UNIDAD 7

1.  PRISMA: Es el poliedro que tiene dos caras opuestas iguales y paralelas llamadas
Bases y sus caras laterales son Paralelogramos.
Los prismas pueden ser rectos u oblicuos según que sus aristas sean o no
perpendiculares a las bases. La altura de un prisma es la perpendicular bajada de
la base superior a la inferior.
Las Caras de un prisma son cada uno de los lados que lo conforman.
Las Aristas son las líneas que se forman en la unión de dos caras.
Los Vértices son el punto de intersección de tres o más aristas.
Los prismas pueden ser: Triangulares, Cuadrangulares, Pentagonales, etc., según
sus bases.
Las diagonales de un poliedro son segmentos que unen dos vértices
no pertenecientes a la misma cara.
GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: Octavo Sección:
Unidad 7 “Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido EL PRISMA RECTO

2. El área de un prisma está compuesta por las áreas de las bases más las áreas de las
caras laterales.
Para calcular el área de las bases utilizamos la fórmula
Para el área lateral usamos la fórmula .LA P h
Donde “P” es el perímetro de la base, “ab” es la apotema de la base,
el cual es la distancia del centro al punto medio de uno de sus lados
y “h” es la altura del prisma.
El área total es entonces:
El Volumen del prisma está determinado por la fórmula:
APOTEMAS DE POLÍGONOS REGULARES
En el caso particular de los prismas y pirámides, utilizamos los apotemas de los
polígonos regulares que forman las bases, es por eso que debemos conocer las formas
para calcular dichos apotemas.
FIGURA TRIÁNGULO CUADRADO PENTÁGONO HEXÁGONO
APOTEMA
(l valor de
lado)
3
6
l
ap 
2
l
ap 
1.4531
l
ap 
3
2
l
ap 
Ejemplo 1: Encontrar el Área y el Volumen de un prisma regular de 15 cm de altura y
cuya base es un hexágono de lado 8 cm.
Solución: Primero dibujamos la figura y luego colocamos las fórmulas que nos
ayudarán a determinar el área y volumen.
Para calcular el área utilizamos la fórmula: 2T B LA A A 
.
2
B
P ab
A 
2T B LA A A 
.BV A h

3. Primero calcularemos el área de la base,
.
2
B
P ab
A 
Apotema de la base: Perímetro: Área de la Base: Área Lateral:
Área Total: Volumen:
Ejemplo 2: Calcular el área total y el volumen de un paralelepípedo de 5 cm de altura y
cuya base es un rectángulo de 12 cm. por 7 cm.
Solución: Las fórmulas a utilizar son: 2T B LA A A  y .BV A h
Perímetro: Área de la Base: Área Lateral:
Área Total: Volumen:
 
3
2
8 3
2
4 3
l
ab
cm
ab
ab cm



  
2
2
.
2
48 4 3
2
332.6
2
166.3
B
B
B
B
P ab
A
cm cm
A
cm
A
A cm




 6 8
48
P cm
P cm

   
2
.
48 15
720
L
L
L
A P h
A cm cm
A cm



 2 2
2 2
2
2
2 166.3 720
332.6 720
1052.6
T B L
T
T
T
A A A
A cm cm
A cm cm
A cm
 
 
 

  2
3
.
166.3 15
2494.5
BV A h
V cm cm
V cm



  
2
.
12 7
84
B
B
B
A a b
A cm cm
A cm



   
2 2
2 12 2 7
24 14
38
P a b
P cm cm
P cm cm
P cm
 
 
 

  
2
.
38 5
190
L
L
L
A P c
A cm cm
A cm



 2 2
2 2
2
2
2 84 190
168 190
358
T B L
T
T
T
A A A
A cm cm
A cm cm
A cm
 
 
 

  2
3
.
84 5
420
BV A h
V cm cm
V cm




4. Ejemplo 3: Encontremos el área y el volumen del ortoedro.
Solución:
Área de la cara de enfrente: 8 cm2
Área de la cara lateral: 6cm2
Área de la cara superior: 12cm2
La cara del frente es igual que la cara trasera.
Las dos caras laterales son iguales.
La cara superior es igual a la cara inferior.
El área total es: ( ) ( ) ( )
El volumen es:
EJERCICIOS:
1. La base del prisma es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3cm, 4cm y altura
de 8 ms.
2. La base del prisma es un triángulo equilátero que mide 2 ms por lado. Encontremos su
área y su volumen.
3. En la hacienda “Los Portales”. Se va a construir para el ganado un abrevadero de
madera de 4metros de largo. Los extremos serán triángulos equiláteros de 60 ms por
lado ¿Cuánta madera se necesita y cuantos litros de agua contendrá?
4. Se está exportando dulce de membrillo a Estados Unidos. Cada dulce tiene la forma de
un ortoedro con las medidas siguientes: 10cm, 5 cm y 2.5 cm. Los dulces demandan
dentro de cajas cubicas que miden 1mt de arista. ¿Cuántos dulces caben en cada caja?
5. Para evitar inundaciones que todos los inviernos se daban en San Salvador se
construyó en el rio Achuete un lecho de cemento en forma de ortoedro con una
longitud de 120 más, un ancho de 7 más, y una profundidad de 5 más. ¿Cuál es su
capacidad en metros cúbicos?
6. Se va a pintar una sala que tiene forma rectangular, un lado mide 3.5 más y el otro
4mts. La altura de las paredes es de 2.7mts. si el pintor cobrará 60 centavos por cada
metro cuadrado que pinte. ¿cuánto se le pagará por todo el trabajo?
7. Encuentra el área y el volumen de cada figura.

5. 8. Calcular el área de un cubo que tiene arista rectas de longitud 24.5 cm
9. Calcular el área total de un cubo que tiene aristas de rectas con una longitud de 10 cm.
10. Determinar el costo del material, para construir cajas sin tapadera, si las aristas tienen
una longitud de 10 cm, y se sabe que el cartoncillo del cual se construirá tienen un
costo de $0.01 cada dc2
11. Calcular el volumen de un cubo que tiene aristas con una longitud de 20 cm.
12. Determinar el volumen de un cuerpo que tiene como base un rectángulo de 20 cm por
18 cm y que tiene 15 cm de alto.
13. Determinar el costo del material, para construir cajas con tapadera, si las aristas
tienen una longitud de 20 cm. Y se sabe que el cartoncillo del cual se construirá tiene
un costo de $0.02 cada dc2.
14. Calcular el volumen de un cubo que tiene aristas de longitud 23.3 cm
15. Determinar el volumen de un cuerpo que tiene como base un rectángulo de 34 cm por
18 cm y que tiene 30cm de alto.
ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO
 CILINDRO CIRCULAR RECTO: es el cuerpo geométrico engendrado por la
revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
La Altura de Cilindro (h): es llamada también eje y es la distancia entre las dos
bases.
El área de un cilindro es igual al área de las bases más el área lateral.
GENERALIDADES
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Unidad 7 “Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos”
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Contenido ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO

6. Las bases de un cilindro son círculos, por tanto su área está dada por la fórmula
2
BA r 
Y el área lateral está determinada por la fórmula 2 .LA r h
Así el área total es igual a:
Y el volumen del cilindro se encuentra mediante la fórmula:
Ejemplo 1: Hallar el Área Total y el Volumen de un cilindro circular recto, de 21
pulgadas de altura y 12 pulgadas de diámetro.
Solución:
Área de la Base Área Lateral
Área Total Volumen
EJERCICIOS:
1. Calcula el área y volumen de un cilindro circular recto de 15 cm de radio y una altura
de 25 cm.
2. Calcula el volumen de un cilindro cuya altura es 3.5 m y el diámetro de la base es de
2m.
3. Calcular el área de un cilindro cuya altura mide 28 cm y el diámetro de la base mide 12
4. Calcular el área de un cilindro con radio 7.5 cm y una altura de 19 cm.
5. Determinar el costo del material para construir un granero cilíndrico que tiene una
altura de 3metros y el diámetro de la base es de 60cm, sabiendo que el metro
cuadrado de la lámina para construir este tipo de artículos, cuesta $2.45
2T B LA A A 
.BV A h
 
 
2
2
2
2
12 lg
144 lg
452.39 lg
B
B
B
B
A r
A p
A p
A p







  
 2
2
2
2 12 lg 21 lg
2 252 lg
1,583.36 lg
L
L
L
L
A rh
A p p
A p
A p







 2 2
2 2
2
2
2 452.39 lg 1,583.36 lg
904.78 lg 1,583.36 lg
2,488.14 lg
T B L
T
T
T
A A A
A p p
A p p
A p
 
 
 

  2
3
.
452.39 lg 21 lg
9,500.19 lg
T B
T
T
A A h
A p p
A p




7. 6. Un tanque cilíndrico para guardar jugo de uvas, ha sido llenado completamente, si las
dimensiones de dicho depósito son 2.4 dm de diámetro y 3 dm de altura ¿cuántos
litros de jugo hay? (1 dm3 = 1 litro)
7. Un camino cisterna de la ANDA, tiene un tanque completamente cilíndrico, con un
diámetro de 2 más y 5 más de largo, logra llenar 15 cisternas de una colonia y todavía
le sobran 708 litros de agua los cuales utilizó para llenar cuatro tanques cilíndrico de
una casa;(1 dm3= litro), con estos datos determina:
a) ¿Qué cantidad total de agua tiene el tanque?
b) ¿Cuántos litros de agua dejó en cada cisterna?
c) ¿Cuál es la altura de cada uno de los depósitos cilíndricos si el diámetro es de
10 decímetros?
 CONO CIRCULAR RECTO: es el cuerpo geométrico engendrado por la
revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos.
v: es el Vértice del Cono.
h: es la Altura del Cono y esta puede definirse como la perpendicular
bajada desde el vértice a la base. Además la altura es el eje del cono.
G: es la Generatriz del Cono y es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el
vértice y un punto de la circunferencia de la base.
R: es el Radio de la Base del Cono
Como el cono es engendrado por un triángulo rectángulo, el valor de sus lados está en
proporción al teorema de Pitágoras:
2 2 2
g h r 
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Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido ÁREA Y VOLUMEN DE UN CONO

8. El Área de un Cono está compuesta por dos partes, el área de la base que es un círculo
2
BA r  , más el área lateral .LA r g Así,
El área total está dada por la fórmula:
El Volumen de un Cono está determinado por la fórmula:
Ejemplo 1: Calcular el área y volumen de un cono circular recto de 20 cm de diámetro
y de 5cm de altura
Solución: Área de la Base: Generatriz: Área Lateral:
Área Total: Volumen:
Ejemplo 2: Calcular área y volumen de un cono que posee 35 m. de generatriz y 21 m.
de radio
Solución:
Área de la Base: Área Lateral: Área Total:
T B LA A A 
.
3
BA h
V 
   
2 2 2
2 22
2 2 2
2 2
2 2
20 5
400 25
425
425
20.6
g h r
g cm cm
g cm cm
g cm
g cm
g cm
 
 
 



 
 
2
2
2
2
5
25
78.5
B
B
B
B
A r
A cm
A cm
A cm







  
 2
2
.
5 20.6
103
323.6
L
L
L
L
A r g
A cm cm
A cm
A cm







2 2
2
78.5 323.6
402.1
T B L
T
T
A A A
A cm cm
A cm
 
 

  2
3
3
.
3
78.5 20
3
1570
3
523.3
BA h
V
cm cm
V
cm
V
V cm




 
 
2
2
2
2
21
441
1,385.44
B
B
B
B
A r
A m
A m
A m







  
 2
2
.
21 35
735
2,309.1
L
L
L
L
A r g
A m m
A m
A m







2 2
2
1,385.44 2,309.1
3,694.54
T B L
T
T
A A A
A m m
A m
 
 


9. Altura Volumen:
EJERCICIOS:
1. Encontrar el área y el volumen de un cono cuya altura es de 5 cm y radio de 2.5cm
2. Encontrar el área y el volumen de un cono cuya generatriz es de 100 cm y cuya altura
es de 64 cm.
3. Calcular el área del cono cuya generatriz mide 7 cm; el diámetro de la case 5 cm.
4. Determinar el costo del material para construir un depósito cónico, para almacenar
leche, si el diámetro de la base mide 4.5 metros, mientras que su altura es de 3 metros,
sabiendo que el metro cuadrado de lámina para construir este tipo de artículos, cuesta
$3.25
5. Calcular el volumen de un cono cuyo radio mide 5 cm y la altura es de 20 cm.
6. Calcular el área de un cono cuya generatriz mide 18 cm y el diámetro de la base mide 7
cm.
7. Calcular el volumen de un cono cuyo radio mide 25 cm y altura 38 cm
ESFERA: es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que se encuentran a
igual distancia de un punto interior llamado Centro.
La Esfera: es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un
semicírculo alrededor de su diámetro.
Elementos de la esfera
GENERALIDADES
N° de horas:
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Unidad 7 “Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA
   
2 2 2
2 22
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
35 21
1,225 441
1,225 441
784
784
28
g h r
m h m
m h m
m m h
m h
m h
m h
 
 
 
 



  2
3
3
.
3
1,385.44 28
3
38,792.32
3
12,930.77
BA h
V
m m
V
m
V
V m





10. Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la
superficie de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la superficie de la
esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
El área de una esfera está determinada por la fórmula
Y el volumen de la esfera se encuentra determinado por la fórmula:
Donde r es la medida del radio de la esfera.
Ejemplo 1: Determinar el área y el volumen de una esfera, cuyo diámetro es 20 cm
Solución: Si el diámetro de la esfera es 20 cm, entonces su radio es 10 cm, ya que el
radio es la mitad del diámetro.
 
 
3
3
3
3
79.188,4
3
10004
3
104
:
3
4
:
cmV
cm
V
cm
V
r
V





EJERCICIOS
1. Calcular el área y el volumen de una esfera con un diámetro de 5 metros.
2. Determinar el costo del material para construir un depósito esférico, para almacenar
leche, si el diámetro es de 4 metros. Sabiendo que el metro cuadrado de lámina para
construir este tipo de artículos, cuesta $2.77
3. Determinar cuántos litros de agua, se pueden guardar en un tanque esférico que tiene
un diámetro de 38 decímetros, sabiendo que por cada decímetro cúbico se puede
guardar el equivalente a un litro.
4. Determinar cuántos litros de agua se pueden guardar en un tanque cilíndrico que
tiene en su base un diámetro de 12 decímetros y su altura es de 20 decímetros, y se
sabe que cada decímetro cúbico es un volumen con una capacidad para un litro de
agua.
5. Determinar el costo del material para construir un depósito cilíndrico, para almacenar
leche, si el diámetro de la base mide 3.6 metros, mientras que su altura es de 2.2
metros, sabiendo que el metro cuadrado de la lámina para construir este tipo de
artículos, cuesta $3.78
6. Calcular el área de una esfera con un diámetro de 6.58 metros
7. Calcular el volumen de una esfera cuyo radio mide 4.3 cm
3
4
3
r
V 

2
4A r 
 
 
2
2
2
2
64.1256:
1004.:
104:
4:
cmA
cmA
cmA
rA




11. 8. Determinar el costo del material para construir un depósito esférico, para almacenar
leche, si el diámetro es de 3.60 metros. Sabiendo que el metro cuadrado de la lámina
para construir este tipo de artículos, cuesta $2.84
9. Determinar cuántos litros de agua, se pueden guardar en un tanque esférico que tiene
un diámetro de 32 decímetros, sabiendo que por cada decímetro cúbico se puede
guardar el equivalente a un litro.