) y el l´ımite (2.8) existen,
sin importar la medida invariante µ que se utilice. De la definición se sigue que los
exponentes de Liapunov y sus multiplicidades son invariantes bajo el flujo, y que si
el flujo es ergódico, entonces éstos serán constantes en casi todo el espacio.
En el caso de los billares, el teorema de Oseledets se aplica y asegura la existencia
de todos los exponentes de Liapunov, siempre que los valores absolutos de todas las
curvaturas seccionales de ∂Q están uniformemente acotadas [3].
La ecuación (2.5) se puede reescribir como una estimación para el cambio de
tamaño en la separación inicial como |δΓ(t)| ∼ |δΓ(0)| etλ
( j)
x . Si λ( j)
x > 0, cualquier
vector distinto de cero v ∈ E(j)
x crece exponencialmente (con una tasa de λ( j)
x ) en el
futuro y se contrae exponencialmente (con la misma tasa) en el pasado. Si λ( j)
x < 0
pasa lo opuesto. Por lo tanto, los vectores v ∈ E(j)
x con λ( j)
x > 0 corresponden a
perturbaciones inestables de la condición inicial x y los vectores v ∈ E(j)
x con λ( j)
x < 0
corresponden a perturbaciones estables. Si λ(j)
x = 0, los vectores tangentes no se
contraen ni se expanden exponencialmente, pero pueden hacerlo, por ejemplo, de
manera polinominal.
Los exponentes de Liapunov para sistemas simplécticos, como son los billares
y los sistemas de esferas duras, satisfacen la llamada simetr´ıa de pares de Smale,
λi + λL+i−1 = 0, para i = 1, . . . , L. Además, si el flujo preserva el volumen del espacio
fase, entonces la suma de los exponentes de Liapunov debe ser igual a cero. Para
sistemas que no son simplécticos o para sistemas disipativos se pierde la simetr´ıa de
pares de Smale y la suma de los exponentes del espectro de Liapunov ya no es igual
a cero. Si el sistema es disipativo, la suma de todos los exponentes de Liapunov es
negativa y corresponde a la producción (irreversible) de entrop´ıa [8]. Sin embargo,
esos sistemas están fuera del campo de estudio de este trabajo.
2.1.1. Hiperbolicidad y región de Pesin
La descomposición del espacio tangente hecha en la ecuación (2.7) lleva a un
concepto de mucha importancia: la hiperbolicidad. Un punto x ∈ M es llamado un
punto hiperbólico si los exponentes de Liapunov (2.8) existen y todos son distintos
de cero. Para un punto hiperbólico x ∈ M, tenemos que TxM = Ei
x ⊕ Ee
x, donde
Ei
x =
λ(k)
x >0
E(k)
x ; Ee
x =
λ(k)
x <0
E(k)
x . (2.9)
El subespacio Ei
x tiene coeficientes de Liapunov mayores que cero, y el subespacio Ee
x
tiene coeficientes de Liapunov menores que cero. Los super´ındices i y e se refieren
a inestable y estable, respectivamente. Un mapeo T es llamado hiperbólico en el
sentido de Pesin si todos los puntos x ∈ M, salvo un conjunto de medida cero, son
hiperbólicos.
La hiperbolicidad permite obtener resultados muy interesantes de una forma
rigurosa, y muchos de lo que se sabe de la estructura y la dinámica del caos se

han demostrado sólo en casos donde se satisfacen las condiciones de hiperbolicidad
[9]. Además, la hiperbolicidad implica inestabilidad para casi todas las órbitas.
Esto es consecuencia de que los exponentes de Liapunov sean distintos de cero,
pues trayectorias que empiezan arbitrariamente cerca, se separan en el futuro o
en el pasado. Esta propiedad se discutió en la sección 1.5 donde se le llamó alta
sensibilidad a condiciones iniciales y es un ingrediente fundamental del caos; una
manera de cuantificarla es con los exponentes de Liapunov, y la hiperbolicidad es el
grado más alto que puede tener.
Sin embargo, en muchos sistemas los puntos x ∈ M que son hiperbólicos no
tienen medida total, es decir, existe un subconjunto S ⊂ M tal que ν(S ) > 0,
pero todos los puntos y ∈ S son no-hiperbólicos pues alguno de sus exponentes
de Liapunov se anula. En estos casos, para estudiar al sistema tenemos que dividir
su espacio fase en varias regiones que tienen comportamientos diferentes, como se
hará a continuación.
Denotemos por N al conjunto de puntos que tienen bien definido tanto su pasado
como su futuro por el mapeo T. El teorema de Oseledets implica que para ν-casi todo
x ∈ N todos sus exponentes de Liapunov λ1(x) < · · · < λm(x) existen. Llamamos la
Región de Pesin de M al conjunto
Σ(T) = {x ∈ N : λi(x) 0, ∀ i = 1, . . . , m} . (2.10)
Nótese que la región de Pesin Σ(T) es T-invariante y que además los exponentes de
Liapunov λi(x) no serán necesariamente iguales. Sin embargo, uno puede ir más lejos
y tomar algún conjunto B ⊂ N que sea T-invariante tal que ν(B) > 0. Entonces la
transformación TB := T|B (la restricción de T a B) preserva la probabilidad νB, que
se obtiene condicionando ν a B. Se puede construir conjuntos B en los cuales TB es
ergódica con respecto a la medida νB. Este resultado se enuncia a continuación[2]:
Teorema de la Descomposición Espectral de T. Sea ν(Σ(T)) > 0. Entonces
existen conjuntos Σi ⊂ Σ(T), i = 0, 1, 2, . . . , J ≤ +∞ tales que
1. Σi ∩ Σj = ∅ para i j y ∪iΣi = Σ(T);
2. µ(Σ0) = 0 y µ(Σi) > 0 para i > 0;
3. T(Σi) = Σi para i ≥ 0;
4. T|Σi
es ergódica con respecto a µΣi
para i > 0.
Los conjuntos Σi son llamados las componentes ergódicas de T. De acuerdo
al teorema anterior, la región de Pesin puede ser descompuesta en una cantidad
numerable de subregiones que no interactúan entre s´ı. Estas regiones son ergódicas
bajo T|Σi
y los puntos de estas regiones tienen el mismo espectro de Liapunov.
Existe una clase de sistemas Hamiltonianos para los cuales existen tantas
integrales de movimiento como grados de libertad, los sistemas integrables. Para
estos sistemas las trayectorias en el espacio fase se organizan de una manera regular,

2.1. Definición 21
generando foliaciones en cilindros o en toros (ver la figura 1.3, pag. 10). Sin embargo,
los sistemas Hamiltonianos usualmente no presentan este comportamiento, es decir,
no son integrables.
En un sistema Hamiltoniano t´ıpico f : M → M hay regiones f-invariantes
D ⊂ M de medida positiva donde la dinámica es estable y los exponentes de
Liapunov son nulos. Las regiones D son la unión de toros o cilindros f-invariantes.
Estas regiones se encuentran alrededor de puntos periódicos el´ıpticos1
; las regiones
alrededor de estos puntos son llamadas islas el´ıpticas. La región de Pesin Σ( f) es
llamada mar caótico y puede tener muchas componentes ergódicas. En los sistemas
Hamiltonianos, estas islas el´ıpticas usualmente coexisten con un mar caótico, ambos
de medida positiva (ver la figura 1.4).
2.1.2. Lema del seguimiento (Shadowing lemma)
La dinámica en los billares es completamente determinista. Dada la posición
inicial q0 ∈ R y velocidad inicial v0 de la part´ıcula dentro del billar en el
tiempo t = 0, se puede determinar, en principio, su posición qt y velocidad vt
para cualquier tiempo t ∈ R integrando las ecuaciones (1.1) y (1.2). En otras
palabras, el estado presente del sistema determina por completo el futuro y el pasado
del sistema. Sin embargo, describir anal´ıticamente el estado futuro o pasado del
sistema sólo es posible para billares con geometr´ıas muy simples, como c´ırculos
o rectángulos. Para geometr´ıas más complicadas esto se vuelve intratable para
|t| grande. Además, esto supone un conocimiento preciso de q0 y de v0, lo que
hace preguntarse bajo qué condiciones los cálculos numéricos realizados en una
computadora, donde siempre existe un error de truncamiento asociado, tienen
validez. El término seguimiento (del inglés shadowing) se refiere a la relación entre
las trayectorias de un mapeo y las trayectorias aproximadas obtenidas en la presencia
de ruido o del error de truncamiento.
Denotemos por Xs ∈ Ω el estado preciso de una part´ıcula moviéndose en el
tiempo y por ˜Xs = Xs + δXs al estado calculado. Para s = 0, |δXs| es del orden
de la precisión disponible (10−16
utilizando el tipo double en C o float en Python).
Para s > 0, pero s pequeña, podemos aproximar s como |δXs| ∼ 10−16
. Pero para un
tiempo t + s, tenemos que
δXs+t ≈ DXs Φt
(δXs) + δXt , (2.11)
donde δXt es el error adicional hecho durante el calculo de Φu
(X0), s < u < s + t. Por
simplicidad, δXt ∼ 10−16
, pero el primer término de la ecuación (2.11) puede crecer
muy rápido dependiendo de DXs Φt
(δXs).
Si el punto inicial X0 tiene exponentes de Liapunov iguales a cero, los vec-
tores tangentes crecerán lento, y el primer término de la ecuación (2.11) per-
1
Los puntos el´ıpticos de un mapeo son aquellos en los que la matriz de estabilidad sólo tiene
valores imaginarios.

manecerá pequeño incluso para t grande. Pero si X0 tiene exponentes de Liapunov
positivos, entonces
|DXs
Φt
(δXs)| ≈ eλt
|δXs|. (2.12)
La exponencial eλt
crece rápido para λ > 0. Por ejemplo si λ = 1, entonces al tiempo
t = log(1016
) ≈ 39 el error será del orden de 1. As´ı, los errores crecen rápido y
pueden hacer que los cálculos subsecuentes no tengan ningún significado [9]. Por
eso, se vuelve imposible calcular el estado futuro de X0 aún aproximadamente. De
manera similar, si hay exponentes de Liapunov negativos en X0, el pasado distante es
también inaccesible.
Sin embargo, aparentemente los cálculos numéricos realizados en las computa-
doras pueden describir de manera precisa el comportamiento a largo plazo. La razón
de esto es que en los experimentos numéricos lo que uno quiere es generar una
trayectoria t´ıpica y no la trayectoria exacta de un punto X0 particular. La secuencia
de puntos {xn} con n1 < n < n2 es llamada una δ-pseudo-trayectoria del mapeo
invertible F : M → M si para δ > 0 pequeña se cumple dist(F(xn), xn+1) < δ para
n1 < n < n2 − 1. Si δ = 0 entonces xn+1 = F(x), as´ı que {xn} es la trayectoria real de
punto x0. Para δ > 0 uno obtiene un punto xn+1 ≈ F(xn) en cada iteración de F. Y
esto es lo que se observa en un experimento numérico donde errores de truncamiento
están presentes. El siguiente lema es conocido para mapeos hiperbólicos.
Lema del seguimiento: Para > 0 existe una δ > 0 tal que para cada δ-pseudo-
trayectoria {xn}, n1 < n < n2, existe y0 ∈ M tal que
dist(xn, Fn
(y0)) < (2.13)
para n1 < n < n2. Uno dice que la trayectoria de y0 -sigue la pseudo-trayectoria {xn}.
No hay restricciones sobre n1 y n2, as´ı que el seguimiento puede darse en tiempos
arbitrarios, incluso infinitos [3]. Si el mapeo no es hiperbólico entonces s´ı hay
restricciones sobre n1 y n2, y el seguimiento se mantendrá durante ese tiempo [3].
En palabras, se puede decir que la δ-pseudo-trayectoria {xn} del punto x0 permanece
-cercana a la trayectoria real de y0. En los experimentos numéricos donde x0 es
escogido al azar, lo que importa es que la secuencia {xn} es aproximadamente
una trayectoria real del sistema, y esta y0 es tan buena como la de x0 escogida
aleatoriamente.
2.2. Estimación numérica del espectro de Liapunov
Queremos calcular numéricamente los exponentes de Liapunov. Benettin et al.
[10] introdujeron por primera vez un algoritmo eficiente para calcular el espectro de
Liapunov de cualquier sistema dinámico diferenciable. Sin embargo, en el caso de
los billares hace falta un algoritmo que pueda manejar el caso de modelos h´ıbridos
de ecuaciones diferenciales ordinarias y mapeos discretos para tomar en cuenta
las colisiones de la part´ıcula con la orilla del billar. El algoritmo de Benettin fue

2.2. Estimación numérica del espectro de Liapunov 23
extendido a este tipo de modelos h´ıbridos por Dellago et al. [8]. A continuación se
presentan los fundamentos de estos dos algoritmos.
2.2.1. Algoritmo de Benettin
El algoritmo de Benettin consiste en resolver simultáneamente las ecuaciones de
movimiento (2.1) para la trayectoria de referencia Γ(t) y la aproximación lineal (2.4)
para un conjunto completo de vectores tangentes {δΓl}. Las dificultades asociadas al
error de truncamiento y a la incertidumbre al escoger los vectores iniciales δΓl(t) se
evitan renormalizando periódicamente el conjunto de vectores tangentes, de tal forma
que los exponentes de Liapunov son obtenidos del promedio temporal de los factores
de renormalización.
Consideremos primero la estimación numérica del máximo exponente de Lia-
punov λ1. Escogemos un δΓ(0) arbitrario, de tal forma que tenga una componente
en la dirección de máximo crecimiento exponencial. Evolucionamos este vector de
acuerdo a la ecuación (2.4) por un tiempo largo. T´ıpicamente |δΓ(t)| se vuelve tan
grande que ocurre desbordamiento aritmético si λ1 > 0. Este problema se soluciona
renormalizando |δΓ(t)| a 1. Esto es, cada cierto intervalo arbitrario de tiempo τj, no
demasiado grande, almacenamos la magnitud del vector tangente2
α(1)
j = |δΓ(τj)| y
dividimos δΓ(τj) entre su magnitud para obtener un vector de tamaño 1 en la misma
dirección. La ecuación (2.8) puede ser reescrita de la siguiente manera:
λ1 = l´ım
t→∞
1
t
log
|δΓ(t)|
|δΓ(0)|
= l´ım
t→∞
1
t
n
j=1
log
|δΓ(τj)|
|δΓ(τj−1)|
(2.14)
con algunas τj que cumplan τ0 < τ1 < · · · < τn y con τ0 = 0 y τn = t. Al normalizar
después de cada paso de tiempo τj, tendremos que la magnitud del denominador
será igual a 1 para el siguiente intervalo de tiempo. Esto no afecta al cálculo total pues
lo único que importa es el logaritmo de la razón de
|δΓ(τj)|
|δΓ(τj−1)|
. Finalmente, almacenadas
las magnitudes α(1)
j , podemos aproximar el máximo coeficiente de Liapunov como
λ1
1
t
n
j=1
log(α(1)
j ) (2.15)
para un t suficientemente largo de tal forma que el valor de λ1 converja con una
tolerancia aceptable a algún valor.
Los pasos necesarios para calcular el máximo exponente de Liapunov se pueden
resumir como
1. Escoger un δΓ(τ0 = 0) arbitrario como vector inicial.
2
Notación: en adelante, α(k)
j representará el k-volumen generalizado al tiempo τj.

Figura 2.1: Evolución de los vectores ortonormales iniciales.
2. Evolucionar el vector inicial de acuerdo a la ecuación (2.4) por un tiempo τj
para obtener δΓ(τj).
3. Almacenar α(1)
j = |δΓ(τj)| y dividir δΓ(τj) entre su magnitud.
Este nuevo vector será el vector inicial para el siguiente paso de la iteración.
Es necesario repetir los pasos 2 y 3 para τ0 < τ1 < · · · < τn con τn = t.
4. La aproximación de λ1 estará dada por
λ1
1
t
n
j=1
log(α(1)
j ) .
Para calcular el segundo exponente de Liapunov λ2, se deben escoger dos
vectores tangentes ortonormales δΓ(1)
(0) y δΓ(2)
(0). Estos dos vectores definen un
paralelogramo de área α(2)
0 en el espacio tangente. Evolucionando estos vectores
de acuerdo a la ecuación (2.4) por un tiempo t, obtenemos δΓ(1)
(t) y δΓ(2)
(t) que
definen otro paralelogramo de área α(2)
t . Se asume que los 2 vectores iniciales tienen
componentes no nulos en la dirección de máximo crecimiento, pues son arbitrarios.
Por esto, el paralelogramo original se deformará como se indica en la figura 2.1.
La ecuación (2.5) se puede reescribir como una estimación para el cambio de
tamaño en la separación inicial como |δΓ(i)
(t)| ∼ |δΓ(i)
(0)| etλ(i)
x . Entonces podemos
estimar el área del nuevo paralelogramo como α(2)
t = et(λ1+λ2)
α(2)
0 , por lo que
λ1 + λ2 = l´ım
t→∞
1
t
log


α(2)
t
α(2)
0

 .
As´ı, si ya tenemos una estimación de λ1, la estimación numérica del lado
izquierdo de la ecuación anterior lleva a una estimación de λ2. Las dificultades
son las mismas que en el caso de λ1: para tiempos largos, los vectores δΓ(1)
(t) y

δΓ(2)
(t) crecen demasiado, lo que provoca desbordamiento aritmético, y se vuelven
casi paralelos, pues para tiempos largos el crecimiento es en la dirección de λ1, lo
que destruye la diferencia entre las direcciones de δΓ(1)
(t) y δΓ(2)
(t). Para evitar
estos problemas se procede, como en el caso del cálculo de λ1, a reemplazar
periódicamente a los vectores δΓ(1)
(t) y δΓ(2)
(t) por otro par de vectores ortonormales
en el subespacio generado por estos vectores. Obtenemos que
λ1 + λ2
1
t
n
j=1
log(α(2)
j ) ,
donde α(2)
j es el área (antes de normalizar) del paralelogramo en el tiempo τj.
Para calcular el k-ésimo exponente de Liapunov λk, debemos seguir un pro-
cedimiento similar al caso de λ2, pero esta vez evolucionaremos un conjunto de k
vectores δΓ(i)
(t) y nos fijaremos en el k-volumen del paralelogramo k-dimensional
que el conjunto de vectores δΓ(i)
(t) genera, y cada intervalo de tiempo τj los
reemplazaremos por un conjunto de vectores ortonormales entre s´ı, generados a
través del procedimiento de ortogonalización de Gram–Schmidt.
Figura 2.2: Ortogonalización de Gram–Schmidt.
Ortogonalización de Gram–Schmidt
El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es utilizado para ortogonalizar
un conjunto de vectores linealmente independientes v1, . . . , vk, en un espacio de
dimensión L ≥ k, de tal forma que obtenemos otro conjunto de vectores u1, . . . , uk,
ortogonales entre s´ı, los cuales generan el mismo subespacio que los vectores
originales vj, por lo que serán una combinación lineal de ellos. A partir de los vectores
uj se puede construir un conjunto de vectores ortonormales ej =
uj
|uj|
, con ei · ej = δij.
Los vectores ej están dados por
ej = vj −
j−1
i=1
vj · ei ei ; (2.16)

βj = vj −
j−1
i=1
vj · ei ei . (2.17)
El k-volumen del paralelogramo k-dimensional que el conjunto de vectores vj forman
está dado por α(k)
= β1β2 · · · βk.
Una vez aplicada la ortogonalización de Gram–Schmidt, obtenemos que
k
i=1
λi
1
t
n
j=1
log(α(k)
j ), (2.18)
donde α(k)
es el k-volumen del paralelogramo k-dimensional que el conjunto de
vectores genera antes de la normalización. Para obtener una estimación numérica
de λk necesitamos una estimación numérica del lado derecho de la ecuación (2.18) y
una estimación de los exponentes λ1, . . . , λk−1. Con este método podemos en principio
calcular todos los exponentes de Liapunov que queramos.
Los pasos necesarios para calcular el espectro de Liapunov se pueden resumir
como sigue:
1. Escoger un conjunto completo de vectores {δΓj(τ0 = 0)} arbitrarios.
2. Evolucionar este conjunto de vectores de acuerdo a la ecuación (2.4) por un
tiempo τi para obtener un nuevo conjunto de vectores {δΓj(τi)}.
3. Aplicar el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt al conjunto de
vectores {δΓj(τi)} y almacenar las magnitudes α( j)
i = β1β2 · · · βj con las βj dadas
por (2.17).
Los vectores resultantes (2.16) de la ortogonalización serán los vectores
iniciales para el siguiente paso de la iteración. Es necesario repetir los pasos 2
y 3 para τ0 = 0 < τ1 < · · · < τn con τn = t.
4. La estimación numérica de λj al tiempo t = τn estará dada por
λj
1
t
n
j=1
log(α(k)
j ) −
j−1
i=1
λi =
1
t
n
j=1
log


α(k)
j
α(k−1)
j

 .
2.2.2. Estimación numérica del espectro de Liapunov para bil-
lares
Con el método anterior es posible calcular el espectro de Liapunov para cualquier
sistema dinámico que se pueda escribir como (2.1). Los billares son sistemas que

siguen evolucionan de acuerdo a (2.1) mientras viajan por el interior del billar, y esta
evolución es la correspondiente a la de una part´ıcula libre:
˙q
˙p
=
p/m
0
. (2.19)
Sin embargo, cuando la part´ıcula choca con la frontera del billar, el momento
p sufre un cambio instantáneo, lo que es equivalente a un mapeo discreto que
transforma al momento antes del choque pi a otro después del choque pf , y ese
mapeo sólo es aplicado cuando la part´ıcula choca con la frontera del billar. Por esto
podemos decir que los billares son un modelo h´ıbrido entre un sistema dinámico
descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y un mapeo discreto.
La generalización del algoritmo de Benettin a este tipo de sistemas fue hecha por
Dellago et al. [8], y a continuación describiremos los detalles de ésta.
Consideremos el conjunto de L ecuaciones diferenciales ordinarias (2.1), con
condiciones iniciales Γ(0), y supongamos que además aplicamos la transformación
Γf = M(Γi) (2.20)
en los tiempos de colisión {τ1, τ2, τ3, . . . }. Los sub´ındices i y f se refieren a los
estados inicial y final al aplicar el mapeo M. El mapeo M(Γ) debe ser diferenciable.
Llamaremos S al mapeo en el espacio tangente correspondiente a M, δΓf =
S(Γi, δΓi).
Durante el intervalo τi+1 −τi la trayectoria se obtiene al integrar la ecuación (2.1),
lo que origina el flujo Φt
. La evolución de los vectores tangentes (2.3) se obtiene
integrando (2.4). Tomando en cuenta el mapeo discreto aplicado en los tiempos {τi},
la evolución en el espacio fase y en el espacio tangente puede ser escrita como
Γ(t) = Φt−τn
◦ M ◦ Φτn−τn−1
◦ · · · ◦ Φτ2−τ1
◦ M ◦ Φτ1
Γ(0) ; (2.21)
δΓ(t) = Lt−τn
· S · Lτn−τn−1
· · · Lτ2−τ1
· S · Lτ1
· δΓ(0) , (2.22)
donde L∆t
es el propagador de δΓ en los segmentos continuos, lo cual, aplicado al
vector tangente δΓ, da como resultado el cambio que este vector sufre en el tiempo
∆t. El propagador L puede ser escrito como
Lt2−t1
= exp
t2
t1
D[Γ(t )]dt . (2.23)
El efecto de aplicar el mapeo S a la trayectoria perturbada se ilustra en la figura
2.3; ver también [8]. La trayectoria de referencia está dibujada con una l´ınea sólida
azul y la trayectoria satélite con una l´ınea punteada verde. Para la trayectoria de
referencia el mapeo discreto M se aplica en Γi en el tiempo τc y mapea al vector Γi en

Figura 2.3: Efecto de la transformación discreta en los vectores tangentes.
Γf . Para la trayectoria satélite, el mapeo se aplica en un punto desplazado Γi+δΓc y en
un tiempo ligeramente diferente τc +δτc. Es importante hacer notar que δτc puede ser
tanto positivo como negativo. Como se puede ver de la figura, δΓf inmediatamente
después del mapeo está dado por
δΓf = M(Γi + δΓc) − [Γf + F(Γf ) δτc], (2.24)
donde hemos ocupado la aproximación lineal
Γ(t + δt) = Γ(t) + F(Γ) δt .
Utilizando la misma aproximación lineal obtenemos
δΓc = δΓi + F(Γi)δτc .
Combinando este resultado con la ecuación (2.24) y aplicando la aproximación
lineal
M(Γ + δΓ) = M(Γ) +
∂M
∂Γ
· δΓ ,
obtenemos finalmente una expresión para δΓf como función de Γi y δΓi, el vector
inicial en el espacio fase y el vector tangente:
δΓf =
∂M
∂Γ
· δΓi +
∂M
∂Γ
· F(Γi) − F(M(Γi)) δτc . (2.25)
Hay que notar que el retardo δτc es a su vez función de Γi y δΓi. Esta ecuación da la
regla de transformación lineal exacta para los vectores δΓf .
La ecuación (2.25) se aplica a cualquier mapeo discreto –sólo es necesario
conocer las ecuaciones de movimiento dadas por F(Γ), el mapeo M(Γ), y la matriz
Jacobiana asociada a este mapeo, ∂M
∂Γ
. A partir de ahora, consideraremos solamente

el caso de la colisión de una part´ıcula puntual con una superficie curva, en la cual
ésta es reflejada elásticamente. Este tipo de colisiones ocurre en billares con paredes
curvas, e incluye el caso de paredes planas.
Escribiremos el vector en el espacio fase como
Γ =
q
p
,
donde q y p representan la posición y el momento de la part´ıcula. Entre colisiones,
el movimiento es el correspondiente al de una part´ıcula libre
˙Γ =
˙q
˙p
=
p/m
0
. (2.26)
Al chocar con la frontera del billar, la part´ıcula es reflejada elásticamente, lo que
quiere decir que la transformación M no cambia la posición q ni la componente del
momento p paralela a la superficie; por lo tanto,
Γf = M(Γi) =
qi
pi − 2(pi · n)n
, (2.27)
donde n es la normal unitaria perpendicular a la superficie en el punto de colisión,
n = n(q). La colisión de la trayectoria satélite es retrasada con respecto a la colisión
de la trayectoria de referencia por un tiempo
δτc = −
δqi · n
pi/m · n
,
que es simplemente la separación perpendicular a la superficie de ambas trayectorias
dividida por la velocidad normal. La matriz Jacobiana asociada al mapeo M se puede
escribir como
∂M
∂Γ
=
1 0
A B
,
donde
A =
∂pf
∂qi
= − 2[n ⊗ pi + (pi · n)1] ·
∂n
∂qi
;
B =
∂pf
∂pi
= 1 − 2n ⊗ n .
Aqu´ı, 0 y 1 son matrices de L× L, y d⊗e denota el producto tensorial de los vectores
d y e. El operador B corresponde simplemente a la reflexión del momento en el
punto de colisión. ∂n/∂q es la matriz de derivadas del vector normal con respecto
a la posición. El vector δqc es la diferencia en el espacio de configuración entre los
puntos de colisión de la trayectoria de referencia y a trayectoria satélite, y está dado
por
δqc = δqi + (pi/m)δτc .

Combinando todo esto con la ecuación (2.25), obtenemos la regla exacta de
transformación para los vectores tangentes:
δΓf =
δqi − 2(δqi · n)n
δpi − 2(δpi · n)n − 2(pi · δn)n − 2(pi · n)δn
. (2.28)
Se ha escrito δn = ∂n/∂qi · δqc, que es la variación de n debida al desplazamiento
δqc, que se debe a la curvatura de la frontera.
Como último ingrediente para calcular la evolución de δΓ, debemos calcular el
propagador dado por (2.23). Usando la ecuación (2.26) podemos escribir
D(Γ) =
∂F
∂Γ
=


0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0


, (2.29)
por lo que podemos escribir L como
Lt2−t1
= exp
t2
t1
D[Γ(t )] dt = exp (D(t2 − t1)) = I + (t2 − t1)D
=


1 0 ∆t 0
0 1 0 ∆t
0 0 1 0
0 0 0 1


, (2.30)
donde hemos escrito ∆t := t2 − t1. Aplicando este propagador a δΓ = (δq, δp),
obtenemos
L∆t
(δΓ) = L∆t
( δq , δp ) = ( δq + ∆t · δp , δp ) . (2.31)
Con las ecuaciones 2.31 y 2.28 podemos calcular la evolución de δΓ y aplicar el
algoritmo de Benettin descrito en la sección 2.2.1 y resumido en la página 26 para
obtener los exponentes de Liapunov de los billares.
2.3. Ejemplos
A continuación calculamos los espectros de Liapunov de algunos de los bil-
lares expuestos en la sección 1.6 para mostrar lo discutido anteriormente y el
funcionamiento del algoritmo.
2.3.1. Evolución del máximo exponente de Liapunov con el número
de colisiones
En la ecuación 2.5 se ve que la definición de los exponentes de Liapunov implica
un l´ımite para tiempo infinito. Sin embargo, es posible obtener una muy buena

2.3. Ejemplos 31
estimación de los exponentes de Liapunov al utilizar el algoritmo de Benettin por
un tiempo relativamente grande. La convergencia está asegurada por el teorema de
Oseledets, pero la velocidad de convergencia dependerá del sistema. La meta es
calcular los exponentes de Liapunov durante suficientes colisiones para obtener una
buena aproximación, pero que no sean demasiadas para utilizar el menor tiempo
computacional posible.
En la figura 2.4(a) se observa la evolución del máximo exponente de Liapunov
(MEL) para el billar de Sinai durante mil colisiones; la l´ınea punteada es el MEL
calculado con un millón de colisiones. Para un número de colisiones pequeño, las
fluctuaciones son grandes, por lo que deben ocuparse muchas más para tener una
buena estimación. En la figura 2.4(b) se observa la evolución durante los primeros
cien mil choques del millón calculado. La convergencia para este caso tiene una
desviación menor a 3 % del valor calculado para un millón de colisiones a partir de
la colisión número 105
.
(a) (b)
Figura 2.4: Evolución del máximo exponente de Liapunov con el número de
colisiones.
2.3.2. Billares en 2 dimensiones
En la figura 2.5(a) se muestra el espectro de Liapunov de un billar circular.
Como el sistema tiene 2 grados de libertad, el espacio fase del sistema tiene 4
dimensiones, por lo que tenemos también 4 exponentes de Liapunov. Pero dado que
hay dos integrales de movimiento, el sistema es completamente integrable y todos
los exponentes de Liapunov son cero. Esto se debe a que el espacio fase está foliado
y por lo tanto no hay separación exponencial de trayectorias, aunque la separación
puede ser polinominal.
Si no hay suficientes integrales de movimiento para que el sistema sea completa-
mente integrable, entonces la foliación del espacio fase desaparece y algunos de los

(a) Billar Circular (b) Estadio
(c) Hongo (d) Billar de Sinai
Figura 2.5: Espectro de Liapunov de varios billares calculado con un millón de
colisiones.
exponentes de Liapunov serán distintos de cero. Para sistemas que son invariantes
ante translaciones temporales, es decir, si no importa cuando fijamos el cero en el
tiempo, el teorema de Noether implica que se conserva la energ´ıa. Si esto sucede,
entonces dos de los exponentes de Liapunov son iguales a cero, uno correspondiente a
la dirección perpendicular a la superficie de energ´ıa constante y otro correspondiente
a la dirección del flujo. Para los billares esto se cumple, por lo que siempre habrá dos
exponentes de Liapunov iguales a cero.
Para el estadio sucede lo anterior, pues el sistema no es integrable. Entonces,
sólo 2 exponentes de Liapunov son cero, y los otros dos no, como se ve en la figura
2.5(b). Los exponentes distintos de cero son los que dan la separación exponencial
de trayectorias iniciales cercanas. En esta imagen, y en las que siguen, se aprecia
claramente la simetr´ıa de pares de Smale.
Para el caso del hongo tenemos un conjunto de condiciones que nunca abandonan

2.3. Ejemplos 33
el sombrero del hongo y que se encuentran en una región integrable del espacio fase,
como se ve en la figura 1.7. Para este conjunto, los exponentes de Liapunov se anulan
y corresponden al espectro pintado en azul en la figura 2.5(c). Si en algún momento
la part´ıcula entra a la pata del hongo entonces se pierde la integrabilidad y se
obtiene nuevamente la separación exponencial de condiciones iniciales. El espectro
de Liapunov para este caso se dibuja en la figura 2.5(c) de color rojo.
El espectro de Liapunov del billar de Sinai se dibuja en la figura 2.5(d). Este billar
es dispersivo y tiene un par de exponentes de Liapunov distintos de cero.
2.3.3. Billar en 3 dimensiones
Las propiedades dinámicas de los billares dependen de los parámetros geométri-
cos de las mesas. Como es de esperarse, este cambio se refleja en la magnitud de
los exponentes de Liapunov. As´ı que una manera de caracterizar las propiedades
dinámicas de las mesas es estudiar cómo var´ıan los exponentes de Liapunov al variar
los distintos parámetros del sistema.
Para ilustrar esto, estudiaremos la mesa de billar que se muestra en la figura
2.6(a). Esta mesa ha servido para estudiar la difusión en cristales tridimensionales
[11]. Consiste en una esfera central de radio rint rodeada por 8 esferas de radio
rext en las esquinas de un cubo. Ésta puede ser tomada como la celda unitaria de
un cristal. En la figura 2.6(b) se muestra la variación del máximo coeficiente de
Liapunov respecto a rint y rext. El exponente de Liapunov para cada valor de rint y
rext se calculó con un millón de colisiones, y la distancia entre las esferas exteriores
es L = 2. Como se puede ver, el máximo exponente de Liapunov crece al aumentar
rint o rext, como es de esperarse, pues el billar se vuelve más dispersivo.
En la figura 2.7 se muestran las proyecciones para rint y rext constantes. Como es
de esperarse, éstas son simétricas en rint y rext, ya que el sistema también lo es.

(a)
(b)
Figura 2.6: (a) Un billar en 3 dimensiones, y (b) su máximo exponente de Liapunov
como función de los parámetros geométricos.

2.3. Ejemplos 35
(a)
(b)
Figura 2.7: Se muestran las proyecciones de 2.6(b). En (a) cada curva tiene rext
constante, y en (b) cada curva tiene rint constante.

Cap´ıtulo 3
Dinámica ponderada de Liapunov
En la gran mayor´ıa de los sistemas Hamiltonianos sucede que islas el´ıpticas
conviven con mares caóticos, ambos de medida distinta de cero. En los sistemas
dinámicos en general sucede algo parecido, pues muchos sistemas tienen trayectorias
que presentan comportamiento at´ıpico, caótico o regular. Esto es algo que debe
tomarse en cuenta al calcular los exponentes de Liapunov de cualquier sistema, pues
puede darse el caso de que los resultados obtenidos sólo correspondan a alguna
componente ergódica del sistema o a alguna isla el´ıptica. Por esto es importante
desarrollar métodos que permitan localizar estas trayectorias con comportamiento
at´ıpico. Se han desarrollado varios algoritmos con este fin [12, 13, 14]; en este trabajo
se utilizó el algoritmo de la Dinámica Ponderada de Liapunov (Lyapunov-Weighted
Dynamics) o LWD, introducido recientemente por J. Tailleur y J. Kurchan en [15].
3.1. Idea del método de LWD
Para obtener una idea del comportamiento general de un sistema uno puede
introducir un ensamble de caminantes y evolucionarlos. Sin embargo, la dinámica de
los sistemas Hamiltonianos es determinista, y por lo tanto la evolución de cualquier
número de caminantes hará en general un muestreo muy pobre del espacio fase,
pues dependerá de las limitadas condiciones iniciales de los caminantes. Eso es un
problema si, por ejemplo, se buscan islas y éstas son muy pequeñas, pues habr´ıa que
elegir muchas condiciones iniciales distintas para que alguna cayera dentro de estas
islas.
Para darle la vuelta a este problema, se evolucionan los caminantes de acuerdo
a una nueva dinámica efectiva, que tendrá que ser escogida para llevar a los
caminantes a las regiones del espacio fase deseadas. Para esto, la dinámica original
será perturbada con un ruido aleatorio pequeño.
Cada caminante lleva consigo un vector tangente, que corresponde a la separación
de dos trayectorias inicialmente cercanas, y este vector tangente evoluciona con la
misma dinámica perturbada. Después de cierto tiempo, los caminantes son clonados
37

38 Cap´ıtulo 3. Dinámica ponderada de Liapunov
o eliminados con una tasa proporcional al alargamiento de su vector tangente. Si
se buscan regiones caóticas (regulares), entonces se favorecen los caminantes que
tienen un vector tangente que crece más (menos). Eliminar un caminante equivale
simplemente a olvidarse de él. Clonar un caminante es poner otro caminante en
la misma posición y con el mismo vector tangente; sin embargo, estos clones
evolucionan después con un ruido diferente.
El efecto de esto es que los caminantes que estén en las regiones deseadas del
espacio fase serán favorecidos, es decir, copiados, mientras que los caminantes que
estén fuera de estas regiones se irán eliminando poco a poco. Después de un tiempo,
posiblemente largo, todos los caminantes estarán en las regiones deseadas del espacio
fase. El efecto final es que las órbitas son ponderadas de acuerdo a cómo cambia su
vector tangente, y esto es de cierta manera equivalente a ponderarlas con su máximo
exponente de Liapunov, es decir, con su sensibilidad a las condiciones iniciales.
Se introduce la tasa proporcional al alargamiento del vector tangente ya que,
aunque en las regiones caóticas es más probable que el vector tangente crezca,
puede no hacerlo, porque la separación exponencial de trayectorias inicialmente
cercanas es un comportamiento l´ımite que ocurre en el tiempo infinito y no dice
nada del comportamiento para tiempos pequeños. Entonces, esta tasa proporcional
asegura que aunque el comportamiento instantáneo del vector tangente vaya contra
el comportamiento buscado, no sea necesariamente eliminado, pues podr´ıa estar en
una de las regiones deseadas.
Además, para mantener la población de caminantes aproximadamente constante,
se aplica también una tasa de copiado a todo el conjunto de caminantes. Esto es,
siempre que los clonemos, se intentará clonar o eliminar el número de caminantes
eliminado o clonado en el paso anterior. Eso se logra multiplicando la tasa de clonado
descrita en el párrafo anterior por el número de clones deseados entre el número de
clones actuales. As´ı se evita que una vez que los caminantes llegan a las regiones
deseadas, éstos sean clonados sin l´ımite y su número se dispare. Sin embargo, una
consecuencia de esta forma de mantener la población será que el número de clones
fluctuará alrededor del número de clones deseados.
3.2. Detalles del método de LWD
Una población de N caminantes, con posiciones en el espacio fase Γi
≡ (qi
, pi
),
i = 1, . . . , N, evolucionan con una dinámica Hamiltoniana, perturbada con una fuerza
aleatoria de intensidad
√
, pequeña y diferente para cada caminante:
˙qi
= pi
,
˙pi
= − V(qi
) +
√
η(t) , (3.1)
donde η(t) es un ruido blanco de varianza unitaria.
Cada caminante lleva consigo un vector tangente δΓi
. Se puede pensar que el
vector tangente δΓ representa un compañero del caminante que empieza a la distancia

3.2. Detalles del método de LWD 39
δΓ(0) y que evoluciona con el mismo ruido. Después de un tiempo t, la posición del
i-ésimo caminante y su compañero son Γi
(t) y Γi
(t) + δΓi
(t) respectivamente, y la
razón de la separación inicial y la separación al tiempo t la denotaremos por
ri =
|δΓi
(t)|
|δΓi(0)|
. (3.2)
Después de cierto tiempo, los caminantes son clonados o eliminados con una
tasa proporcional a α-veces el alargamiento del vector tangente. Un valor positivo
(negativo) de α tiende a favorecer órbitas con un exponente máximo de Liapunov
grande (pequeño). El efecto de elevarlo a la potencia α es que ri siempre será mayor
que uno cuando que el comportamiento del caminante coincida con el que buscamos;
esto es, ri > 1 si α es positiva y buscamos que el vector tangente crezca pero también
ri > 1 si α es negativa y buscamos que el vector tangente disminuya.
Después de calcular ri, debemos decidir si el caminante está en las regiones que
buscamos o no. Esto depende directamente del valor de ri:
1. si (ri)α
> 1, el clon es copiado con probabilidad (ri)α
− 1 ;
2. si (ri)α
< 1, el clon es eliminado con probabilidad 1 − (ri)α
.
Cada par de clones evoluciona después con un ruido diferente. Después de un
tiempo posiblemente largo, la mayor´ıa de los clones estarán en la región de mayor o
menor caoticidad del espacio fase, dependiendo del signo dado al parámetro α.
El algoritmo en s´ı no garantiza que el número de clones permanecerá constante.
Las ecuaciones de Hamilton con ruido (3.1) se pueden escribir en forma compacta
como
˙xi = −wij
∂H
∂xj
+ Diηi , (3.3)
donde x = (q1, . . . , qN, p1, . . . , pN) , D = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) y w =
0 1
1 0
. Los
vectores tangentes δΓ evolucionan como
˙δΓ = −AijδΓj con Aij = wik
δ2
H
δxkδxj
. (3.4)
En términos de v = δΓ
|δΓ|
, la magnitud de u está dada por
|δΓ(t)| = |δΓ(0)|e−
t
0
viAijvjdt
. (3.5)
Se puede ver en la referencia [16] que la distribución de probabilidad P de que
los caminantes sean clonados cumple que
∂P
∂t
dx dv = −α viAijvjPdx dv , (3.6)

por lo que la distribución de probabilidad P no se conserva. De hecho, cada
caminante es clonado con una tasa igual a −αviAijvj, que es lo mismo que α veces la
contracción del vector tangente |δΓ(t)|. As´ı que para mantener el número de clones
aproximadamente constante, se utiliza una tasa de copiado dada que depende del
número de clones en cierto instante.
En resumen, los pasos para aplicar el método son:
1. Tomamos un ensamble de N caminantes en el espacio fase con posiciones Γi =
(qi, pi) que evolucionarán de acuerdo a la ecuación (3.1). Cada caminante lleva
consigo un vector tangente δΓ, inicialmente de magnitud unitaria |δΓ0| = 1 que
evolucionará con la forma linealizada de (3.1) hasta obtener el valor δΓf .
2. Una vez que calculamos la evolución del vector tangente, calculamos la razón
entre la magnitud inicial y la magnitud final del vector tangente,
ri =
|δΓf |
|δΓ0|
, (3.7)
y renormalizamos el vector tangente para utilizarlo en la siguiente iteración
δΓ0 →
δΓf
|δΓf |
.
3. Calculamos el número de copias que haremos del clon,
num_copias = floor(razon · rα
i + aleatorio) , (3.8)
donde razon es la cantidad de clones totales entre la cantidad de clones
deseados, aleatorio es un número aleatorio en [0,1) y floor es una función
que nos regresa el entero más cercano menor que el argumento.
a) Si num_copias = 0, entonces el caminante es eliminado.
b) Si no, entonces clonamos al caminante num_copias-1 veces.
Después, cada clon evoluciona con ruido diferente.
4. Repetimos lo anterior para todos los caminantes por un número dado de
choques.
Como ya se mencionó, al aplicar la tasa de copiado a todo el conjunto de
caminantes descrita por (3.8), se obtienen fluctuaciones en el número de clones.
Estas fluctuaciones dependerán del valor de α directamente. Las fluctuaciones son
pequeñas si se trabaja con valores de |α| ∼ 1, pero éstas se hacen muy grandes
si el valor de α se incrementa. Por esto, la tasa de copiado a todo el conjunto
de caminantes descrita por (3.8) es útil sólo para estos valores de α. Trabajar con
valores más grandes requerir´ıa posiblemente una tasa de copiado que mantuviera
exactamente constante la población total de caminantes [16]. En esta tesis siempre se
ocupó α = ±1, por lo que esta tasa de copiado es adecuada.

3.3. Mapeo estándar 41
3.3. Mapeo estándar
Para ilustrar el funcionamiento del algoritmo y para ver que en realidad está fun-
cionando como queremos, se aplicará al mapeo estándar antes de aplicarlo a los
billares. Este modelo fue estudiado en [15], por lo que se puede comparar si nuestra
implementación del algoritmo está funcionando.
Figura 3.1: Rotor pateado.
El mapeo estándar es un mapeo que ha recibido mucha atención, ya que es
un modelo simple de un sistema conservativo que presenta caos Hamiltoniano.
Representa la evolución de un rotor pateado, esto es, de una part´ıcula constreñida
a moverse sin fricción en un c´ırculo, bajo la influencia de una fuerza impulsiva
periódica, que actúa cada cierto tiempo con la misma intensidad y con la misma
dirección y sentido. Esta fuerza provoca un cambio instantáneo en el valor del
impulso angular proporcional a la componente tangencial de dicha fuerza. El nombre
de mapeo estándar se le dio porque muchos sistemas pueden ser localmente reducidos
a este mapeo [17]. A pesar de su importancia, muchos de sus aspectos todav´ıa no
están completamente entendidos [18].
El momento de la part´ıcula será denotado por p y su coordenada por q. La regla
de transformación está dada por:
pn+1 = pn −
kδ
2π
sin(2πqn) ; qn+1 = qn + δpn+1 , (3.9)
donde k fija la intensidad de la fuerza, δ el periodo entre dos sucesivas aplicaciones
de la fuerza, y n representa el tiempo.
Para k = 0, el sistema se reduce a un péndulo simple sin gravedad, por lo que
es integrable y sólo son permitidas órbitas periódicas o cuasiperiódicas. Cuando
dibujamos en el espacio (q, p), las órbitas cuasiperiódicas aparecen como curvas
cerradas y se puede apreciar la foliación del espacio fase (ver figura 3.2(a)). En este
caso el momento es constante, por lo que las trayectorias en el espacio fase son curvas
horizontales.

(a) k = 0.0 (b) k = 0.8
(c) k = 1.35 (d) k = 4.5
Figura 3.2: Mapeo estándar. Se dibujan varias órbitas en el espacio fase del
mapeo estándar con δ = 1 y diferentes valores de k, el parámetro de
estocasticidad. Diferentes colores indican diferentes órbitas (aunque colores iguales
no necesariamente corresponden a las mismas órbitas).
Para k > 0, el sistema pierde su integrabilidad. Sin embargo, para k pequeña,
algunas órbitas cuasiperiódicas sobreviven, como afirma el teorema KAM y como
se ve en la figura 3.2(b). El teorema KAM establece que si un sistema integrable
se somete a una pequeña perturbación no lineal, entonces algunas de las superficies
invariantes del sistema se deformarán y otras serán destruidas; además, al aumentar
la perturbación, más órbitas serán destruidas. Para k mayor, se puede observar un mar
caótico conviviendo con islas integrables, como se ve en la figura 3.2(c). Al aumentar
k, aumenta el tamaño del mar caótico y las islas se hacen cada vez más pequeñas (ver
la figura 3.3(d)).
3.3.1. LWD aplicado al mapeo estándar
Se implementó el método LWD para aplicarlo al mapeo estándar, siguiendo
lo expuesto en la sección 3.2 y la referencia [15], para localizar regiones de

3.3. Mapeo estándar 43
comportamiento at´ıpico. Al aplicar el algoritmo para α = 1, los caminantes se
concentrarán en la región más caótica del espacio fase. Para el caso de la figura
3.3, esta región es la variedad inestable del punto fijo inestable situado en (0.5, 0.0),
revelando las caracter´ısticas de la maraña homocl´ınica. En esa figura se muestra la
evolución de los caminantes en el tiempo.
(a) n = 0 (b) n = 5
(c) n = 10 (d) n = 10000
Figura 3.3: LWD aplicado al mapeo estándar. Se muestra la evolución temporal en el
espacio fase (fondo azul) de 10000 clones (en rojo) con α = 1, k = 1,0, y δ = 1,0.
En (a) los clones están distribuidos uniformemente en el espacio fase. En (b) y (c)
algunos de los clones se acercan a la variedad inestable, hasta que finalmente en (d)
todos los clones se encuentran cerca ella. En (d) se muestra la superposición de las
posiciones durante las 100 últimas aplicaciones del mapeo.
Para encontrar estructuras regulares en medio del mar caótico, se tiene más bien
que escoger α negativa, lo que favorece que los clones se vayan a las islas el´ıpticas
del sistema. En la figura 3.4 se muestra el resultado de aplicar el LWD con α = −1
y = 10−6
al mapeo estándar. Los clones se concentran en las casi invisibles islas
que quedan. El tamaño de las islas pequeñas es de aproximadamente 5 × 10−7
veces
el del espacio fase; si pusiéramos condiciones iniciales aleatorias uniformemente

distribuidas para encontrar estas islas, tendr´ıamos que usar aproximadamente 2
millones, lo que pone de manifiesto el poder de este método. Además, este método
puede usarse para buscar islas para valores arbitrarios de k, como se ejemplifica en
las figuras 4.9 y 4.10.
(a) (b)
Figura 3.4: LWD aplicado al mapeo estándar. Se muestra la evolución temporal de
10000 clones con α = −1, k = 7.7 y δ = 1.0. En (a) se muestra la posición final de
los clones después de 10000 pasos de tiempo. En (b) se muestra un acercamiento a
una isla de (a).

Cap´ıtulo 4
LWD para billares
En este cap´ıtulo adaptaremos el LWD a los billares –aparentemente, por primera
vez. En las primeras dos secciones se dan los detalles para esto y se aplica a varias
mesas de billar. Después estudiamos los alcances del algoritmo, particularmente su
capacidad para encontrar islas el´ıpticas pequeñas, y se propone una forma de mejorar
la convergencia hacia estas regiones.
4.1. Posibles perturbaciones de la dinámica
La evolución de los modelos tipo billar consta de la parte entre choques, dada por
(1.1), en la que la part´ıcula se mueve en la región Q sin la influencia de ningún tipo de
fuerza y el choque elástico con la frontera del billar ∂Q dada por (1.2). Para adaptar
el algoritmo de LWD a los modelos tipo billar, hay que determinar qué parte del
Hamiltoniano vamos a perturbar con el ruido, pues podemos perturbar el momento1
entre los choques o el vector normal en cada choque2
.
Debido a que la dinámica de estos sistemas está determinada por la geometr´ıa de
la mesa de billar, lo más natural ser´ıa pensar que debemos perturbar la geometr´ıa,
o más espec´ıficamente la normal a la frontera en el punto de choque. Sin embargo,
como veremos a continuación, perturbar el momento después del choque o perturbar
la normal tienen un efecto equivalente, pero perturbar el momento tiene una ventaja.
Llamaremos vf a la velocidad de salida sin perturbar nada, vf1 a la velocidad de
salida perturbada directamente, y vf2 a la velocidad que se obtiene al perturbar la
normal. En este caso η será un vector de ruido blanco de varianza unitaria. Tenemos
que vf = vi − 2(vi · n)n, mientras que las otras dos están dadas por
vf1 = vf + η = vi − 2(vi · n)n + η ; (4.1)
vf2 = vi − 2(vi · (n + η))(n + η) = vi − 2(vi · (n + η))n − (2 vi · n + 2 2
vi · η)η . (4.2)
1
Como tomamos la masa de la part´ıcula como unitaria, el momento y la velocidad coinciden.
2
La normal n siempre deberá permanecer unitaria; sólo cambiará su dirección.
47

48 Cap´ıtulo 4. LWD para billares
(a) (b)
Figura 4.1: Posibles perturbaciones de la dinámica de los billares.
Como se puede ver, en ambos casos la velocidad final tiene componentes en la
dirección del vector η. La única diferencia es la magnitud relativa de la perturbación.
En (4.1), se ve que ésta será veces la magnitud de η, mientras que para el segundo
caso la magnitud relativa será de (2 vi·n+2 2
vi·η). El segundo caso tiene la desventaja
de depender de vi · η, lo que hace que la magnitud relativa pueda fluctuar más que en
el primer caso.
Se probaron ambas formas de perturbar la dinámica y ambos casos dieron los
mismos resultados. Esto es de esperarse, pues aunque perturbar el momento durante
el vuelo de la part´ıcula tiene el efecto de cambiar la dirección del movimiento varias
veces, sólo importa el punto de la frontera donde será la próxima colisión, y esto es
equivalente a cambiar una sola vez la dirección del movimiento. As´ı que según las
pruebas que se realizaron, ambas formas de perturbar tienen el mismo efecto.
Sin embargo, una de las principales motivaciones para utilizar el método de
LWD en los billares es encontrar islas pequeñas en el espacio fase. Para esto lo
más conveniente es no tener fluctuaciones en la intensidad de la perturbación, pues
éstas podr´ıan ser suficientemente grandes para enviar al caminante fuera de la isla.
Debido a esto, como una precaución, en este trabajo se escogió perturbar la velocidad
directamente en vez de perturbar la normal.
4.2. LWD en billares
Una vez que ya sabemos cómo vamos a perturbar la dinámica, lo siguiente es
implementar el LWD a la transformación de primer retorno (1.5). Esto se describe a
continuación:
1. Tomamos un ensamble de N caminantes en el espacio fase con posiciones Γi =
(qi, pi) que evolucionarán entre choques de acuerdo a (1.5):
˙Γ =
˙q
˙p
=
p/m
0
.

4.2. LWD en billares 49
Cuando choquen con la frontera ∂Q, la posición del caminante no cambiará,
pero la velocidad lo hará de una manera perturbada, similar a la ecuación
(2.27):
Γf = M(Γi) =
qi
pi − 2(pi · n)n + η
, (4.3)
donde n es la normal unitaria perpendicular a la superficie, q es la posición de
la colisión y p es la velocidad, y los sub´ındices i y f denotan los valores antes
y después de la colisión, respectivamente.
2. Cada caminante lleva consigo un vector tangente δΓ, inicialmente de magnitud
unitaria |δΓ0| = 1, que evoluciona entre choques como se indica en (2.22). Para
∆t el tiempo entre dos choques sucesivos, tenemos que
δΓf = S · L∆t
· δΓ0 , (4.4)
con el propagador L∆t
dado por (2.30)


1 0 ∆t 0
0 1 0 ∆t
0 0 1 0
0 0 0 1


,
y el mapeo S que evoluciona δΓf = S(Γi, δΓi) en los choques descrito por
(2.28)
δΓf =
δqi − 2(δqi · n)n
δpi − 2(δpi · n)n − 2(pi · δn)n − 2(pi · n)δn
.
3. Una vez calculado esto, calculamos la razón entre la magnitud inicial y la
magnitud final del vector tangente,
ri =
|δΓf |
|δΓ0|
, (4.5)
y renormalizamos el vector tangente para utilizarlo en la siguiente iteración:
δΓf
|δΓf |
→ δΓ0.
4. Calculamos el número de copias que haremos del clon,
num_copias = floor(razon · rα
i + aleatorio) , (4.6)
donde razon es la cantidad de clones totales entre la cantidad de clones
deseados, aleatorio es un número aleatorio en [0,1) y floor es una función
que nos regresa el entero más cercano menor que el argumento.

50 Cap´ıtulo 4. LWD para billares
5. a) Si num_copias = 0, el caminante es eliminado.
b) Si no, clonamos al caminante num_copias-1 veces.
Después, cada clon evoluciona con ruido diferente.
6. Repetimos lo anterior para todos los caminantes por un número dado de
choques.
4.3. Ejemplos del LWD en billares
Aplicaremos este procedimiento a varios billares para mostrar que funciona, antes
de estudiar sus alcances y limitaciones en la siguiente sección.
Billar de hongo
El billar del hongo y su espacio de colisiones se muestran en la figura 1.7. Se
escogió este billar para ser el primero en probar el algoritmo debido a sus propiedades
poco usuales: el espacio fase está dividido completamente en una parte integrable
y una parte caótica, es decir, sólo hay una isla el´ıptica rodeada de un mar caótico
formado por una sola componente ergódica. Al aplicar el algoritmo con α = 1 y con
α = −1, uno esperar´ıa encontrar esta componente ergódica y alguna trayectoria de la
isla, como de hecho sucede en la figura 4.2.
(a) (b)
Figura 4.2: LWD aplicado al billar de hongo. El espacio de colisiones del billar de
hongo está en azul. En rojo, se muestra la superposición de la posición final de 500
clones después de 5000 choques con = 10−6
y (a) α = 1 ; y (b) α = −1.

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