Este documento describe conceptos básicos sobre vectores, incluyendo su definición, representación gráfica, operaciones y propiedades. Explica qué es un vector, cómo representar vectores bidimensionales y tridimensionales, y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación de vectores. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.

1. FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
CURSO: MATEMATICA BASICA: III UNIDAD
TEMA: VECTORES
1. Definición.- Se llama vector a todo segmento
orientado. El primero de los puntos que lo
determinan se llama origen o punto de
aplicación y el segundo extremo del vector
que determina el sentido, entre el primer
punto y el segundo punto hay un modulo o
norma del vector . La recta que contiene el
vector determina la dirección del mismo
sobre la recta,
1.1 Representacion grafica de un vector
Esta representación nos expresa un vector
tanto en el plano bidimensional o en en el
espacio (tridimensional)
Nota: muchas veces la dirección se da
indicnado el angulo que este vector hace con
los ejes coordenados.
2. Distancia entre dos puntos bidinesionales y
tridmensionales.
a) Distancia bidimensional de 2 puntos
d = √(𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏) 𝟐 + (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏) 𝟐
b) Distancia tridimensional de 2 puntos
d = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧1 − 𝑧2)2
3. Vector Bidimensional, vector tridimensional,
vector n-dimensional.
Un vector bidimensional es una pareja
ordenada de números reales (x,y,z), donde “x”
se llama la primera componente y, “y” se
llama segunda componente.
Un vector tridimensional es una terna ordenada
de números reales (x,y,z), donde “x” se llama la
primera componente y, “y” se llama segunda
componente y “z” la tercera componente.
a) Observaciones
1) A los vectores bidimensional se le
representa por letras minúsculas y en la
parte superior se le coloca un segmento
de recta o una flecha, es decir:
𝑎⃗ = (𝑎1, 𝑎2,), b⃗⃗ = (b1, b2), c⃗ = (c1, c2, 𝑐3),……
2) A los vectores tridimensionales se les
representa por letras minúsculas y en la
parte superior se le coloca un segmento
de recta o una flecha, es decir:
𝑎⃗ = (𝑎1, a2,a3), b⃗⃗ = (b1, b2, b3), c⃗ =
(c1, c2, 𝑐3),……
3) A los vectores n-dimensionales se les
representa por letras minúsculas y en la
parte superior se le coloca un segmento
de recta o una flecha, es decir:
𝑎⃗ = (𝑎1, a2, … … an), donde 𝑎𝑖 𝜖 R, i = 1, 2,
3, ………..n
Al conjunto de vectores n-dimensional lo
representaremos por 𝑉𝑛, es decir:
𝑉𝑛= 𝑅 𝑛
= { 𝑎⃗⃗⃗ = (𝑎1, a2, … … an) 𝜖 𝑅 𝑛
/ 𝑎𝑖
𝜖 R, i = 1, 2, 3, ……….. 𝑛}.
4) En el plano bidimensional al vector cero se
simbolizara: 0⃗⃗ = (0, 0)
5)En el plno tridmensional al vector cero se
simbolizara: 0⃗⃗ = (0, 0, 0)

2. 4. Representación geométrica de un vector
bidimensional
4.1 Vector Localizado:
Un vector localizado en 𝑅2
es una pareja de
puntos 𝑃1 𝑦 𝑃2 que se indica como 𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗para los
cuales 𝑃1 es el punto inicial o de partida y 𝑃2 es el
punto final o de llegada entonces si una flecha
tiene como punto inicial a 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 a
𝑃2(𝑥2, 𝑦2) como punto final, entonces la flecha
𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es una representación geométrica del vector
𝑉⃗⃗=(x, y), donde:
𝑉⃗⃗=(x, y)= (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)
Entonces: 𝑉⃗⃗ =𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑃⃗⃗1
El resultado nos dara UN VECTOR DE
POSICION.
4.1 Vector de posición o radio vector
5. Representación geométrica de un vector
tridimensional
Suponga que se tiene el vector dirigido 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Entonces el vector:
𝑎⃗ = 𝑄⃗⃗ - 𝑝⃗ = ( x+𝑎1, y+𝑎2, 𝑧 + 𝑎3) – ( x,y, z)
𝒂⃗⃗⃗ = ( 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑)
5.1 Vector de posición o radio vector
6. Operaciones con vectores
6.1) Igualdad de vectores
Dos vectores son iguales si y sólo si, sus
componentes correspondientes toman los
mismos valores.
- En el plano bidimensional
Dados: a⃗⃗ = (a1, a2) y b⃗⃗ = (b1, b2)
Si: a⃗⃗ = b⃗⃗ ⇔ a1 = b1 ∧ a2 = b2
- En el espacio tridimensional
Dados: a⃗⃗ = (a1, a2, a3) y b⃗⃗ = (b1, b2, b3)
- Si: a⃗⃗ = b⃗⃗ ⇔ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ a3 =
b3.
6.2 Vectores iguales
Dos vectores son iguales si tienen la
misma dirección, el mismo sentido, el
mismo tamaño (norma o modulo), el
mismo punto inicial y el mismo punto
terminal. Se denota por: : a⃗⃗ = b⃗⃗
6.3 Vectores equivalentes
Dos vectores son equivalentes si tienen
la misma dirección, el mismo sentido, el
mismo tamaño pero diferente punto
inicial y se denota: 𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗.

3. 7. Multiplicación de un numero real (escalar)
por un vector
Sea 𝜆 un escalar (𝜆 𝜖 R) y sea y sea 𝑎⃗ un vector
cualquiera entonces llamaremos producto de 𝜆
por 𝑎⃗ denotado por: 𝜆𝑎⃗, el vector resultante
cuyas componentes deben ser multiplicadas por
𝜆, esto es:
Si 𝑎⃗ 𝜖 𝑉2 ⟹ 𝑎⃗ = (𝑎1, 𝑎2), luego:
𝝀𝒂⃗⃗⃗ = 𝝀(𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐) = (𝝀𝒂 𝟏, 𝝀𝒂 𝟐)
Si 𝑎⃗ 𝜖 𝑉3 ⟹ 𝑎⃗ = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), luego:
𝝀𝒂⃗⃗⃗ = 𝝀(𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑) = (𝝀𝒂 𝟏, 𝝀𝒂 𝟐, 𝝀𝒂 𝟑)
En general si 𝑎⃗ 𝜖 𝑉𝑛 ⟹ 𝑎⃗ = (𝑎1, 𝑎2, … . . 𝑎 𝑛),
luego:
𝝀𝒂⃗⃗⃗ = 𝝀(𝑎1, 𝑎2, … . . 𝑎 𝑛) = (𝝀𝒂 𝟏, 𝝀𝒂 𝟐, … 𝝀𝒂 𝒏)
Observación:
- Si 𝜆 > 0, el vector aumenta, disminuye o
queda del mismo tamaño dependiendo
que valores tome 𝜆 , y conserva el
mismo sentido.
- Si 𝜆 < 0, el vector aumenta, disminuye o
queda del mismo tamaño dependiendo
que valores tome 𝜆 , y su sentido es
opuesto.
Propiedades.-
Para todo escalar r y s 𝜖 R y los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ se
verifican las siguientes propiedades.
a) r.𝑎⃗ es un vector
b) r(𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) = (𝑟𝑎⃗+r𝑏⃗⃗)
c) 1.𝑎⃗ = 𝑎⃗
d) (r+s)𝑎⃗ = 𝑟𝑎⃗ + 𝑠𝑎⃗
e) r(s.𝑎⃗)=(r.s)𝑎⃗
Ejemplo1:
Calcular el valor de M = 7x + 5y si: a⃗⃗ = b⃗⃗ donde
a⃗⃗ = (5x+3y, 4x-y-4), b⃗⃗= (4x+2y+5, 3x+y+7)
Rpta. M = 39
Ejemplo2: Hallar el vector de posición del vector
localizado 𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ si 𝑃1=(5, -2) y 𝑃2= (2,3).
. 𝑉⃗⃗ = 𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Hallar 𝑉⃗⃗. Graficar.
Ejemplo 3: Hallar el valor de N = x+y+z, si:
a⃗⃗ = b⃗⃗ donde:
Si a⃗⃗ = (2x+y+z, 3x+2y+2z,x-2y-z), b⃗⃗= (1, 1, 0)
Rpta. N = 0
PROBLEMAS
I. En los ejercicios hallar 𝑃2 si:
𝑉⃗⃗=𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1. 𝑉⃗⃗ = (2,6), 𝑃1=(1,3) Rpta. (3,9)
II. En los ejercicios del 3 al 4, hallar el punto
S(x,y) tal que 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sean
representaciones del mismo vector.
2. P(2,5), Q(1,6), R(-3,2) Rpta. (-4,3)
3. P(-1,4), Q(2,-3), R(-5,-2) Rpta. (2,-9)
4. El vector 𝑉⃗⃗= (3,2) es el vector localizado
del segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ cuyo punto medio es
C(3, 1) . Hallar las coordenadas de A y B.
Rpta. A(3/2, 0) y B(9/2, 2)
5. Si 𝑎⃗ = ( 2x-3y, 4x-y), 𝑏⃗⃗ = (2, -3). Hallar los
valores de x e y para que 𝑎⃗ = 5𝑏⃗⃗
Rpta. x = -1 , y = -4
6. Encontrar el valor de M = 5x – 8y si :
a⃗⃗ = b⃗⃗, donde : a⃗⃗ = (3x-y+1, -2x+y) y b⃗⃗ =
(x-3y+3, x+5y-1) Rpta. M = 31
7. Hallar el valor de M = 7x – 11y + 5, si
a⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ donde a⃗⃗ = (2x-z, 3y-1, x+3z) y b⃗⃗ =
(x-z+3, 2y-3z, x+y+5z) Rpta. M = 48.
Tacna, 09 de junio del 2014
Docente: Ing. Luis Nina Ponce