Este documento trata sobre el análisis vectorial y las herramientas matemáticas para trabajar con vectores. Explica conceptos como magnitudes vectoriales, elementos de un vector, tipos de vectores, operaciones con vectores usando métodos gráficos y analíticos, y descomposición rectangular de vectores. También incluye ejemplos resueltos sobre sumas, restas y multiplicación de vectores.

1. ANALISIS VECTORIAL HERRAMIENTAS MATEMATICAS

3. . Vector: concepto, elementos, tipos.

4. . Operaciones con vectores.

5. .1. Métodos gráficos

6. .2. Métodos analíticos.

9. Sentido: Es la característica del vector que nos indica hacía donde se dirige. Se le representa por una saeta, o, sagita.Módulo: Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial

12. PARALELOS OPUESTOS

13.   VECTORES IGUALES

14. Nota importante: Todo vector puede trasladarse sobre un plano en forma paralela, sin alterar ninguno de sus elementos.

16. lAl : módulo del vector Ax : abscisa del punto A Ay : ordenada del punto A lAl= √ ax2 + ay2 Para el ejemplo mostrado anteriormente, se tendrá entonces que el módulo es: √42 + (-3)2 = √ 25 = 5 OPERACIONES CON VECTORES 1.- METODOS GRAFICOS: Mediante ellos es posible hallar el vector que resulta de una suma o resta de vectores o de una combinación de estas operaciones, así como también el que resulta de multiplicar a un vector por un escalar. En estos métodos se debe dibujar los vectores con una longitud proporcional a su módulo y respetando la dirección y sentido que indican. Si el vector estuviese multiplicado por un escalar C, se debe dibujar el vector con una longitud proporcional a C veces su módulo. Y si el escalar es negativo se debe invertir el sentido del vector.

17. Fig. 2 Multiplicación del vector A por los escalares 2 y -2

20. A.- MÉTODO DEL PARALELOGRAMO En este método se dibujan los dos vectores que se van a sumar unidos por sus puntos de origen. Luego, se traza una paralela a cada vector desde el extremo del otro, de modo que se complete un paralelogramo. El vector resultante R es aquel que parte del origen y cuyo extremo se encuentra con la intersección de las líneas trazadas.

21.    Ejemplo 1 Trazamos paralelas a cada uno de los vectores y obtenemos una figura llamada _________________

23. Dibuja el siguiente vector empezando por el extremo del vector anterior.

24. Repite el paso anterior tantas veces como vectores para sumar tengas.

26. EJEMPLO 2 Halla mediante los métodos gráficos del polígono y del paralelogramo la resultante R de 3 A – 2 B + ½ C, sabiendo que A, B y C son los vectores. -2 B ½ C 3 A

30. 2. Determinar el módulo de la resultante de .

31. Diferencia de vectores : (METODO DEL TRIANGULO) Se unen los vectores por su origen, manteniendo su módulo, dirección y sentido. Luego, trazamos el vector diferencia, completando el triangulo como indicamos en la figura: Como se puede observar en la figura la orientación del vector diferencia apunta al minuendo (A) para determinar el vector diferencia podemos medirlo directamente con una regla o calcularlo con la ley de coseno para la sustracción de vectores. A D = A - B B l D l = √ A2 + B2 – 2 A B COS θ

32. Ejemplo 1 Encontrar el módulo del vector diferencia A – B, si estos vectores se muestran en la figura , de modo que .l A l = 50 , l B l = 14 A B 500 560 SOLUCION: Trasladamos los vectores de modo paralelo a sus posiciones originales hasta que sus orígenes coincidan. Observamos que el ángulo formado por ellos se obtiene de: D = A - B A B θ 500 560 560 + θ + 500 = 1800 θ = 740 Luego utilizamos la fórmula: lDl= √ 502 + 142 – (2)(50)(14) cos 740 lDl= 48 (cos 740 = 7/25)

33. Ejemplo 2 Dos vectores tienen una resultante máxima que mide 14 y una resultante mínima que mide 2 ¿cuál es el módulo de la resultante de dichos vectores cuando formen un ángulo de 900? SOLUCION: De acuerdo con el enunciado del problema, tenemos: B A R máx = A + B = 14 ……. (1) R mín = A - B = 2 .……(2) Rmáx A B Rmín Luego resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtendremos que A= 8 y B = 6

35. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1.- Dibujar el vector resultante de B A B A R 2.- Dibujar el vector resultante de A B R

38. Ejemplo 2 Halla por el método analítico la resultante R de A-½B+3C, sabiendo que A, B y C son los vectores. A = (7;-5), B = ( 4; -8) y C = (- ⅔ ; 3) Solución Identifica los datos: las componentes de cada vector serán ax = 7 ; ay = -5 bx = 4 ; by = -8 cx = -⅔ ; cy = 3 Reemplaza y resuelve: Por medio del método analítico, las operaciones de multiplicación por un escalar y de suma de vectores se pueden reunir en un solo paso: R = A- ½B+3C = (ax; ay) - ½ (bx;by) + 3 (cx;cy) R = (ax - ½ bx + 3cx ; ay - ½by + 3cy) R = (7 - ½ (4) + 3(-⅔) ; -5 - ½(-8) + 3(3)) R = (7 – 2 - 2; - 5 + 4 + 9 ) R = (3 , 8 )

39. DESCOMPOSICION RECTAGULAR DE UN VECTOR Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos vectores perpendiculares; estos vectores son llamados componentes rectangulares los cuales se trazan sobre los ejes de coordenadas X e Y desde el origen de coordenadas. A = Ax + Ay Componentes rectangulares lAxl = lAlcosαMódulo del C. horizontal lAyl = lAlsenα Módulo del C. vertical lAl = √ A2x + A2y Módulo de A tg = Ay / Ax Dirección y sentido de A A Ay Ax Nota . Si hubiera mas de un vector se suman las componentes que se ubican en un mismo eje y por separado: Rx = ∑Vx y Ry = ∑ Vy

40. Y Ejemplo 3 Encontrar el módulo y dirección de la resultante del conjunto de vectores mostrados en figura. Si lAl = 5 , l B l = 14 , l C l = 2√2 , l D l = 7√ 3 A B 370 300 X D 450 C SOLUCION: Ax =Acos 370 = 5 . 4/5 = 4 B A A { Ay = Asen 370 = 5 . 3/5 = 3 By Ay Ax Bx = Bcos 300 = 14 . √3/2 = 7√3 Bx B { By = Bsen 300 = 14 . 1/2 = 7 Cx D Cy C Cx = Ccos 450 = 2√2 . 1/√2 = 2 C { Cy = Csen 450 = 2√2 . 1/√2 = 2

42. EJERCICIOS RESUELTOS En el triángulo, hallar el vector X en función de los vectores A y B, si se cumple que PQ=QR/2 A B Solución: Del dato tenemos B x A X d 2d Q P R Los vectores d y 2d se construyen aprovechando el dato: entonces por el método del polígono, tenemos: d + x = A (1) luego despejando nos queda: d = A – X (*) 2d + B = X (2) reemplazando (*) en (2) 2 (A - X) + B = X 2 A - 2X + B = X 2 A + B = X + 2X 2 A + B = 3 X 2 A + B 3 X =

44. 4. Determinar el modulo del vector resultante de a y b 2√7cm a 300 600 b 5. Sabiendo que A se descompone en sus vectores componentes Ax y Ay; hallar la dirección del vector A , si Ax = 35 y Ay = 28 y Ay α Ax x

45. 6. Hallar la resultante del sistema de vectores, sabiendo que l a l = 2 y l h l = 3 d b a c h g e f Prof. Humberto Espinoza Chávez Espec: Química y Biología