H

1. RELACIONES BINARIAS DE ℝ
EN ℝ
Binary Relations
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

2. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

3. CONTENIDO DE LA SESIÓN
SABERES PREVIOS
(PRE REQUISITOS)
 Par ordenado
 Producto cartesiano
 Plano cartesiano
 Relaciones binarias de R
en R
 Dominio y rango de una
relación
 Gráfica de una relación
lineal y cuadrática
 Aplicaciones
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 Conjuntos
 Operaciones con
expresiones
algebraicas
 Números reales
 Operaciones con
números reales.

4. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión el
estudiante resuelve ejercicios
y problemas sobre
relaciones binarias en
situaciones relacionadas a la
ingeniería, considerando la
regla que genera la relación
su dominio, rango, y las
gráficas de las relaciones
binarias, de forma ordenada
y correcta.
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5. PAR ORDENADO
 Es un conjunto ordenado de dos elementos 𝑎 y 𝑏 al
cual denotamos por: (𝑎, 𝑏), donde “𝑎” es llamada la
primera componente (abscisa) y “ 𝑏 ” la segunda
componente (ordenada).
Ejemplos: (𝟑, 𝟒), (−𝟐, 𝟎)
 Un par ordenado (𝑥, 𝑦) puede ser usado para
mostrar la posición de un punto en un gráfico. En
este caso, el valor " 𝑥 " nos indica la posición
horizontal, mientras que el valor " 𝑦 " su posición
vertical.
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6. PARES ORDENADOS
Decimos que dos pares ordenados son iguales si y solo
si sus abscisas y ordenadas coinciden. Es decir,
(𝑎; 𝑏) = (𝑐; 𝑑) ↔ 𝑎 = 𝑐 ˄ 𝑏 = 𝑑
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𝑥 e 𝑦, si los siguientes pares
Ejemplo:
Determinar los valores de
ordenados son iguales:
(4 ; 2𝑥 − 10) = (𝑥 − 1 ; 𝑦 + 2)

7. PRODUCTO CARTESIANO
 Dado dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 arbitrarios, llamaremos
producto cartesiano de 𝐴 𝑦 𝐵 al conjunto de todos
los pares ordenados (𝑎, 𝑏) de tal manera que la
primera componente “𝑎” pertenece al conjunto 𝐴 y
la segunda componente “𝑏” pertenece al conjunto
𝐵.
 Notación: 𝐴𝑥𝐵.
 Debemos tener en cuenta que:
𝐴𝑥𝐵 = { 𝑎, 𝑏 : 𝑎𝜖𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}
𝐴𝑥𝐵 ≠ 𝐵𝑥𝐴
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8. PRODUCTO CARTESIANO
Si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos finitos, entonces:
Donde 𝑛 𝐴 es el número de elementos del conjunto 𝐴.
Análogamente se define 𝑛(𝐵) y 𝑛(𝐴𝑥𝐵).
Ejemplo:
Se definen los conjuntos:
 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒁 / 6  𝑥2 + 2  102}
 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝒁 / 𝑥2 – 5 < 25}
Calcular: 𝑛(𝐴 𝑥 𝐵)
𝑛 𝐴𝑥𝐵 = 𝑛 𝐴 𝑛(𝐵)
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9. EJERCICIO
 Determina el producto cartesiano 𝐴𝑥𝐵 en
cada uno de los siguientes casos:
 1. 𝐴 =
 2. 𝐴 =
 3. 𝐴 =
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1,2,4,8 , 𝐵 = −1, −2 − 3
3,5 , 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ: 14 < 2𝑥 + 3 < 27}
𝑥 ∈ ℕ: 3𝑥 < 15 , 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ: 5 < 𝑥2 < 14}

10. PRODUCTO CARTESIANO: REPRESENTACIÓN
SAGITAL
 Para representar el PRODUCTO CARTESIANO 𝐴 𝑥 𝐵,
podemos utilizar Diagramas Sagitales (de flechas).
Diagrama Sagital del Producto Cartesiano 𝑨 𝒙 𝑩:
5
7
A
2
B
3
4
5
6
2;3,2;4,2;5,2;6
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 
AB5;3,5;4,5;5,5,6

7;3,7;4,7;5,7;6
 

11. PLANO CARTESIANO
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Cuadrante I
Cuadrante II
-4 -3 -2 -1
Cuadrante III Cuadrante IV
Origen
1 2 3
E j e d e las
4 A b s c i s a s
 Un Plano Cartesiano se compone de la intersección de dos
rectas numéricas reales, las cuales se intersecan formando
un ángulo de 90° en el cero de ambas rectas. Este punto
de intersección es llamado el origen de coordenadas.
Eje d e las
Ordenadas
El Plano cartesiano se
utiliza como sistema
de referencia para
localizar puntos en un
Plano.
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12. Representación geométrica del producto
cartesiano
 Dado los conjuntos 𝐴 = 1, 2, 3 𝑦 𝐵 = {1, 2}, podemos
representar gráficamente el producto cartesiano de
la siguiente manera:
Los puntos azules
representan a cada uno
de los elementos del
producto cartesiano.
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13. EJERCICIOS
 Localiza los siguientes pares ordenados en el
plano cartesiano.
1. 𝐴(2, 3)
2. 𝐵(−2, 4)
3. 𝐶(−3, −2)
4. 𝐷(1, −3)
5. 𝐸(2, 0)
6. 𝐹(0, −1)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-4
-2
-1
1
2
3
4
y
x
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14. RELACIONES BINARIAS
 Para definir qué es una relación binaria necesitamos
de dos conjuntos: el primero llamado conjunto de
partida (A) y el segundo se le llama conjunto de
llegada (B).
Ejemplo:
Conjunto de partida
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Conjunto de llegada

15. RELACIONES BINARIAS
Una relación binaria 𝑅, del conjunto 𝐴 al conjunto 𝐵, es
definida como un subconjunto del producto
cartesiano 𝐴𝑥𝐵.
Se denota como 𝑅: 𝐴 → 𝐵
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
𝐴 = {2, 3, 5, 7} 𝐵 = {1, 2, 5, 8}
Entonces podemos establecer algunas relaciones:
𝑅1 = 2, 1 , 3, 2 , 7, 8
𝑅2 = {(2, 1), (2, 2), (5, 1), (5, 5)}
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16. RELACIONES BINARIAS
Una relación binaria definida sobre un conjunto 𝐴 es un
subconjunto del producto cartesiano 𝐴𝑥𝐴.
Se denota por 𝑅 ∶ 𝐴 → 𝐴
Ejemplo:
 ¿Cuáles son los elementos de la relación
anterior?
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17. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA
 El dominio de una relación
es el conjunto de todas las
primeras componentes de
los pares ordenados que
definen a la relación.
Notación: 𝑫𝒐𝒎(𝑹)
 El rango de una relación,
llamado también imagen, es
el conjunto de las segundas
componentes de los pares
ordenados que definen a la
relación.
Notación: 𝑹𝒂𝒏(𝑹)
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𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑎 ∈ 𝐴/ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅} Ran(𝑅) = {𝑏  𝐵/ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}

18. EJEMPLO
Dados los conjuntos:
 𝐴 =
 𝐵 =
2, 3, 4, 5, 7, 9
2, 5, 6, 7, 9, 10
Definimos la relación 𝑅 = {(𝑎, 𝑏)  𝐴𝑥𝐵/ 𝑏 = 𝑎 + 3}.
Construye un diagrama sagital de 𝑅, y encuentra cada uno
de los elementos de esta relación. Además, determina su
cominio y rango.
Solución:
2
3
4
5
7
9
A
2
5
6
7
9
10
B
𝑅 = {(2,5), (3, 6), (4, 7), (7, 10)}
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𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {2, 3, 4, 7}
𝑅𝑎𝑛(𝑅) = {5, 6, 7, 10}

19. EJERCICIOS
1. Sean 𝐴 = 1, 2, 3 𝑦 𝐵 = 0, 1, 2, 3 . Sidefinimos la relación 𝑅 =
{(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴𝑥𝐵: 𝑎 + 𝑏 = 3}, encuentre sus elementos junto a su dominio
y rango.
2. Sean 𝐴 = 1, 0, −1 𝑦 𝐵 = 0, 1, 2, 3 . Sidefinimos la relación 𝑅 =
{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐴: 1 < 𝑥 + 𝑦 < 3}, encuentre sus elementos junto a su
dominio y rango.
3. Dado los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ: 2 < 𝑥 < 6} y 𝐵 = {𝑦 ∈ ℕ: 8 < 3𝑦 + 1 <
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20. RELACIONES LINEALES Y
CUADRÁTICAS
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21. RELACION LINEAL
 Las relaciones binarias lineales tienen la forma:
𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes, y además, 𝑎 y 𝑏 no se
anulan simultáneamente.
GRÁFICA DE RELACIONES BINARIAS
LINEALES (tabulación)
Construir un plano
cartesiano
Encontrar dos puntos
que pertenezcan a la
recta
Ubicarlos en el plano
cartesiano
Trazar la recta
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22. EJEMPLOS
 Grafica la relación 𝑅 = { 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ: 𝑦 − 2𝑥 =
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23. OBSERVACIONES
Sea R  (x, y)  RxR / x  4
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Sea R (x, y) RxR / y  3

24. RELACIÓN BINARIA CUADRÁTICA
Las relaciones binarias cuadráticas, tienen la siguiente
forma: 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ/𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , donde
𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes y 𝑎 ≠ 0
Características de la relación cuadrática
2 - 1 1 2 3 4 5 6 7
- 1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
𝑎 > 0
3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7
- 1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
𝑎 < 0
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1)La gráfica es una parábola.
2) El valor de 𝒂, nos da el sentido de la concavidad.
Si𝑎 > 0 , es cóncava hacia arriba. Si𝑎 < 0, es cóncava hacia abajo.

25. RELACIÓN BINARIA CUADRÁTICA
 Dada la relación cuadrática
𝑹 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝒙ℝ/𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
 Vértice de la gráfica de la relación cuadrática:
𝑽(𝒉, 𝒌)
 El dominio de la relación 𝑹 está dado por
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = ℝ
Para hallar el rango se sugiere trazar
previamente la gráfica de la relación.
Donde 𝒉 = − 𝒃
, y el valor de 𝒌 se obtiene reemplazando
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𝒂
ℎ en la ecuación cuadrática

26. EJEMPLOS
 Grafica la relación 𝑅 = { 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ: 𝑦 = 𝑥2 +
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27. PROBLEMA APLICATIVO
 La cantidad (en cientos) de departamentos vendidos por una
empresa inmobiliaria desde el año 2015 𝑎𝑙 2017 está dada en la
tabla. Tomando como referente al año 2015 como 𝑡 = 0,
localiza los puntos en el plano cartesiano y analice si el
comportamiento es lineal o cuadrático. Luego, responda:
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1.¿Qué relación puedes encontrar entre el año y la cantidad de
departamentos vendidos?
2. ¿Podría hacer una proyección, en términos matemáticos, de las
posibles ventas para los años 2018 y 2019 en base a la
información brindada? ¿Cuál sería? Justifica
2015 2016 2017
5 7 11

28. CONCLUSIONES
 ¿Cuál es la relación entre el
producto cartesiano y una
relación binaria?
 ¿Qué elementos componen
el dominio de una relación?
 ¿Qué elementos componen
el rango de una relación?
 ¿Qué tipo de problemas
cotidianos podría resolver
aplicando la gráfica de
relaciones binarias?
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29. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Haeussler, Ernest; Richard Paul.
Matemática para
administración y economía.
Código: 510 HAEU/M 2008.
2. Miller; Heeren; Hornsby.
Matemática: Razonamiento y
aplicaciones. Código: 510
Mill/M 2013.
 ARYA JAGDISH, Matemáticas
Aplicadas para la
administración y a la
economía. Código: 515 ARYA
2009.
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