Semantica

Faraón Llorens, junio de 2012Faraón Llorens, curso 2015/2016
lógica
semántica
Faraón Llorens Largo
28 septiembre 2015

semántica
verdad verdadera

semántica
verdades lógicas
“lógica de primer orden”
( lógica clásica o binaria )
dos valores de verdad
verdadero o falso
principio de bivalencia

semántica
perogrullada
al año siguiente era un año más viejo y por una curiosa coincidencia, todas
las chicas que conocía también habían envejecido un año

semántica
vaguedad

semántica
incertidumbre
In the beginning there was only one truth-value, true.
Then the Greeks introduced a second one,
false and used it to make truth more amenable to logical arguments.
In modern times, to better explorer the uncertain borders between truth
and falsity, additional truth-values have been considered.
Journal of Logic, Language and Information
Vol. 9, nº 1, January 2000
Special Issue on Logics of Uncertainty

semántica
lógica clásica
Toda la lógica tradicional suele presuponer que se están empleando
símbolos precisos. No es, por tanto, aplicable a esta vida terrenal, sino
sólo a una celestial imaginaria. La ley del tercio excluso [A o no A] es
verdadero si se emplean símbolos precisos, pero no lo es si los símbolos
son vagos [borrosos] tal y como, de hecho, son.
Bertrand Russell
“Vagueness”, Australian Journal of Philosophy
vol. 1, 1913

semántica
lógica difusa
La lógica borrosa y las máquinas que la usen nos recordarán que “el gris
vale” y que “todo es cuestión de grado”. Quizá echemos de menos
nuestros días del blanco y negro. Pero se los eche de menos o no, han
pasado.
Bart Kosko
Pensamiento borroso. La nueva ciencia de la lógica borrosa

semántica
lógica difusa
La lógica clásica es como quien va a una fiesta vestido con un traje negro,
una camisa blanca almidonada, una corbata negra, zapatos lustrosos,
etcétera. Y la lógica borrosa es un poco como quien va vestido
informalmente, con vaqueros, camiseta y zapatillas. En el pasado esta ropa
informal no habría sido aceptable. Hoy es la otra manera que hay de vestir.
Lofti Zadeh
Communications of the Association for Computing Machinery
vol. 27, 1984

semántica
pensamientos difusos, decisiones binarias
Nos gusta que nuestros actos sean blancos o negros, incluso cuando
nuestros pensamientos son grises o borrosos. Con frecuencia lo que
hacemos es pulir nuestros pensamientos borrosos para dar una opinión, o
adoptar una postura, o emitir un voto.
Bart Kosko
El futuro borroso o el cielo en un chip

semántica
propiedades de la lógica clásica
- los enunciados están provistos de un valor de verdad apofántica
- dichos valores de verdad son únicamente dos : verdadero o
falso
bivalente
- no existen matizaciones entre estos valores asertórica
- las conexiones entre enunciados dan lugar a enunciados
compuestos cuyo valor de verdad está completamente en
función de los valores de verdad de los enunciados conectados
extensional

semántica
lógicas no clásicas …
polivalente
difusa (fuzzy)
probabilística
no monótona
modal
temporal
intuicionista
deóntica
combinatoria
epistémica
...

semántica
semántica

semántica
semántica
L  V

semántica
elementos semánticos
 Definición del conjunto de significados (V )
 Definición semántica de los componentes del lenguaje ( L ):
 semántica de las fórmulas atómicas
 semántica de las conectivas
 Conceptos semánticos. Clasificación semántica

semántica
conjunto de significados
lógica clásica o bivalente V = {V, F}
verdadero (V o 1) o falso (F o 0)
L  V
{fbf}l  {V, F}

semántica
información empírica
una fórmula atómica es verdadera
cuando lo es conforme a los hechos

semántica
axioma semántico
toda proposición es verdadera o falsa,
pero no ambas cosas a la vez

semántica
definición semántica de conectivas
A B ¬A A Ù B A Ú B A ® B A « B
F F
V
F F V V
F V F V V F
V F
F
F V F F
V V V V V V

semántica
interpretación
una interpretación de una fórmula lógica es una asignación de
significados a sus fórmulas componentes básicas

semántica
interpretación
Número de interpretaciones de una fórmula lógica:
si tiene n variables proposicionales
2n interpretaciones

semántica
interpretación
 Modelo: es una interpretación cuyo significado resultante es
verdadero.
 Contramodelo: es una interpretación cuyo significado
resultante es falso.

semántica
fórmula lógica
 Satisfacible: una fórmula lógica es satisfacible si existe alguna
interpretación que la verifique.
 Insatisfacible: una fórmula lógica es insatisfacible si no existe
ninguna interpretación que la verifique.

semántica
clasificación de fórmulas
Tautología
Contradicción
Indeterminación o Contingencia

semántica
Tautología
cuando es verdadera para toda interpretación
Contradicción

semántica
Tautología
Contradicción
cuando no es verdadera bajo ninguna interpretación

semántica
Tautología
Contradicción
cuando existe al menos una interpretación que la satisface y otra que no la
satisface

semántica
métodos semánticos de valoración
 Análisis de fórmulas lógicas:
 Estudio de tablas de verdad
 Método corto de valoración
 Análisis de estructuras lógicas (basado en la definición semántica de
deducción correcta) :
 Estudio de tablas de verdad
 Método del contraejemplo

semántica
tablas de verdad
Construcción de tablas de verdad:
 Método acumulativo
 Método por pasos

semántica
p q ¬q p  ¬q
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F
p  ¬q
1º. Una columna para cada
variable proposicional
2º. Una columna para cada
conectiva según prioridad en la fbf
3º. Aplicar reglas conectivas y obtener filas
Cada fila es una interpretación de la fbf
La columna de la conectiva principal clasifica semánticamente la fbf
CONTINGENCIA

semántica
p q ¬q q v ¬q p  q v ¬q
1 V V F V V
2 V F V V V
3 F V F V V
4 F F V V V
La fbf es una TAUTOLOGÍA ya que todas sus
interpretaciones son modelo.
p  q v ¬q

semántica
equivalencias lógicas
A  ¬A es F
A  ¬A es V
A  V es A
A  V es V
A  F es F
A  F es A

semántica
método corto de valoración
Consiste en dar el valor F a la fórmula completa, y buscar los valores de
verdad de las variables proposicionales.
Si llegamos a una contradicción, es que no existe ninguna interpretación
que haga falsa la fórmula, y por tanto es TAUTOLOGÍA
Si encontramos una interpretación que haga falsa la fórmula completa,
entonces la fórmula NO es TAUTOLOGÍA

semántica
análisis semántico de deducción correcta
de premisas verdaderas debemos obtener conclusión verdadera,
es decir, no podemos aceptar que las premisas sean verdaderas
y la conclusión falsa
premisas conclusiónse deduce

semántica
tablas de verdad

semántica
método del contraejemplo
para comprobar que una deducción NO es CORRECTA basta con encontrar
una interpretación que haga verdaderas las premisas y falsa la conclusión

semántica
elementos semánticos del cálculo de predicados
 Definición del conjunto de significados (V )
 Definición semántica de los componentes del lenguaje ( L ):
 semántica de las fórmulas atómicas (universo del discurso)
 semántica de las conectivas
 semántica de los cuantificadores
 Conceptos semánticos. Clasificación semántica

semántica
definición de interpretación
Para interpretar una fórmula predicativa es necesario:
 Definir un dominio no vacío D
 Asignar elementos de D a los términos
 Asignar valores de verdad a los predicados

semántica
definición semántica de cuantificadores
x P(x) es V si la fórmula P(x) es verdadera para cualquier elemento
del dominio al que pertenece x. Por el contrario, es F si la
fórmula P(x) es falsa para algún elemento del dominio.
x P(x) es V si la fórmula P(x) es verdadera para algún elemento del
dominio al que pertenece x. Por el contrario, es F si la fórmula
P(x) es falsa para todos los elementos del dominio.

semántica
interpretación en cálculo de predicados
si el dominio D tiene d elementos y
si el predicado P tiene 1 argumento
entonces hay d1=d fórmulas atómicas
2d interpretaciones

semántica
si el predicado P tiene n argumentos
entonces hay dn fórmulas atómicas
interpretaciones

semántica
si el predicado P1 tiene n1 argumentos
…
si el predicado Pk tiene nk argumentos
interpretaciones

lógica
semántica

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Faraon.Llorens@ua.es
Dpto. de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial (www.dccia.ua.es)
Escuela Politécnica Superior (www.eps.ua.es)
Universidad de Alicante (www.ua.es)
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créditos

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matemáticas I
http://cv1.cpd.ua.es/ConsPlanesEstudio/cvFichaAsiEEES.asp?wcodasi=21003&wLengua=C
&scaca=2015-16
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